Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

Задача 1. По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.):

Y	32	40	44	28	50	56	50
X	60	68	80	76	74	87	96

Требуется: 1. Для характеристики зависимости Y от X построить следующие модели: а) линейную, б) степенную, в) показательную, г) гиперболическую. 2. Оценить каждую модель, определив: - индекс корреляции, - среднюю относительную ошибку, - коэффициент детерминации, - F-критерий Фишера. 3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик. 4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня. 5. Результаты расчетов отобразить на графике. Таблица 1.1.

Расчетная таблица
t	Y	X	Y*X	X*X	(Yi-)	(Yi-)2	(Xi-)	(Xi-)2		Ei=Yi-i	*100%
1	32	60	1920	3600	-10,8571	117,8766	-17,2857	298,7954	33,2120	-1,2120	3,7875
2	40	68	2720	4624	-2,8571	8,1630	-9,2857	86,2242	37,6760	2,3240	5,8100
3	44	80	3520	6400	1,1429	1,3062	2,7143	7,3674	44,3720	-0,3720	0,8455
4	28	76	2128	5776	-14,8571	220,7334	-1,2857	1,6530	42,1400	-14,1400	50,5000
5	50	74	3700	5476	7,1429	51,0210	-3,2857	10,7958	41,0240	8,9760	17,9520
6	56	87	4872	7569	13,1429	172,7358	9,7143	94,3676	48,2780	7,7220	13,7893
7	50	96	4800	9216	7,1429	51,0210	18,7143	350,2250	53,3000	-3,3000	6,6000
Итого	300	541	23660	42661	0,0003	622,8570	0,0001	849,4284	300,0020	-0,0020	99,2843
Cред. зн-я	42,8571	77,2857	3380	6094,4286							14,1835
S	88,9796	121,3469

Решение. 1.а) построение линейной модели парной регрессии. Используются данные, указанные в таблице 1.1. Формулы для расчета данных: Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

где

– дисперсии;

Уравнение линейной регрессии имеет вид

= а+b

x. а=

=-0,299 b= Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

=0,558 Определим линейный коэффициент парной корреляции: ryx= Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

=0,558*1,1678=0,652 Уравнение линейной регрессии имеет вид: = -0,299+0,558Х. С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 558 тыс. руб. Линейный коэффициент парной корреляции: Коэффициент детерминации: R2=0,6522=0,425 Вариация объема выпуска продукции на 42,5 % объясняется вариацией объема капиталовложений. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера по формуле F= Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

для а=0,05; kj=m=l, k2=n-m-l=5. F<Fтаб=6,61 Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически не значимое. Средняя относительная ошибка:

*100% =

=14,18 В среднем расчетные значения

для линейной модели отличаются от фактических значений на 14,18%. б) построение степенной модели парной регрессии

=ахb. Используются данные , указанные в таблице 1.2. Для построения этой модели проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения: lg

= lg a + b lg x Обозначим Y= lg

, Х= lg x, A= lg a. Тогда уравнение примет вид : Y=A+bX b= Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

=1,0269 А=

=-0,3138 Уравнение линейной регрессии имеет вид: Y = -0,3138+1,0269Х. Переходим к исходным переменным х и у , выполнив потенцирование данного уравнения, получим уравнение степенной модели регрессии.

=10-0,3138 х1,0269= 0,486 х1,0269 Определим индекс корреляции:

=0,6482, Коэффициент детерминации: R2= 0,64822=0,4202 Вариация объема выпуска продукции на 42,02% объясняется вариацией объема капиталовложений. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера: Fтабл=6,61 для а=0,05; ki=m=l, k2-n-m-l=5. F=

3,62 Fрасч < F табл. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо. Средняя относительная ошибка:

*100% =12,79 % В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 12,79%. Таблица 1.2.

t	Y1	X1	Y1*X1	X12		Еi	(/Ei/Y/)*100%	Еi2
1	1,5051	1,7782	2,6764	3,1620	32,5661	-0,5661	1,7383	0,3205
2	1,6021	1,8325	2,9358	3,3581	37,0122	2,9878	8,0725	8,9269
3	1,6435	1,9031	3,1277	3,6218	43,7034	0,2966	0,6787	0,0880
4	1,4472	1,8808	2,7219	3,5374	41,4703	-13,4703	32,4818	181,4490
5	1,6990	1,8692	3,1758	3,4939	40,3547	9,6453	23,9013	93,0318
6	1,7482	1,9395	3,3906	3,7617	47,6172	8,3828	17,6046	70,2713
7	1,6990	1,9823	3,3679	3,9295	52,6596	-2,6596	5,0506	7,0735
Итого	11,3441	13,1856	21,3961	24,8644	295,3835	4,6165	89,5278	361,1610
Cредн. знач-я	1,6206	1,8837	3,0566	3,5521			12,7897

Таблица 1.3.

t	y	Y1=lg(Y)	x	X1=lg(X)
1	32,0000	1,5051	60,0000	1,7782
2	40,0000	1,6021	68,0000	1,8325
3	44,0000	1,6435	80,0000	1,9031
4	28,0000	1,4472	76,0000	1,8808
5	50,0000	1,6990	74,0000	1,8692
6	56,0000	1,7482	87,0000	1,9395
7	50,0000	1,6990	96,0000	1,9823
Итого	300,0000	11,3439	541,0000	13,1856
Cредн. знач-я	42,8571	1,6206	77,2857	1,8837

в). Уравнение показательной кривой:

=abx. Используются данные , указанные в таблице 1.3. Для построения этой кривой произведем линеаризацию переменных при логарифмировании обеих частей уравнения: lg у = lg а + х Обозначим Y= lg

, В= lg b, A=lga. Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Bx В= Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

=0,0058 А=

=1,1723 Уравнение линейной регрессии имеет вид: Y= 1,1723+0,0058х. Переходим к исходным переменным Y=101,1723(100,0058)х у =14,9865

1,013х Индекс корреляции:

xy=

Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

=0,616889 Коэффициент детерминации: R2=0,3806 Вариация объема выпуска продукции на 38,06% объясняется вариацией объема капиталовложений. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера: F=

3,07 Fрасч < F табл. Fтабл=6,61 для а=0,05; ki=m=l, k2=n-m-l=5. F<Fтабл Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо. Средняя относительная ошибка:

*100% =14,56 % В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 14,56% Таблица 1.4.

t	Y1	x	Y*x	x2	(Y-)2	(X-)2		E	(/Ei/Y/)*100%	Е
1	1,5051	60,0000	90,3090	3600,0000	0,0133	298,7954	32,5282	-0,5282	1,6506	0,2790
2	1,6021	68,0000	108,9401	4624,0000	0,0003	86,2242	36,0695	3,9305	9,8263	15,4488
3	1,6435	80,0000	131,4762	6400,0000	0,0005	7,3674	42,1166	1,8834	4,2805	3,5472
4	1,4472	76,0000	109,9840	5776,0000	0,0301	1,6530	39,9960	-11,9960	42,8429	143,9040
5	1,6990	74,0000	125,7238	5476,0000	0,0061	10,7958	38,9769	11,0231	22,0462	121,5087
6	1,7482	87,0000	152,0924	7569,0000	0,0163	94,3676	46,1030	9,8970	17,6732	97,9506
7	1,6990	96,0000	163,1011	9216,0000	0,0061	350,2250	51,7859	-1,7859	3,5718	3,1894
Итого	11,3441	541,0000	881,6266	42661,0000	0,0727	849,4284	287,5761	12,4239	101,8915	385,8277
Cредн. знач-я	1,6206	77,2857	125,9467	6094,4286					14,5559

Таблица 1.5.

t	y	Y1=lg y	x	Y*x
1	32,0000	1,5051	60,0000	90,3060
2	40,0000	1,6021	68,0000	108,9428
3	44,0000	1,6435	80,0000	131,4800
4	28,0000	1,4472	76,0000	109,9872
5	50,0000	1,6990	74,0000	125,7260
6	56,0000	1,7482	87,0000	152,0934
7	50,0000	1,6990	96,0000	163,1040
Итого	300,0000	11,3439	541,0000	881,6394
Cредн. знач-я	42,8571	1,6206	77,2857	125,9485

г) Уравнение гиперболической функции:

=а+b - линеаризуется при замене Х=1/x. Используются данные , указанные в таблице 1.4. b= Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

=-2966,84 a=

=82,02228 Уравнение гиперболической модели имеет вид:

= 85,02-2966,84х. Индекс корреляции:

xy=

=0,649629 Коэффициент детерминации: R2=0,6496292=0,422 Вариация объема выпуска продукции на 42,2% объясняется вариацией объема капиталовложений. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-Фишера: F=

3,65 Fрасч < F табл. Fтабл=6,61 для а=0,05; ki=m=l, k2=n-m-l=5. F<Fтабл Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически незначимо. Средняя относительная ошибка:

*100% =13,46 % В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 13,46%. Таблица 1.6.

t	y	х	Х	yX	X2	Y-	(Y-)2		Ei	(y-)2	Ei/y*100
1	32,00	60,0000	0,016667	0,533333	0,0002778	-10,86	117,9396	32,57496	-0,57	0,33	1,78125
2	40,00	68,0000	0,014706	0,588235	0,0002163	-2,86	8,1796	38,39229	1,61	2,58	4,025
3	44,00	80,0000	0,0125	0,55	0,0001563	1,14	1,2996	44,93679	-0,94	0,88	2,136364
4	28,00	76,0000	0,013158	0,368421	0,0001731	-14,86	220,8196	42,98492	-14,98	224,55	53,5
5	50,00	74,0000	0,013514	0,675676	0,0001826	7,14	50,9796	41,92986	8,07	65,13	16,14
6	56,00	87,0000	0,011494	0,643678	0,0001321	13,14	172,6596	47,92068	8,08	65,28	14,42857
7	50,00	96,0000	0,010417	0,520833	0,0001085	7,14	50,9796	51,1177	-1,12	1,25	2,24
Итого	300,00	541,0000	0,092455	3,880177	0,0012467	-0,02	622,8572	299,8572	0,15	360,00	94,25119
Средние	42,86	77,2857	0,0132	0,5543	0,0001781						13,46446

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов. Таблица 1.7.

	Коэффициент детерм.	F-критерий Фишера	Индекс корреляции	Средняя отн. ошибка
Линейная	0,425	3,70	0,652	14,18
Степенная	0,420	3,62	0,648	12,79
Показательная	0,381	3,07	0,617	14,56
Гиперболическая	0,422	3,65	0,649	13,46

Ни одно из уравнений не является статистически значимым. Поэтому прогноз не осуществляем. Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F- критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации имеет линейная модель. Изобразим на графике фактические данные и линейную модель. График 1.

ЗАДАЧА 2. По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам(X1) , ставки по депозитам(X2) и размера внутри банковских расходов(X3 ). Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели. 2. Рассчитать параметры модели. 3. Для характеристики модели определить: - линейный коэффициент множественной корреляции, - коэффициент детерминации, - средние коэффициенты эластичности, - бетта-, дельта-коэффициенты. Дать их интерпретацию. 4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии. 5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии. 6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя. 7. Отразить результаты расчетов на графике. Выполнение задач отразить в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов. Таблица 2.1.

	Статистические данные
Y, объем прибыли	Х1, среднегодовая ставка по кредитам	Х2, ставки по депозитам	Х3, внутрибанковские расходы
50	22	176	150
54	30	170	154
60	20	156	146
62	32	172	134
70	44	162	132
54	34	160	126
84	52	166	134
82	56	156	126
86	66	152	88
84	68	138	120

Решение. 1. Построение системы показателей. Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели. Таблица 2.2.

t	Y	Х1	Х2	Х3
1	50	22	176	150
2	54	30	170	154
3	60	20	156	146
4	62	32	172	134
5	70	44	162	132
6	54	34	160	126
7	84	52	166	134
8	82	56	156	126
9	86	66	152	88
10	84	68	138	120
Cумма	686,00	424,00	1608,00	1310,00
Среднее значение	68,60	42,40	160,80	131,00

В данном примере n=10, m=3. а). Осуществим выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели с использованием инструмента корреляции в EXCEL.(Приложение 1) Для проведения корреляционного анализа необходимо выполнить следующие действия: 1. Данные для корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек. 2. Выбрать команду Сервис

Анализ данных. 3. В диалоговом окне Анализ данных выбрать инструмент Корреляция, а затем щелкнуть на кнопке ОК. 4. В диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал необходимо ввести диапазон Ячеек, содержащих исходные данные. Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке. 5. Выбрать параметры ввода. В данном примере Новый рабочий лист. 6. ОК. Таблица 2.3. Результаты корреляционного анализа.

	Y, объем прибыли	Х1, среднегодовая ставка по кредитам	Х2, ставки по депозитам	Х3, внутрибанковские расходы
Y, объем прибыли	1
Х1, среднегодовая ставка по кредитам	0,9245574	1
Х2, ставки по депозитам	-0,644592	-0,704528548	1
Х3, внутрибанковские расходы	-0,704905	-0,792925348	0,606153861	1

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что на зависимую переменную, т.е. объем прибыли больше влияют среднегодовая ставка по кредитам (ryx1), и внутри банковские расходы(ryx2). Для построения двухфакторной регрессионной модели выбираем Х1 и Х3. 2. Построим линейную модель регрессии с использованием инструмента регрессия в Excel.(приложение 2) Для проведения регрессионного анализа выполняются следующие действия: 1. Выбрать команду Сервис

Анализ данных. 2. В диалоговом окне Анализ данных выбрать инструмент Регрессия, а затем щелкнуть на кнопке ОК. 3. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y необходимо ввести адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X ввести адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных. 4. Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке. 5. Выбрать параметры ввода. В данном примере Новый рабочая книга. 6. В поле остатки поставить необходимые флажки. 7. ОК. Таблица 2.4.

	Коэффициенты
Y-пересечение	26,70290364
Х1, среднегодовая ставка по кредитам	0,808488112
Х3, внутрибанковские расходы	0,058146568

Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов по формуле а=(ХТХ)-1ХТY, используя данные, приведенные в таблице 2.1.

(ХтХ) =

(ХтХ)-1 =

а =

Уравнение регрессии зависимости среднегодовой ставки по кредитам и размера внутри банковских расходов можно записать в следующем виде Y=26,7029+0,8085Х1+0,0581Х3 2.Оценим адекватность построенной модели. Таблица 2.5.

t	Y	Yр	Х1	Х2	Х3	Е (t)	Е (t)2	(Е (t)*Е (t-1)	{(Е (t)-Е (t-1)}2
1	50	53,2049	22	176	150	-3,2049	10,271384
2	54	59,9053	30	170	154	-5,9053	34,872568	18,92589597	7,29216016
3	60	51,3555	20	156	146	8,6445	74,72738	-51,04836585	211,69668
4	62	60,3603	32	172	134	1,6397	2,6886161	14,17438665	49,067223
5	70	69,9461	44	162	132	0,0539	0,0029052	0,08837983	2,51476164
6	54	61,5125	34	160	126	-7,5125	56,437656	-0,40492375	57,250409
7	84	76,5303	52	166	134	7,4697	55,796418	-56,11612125	224,466317
8	82	79,2995	56	156	126	2,7005	7,2927003	20,17192485	22,7452686
9	86	85,1767	66	152	88	0,8233	0,6778229	2,22332165	3,52387984
10	84	88,6529	68	138	120	-4,6529	21,649478	-3,83073257	29,9887664
Cумма	686,00	685,94	424,00	1608,00	1310,00	0,056	264,41693	-55,81623447	608,545466
Среднее значение	68,60		42,40	160,80	131,00

а) Проверку независимости остатков проведем с помощью d-критерия Дарбина – Уотсона :

d=	{E (t)-E(t-1)}2
	E (t)2

d= 608,545466/264,41693=2,30

> 2 - отрицательная корреляция, d1

= 4- 2,3= 1,7 В качестве критических табличных уровней при n=10, двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% возьмем величины d1= 0,70 d2=1,64 Так как расчетное значение попало в интервал от d2 до 2, то свойство независимости выполняется. б) Оценим нормальность распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7. SЕ= Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

=6,15 RS=(Emax–Emin)/SE={8,64–(-7,51)}/6,15=2,63 Гипотеза о нормальном распределении ряда остатков отвергается. На основе полученной модели нельзя строить интервальный прогноз. Таблица 2.5.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,925715067
R-квадрат	0,856948384
Нормированный R-квадрат	0,816076494
Стандартная ошибка	6,146039446
Наблюдения	10

Линейный коэффициент множественной корреляции R=0,926 Коэффициент детерминации R2 = 0,857 , то есть 85,7 % вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов. Вычислим средние коэффиценты эластичности по формуле : Эj=aj*Xj/Y Э1=0,808*42,4/68,6=0,50 Э2=0,058*131/68,6=0,11 При увеличении ставки по кредитам на 1 % и неизменном размере расходов прибыль банка увеличится на 0,50 %, а увеличение размера расходов при неизменной ставке кредита приведет к увеличению прибыли на 0,11 %. Рассчитаем бетта-коэффициенты:

j= aj*Sхj/Sy

1=0,98

1=0,08 При неизменном размере расходов увеличение ставки по кредитам на величину среднеквадратического отклонения увеличит прибыль банка на 0,98 ее среднеквадратического отклонения. При неизменной ставке по кредитам увеличение размера расходов на величину среднеквадратического отклонения увеличит прибыль банка на 0,08 ее среднеквадратического отклонения. Вычислим дельта коэффициенты:

1=ryx1

1 / R2=0,21

2=ryx3

2 / R2=0,79 Доля влияния ставки по кредитам в суммарном влиянии всех факторов составляет 21 %, а доля влияния размера расходов 79 %. 4. Осуществим оценку надежности уравнения регрессии на основе вычисления F- критерия Фишера :

F=	R2/k	=	0,857/2	=	20,9
	(1-R2)(n-k-1)		(1-0,857)/7

Табличное значение F-критерия Фишера при доверительной вероятности 0,95 при V 1=k=2 и V2=n-k-1=7 cоставляет 4,74 Так как F> Fтабл , то уравнение регрессии признается адекватным. 5. Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

b11=24.5879

b22=-0.13677

b11=-0.14266 taj=aj/Saj tа0=0,876 tа1= 4,197 tа2=0,324 Табличное значение t-критерия при 5 % уровне значимости и степенях свободы (10-2-1)=7 составляет 2,3646. t 2 < tтабл значит , коэффициент а2 не являются статистически значимыми. t1> tтабл то, коэффициент а1 являются статистически значимыми. 6. Построим точечный и интервальный прогнозы на 2 шага вперед на основе приростов от фактически достигнутого уровня. Средний абсолютный прирост Х1 САП = (68-22)/9=5,11 Х1р(11)=Х1(10)+5,11*1=73,11 Х1р(12)=Х1(10)+5,11*2=78,22 Средний абсолютный прирост Х3 САП = (120-150)/9=-3,33 Х3р(11)=Х3(10)-3,33*1=116,67 Х3р(12)=Х3(10)-3,33*2=113,34 Для получения прогнозных оценок прибыли по модели Y=26,7029+0,8085Х1+0,0581Х3 подставим в нее найденные прогнозные значения факторов: Yр(11)=26,7029+0,8085*73,11+0,0581*116,67=92,59 Yр(12)=26,7029+0,8085*78,22+0,0581*113,34=96,53 Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: Верхняя граница прогноза : Yр(N+1) + U(1) Нижняя граница прогноза : Yр(N+1) - U(1) U(l)=Setкр

Se=6,15 tкр=t(0,05;7)=2,36 l=1 Х

=(1; 73,11; 116,67)

(ХтХ) =

(ХтХ)-1 =

U(1)=6,15*2,36*

=10,89 l=2 Х

=(1; 78,22; 113,34) U(2)= 6,15*2,36*

=11,47 Таблица прогнозов.

Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
1	92,59	81,7	103,48
2	96,53	85,06	108

График 2. Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

Приложение 1 (Использование инструмента Корреляция). Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

Рисунок 1. Приложение 1 (Использование инструмента Корреляция).

Рисунок 2. Приложение 1 (Использование инструмента Корреляция).

Рисунок 3. Приложение 1 (Использование инструмента Корреляция). Рисунок 4.

Приложение 2 (Использование инструмента Регрессия) Контрольная: Эконометрика: Парная и множественная корреляция

Рисунок 5. Приложение 2 (Использование инструмента Регрессия) Рисунок 6.

Приложение 2 (Использование инструмента Регрессия) Рисунок 7.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ: 1. ЭКОНОМЕТРИКА (методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы) г. Москва ИНФРА-М 2002 – 88 с.; 2. Елисеева И.И. ЭКОНОМЕТРИКА г. Москва “Финансы и статистика” 2002.-344 с.; 3. Елисеева И.И. ПРАКТИКУМ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ г. Москва “Финансы и статистика” 2003.-192 с.; 03.04.04г.