РУБРИКИ

Доклад: Метод Симпсона

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона

Кафедра «Высшей математики» Реферат: Численное интегрирование по методу Симпсона Выполнил: Матвеев Ф.И. Проверила: Бурлова Л.В. Улан-Удэ.2002 Содержание. 1.Численные методы интегрирования 2.Вывод формулы Симпсона 3.Геометрическая иллюстрация 4.Выбор шага интегрирования 5.Примеры 1. Численные методы интегрирования Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла Доклад: Метод Симпсона посредством ряда значений подынтегральной функции Доклад: Метод Симпсона . Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной. Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры. Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции. Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции Доклад: Метод Симпсона полиномом степени Доклад: Метод Симпсона . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие. Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции Доклад: Метод Симпсона сплайном-кусочным полиномом. В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов. Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.
Доклад: Метод Симпсона
Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона суммарная погрешность Доклад: Метод Симпсона погрешность усечения погрешность округления Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества разбиений отрезка Доклад: Метод Симпсона . Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках. Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины Доклад: Метод Симпсона частичного отрезка. 2. Вывод формулы Симпсона Если для каждой пары отрезков Доклад: Метод Симпсона построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона. Доклад: Метод Симпсона Рассмотрим подынтегральную функцию Доклад: Метод Симпсона на отрезке Доклад: Метод Симпсона . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с Доклад: Метод Симпсона в точках Доклад: Метод Симпсона : Доклад: Метод Симпсона Проинтегрируем Доклад: Метод Симпсона : Формула: Доклад: Метод Симпсона и называется формулой Симпсона. Полученное для интеграла Доклад: Метод Симпсона значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью Доклад: Метод Симпсона , прямыми Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона и параболой, проходящей через точки Доклад: Метод Симпсона Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у Доклад: Метод Симпсона на отрезке Доклад: Метод Симпсона существуют непрерывные производные Доклад: Метод Симпсона . Составим разность Доклад: Метод Симпсона К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку Доклад: Метод Симпсона непрерывна на Доклад: Метод Симпсона и функция Доклад: Метод Симпсона неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому: Доклад: Метод Симпсона (мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку Доклад: Метод Симпсона - непрерывная функция; Доклад: Метод Симпсона ). Дифференцируя Доклад: Метод Симпсона дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для Доклад: Метод Симпсона другое выражение: Доклад: Метод Симпсона , где Доклад: Метод Симпсона Из обеих оценок для Доклад: Метод Симпсона следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде: Доклад: Метод Симпсона ,Доклад: Метод Симпсона . Если отрезок Доклад: Метод Симпсона интегрирования слишком велик, то его разбивают на Доклад: Метод Симпсона равных частей (полагая Доклад: Метод Симпсона ), после чего к каждой паре соседних отрезков Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона ,...,Доклад: Метод Симпсона применяют формулу Симпсона, именно: Запишем формулу Симпсона в общем виде: Доклад: Метод Симпсона (1) Доклад: Метод Симпсона (2) Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка: Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона (3) Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если Доклад: Метод Симпсона не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность. Например, для функции Доклад: Метод Симпсона форма трапеции при Доклад: Метод Симпсона для Доклад: Метод Симпсона дает точный результат Доклад: Метод Симпсона , тогда как по формуле Симпсона получаем Доклад: Метод Симпсона 3. Геометрическая иллюстрация
Доклад: Метод Симпсона
Доклад: Метод Симпсона На отрезке Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки Доклад: Метод Симпсона ,Доклад: Метод Симпсона . Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямымиДоклад: Метод Симпсона , принимают равной интегралуДоклад: Метод Симпсона . Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное. Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции. Доклад: Метод Симпсона (4) Это формула Симпсона «трех восьмых». Для произвольного отрезка интегрирования Доклад: Метод Симпсона формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем (Доклад: Метод Симпсона точек). Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона , m=2,3,... (5) Доклад: Метод Симпсона - целая часть Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков : Доклад: Метод Симпсона (6) Доклад: Метод Симпсона - количество отрезков разбиения; Доклад: Метод Симпсона - степень используемого полинома; Доклад: Метод Симпсона - производная Доклад: Метод Симпсона -го порядка в точке Доклад: Метод Симпсона ; Доклад: Метод Симпсона - шаг разбиения. В таблице 1 выписаны коэффициенты Доклад: Метод Симпсона . Каждая строка соответствует одному набору Доклад: Метод Симпсона промежутков Доклад: Метод Симпсона узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их. Таблица 1:
kC0A0a1a2a3a4a5a6
2

Доклад: Метод Симпсона

141
141
141
142241å
Доклад: Метод Симпсона Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде: Доклад: Метод Симпсона (7), где Доклад: Метод Симпсона - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции; h - шаг интегрирования; p - порядок метода. Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh. Доклад: Метод Симпсона (8) (8) - апостериорная оценка. Тогда Iуточн.= Доклад: Метод Симпсона +Ro (9), Доклад: Метод Симпсона уточненное значение интеграла Доклад: Метод Симпсона . Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом Доклад: Метод Симпсона , то есть: Доклад: Метод Симпсона из системы трех уравнений: Доклад: Метод Симпсона с неизвестными I,А и p получаем : Доклад: Метод Симпсона (10) Из (10) следует Доклад: Метод Симпсона (11) Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона иДоклад: Метод Симпсона , вычисляемые по методу трапеции с шагами Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона и Доклад: Метод Симпсона , связаны соотношением: Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона (12) Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами Доклад: Метод Симпсона и Доклад: Метод Симпсона , справедливы соотношения: Доклад: Метод Симпсона ,Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона (13) Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона 4. Выбор шага интегрирования Для выбора шага интегрирования можно воспользоваться выражением остаточного члена. Возьмем, например, остаточный член формулы Симпсона: Доклад: Метод Симпсона . Если êДоклад: Метод Симпсона êДоклад: Метод Симпсона , то êДоклад: Метод Симпсона êДоклад: Метод Симпсона . По заданной точности e метода интегрирования из последнего неравенства определяем подходящий шаг. Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона . Однако такой способ требует оценки Доклад: Метод Симпсона (что на практике не всегда возможно). Поэтому пользуются другими приемами определения оценки точности, которые по ходу вычислений позволяют выбрать нужный шаг h. Разберем один из таких приемов. Пусть Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона , где Доклад: Метод Симпсона - приближенное значение интеграла с шагом Доклад: Метод Симпсона . Уменьшим шаг Доклад: Метод Симпсона в два раза, разбив отрезок Доклад: Метод Симпсона на две равные части Доклад: Метод Симпсона и Доклад: Метод Симпсона (Доклад: Метод Симпсона ). Тогда Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона Предположим теперь, что Доклад: Метод Симпсона меняется не слишком быстро, так что Доклад: Метод Симпсона почти постоянна: Доклад: Метод Симпсона . Тогда Доклад: Метод Симпсона и Доклад: Метод Симпсона , откуда Доклад: Метод Симпсона , то есть Доклад: Метод Симпсона . Отсюда можно сделать такой вывод: если Доклад: Метод Симпсона , то есть если Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона , а Доклад: Метод Симпсона - требуемая точность, то шаг Доклад: Метод Симпсона подходит для вычисления интеграла с достаточной точностью. Если же Доклад: Метод Симпсона , то расчет повторяют с шагом Доклад: Метод Симпсона и затем сравнивают Доклад: Метод Симпсона и Доклад: Метод Симпсона и т.д. Это правило называется правилом Рунге. Однако при применении правила Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением Доклад: Метод Симпсона абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость Доклад: Метод Симпсона от Доклад: Метод Симпсона обратно пропорциональная) и при достаточно малых Доклад: Метод Симпсона может оказаться больше погрешности метода. Если превышает Доклад: Метод Симпсона , то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение Доклад: Метод Симпсона . При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что Доклад: Метод Симпсона . Если имеется только таблица значений Доклад: Метод Симпсона , то проверку Доклад: Метод Симпсона «на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств Доклад: Метод Симпсона уменьшается количество вычислений подынтегральной функции. Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагамиДоклад: Метод Симпсона , причем Доклад: Метод Симпсона . Вычисление значений Доклад: Метод Симпсона . Тогда Доклад: Метод Симпсона (14). За меру точности метода Симпсона принимают величину : Доклад: Метод Симпсона 5. Примеры Пример 1. Вычислить интеграл Доклад: Метод Симпсона по формуле Симпсона, если Доклад: Метод Симпсона задана таблицей. Оценить погрешность. Таблица 3.

Доклад: Метод Симпсона

00.10.20.30.40.50.60.70.8

Доклад: Метод Симпсона

10.9950.980.9550.9210.8780.8250.7650.697
Решение: Вычислим по формуле (1) при Доклад: Метод Симпсона и Доклад: Метод Симпсона интеграл . Доклад: Метод Симпсона . По правилу Рунге получаем Доклад: Метод Симпсона Принимаем Доклад: Метод Симпсона . Пример 2. Вычислить интеграл Доклад: Метод Симпсона . Решение: Имеем Доклад: Метод Симпсона . Отсюда h=Доклад: Метод Симпсона =0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4. Таблица 4. Вычисление интеграла по формуле Симпсона
i

Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона

00y0=1,00000
10.10,90909
20.20,83333
30.30,76923
40.40,71429
50.50,66667
60.60,62500
70.70,58824
80.80,55556
90,90,52632
101,00,50000=yn
å3,45955(s1)2,72818(s2)
По формуле Симпсона получим: Доклад: Метод Симпсона Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность Доклад: Метод Симпсона складывается из погрешностей действий Доклад: Метод Симпсона и остаточного члена Доклад: Метод Симпсона . Очевидно: Доклад: Метод Симпсона = Доклад: Метод Симпсона ; Доклад: Метод Симпсона где Доклад: Метод Симпсона - коэффициенты формулы Симпсона и e- максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции. Доклад: Метод Симпсона = Доклад: Метод Симпсона . Оценим остаточный член. Так как Доклад: Метод Симпсона , то Доклад: Метод Симпсона . Отсюда Доклад: Метод Симпсона max при Доклад: Метод Симпсона и, следовательно, Доклад: Метод Симпсона £Доклад: Метод Симпсона . Таким образом, предельная полная погрешность есть R=Доклад: Метод Симпсона и, значит,Доклад: Метод Симпсона ±Доклад: Метод Симпсона . Пример3. Вычислить интеграл: Доклад: Метод Симпсона . Решение:

Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона

2-0,41613-0,2080651
2,05-0,46107-0,224912
2,1-0,59485-0,2404054
2,15-0,54736-0,254586
2,2-0,58850-0,2675002
2,25-0,62817-0,279187
2,3-0,66628-0,2896874
2,35-0,70271-0,299026
2,4-0,73739-0,3072462
2,45-0,77023-0,314380
2,5-0,80114-0,3204654
2,55-0,83005-0,325510
2,6-0,85689-0,3295732
2,65-0,88158-0,332672
2,7-0,90407-0,3348414
2,75-0,92430-0,336109
2,8-0,94222-0,3365072
,85-0,95779-0,336067
2,9-0,97096-0,3348144
2,95-0,98170-0,332780
3-0,98999-0,3299971
Доклад: Метод Симпсона . Поскольку Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона при xÎ[2,3], для производных Доклад: Метод Симпсона и Доклад: Метод Симпсона получаем: -1.4 £ Доклад: Метод Симпсона £1, то есть çДоклад: Метод Симпсона ê£ 1, Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона £ 3, то есть çДоклад: Метод Симпсона ê£ 3. Оценки для погрешности Доклад: Метод Симпсона метода Симпсона :Доклад: Метод Симпсона £ 0.0000017 для Доклад: Метод Симпсона =0.1, Доклад: Метод Симпсона £ 0.0000002 для Доклад: Метод Симпсона =0.05. Чтобы погрешность округления не искажала столь точный результат для формулы Симпсона, все вычисления проводились с шестью знаками после запятой. Окончательные результаты:

Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона

0,1-0,303350,0000017
0,05-0,303350,0000002


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.