Диплом: Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики

Диплом: Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики

Введение.

Изучение в курсе математики начальной школы величин и их измерений имеет

большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем,

что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений,

происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями

между величинами помогает создать у детей целостные представления об

окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует

приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его

повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами

и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения

математики.

По традиционной программе в конце третьего (четвёртого) класса дети должны: -

знать таблицы единиц величин, принятые обозначения этих единиц и уметь

применять эти знания в практике измерения и при решении задач, - знать

взаимосвязь между такими величинами, как цена, количество, стоимость товара;

скорость, время, расстояние, - уметь применять эти знания к решению текстовых

задач, - уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника (квадрата).

Однако, результат обучения показывает, что дети недостаточно усваивают

материал, связанный с величинами: не различают величину и единицу величины,

допускают ошибки при сравнении величин, выраженных в единицах двух

наименований, плохо овладевают измерительными навыками. Это связано с

организацией изучения данной темы. В учебниках по традиционной программе

недостаточно заданий, направленных на: выяснение и уточнение имеющихся у

школьников представлений об изучаемой величине, сравнение однородных величин,

формирование измерительных умений и навыков, сложение и вычитание величин,

выраженных в единицах разных наименований.

Таким образом, чтобы улучшить математическую подготовку детей по теме

«Величины и их измерение», необходимо пополнить её новыми упражнениями из

системы развивающего обучения.

Цель исследования состоит в выявлении и влияния на эффективность

обучения системы развивающих упражнений на уроках математики при изучении темы

«Величина и её измерение».

Объектом исследования является процесс обучения математики в начальной школе.

Гипотеза исследования: учебная деятельность при изучении темы

«Величина и её измерение», организованная с помощью системы развивающего

обучения, может обеспечить качество знаний и умений учащихся.

Задачи исследования:

1) Изучить психолого-педагогическую литературу по вопросу

развивающего обучения;

2) Изучить методико-педагогическую литературу по теме «Величины и их

измерения»;

3) Выявить влияние использования системы упражнений развивающего

обучения на качество знаний и умений учащихся.

Методы исследования: изучение научно-методической литературы,

наблюдение за деятельностью учителя и учащихся, анализ письменных работ

учащихся, педагогический эксперимент.

База исследования: 1 класс (1-3) по традиционной программе УПК №1818.

Глава 1. Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики.

1.1.Развивающее обучение в начальном курсе математики.

В настоящее время в начальной школе представлены системы образования,

базирующиеся на традиционной системе обучения, а также на теориях,

разработанных отечественными учёными Л.О.Выготским, Л.В.Занковым,

Д.Б.Элькониным, В.В.Давыдовым. Все системы направлены на интеллектуальное и

нравственное развитие детей.

В последние годы внимание педагогов всё чаще привлекают идеи развивающего

обучения, с которыми связывается возможность принципиальных изменений в

школе. Основная концепция системы развивающего обучения – обучение через

создание учебной задачи.

Учебная задача в контексте учебной деятельности даётся в определении учебной

ситуации, то есть выступает как единица целостного образовательного процесса.

По содержанию учебная ситуация может быть нейтральной или проблемной. Оба

вида этих ситуаций представлены в обучении, но второе требует больших усилий

учителя, поэтому при всей важности проблематизации обучения проблемные

ситуации встречаются в учебном процессе реже. Создание проблемной ситуации

предлагает наличие проблемы (задачи), то есть соотношения нового и известного

(данного), учебно-познавательной потребности обучаемого и его способности

(возможности) решать эту задачу. Проблемное обучение основано на получении

новых знаний обучающимися посредством решения теоретических и практических

проблем, проблемных задач в создающихся в силу этого проблемных ситуациях.

Проблемная ситуация для младшего школьника возникает если у него есть

познавательная потребность и интеллектуальные возможности решать

задачу при наличии затруднения противоречия между старым и новым, известным и

неизвестным, данным и искомым, условиями и требованиями. Проблемные

ситуации дифференцируются, по А. М. Матюшкину, по критериям:

1) структуры действий, которые должны быть выполнены при решении проблемы;

2) уровня развития этих действий у человека (младшего школьника), решающего

проблему и эти трудности проблемной ситуации в зависимости от

интеллектуальных возможностей. Проблемное обучение включает несколько

этапов:

• осознание проблемной ситуации,

• формулировку проблемы на основе анализа ситуации,

• решение проблемы, включающее выдвижение, смену и проверку гипотез,

• проверку решения.

Этот процесс развертывается, но аналогии с прохождением трёх Фаз

мыслительного акта (по С.Л. Рубинштейну), который возникает в проблемной

ситуации и включает осознание проблемы, её решения и конечное умозаключение.

Поэтому проблемное обучение основывается на аналитико-синтетической

деятельности обучающихся, реализуемой в рассуждении, размышлении. Это

исследовательский тип обучения с большим развивающим потенциалом.

Решение задачи в учебной проблемной ситуации предполагает несколько этапов.

ПЕРВЫЙ ЭТАП- это понимание задачи, сформулированной в готовом виде

учителем или определяемой самим учеником. Последняя зависит от того, на каком

уровне проблемности находится задача, и от способности ученика её решить.

ВТОРОЙ ЭТАП- «принятие» задачи учеником, он должен решать её для себя,

она должна быть лично значима, а потому и принята к решению.

ТРЕТИЙ ЭТАП - связан с тем, что решение» задачи должно вызывать

эмоциональное переживание «лучше удовлетворения, чем досады»

неудовлетворения собой и желание поставить и решать собственную задачу и так

далее. Здесь существенно отметить роль формулировки задания для правильного

понимания задачи. Проблемное обучение может быть разного уровня трудности для

ученика в зависимости от того, какие и сколько действий по решению проблемы он

осуществляет. А. Крутецкий предложил наглядную схему уровней трудностей в

проблемном обучении в сопоставлении с традиционным обучением на основании

разделения действий учителя и ученика.

1.2. Понятие величины и её измерения в математике.

Длина, площадь, масса, время, объём - величины. Первоначальное знакомство с

ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является

ведущим понятием.

ВЕЛИЧИНА - это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность

заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество

величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются

ве­личинами одного рода или однородными величинами. Например,

длина стола и дли на комнаты - это однородные

величины. Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.

1)Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше

(больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения

«равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только

одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного

треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона

меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника

равны.

2)Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится

величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно

определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например,

если a-длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС (рис.1), то длина отрезка АС,

есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

. 3)Величину умножают на действительное число, получая в

результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого

неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b

называют произведением величины а на число x. Например, если a -

длину отрезка АВ умножить на

x= 2, то получим длину нового отрезка АС .(Рис.2)

4) Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через сумму:

разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например,

если а - длина отрезка АС, b - длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть

разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на

число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное

число х, что а= х b. Чаще это число - называют отношением величин а и b и

записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС

к длине отрезка АВ равно 2.(Рис №2).

6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С,

то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2

площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника

F1 меньше площади треугольника F3. Величины, как свойства объектов, обладают

ещё одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину

нужно измерить. Измерение - заключается в сравнении данной величины с некоторой

величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения

получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один,

для площадей - другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот

процесс, в результате измерения величина получает определённое численное

значение при выбранной единице.

Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e, то в результате

измерения величины а находят такое действительное число x, что а=x e. Это число

x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать

так: х=m (a).

Согласно определению любую величину можно представить в виде произведения

некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7 1 кг, 12 см =12

1 см, 15ч =15 1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на

число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.

Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как, 5/12ч = 5/12

60мин = (5/12 60)мин = 25мин.

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются

скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём,

масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё

векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не

только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются

сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие,

численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные

величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел,

операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1/.Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения

между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными

значениями, и наоборот.

a=b m (a)=m (b),

a>b m (a)>m (b),

a<b m (a)<m (b).

Например, если массы двух тел таковы, что а=5 кг, b=3 кг, то можно утверждать,

что масса а больше массы b поскольку 5>3.

2/ Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то, чтобы

найти численное значение суммы a+b достаточно сложить

численные значения величин а и b. а+b= c m (a+b) = m (a) + m (b).

Например, если а = 15 кг, b=12 кг, то а+b=15 кг + 12 кг = (15+12) кг = 27кг

З/ Если величины а и b таковы, что b= x а, где x -положительное

действительное число, и величина а, измерена при помощи единицы величины e,

то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно число

x умножить на число m (а):b=x a m (b)=x m (a).

Например, если масса а в 3 раза больше массы b .т.е. b= За и а = 2 кг, то

b= За=3 (2 кг) = (3 2) кг = 6кг.

Рассмотренные понятия - объект, предмет, явление, процесс, его величина,

численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в

текстах и задачах.

Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма

яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой

объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы использовали

единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 -численное

значение массы яблок при единице массы - килограмм.

Рассмотрим определения некоторых величин и их измерений.

Длина отрезка и её измерение.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого

отрезка так что:

1/ равные отрезки имеют разные длины;

2/ если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме

длин этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбирают

какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от

одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех

пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец

последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка

а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если же отрезки, равные e,

отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают

отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n раз, то тогда а=n, n e

и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e

отложился n раз и остался ещё остаток, меньший e , то на нём откладывают

отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно

продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная

десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается действительным

числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n ,

n , ... то взяв его приближение с определённой

точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим

отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n .

Площадь фигуры и её измерение.

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты,

площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и

так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то

площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры

слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади используется при её определении в

геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены

по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур.

Например, рассматривают площади многоугольников и других ограниченных выпуклых

фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел вращения и так далее. В

начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и

ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из

других. Например, фигура F, (рис.4), составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря,

что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,.,Fn, имеют в виду, что она

является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних

точек. Площадью фигуры называется неотрицательная величина,

определённая для каждой фигуры так, что:

I/ равные фигуры имеют равные площади;

2/ если фигура составлена из конечного числа фигур, то её площадь равна сумме

их площадей. Если сравнить данное определение с определением длины отрезка,

то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но

заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь -

на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить

площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади

принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть

отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e

обозначают e . Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его

площадь m .

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью

единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что

S(F)=x e .Число x называют численным значением площади при выбранной

единице площади.

Так, если единицей площади является см, то площадь фигуры, приведённой на

рисунке 5, равна 5см.

Рассмотрим один из приёмов, опирающихся непосредственно на определение

площади, является измерение площади при помощи палетки- сетки квадратов,

нанесённый на прозрачный материал.

Допустим, на фигуру F . площадь которой надо измерить, наложена сетка

квадратов со стороной e. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить

квадраты двух видов:

1/ квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F.

2/ квадраты, через которые проходит контур фигуры, и которые лежат частью вне

фигуры F.

Пусть квадратов первого вида окажется m, а квадратов второго вида n. Тогда,

очевидно, площадь фигуры F будет удовлетворять условию.

m <S(F)<(m+n) . Числа m и m+n будут приближёнными численными значениями

измеряемой площади: первое число с недостатком, второе - с избытком.

Как видим, что палетка позволяет измерить площадь фигуры лишь с невысокой

точностью. Чтобы получить более точный результат, можно уплотнить

первоначальную сеть квадратов, разделив каждый из них на более мелкие

квадраты. Можно, например, построить сеть квадратов со стороной e =1/10e.

В результате мы с большой точностью получим другие приближенные значения

площади фигуры F.

Описанный процесс можно продолжить. Возникает вопрос: существует ли такое

действительное число, которое больше всякого приближённого результата

измерения, взятого с избытком, и которое может быть точным численным

знач­ением измеряемой площади? В математике доказано, что при выбранной

единице площади такое число существует для всякой площади, оно единственно и

удовлетворяет свойствам 1 и 2.

Масса и её измерение.

Масса - одна из основных физических величин. Понятие массы тела тесно связано

с понятием веса-силы, с которой тело притягивается Землёй. Поэтому вес тела

зависит не только от самого тела. Например, он различен на разных широтах:

на полюсе тело весит на 0,5 % больше, чем на экваторе. Однако при своей

изменчивости вес обладает особенностью: отношение весов двух тел в любых

условиях остаётся неизменным. При измерении веса тела путём сравнения его с

весом другого выявляется новое свойство тел, которое называется массой.

Представим, что на одну из чашек рычажных весов положили какое-нибудь тело, а

на другую чашку положили второе тело b. При этом возможны случаи:

1) Вторая чашка весов опустилась, а первая поднялась так, что они оказались в

результате на одном уровне. В этом случае говорят, что весы находятся в

равновесии, а тела а и b имеют равные массы.

2) Вторая чашка весов так и осталась выше первой. В этом случае говорят, что

масса тела а больше массы тела b.

3) Вторая чашка опустилась, а первая поднялась и стоит выше второй. В этом

случае говорят, что масса тела а меньше тела b.

С математической точки зрения масса - это такая положительная величина,

которая обладает свойствами:

1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;

2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел,

вместе взятых равна сумме их масс. Если сравнить данное определение с

определениями длины и площади, то увидим, что масса характеризуется теми же

свойствами, что длина и площадь, но задана на множестве физических тел.

Измерение массы производится с помощью весов. Происходит это следующим

образом. Выбирают тело e, масса которого принимается за единицу.

Предполагается, что можно взять и доли этой массы. Например, если за единицу

массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать такую его

долю, как грамм: 1г= 0,01кг.

На одну чашку весов кладут тело, массу тела кого того измеряют, а на другую –

тела, выбранные в качестве единицы массы, то есть гири. Этих гирь должно быть

столько, чтобы они уравновесили первую чашку весов. В результате

взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной

единице массы. Это значение приближённое. Например, если масса тела равна 5

кг 350 г, то число 5350следует рассматривать как значение массы данного тела

( при единице массы – грамм). Для численных значений массы справедливы все

утверждения, сформулированные для длины, то есть сравнение масс, действия над

ними сводятся к сравнению и действиям над численными значениями масс (при

одной и той же единице массы).

Основная единица массы - килограмм. Из этой основной единицы образуются

другие единицы массы: грамм, тонна и другие.

Промежутки времени и их измерение.

Понятие времени более сложное, чем понятие длины и массы. В обыденной жизни

время - это то, что отделяет одно событие от другого. В математике и физике

время рассматривают как скалярную величину,

потому что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства

длины, площади, массы.

Промежутки времени можно сравнивать. Например, на один и тот же путь пешеход

затратит больше времени, чем велосипедист.

Промежутки времени можно складывать. Так, лекция в институте длится столько

же времени, сколько два урока в школе.

Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от

измерения длины, площади или массы. Для измерения длины можно многократно

использовать линейку, перемещая её с точки на точку. Промежуток времени,

принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Поэтому единицей

времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в

Международной системе единиц названа секунда. Наряду с секундой используются

и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век. Такие

единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда

придуманы человеком.

Год - это время обращения Земли вокруг Солнца. Сутки - это время обращения

Земли вокруг своей оси. Год состоит приблизительно из 365 суток. Но год

жизни людей складывается из целого числа суток. Поэтому вместо того, чтобы к

каждому году прибавлять 6 часов, прибавляют целые сутки к каждому четвёртому

году. Этот год состоит из 366 дней и называется високосным.

В Древней Руси неделя называлась седмицей, а воскресенье - днём недельным

(когда нет дел) или просто неделей, т.е. днём отдыха. Названия следующих пяти

дней недели указывают, сколько дней прошло после воскресенья. Понедельник -

сразу после неделя, вторник - второй день, среда - середина, четвёртые и

пятые сутки соответственно четверг и пятница, суббота - конец дел.

Месяц не очень определённая единица времени, он может состоять из тридцати

одного дня, из тридцати и двадцати восьми, двадцати девяти в високосные годы

(дней). Но существует эта единица времени с древних времён и связана с

движением Луны вокруг Земли. Один оборот вокруг

Земли Луна делает примерно за 29,5 суток, и за год она совершает примерно 12

оборотов. Эти данные послужили основой для создания древних календарей,

а результатом их многовекового усовершенствования является тот календарь,

которым мы пользуемся и сейчас.

Так как Луна совершает 12 оборотов вокруг Земли, люди стали считать полнее

число оборотов (то есть 22) за год, то есть год – 12 месяцев.

Современное деление суток на 24 часа также восходит к глубокой древности, оно

было введено в Древнем Египте. Минута и секунда появились в Древнем Вавилоне,

а в том, что в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд, сказывается влияние

шестидесятеричной системы счисления,

изобретённой вавилонскими учёными.

Объём и его измерение.

Понятие объёма определяется так же, как понятие площади. Но при рассмотрение

понятия площадь, мы рассматривали многоугольные фигуры, а при рассмотрении

понятия объём мы будем рассматривать многогранные Фигуры.

Объёмом фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой

Фигуры так, что:

1/равные фигуры имеют один и тот же объём;

2/если фигура составлена из конечного числа фигур, то её объём равен сумме их

объёмов.

Условимся объём фигуры F обозначать V(F).

Чтобы измерить объем фигуры, нужно иметь единицу объёма. Как правило, за

единицу объёма принимают объём куба с гранью, равной единичному отрезку e, то

есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины.

Если измерение площади сводилось к сравнению площади данной фигуры с площадью

единичного квадрата e , то, аналогично, измерение объёма данной фигуры состоит

в сравнении его с объёмом единичного куба е3 ( рис.б ).

Результатом этого сравнения является такое число x, .что V(F)=х е.Число х

называют численным значением объёма при выбранной единице объёма.

Так. если единицей объёма является 1 см, то объём фигуры, приведённой на

рисунке 7, равен 4 см.

ГЛАВА 2.Методика формирования понятия величины и её измерения у младших

школьников.

2.1 Современные подходы к изучению величин в начальном курсе математики.

В начальных классах рассматриваются такие величины, как: длина, площадь,

масса, объём, время и другие. Учащиеся должны получить конкретные

представления об этих величинах, ознакомиться с единицами их измерения,

овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерений

в различных единицах, выполнять различные действия над ними.

Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и

дробей; обучение измерении связывается с изучением счёта; измерительные

и графические действия над величинами являются наглядными средствами и

используются при решении задач. При формировании представлений о каждой из

названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в

которых нашли отражение: математическая трактовка понятия величина,

взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса

математики, а так же психологические особенности младших школьников.

Н. Б. Истомина, преподаватель математики и автор одной из альтернативных

программ, выделила 8 этапов изучения величин:

1-й этап: выяснение и уточнение представлений школьников о данной

величине (обращение к опыту ребёнка).

2-й этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью

ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).

3-й этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

4-й этап: формирование измерительных умений и навыков.

5-й этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в

единицах одного наименования.

6-й этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с

изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в

единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух

наименований, и наоборот.

7-й этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8-й этап: умножение и деление величин на число.

В программах развивающего обучения предусмотрено рассмотрение основных величин,

их свойств и отношений между ними с тем, чтобы показать, что числа, их свойства

и действия, производимые над ними, выступают в качестве частных случаев уже

известных общих закономерностей величин. Структура данного курса математики

определяется рассмотрением последовательности понятий: ВЕЛИЧИНА –> ЧИСЛО

Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть

даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных примерах

и основывается на опыте ребёнка. Величины в начальном курсе математики

рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся в результате

сравнения. Особенно явно это проявляется в альтернативных программах

Давыдова, Петерсон. Рассмотрим как трактуется понятие величина в

альтернативной программе Л. Г. Петерсон.

Изучение величин в первом классе по программе Л. Г. Петерсон начинается с

изучения отрезка и его частей (урок .№ I, часть 2).На этом этапе дети учатся

правильно измерять отрезки, чертить отрезки заданной длины, то есть

приобретают измерительные умения. На следующем этапе изучается тема «Длина»

(урок № 1 ,часть3). Здесь дети измеряют отрезки с помощью различных мерок,

детям предлагаются некоторые сведения из истории единиц измерения длины,

вводится первая единица измерения длины - сантиметр. Далее предлагается

узнать длину данных отрезков с помощью линейки и выразить полученный

результат в сантиметрах. На следующем этапе дети приступают к сравнению

отрезков (урок №2,часть 3).

Следующая величина, изучаемая в первом классе – масса (урок №4,часть 3). На

этом этапе дети выражают массу предметов с помощью различных мерок, затем

знакомятся с единицей измерения массы - килограммом.

Затем изучается объём (урок №б часть 3). Здесь дети знакомятся с единицей

измерения объёма - литром. Далее изучаются свойства величин (урок №

8,часть 3). Отрезки сравниваются по длине, предметы по массе и объёму. Здесь

систематизируются знания детей о свойстве величин: «больше», « меньше», «

равно». Так же предлагается задание на различение понятий: объём и масса (урок

№ 8, задание 9 «Что легче: килограмм ваты или килограмм железа ? »).

На следующем этапе учащиеся изучают новую единицу измерения длины - дециметр

(урок № 29 часть 3). Здесь дети узнают соотношение между двумя изученными

единицами длины: сантиметром и дециметром.

Далее дети изучают метр (урок №15 часть 4), соотношение изученных единиц

длины: сантиметр, дециметр, метр. Учатся выражать численные значения величин

в различных единицах измерения, например, вырази в дециметрах: 6м 800см, 9м

400см (урок № 15,часть 4,задание 6). Учатся выражать численные значения

длины, выраженные в единицах одного наименования, значениями, выраженными в

единицах двух наименований, и наоборот. Например, «Вырази в дециметрах»: 7м

2дм, 5м 9дм, 4м 3дм, 1м 6дм (урок №16 часть 4, задание 1). Или, вырази в

метрах и дециметрах: 38дм, 66дм, 79дм, 57дм (урок №16 часть4, задание 2).

Изучение величин во втором классе начинается с изучения площади фигур (урок

№19 часть 1). Наблюдения над площадью фигур проводилось на более раннем этапе

- в первом классе. Например, «Найди равные фигуры» (урок №19 часть2), «В

какой из фигур клеток больше? Почему?» (урок № 26, часть 4). На данном этапе

дети измеряют площадь фигуры различными мерками, сравнивают численные

значения площадей фигур, измеренных разными мерками. На следующем уроке (урок

№20) дети знакомятся с единицами измерения площади: квадратный сантиметр,

квадратный дециметр, квадратный метр и с соотношениями между ними. Знакомство

с единицами измерения площади происходит аналогично знакомству с единицами

измерения длины. Затем изучается площадь прямоугольника (урок № 25, часть 1).

Здесь дети узнают формулу нахождения площади прямоугольника.

На следующем этапе изучаются новые единицы измерения длины -миллиметр и

километр (соответственно урок №30 часть2). Здесь дети выясняют для чего

используют такую мелкую (крупную) мерку. Выполняют упражнения на соотношение

единиц длины, переводят мелкие единицы в более крупные и наоборот. Далее дети

изучают новые единицы измерения объёма; кубический сантиметр и кубический

дециметр, узнают их соотношения. Выясняют, что измерять объём можно у

некоторых геометрических фигур, также узнают, что один кубический дециметр

равен одному литру.

Изучение величин в третьем классе начинается с изучения времени (Урок №1

часть1 ). Здесь изучаются меры времени, даются исторические сведения о

возникновении единиц изменения времени, а также изучается календарь. Здесь же

предлагаются задания на соотношение единиц измерения времени: год, месяц,

день. На втором уроке (урок №2) учащиеся приступают к изучению недели. На

следующем уроке (урок №3) изучается таблица мер времени, изучаются такие

единицы измерения времени как, час, минута, секунда и их соотношения между

собой. На четвёртом уроке по данной теме (урок №4) изучаются часы. Здесь дети

знакомятся с часовыми стрелками и их назначением, учатся определять время по

часам. Пятый урок посвящен сравнению, сложению и вычитанию единиц времени.

Здесь обобщаются и систематизируются знания детей: соотношений между

единицами времени. Дети учатся выполнять арифметические действия с

численным значением времени.

Так же как и площадь прямоугольника, дети изучают объём прямоугольного

параллелепипеда (урок №14 часть1). На этом уроке дети узнают, что такое

параллелепипед, его измерений (длина, ширина, высота) и формулу вычисления

его объёма при помощи его измерений. На следующем этапе дети учатся находить

площадь фигуры с помощью палетки. Сначала учащиеся учатся выделять целые

клетки и записывать результат двойным неравенством (урок № 17 часть2) здесь

термин палетка не вводятся. Далее изучается примерное вычисление площади

(урок №19 часть2). Здесь вводится термин палетка и алгоритм вычисления

площади при помощи палетки.

На следующем этапе дети изучают площадь прямоугольного треугольника (урок №30

часть 2). Здесь учащиеся узнают : - что такое прямоугольный треугольник; -

что такое катеты, гипотенуза, формулу вычисления площади прямоугольного

треугольника. В дальнейшем дети узнают новые единицы измерения площади: акр и

гектар (урок № 36 часть3). На этой теме заканчивается изучение величин в

начальной школе.

В рассмотренной программе уделяется большое внимание формированию у учащихся

понятия величина и её -измерение. Более подробно, чем в традиционной

программе, изучаются величины, единицы их намерения. Хорошо просматривается

связь данной темы с жизнью, например, практическая деятельность при изучении

темы « Метр» (урок №15 часть 4, класс 1 /задание 1 а) «измерь метром длину и

ширину класса, классной доски, ширину двери, окна»; б) «отмерь два шнура

длиной 2м и 3м. Какой шнур длиннее и на сколько?»; в) «измерь метром длину и

ширину своей комнаты»). Так же хорошо просматривается связь данной темы с

другими разделами курса математики, например, при изучении темы « Двойные

неравенства» для введения понятия двойные неравенства используются знания

детей такой величины, как масса (урок №4 часть2 класс 3 ).

Таким образом, данная программа обеспечивает высокий уровень научности и

связи математики с жизнью, то есть введение любой величины опирается на

жизненный опыт детей. Предложенная программа направлена не только на

нормирование математических знаний, умений и навыков, но и на общее развитие

детей. Примером этого являются исторические справки о величинах, единицах их

измерения, справки из истории возникновения величин и необходимости их

измерения (Меры времени. Календарь. Урок 1 часть1 класс 3 и другие).

В традиционном курсе математики последовательность изучения понятий есть:

ЧИСЛО——> ВЕЛИЧИНА.

В традиционной начальной школе изучение величин начинается с изучения такой

величины как, длина. В первом классе другие величины не изучаются. Большее

внимание по традиционной программе уделяется изучению натурального ряда

чисел, а уже на втором месте идёт изучение величин. В традиционной программе

не предусмотрены упражнения развивающего характера, направленные на

формирование умений и навыков по данной теме.

Имеющийся у ребенка жизненный опыт позволяет ему осознать практическую

значимость изучаемого понятия, связь его с реальными предметами и явлениями,

перевести имеющиеся житейские понятия на язык математики. Дети ещё в

дошкольном возрасте встречаются с необходимостью в определённых ситуациях

сравнивать реальные предметы между собой по конкретным знакам, придя в школу,

они уже имеют представление о том, что два различных предмета могут быть в

чём-то одинаковыми, взаимозаменяемыми, а в чём-то различными. Среди всех

характеристик реальных предметов, обладающих определёнными свойствами,

выделяются такие, относительно которых (в том случае, когда предметы

неодинаковы) можно ввести отношения «больше», «меньше», «равно».

Рассмотрим подробнее методику изучения длины, площади, массы, времени, объёма.

Методика изучения длины и её измерения.

В традиционной начальной школе изучение величин начинается с длины предметов.

Первые представления о длине как о свойстве предметов у детей возникает

задолго до школы. С первых дней обучения в школе ставится задача уточнить

пространственные понятия детей. Важным шагом в формировании данного понятия

является знакомство с прямей линией и отрезком как «носителем» линейной

протяжённости, лишенным, по существу, других свойств.

Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине не измеряя их. Делают они это

наложением (приложением) и визуально («на глаз»).Например, учащимся

предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой поезд длиннее,

с зелёными вагонами или с красными вагонами? Какой поезд короче?»(М1М «1»

стр.39, 1988г.)

Затем предлагается сравнить два предмета разного цвета и разные по размеру

(по длине) практически - наложением. Например, учащимся предлагается

рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: « Какой ремень короче (длиннее)

светлый или тёмный?» (М1М 1-4 стр.40,1988г.). Через эти два упражнения дети

подводятся к пониманию длины как свойства, проявляющегося в сравнении, то

есть: если два предмета при наложении совпадают, то они имеют одну и ту же

длину; если же какой - либо из сравниваемых предметов накладывается на часть

другого, не покрывая его полностью, то длина первого предмета меньше длины

второго предмета. После рассмотрения длин предметов переходят к изучению

длины отрезка.

Здесь длина выступает как свойство отрезка.

На следующем этапе происходит знакомство с первой единицей измерения отрезков.

Из множества отрезков выбирают отрезок, который принимают за единицу. Таковым

является сантиметр. Дети узнают его название и приступают к измерению с

помощью этой единицы. Чтобы дети получили наглядное представление о

сантиметре, следует выполнить ряд упражнений. Например, полезно, чтобы они сами

изготовили модель сантиметра; начертили отрезок длиной 1см в тетради. Нашли,

что ширина мизинца примерно равна 1 см.

Далее учащихся знакомят с измерительным прибором и измерением отрезков с

помощью прибора. Чтобы дети ясно поняли процесс измерения и что показывают

числа, полученные при измерении. Целесообразно постепенно переходить от

простейшего приёма укладывания модели сантиметра и их подсчета к более

трудному - отмериванию. Только затем приступают к измерению способом

прикла­дывания линейки или рулетки, к начерченному отрезку.

Для того, чтобы учащиеся лучше осознали взаимосвязь между числом и величиной,

то есть поняли, что в результате измерения они получают число, которое можно

складывать и вычитать, полезно в качестве наглядного пособия для сложения и

вычитания использовать ту же линейку. Например, ученикам даётся полоска;

требуется с помощью линейки определить её длину. Линейка прикладывается так,

чтобы 0 совпал с началом полоски, а её конец совпал с цифрой 3 (если длина

полоски равна 3 см). Затем учитель предлагает вопросы: «А если приложить

линейку так, чтобы начало полоски совпало с числом 2, с каким числом на

линейке совпадёт тогда конец полоски. Почему?». Некоторые учащиеся сразу

называет число 5, объясняя, что 2+3=5. Тот, кто затрудняется, прибегает к

практическому действию, в процессе которого закрепляет вычислительные навыки

и приобретает умение пользоваться линейкой для вычислений. Возможны

аналогичные упражнения с линейкой и на обратное действие - вычитание. Для

этого ученики сначала определяют длину предложенной полоски, например, 4см, а

затем учитель спрашивает: «Если конец полоски совпадает с числом 9 на

линейке, то с каким числом совпадёт начало полоски?»(5; 9-2=5). Для

формирования измерительных навыков включается система разнообразных

упражнений. Это измерение и черчение отрезков; сравнение отрезков, чтобы

ответить на вопрос: на сколько сантиметров один отрезок длиннее (короче)

другого отрезка; увеличение и уменьшение отрезков на несколько сантиметров. В

процессе этих упражнений у учащихся формируется понятие длины как числа

сантиметров, которые укладываются в данном отрезке. Позднее, при изучении

нумерации чисел в пределах 100, вводятся новые единицы измерения - дециметр,

а затем метр. Работа проходит в таком же плане, как и при знакомстве с

сантиметром. Затем устанавливают отношения между единицами измерения. С этого

времени приступают к сравнению длин на основе сравнения соответствующих

отрезков.

Далее рассматривают преобразования величин: замену крупных единиц мелкими

(3дм 5см = 35см) и мелких единиц крупными (45см = 4дм 5см).

Введение миллиметра обосновывается необходимостью измерять отрезки меньшие 1

сантиметра.

При знакомстве с километром полезно провести практические тяготы на

местности, чтобы сформировать представление об этой единице измерения.

В 3-4 классе учащиеся составляют и заучивают таблицу всех изученных единиц

длины и их отношений.

Начиная со 2 (1-3) класса дети в процессе решения задач знакомятся с

нахождением длины косвенным путём. Например, зная длину данного класса и

количество классов на втором этаже, вычисляет длину школы; зная высоту комнат

и количество этажей в доме, можно приблизительно

вычислить высоту дома и тому подобное.

Работу над этой темой можно продолжить на внеклассных занятиях, например,

рассмотреть старинные русские меры: верста, сажень, вершок. Познакомить

учащихся с некоторыми сведениями из истории развития системы мер.

Методика изучения площади и её измерение.

В методике работы над площадью фигуры имеется много общего с работой над

длиной отрезка, то есть работа проводится почти аналогично.

Знакомство учащихся с понятием «площадь фигуры» начинается с уточнения

представлений, имеющихся у учащихся о данной величине. Исходя из своего

жизненного опыта, дети легко воспринимают такое свойство объектов, как

размер, выражая его в понятиях «больше», «меньше», «равно» между их

размерами.

Используя эти представления, можно познакомить детей с понятием «площадь»

выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на друга

одна целиком помещается в другой.

«В этом случае, - говорит учитель, - в математике принято говорить, что

площадь одной фигуры больше (меньше) площади другой фигуры». Когда же фигуры

при наложении совпадают, то говорят, что их площади равны или совпадают. Этот

вывод ученики могут сделать самостоятельно. Но возможен и такой случай, когда

одна из фигур не помещается полностью в другой. Например, два прямоугольника,

один из которых квадрат (Рис.8). После безуспешных попыток уло­жить один

прямоугольник в другой учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети

видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в другой 9

таких же квадратиков (рис.9).

Ученики совместно с учителем делают вывод, что для сравнения площадей, так же

как и для сравнения длин можно воспользоваться меркой.

Возникает вопрос: какая фигура может быть использована, в качестве мерки для

сравнения площадей?

Учитель или сами дети предлагают использовать в качестве мерок треугольник,

равный половине площади квадрата M – M , или прямоугольник, равный половине

площади квадрата М – М или 1/4площади квадрата M. Это может быть

квадрат M или треугольник М. (рис.10).

Учащиеся укладывают в прямоугольники различные мерки и подсчитывают их число

в каждом.

Так пользуясь меркой M1, они получают 20М1 и 10МГ. Измерение меркой М2 даёт

Страницы: 1, 2