Контрольная: Классические задачи теории вероятностей

Контрольная: Классические задачи теории вероятностей

ЗАДАЧА № 3 В связке 5 разных ключей, и один из них соответствующей двери. Делается попытка открыть наудачу взятым колючем, ключ неподходящий более не используется. Найти вероятность того, что А) дверь будет открыта 1-ым ключем; Б) Для открытия двери будет использовано не более двух ключей. Решение: Используем классическое определение вероятности. P=m/n , где m – благоприятное число исходов, n- возможное число исходов. Тогда P(A)=1/5 Вероятность второго случая складывается из вероятностей двух событий, соответствующих случаю А) и случаю, при котором второй ключ будет подобран правильно (ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СОБЫТИЙ) . Вероятность такого случая P2=(4/5)(1/4)=1/5 В конечном случае, P(Б)=P(A)+P2=2/5 ЗАДАЧА № 4 Вероятность выигрыша по лотерейному билету p=1/7. Какова вероятность того, что обладатель 5 билетов выиграет: А) по всем 5; Б) ни по одному; В) хотя Бы по одному билету? Решение: Используем формулу Бернулли : В нашем случае p=1/7; q=1-p=6/7;n=5 Тогда А) т. е. это практически невозможное событие Б) В) Хотя бы один : P=P(0)+P(1), где P=0,4627+0,3084=0,7711 ЗАДАЧА № 5 При приёме партии изделий проверяется половина, условие приёмки – наличие брака менее 2 %. Какова вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята? Решение: Используем формулу Бернулли , в которой положим p= 0,05 ; q=1-0,05=0,95 Проверяем партию из 100/2 =50 изделий, в которой для приема быть не должно более 50*2%=50*(1/50)=1 бракованной детали, тогда искомая вероятность Для вычисления подобной вероятности лучше использовать теорему Лапласа ( n независимых испытаний с вероятностью появления события p вероятность того, что событие наступит не менее k и не более m раз равна где Ф(.) – затабулированная функция Лапласа (см. справочное приложение)) Т.е. искомая вероятность находится в районе 11 %. ЗАДАЧА № 6 Послан курьер за документами в 4 архива. Вероятность наличия нужных документа в I-oм архиве – 0,9 ; во II-ом – 0,95; в III-ем – 0,8 ; в IV – ом – 0,6. Найти вероятность Р отсутствия документа только в одном архиве. Решение: Обозначим заданные вероятности наличия документов ,тогда вероятности противоположных событий Рассматриваемый случай описывается следующими событиями, описанными ниже в таблице

По теоремам сложения и умножения вероятностей (для независимых событий) P=Q1+ Q2+ Q3+ Q4 , P= 0,1*0,95*0,8*0,6+0,9*0,05*0,8*0,6+0,9*0,95*0,2*0,6+0,9*0,95*0,8*0,4=0,4434 т.е. 44,34 % ЗАДАЧА № 7 С 1-го станка на сборку поступает 40 %, со 2-го – 30 %, с 3-го – 20 %, с 4-го – 10 %. Вероятности брака для каждого из станков 0,1 %, 0,2 %, 0,25 %, 0,5 % соответственно. Найти вероятность Р того, что поступившая на сборку деталь – бракованная. Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности где P(B1)= 0,4 ; P(B2)= 0,3 ; P(B3)= 0,2 ; P(B4)= 0,1 PB1(A)=0,001 ; PB2(A)=0,002; PB3(A)=0,0025; PB4(A)=0,005. (А – событие состоящее в том, что поступившая деталь на сборку бракованная) Р= 0,4*0,001+0,3*0,002+0,2*0,0025+0,1*0,005=0,002 = 0,2 %. ЗАДАЧА № 8 Для участия в спорт. соревнованиях из 1-ой группы было выделено 4 студента; из 2-ой -6 ; из 3-й – 5 студентов. Вероятность того, что студент каждый из групп попадает в сборную института равны 0,5 ; 0,4; 0,3 соотв. для каждой из групп. Наудачу выбранный участник попал в сборную. К какой из 3-х групп он вероятнее всего принадлежит? Решение: Пусть А – событие состоящие в том, что произвольно выбранный студент попал в сборную . Всего было студентов N=4+6+5=15. Вероятность принадлежности студента к каждой из групп P(B1)=4/15 ; P(B2)=6/15 ; P(B3)=5/15. Вычислим вероятности того, что студент попавший в сборную принадлежит к той или иной из 3-х групп по формуле Бейеса , где в случае нашей задачи PB1(A)=0,5 ; PB2(A)=0,4; PB3(A)=0,3 , учитывая

Тогда :

Поскольку 0,407>0,339>0,254 , то вероятнее всего что отобранный студент был из II-ой группы. ЗАДАЧА № 9 На автобазе n = 12 автомашин. Вероятность выхода автомашины на линию равна p=0,8 . Найти вероятность Р нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8-ми автомашин. Решение: Для вычисления подобной вероятности лучше использовать теорему Лапласа ( n независимых испытаний с вероятностью появления события p вероятность того, что событие наступит не менее k и не более m раз равна где Ф(.) – затабулированная функция Лапласа (см. справочное приложение)) Где ЗАДАЧА № 10 Пусть вероятность того, что в течении гарантийного срока телевизор потребует ремонта р=0,2 . Найти вероятность того, что из 6-ти телевизоров А) не более одного потребует ремонта; Б) хотя бы один потребует ремонт. Решение: Используем формулу Бернулли : В нашем случае p =0,2 ; q=1-0,2 = 0,8; n=6 Тогда ЗАДАЧА № 11 Вероятность рождения мальчика р=0,515 . Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет 480 девочек? Решение: Здесь лучше всего использовать локальную теорему Лапласа ( n независимых испытаний с вероятностью появления события p вероятность того, что событие наступит к раз) где приведенная таблично (см. прил.) функция. ЗАДАЧА № 12 Процент отсева среди студентов первокурсников составляет 10 %. Найти вероятность того, что из 900 будет отчислено от 80 до 110 студентов (включительно) Решение: Здесь также лучше использовать теорему Лапласа ( n независимых испытаний с вероятностью появления события p вероятность того, что событие наступит не менее k и не более m раз равна где Ф(.) – затабулированная функция Лапласа (см. справочное приложение)) У нас n=900 ; p=0,1 ; q=1-0,1=0,9; m=110; k=80; ЗАДАЧА № 13 Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера равна p=0,2 . Найти вероятность того, что из 750 не более 120 потребуют такую обувь. Решение: Аналогично, здесь тоже лучше применить теорему Лапласа ( n независимых испытаний с вероятностью появления события p вероятность того, что событие наступит не менее k и не более m раз равна где Ф(.) – затабулированная функция Лапласа (см. справочное приложение)) Положим n =750 ; p=0,2 ; q=1-0,2=0,8; np=150 ЗАДАЧА № 14 Вероятность паражения мишени p=0,6 . Найти : А) границы числа попаданий в мишень при n = 600 выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,993; Б) такое число m выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,993 можно ожидать , что отклонение частоты попаданий от вероятности 0,6 не превзойдет 0,03 (по абсолютной величине). Решение: A) Считая, что число попаданий в цель распределено по нормальному закону , где Значит, границы числа попаданий составляют приблизительно (359; 361) Б) Воспользуемся : ЗАДАЧА № 15 Мастерская гарантийного ремонта TV обслуживает n= 2000 абонентов. Вероятность того, что купленный TV потребует ремонта равна р=0,3. С достоверностью 0,9973 найти границы числа телевизоров, потребующих гарантийного ремонта. Решение: Считая, что закон распределения телевизоров, требующих ремонта нормальный находим Значит, 599 < m < 601