Билеты: Алгебра и Начало анализа

Билеты: Алгебра и Начало анализа

1. Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
2. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
3. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0.
4. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

1. Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. .
2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
3. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

1. область определения - множество всех действительных чисел;
2. множество значений - [-1; 1];
3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех ;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
5. sin(x) = 0 при x = ;
6. sin(x) > 0 для всех ;
7. sin(x) < 0 для всех ;
8. функция возрастает на ;
9. функция убывает на .

1. область определения - множество всех действительных чисел;
2. множество значений - [-1; 1];
3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех ;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
5. cos(x) = 0 при ;
6. cos(x) > 0 для всех ;
7. cos(x) > 0 для всех ;
8. функция возрастает на ;
9. функция убывает на

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида;
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
5. tg(x) = 0 при х = ;
6. tg(x) > 0 для всех ;
7. tg(x) < 0 для всех ;
8. функция возрастает на .

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
5. ctg(x) = 0 при x = ;
6. ctg(x) > 0 для всех ;
7. ctg(x) < 0 для всех ;
8. функция убывает на .

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а 1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d.
4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1)
6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2)
7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение
9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3 :b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b 1 и знаменатель q.
4. Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b 1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)
6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)
7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4)
9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1 bn = b2bn-1 = ., т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

1. Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .
2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула .

1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид: Частные случаи:
2. sin(x) = 0, x =
3. sin(x) = 1, x =
4. sin(x) = -1, x =
5. формула для корней уравнения sin2(x) = a, где , имеет вид: x=

1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x). sin(x) = 0 если х = ; sin(x) = -1, если x = >; sin(x) > 0, если ; sin(x) < 0, если .

1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: .
2. Частные случаи: cos(x) = 1, x = ; cos(x) = 0, ; cos(x) = -1, x =
3. Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где , имеет вид: .

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
2. Важным моментом является знание, что: cos(x) = 0, если ; cos(x) = -1, если x = ; cos(x) = 1, если x = ; cos(x) > 0, если ; cos(x) > 0, если .

1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .
2. Частные случаи: tg(x) = 0, x = ; tg(x) = 1, ; tg(x) = -1, .
3. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где , имеет вид:

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
2. Важно знать, что: tg(x) > 0, если ; tg(x) < 0, если ; Тангенс не существует, если .

1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения sin , cos , tg и ctg .
2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

1. Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила: a) при переходе от функций углов , к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот; при переходе от функций углов , к функциям угла название функции сохраняют; б) считая острым углом (т. е. ), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов , , .

1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов: Рис.1 Рис.2 Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х 2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы и . По определению скалярного произведения векторов: = х1х2 + y1y2. (1) Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что х1 = R cos , y1 = R sin , х2 = R cos , y2 = R sin . Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим: = R2cos cos + R2sin sin = R2(cos cos + sin sin). С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем: = cos BOC = R2cos BOC. Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому = R2 cos ( - ). Т.к. равно также R2(cos cos + sin sin), то cos( - ) = cos cos + sin sin. cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin. Значит, cos( + ) = cos cos - sin sin .
2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов: sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin . Значит, sin( + ) = sin cos + cos sin. sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin. Значит, sin( - ) = sin cos - cos sin.

1. Выразив правую часть формулы cos 2 = cos2 - sin 2 через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям cos 2 = 1 - sin2 , cos 2 = 2 cos2 - 1. Если в данных соотношениях положить = /2, то получим: cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 - 1. (1)
2. Из формул (1) следует, что (2), (3).
3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим (4).
4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.
5. Полезно знать следующую формулу: .

1. ;
2. ;
3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: . Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством: x = , y = . Перемножим почленно эти равенства, получаем: xy = = . Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя: . Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания: . При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .
2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной.
5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют: .
2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и .
3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и .
4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и .