РУБРИКИ

Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах

Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах

Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова Математический факультет Кафедра геометрии и высшей алгебры Нагоева Фатима Хазреталиевна Дипломная работа «О неопределенных бинарных квадратичных формах» Научный руководитель: д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /У.М.Пачевв / Рецензент: к.ф.-м.н.,доцент / / Допущена к защите «_______» 2002г. Зав. кафедрой к.ф.м.н., доцент /А.Х. Журтов/ Нальчик 2002 г. Оглавление стр.

Введение 3

§1. Предварительные сведения о бинарных квадратичных 4 формах §2. О периодах неопределенных бинарных квадратных форм 13 §3. Об оценке сверху числа приведенных неопределимых бинарных квадратичных форм 21 §4. О диагональных формах и оценке снизу числа классов в ряде 27 Литература 35

Введение

Арифметическая теория квадратичных форм берет свое начало с утверждения Ферма о представимости простых чисел Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах суммой двух квадратов. Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория была значительно расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области. Перейдем теперь к краткой характеристике содержания нашей работы, посвященной некоторым вопросам теории неопределенных бинарных квадратичных форм. Вначале нашей работы приводятся предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Во втором параграфе, посвященном периодам неопределенных квадратичных форм поставлены и решены два вопроса о двусторонних формах (теоремы 1,2). В третьем параграфе дается элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Наконец, в последнем параграфе устанавливаем, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны (теорема 3) и применяем этот результат к оценке снизу для числа классов в каждом роде неопределенных квадратичных форм (теорема 4). §1. Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм. В данном параграфе мы дадим те общие понятия и свойства, касающиеся бинарных квадратичных форм, на которые будем опираться в дальнейшем изложении. Определение 1. Бинарной квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от двух переменных, т.е. выражение вида Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (1) где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - вещественные числа. Коэффициенты Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - называются соответственно первым, вторым и третьим коэффициентами (1) и для краткости такую форму будем обозначать, следуя Гауссу [2], через Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах так, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах В алгебраической теории квадратичных форм (т.е. в теории квадратичных форм над полями) рассматриваются формы, у которых второй коэффициент без множителя Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Но в арифметической теории квадратичных форм (т.е. в теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах целых чисел) более предпочтительной является запись вида (1). Определение 2. Бинарная квадратичная форма (1) называется классически целой (или целочисленной по Гауссу), если в ней коэффициенты Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах являются целыми числами. Мы будем в основном рассматривать только классические квадратичные формы и называть их просто численными. Определение 3. Бинарные целочисленные квадратичные формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называются собственно эквивалентными, если существует линейная подстановка переменных Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (2) с целыми коэффициентами Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и определителем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , переводящая форму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах в форму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. такая, что выполняется равенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (3) и несобственно эквивалентными, если целочисленная подстановка (2) с определителем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах переводит форму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах в форму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Эквивалентность таких форм обозначаем так: Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ~Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Из (3) и (2) следуют соотношения Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (4) Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Определение 4. Дискриминантом бинарной квадратичной формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Предложение 1. Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант. Доказательство. Пусть форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах эквивалентна (собственно или несобственно) формеДиплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда по определению 3 существуют целые числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах с определителем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , при которых выполнены соотношения (4). Из них получаем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. предложение 1 доказано. Заметим, что обратное утверждение вообще говоря неверно, т.е. из того, что бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант еще не следует, что они эквивалентны. Следующий общий факт приведем без доказательства. Предложение 2. Отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Определение 5. Если для квадратичной формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и для целого числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах при некоторых целых Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах выполняется равенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то говорят, что квадратичная форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах представляет число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Пример. Квадратичная форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах представляет число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.к. число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах является значением квадратичной формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. равенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах выполняется при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Предложение 3. Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел. Доказательство. Пусть формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах эквивалентны. Тогда существует унимодулярная целочисленная подстановка переменных: Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и, значит, Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Положив теперь в этом равенстве Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , получим Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах тоже представляет число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Поскольку отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойством симметричности (предложение 2) то и любое число, представимое формой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах будет представимое и формой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Предложение 3 доказано. Определение 5. Классом Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах форм называется множество всех бинарных квадратичных форм, собственно эквивалентных форме Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2). Далее, в зависимости от знака дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы. Определение 6. Квадратичная форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется определенной, если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и неопределенной, если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Такое определение подсказано тем, что при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и отрицательные при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ), а при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы. Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм - «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того будем предполагать, что крайние коэффициенты Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах отличны от нуля и корни уравнения Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах вещественны, различны и иррациональны. Назовем корень Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах этого уравнения первым, а Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - вторым корнем формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (см. [1]), причем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах есть дискриминант формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Определение 7. Неопределенная квадратичная форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах с корнями Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется приведенной, если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Покажем, что у приведенной формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах выполняются неравенства Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , причем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах заключаются между Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . В самом деле, из условия Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах получаем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Далее, Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. выполняется указанное неравенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Обратимся теперь к условиям Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Из них следуют Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (*) Аналогично имеем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (**) Покажем теперь, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Допустим, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда из неравенств (*) и (**) следуют Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах неверно и мы получаем неравенства Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Наконец, покажем, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Т.к. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то из неравенств (*) и (**) получаем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . С учетом этих неравенств и равенства Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , мы получим и неравенства для Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Обратно, система неравенств Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах или Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах характеризует приведенность неопределенной формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид. Определение 8. Бинарная квадратичная форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется приведенной, если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах или Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм. Предложение 4. Каждая форма дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах собственно эквивалентна некоторой приведенной форме. Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы. Определение 9. Целочисленная квадратичная форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. НОД Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и несобственно примитивной, если НОД Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . В остальных случаях форма называется не примитивной. Определение 10. Пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - наибольший общий делитель чисел Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах для формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах определителя Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и (при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется порядком форм. Так как Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и знаки получающихся коэффициентов Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов. При Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах формы и порядок называются собственно примитивными, а при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах )- несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными. Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее. Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно. Доказательство см. [2,п.185]. §2. О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм. Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]). Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , которая получается из формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах подстановкой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах -некоторое целое число. Заметим, что при такой подстановке форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах собственно эквивалентна форме Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Зависимость между соседними формами Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах можно охарактеризовать так: во-первых, формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах является вместе с тем первым коэффициентом формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; в третьих, сумма их средних коэффициентов Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах делится на Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Аналогичным образом определяется соседняя слева форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах к форме Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Из определения соседних форм непосредственно следует Предложение 1. Соседние формы собственно эквивалентны. С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах -приведенная форма дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и для нее Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах является соседней справа; для Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах является соседней справа; для Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах является соседней справа и т.д. Тогда все формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,., являются собственно эквивалентными между собой, так и форме Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,. не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах совпадают, то формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,. обязательно повторится первая форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - первая форма в этом ряду, совпадающая с Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то все формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,.,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах различны между собой. Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,.,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется периодом формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]). Предложение 2. Если формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,. представлены следующим образом Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,.,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,., то все величины Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах будут иметь одинаковые знаки, причем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах все будут положительны. Отсюда получается следующее свойство периодов. Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах всегда четно. Доказательство предложения 3 см. [1,2]. Заметим, что каждая форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , которая содержится в периоде формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах будет иметь тот же период, что и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах .Именно, этот период будет таков: Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Отсюда получается следующее свойство периодов. Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды. Доказательство (см. [2] разд. V, п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают либо они попарно не пересекаются и каждая форма попадет только в один из периодов. Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах разбиваются на следующие шесть периодов: I. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; II. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; III. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; IV. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; V. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; VI. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Видим что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм. Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм. Определение 3. Формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , и их классы называются обратными: если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - один из этих классов, то другой класс Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах будет обратным к классу Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах в смысле композиции классов. Замечание. Так как форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах переводится в форму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах подстановкой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах определителя Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то каждая форма класса Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм их классы будут обратными. (при этом еще учитывается, что если форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах несобственно эквивалентна Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , а Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах собственно эквивалентна Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах несобственно эквивалентна Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ). Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом. Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается Предложение 5. Каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе. Доказательство. Пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - двусторонний класс и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Покажем, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах переводится в Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах подстановкой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и запишем это в следующем виде: Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Т.к. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - двусторонний класс, т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Но так как Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах собственно эквивалентны, то найдется подстановка Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах определителя Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда получаем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Но так как Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах несобственно эквивалентна самой себе. Предложение 5 доказано. Определение 5. Форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , в которой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах делится на Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , называется двусторонней. Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении двусторонних классов. Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна двусторонняя форма. Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта содержатся две и только две приведенные двусторонние формы. Доказательство этих предложений имеются в [1,2]. Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа. Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу . Доказательство. Пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - двусторонняя форма, т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах делится на Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ) и обозначим ее класс через Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Покажем, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах -двусторонний класс. По определению обратная к Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах форме Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Так как Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах переводится в себя подстановкой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Далее имеем, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах переводится в Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах подстановкой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах определителя 1, т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах собственно эквивалентны. Тогда они принадлежат одному и тому же классу, т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и значит, Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - двусторонний класс. Теорема 1 доказана. В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть в периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие того, что двусторонние приведенные формы будут соседними. Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные приведенные формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах из двустороннего класса дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах были соседними необходимо, чтобы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - целая часть числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Доказательство. Пусть формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах соседние. Тогда Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - некоторое целое число. Так как Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - двусторонние формы, то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где последнюю делимость можно заменить следующим условием: Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах или что тоже самое Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , откуда Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда в силу взаимной простоты Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (это следует из примитивности формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ) из условий делимости Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах следует, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Но так как Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах или что тоже самое Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Из последнего условия делимости следует неравенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , откуда Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Но так как форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах приведенная, то для числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах должны выполняться неравенства Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , из которых в свою очередь следует, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Теорема 2 доказана. Пример. Для Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними по-видимому является очень трудным и мы его не рассматриваем. §3. Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм. О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - положительные постоянные, зависящие от Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; причем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа и мы их приведем вначале. Арифметическая функция Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах определяется как число положительных делителей натурального числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Предложение 1. Функция Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах мультипликативна, т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Из этого предложения 1 легко выводится следующее Предложение 2. Если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - каноническое разложение натурального числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6]). Предложение 3. Для числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах делителя натурального числа имеет место неравенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Доказательство. Пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - канонические разложения чисел Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , и пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ,.,Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - все простые делители наибольшего общего делителя чисел Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда ясно, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . (1) Но так как справедливо неравенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , (2) то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Предложение 3 доказано. Предложение 4. Для Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах имеет место неравенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - произвольное положительное число, Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - постоянная, зависящая только от Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство имеется также в [3]). Пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - каноническое разложение числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда имеем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Рассмотрим отношение Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , в случаях Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , так как Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то считая Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , получим Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Поэтому Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Следовательно, полагая Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , получим неравенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Предложение 4 доказано. Следующее предложение характеризует среднее значение Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах в нужной для нас форме. Предложение 5. Для Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах имеет место следующая оценка сверху Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - постоянная Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Доказательство. Имеем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , при этом целые точки, лежащие на осях координат исключаются, так как для них Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - целая часть числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Оцениваем теперь сумму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах есть так называемая постоянная Эйлера. Предложение 5 доказано. Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата. Теорема (Зигель). Для числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах справедливо неравенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - произвольное положительное число, Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - постоянная, зависящая только от Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Доказательство. Пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - неопределенная приведенная форма дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Оценим сверху число приведенных форм с Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Теорема доказана. §4. О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде. В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия. Определение 1. Целое число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , не делящееся на простое число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - квадратичный вычет по модулю Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , если сравнение Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах имеет решение; в противном случае число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах называется квадратичным невычетом по модулю Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра. Определение 2. Символом Лежандра Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах по простому модулю Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , которое определяется следующим соотношением Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся. Свойство 1. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Свойство 2. Если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (свойство периодичности). Свойство 3. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (свойство мультипликативности) Свойство 4. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее. Пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - простой делитель дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , и пусть число всех этих различных модулей Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах равно Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Можно показать, что если Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - один из этих Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах модулей, то для всех чисел Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и взаимно простых с Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , символы Лежандра Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - собственно примитивная форма дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - любой нечетный простой делитель числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - два числа, представляемых формой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и не делящихся на Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Подстановка Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах определителя Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах переводит Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах в форму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (см. соотношения (3) §1), причем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , откуда Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. в силу определения символа Лежандра имеем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Итак, символ Лежандра Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах имеет одно и то же значение для всех чисел Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , представляемых формой Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах или Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах для всех Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах указанных модулей Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , взятых в определенном выбранном порядке. Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах чисел, равных Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Эта последовательность чисел, равных Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах или характером класса этой формы. Так как число всех различных последовательностей, составленных из Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах членов, равных Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах или Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах равно Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то число различных характеров форм данного дискриминанта, а следовательно и число родов не больше, чем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Чтобы решить вопрос о точном числе родов Гаусс вводит в рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм. Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде. Теорема 1 (Гаусс). Число родов бинарных квадратичных форм в данном собственно примитивном порядке дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах равно Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах определяется следующими условиями: Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах при Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , при этом Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - число различных простых делителей числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Теорема 2 (Гаусс). Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов, т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - число всех классов, Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - число классов в каждом роде и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах -число родов. Перейдем теперь после такого предварительного обсуждения к изложению результатов данного параграфа. Следующая теорема устанавливает существование неэквивалентных диагональных квадратичных форм данного дискриминанта. Теорема 3. Диагональная форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта. Доказательство. Допустим, что диагональная форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (1) дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах собственно эквивалентна другой диагональной форме Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (2) того же дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Тогда найдется целочисленная унимодулярная подстановка Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , которая переводит форму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах в форму Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Имеем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (3) где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (4) Подставляя (3) в (1), получим Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Но так как, мы требуем, чтобы форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах была тоже диагональной, то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . (5) Тогда форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах перепишется в следующем виде Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . (6) Далее, так как Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах имеет тот же дискриминант, что и форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , (7) или что то же самое Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ; Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах (8) откуда с учетом (5), полученное соотношение (8) перепишется в виде Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , что противоречит условию (4). Значит наше допущение о том, что диагональная форма эквивалентна другой диагональной форме того же дискриминанта неверно. Теорема 3 доказана. Полученную теорему 3 можно применить к оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка. Теорема 4. Если для каждого квадратного делителя Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах выполнены условия: НОД Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах простого Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , то для числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Доказательство. Пусть Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - собственно примитивная форма дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. НОД Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и пусть она представляет целое число Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , т.е. Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах при некоторых целых Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Будем считать, что Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах , где Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах - целое число. Тогда символ Лежандра числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах по простому делителю Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах числа Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах равен Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Далее Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах по условию имеем Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . Полученное означает, что форма Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах принадлежит главному роду (род называется главным, если характеры его форм равны Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах ). Число таких форма равно числу квадратных делителей Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах дискриминанта Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах с условием НОД Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах и все они эквивалентны по теореме 3. Поэтому для числа классов Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах в главном роде справедлива оценка снизу Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах с условием Диплом: О неопределенных бинарных квадратичных формах . В силу теоремы 2 Гаусса такая же оценка справедлива и для числа классов всех остальных родов. Теорема 4 доказана. ЛИТЕРАТУРА. 1. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937, с. 218 2. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959, с. 978 3. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. Изд-во «Мир», М., 1974, с. 187 4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. Изд-во «Наука», М., 1972 с. 267 5. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1980, с. 144 6. Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966, с. 384


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.