РУБРИКИ

Контрольная: Высшая математика

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Государственный университет управления Институт заочного обучения Специальность – менеджмент КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине: Высшая математика. Вариант № 1. 5 (отл.) Выполнил студент Ганин Д.Ю. Студенческий билет № 1211 Группа № УП4-1-98/2 Москва, 1999 г. Содержание Часть I.________________________________________________________ 3 Задание №2. Вопрос №9._________________________________________________________3 Задание №3. Вопрос №1._________________________________________________________3 Задание №12. Вопрос №9.________________________________________________________5 Задание №13. Вопрос №2.________________________________________________________5 Задание №18. Вопрос №9________________________________________________________ 6 Часть II._______________________________________________________ 9 Задание №8. Вопрос №8._________________________________________________________9 Задание №12. Вопрос №9._______________________________________________________10 Задание №14. Вопрос №2._______________________________________________________10 Задание №15. Вопрос №6._______________________________________________________11 Задание №18. Вопрос №9._______________________________________________________12 Дополнительно Часть I._______________________________________ 13 Задание №7. Вопрос №1.________________________________________________________13 Задание №9. Вопрос №8.________________________________________________________13 Задание №11. Вопрос №6._______________________________________________________14 Задание №15. Вопрос №1._______________________________________________________15 Дополнительно Часть II._______________________________________ 15 Задание №7. Вопрос №1.________________________________________________________15 Задание №9. Вопрос №8.________________________________________________________16 Задание №11. Вопрос №6._______________________________________________________18 Задание №15. Вопрос №1._______________________________________________________18

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

Контрольная: Высшая математика

машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.

Контрольная: Высшая математика

машин с водителями ежедневно уходят в рейс.

Контрольная: Высшая математика

водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Контрольная: Высшая математика

количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Контрольная: Высшая математика

дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Ответ:

Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь Контрольная: Высшая математика свободных дней.

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS (P) и найдите координаты точки равновесия, если Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
С осью OP (Q=0):С осью OQ (P=0):

Для Q=QS(P):

Для Q=QD(P):

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Подпись: Рисунок 1.
 
График функции спроса и предложения.
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1). Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему: Контрольная: Высшая математика , из этой системы получаем: Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика , тогда Контрольная: Высшая математика , значит координаты т.MКонтрольная: Высшая математика .

Ответ:

Координаты точки равновесия равны Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций: Контрольная: Высшая математика

Решение:

Контрольная: Высшая математика

Ответ:

Производная заданной функции равна Контрольная: Высшая математика

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:

Контрольная: Высшая математика

Решение:

Контрольная: Высшая математика

Ответ:

Приближенное значение заданного числа равно 1,975.

Задание №18. Вопрос №9

Исследуйте функцию и постройте ее график:

Контрольная: Высшая математика

Решение:

1. Область определения данной функции: Контрольная: Высшая математика . 2. Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY Контрольная: Высшая математика :

С осью OX Контрольная: Высшая математика :

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Контрольная: Высшая математика

Точка пересечения: Контрольная: Высшая математика

Точки пересечения: Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ. 4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: Контрольная: Высшая математика , где: Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: Контрольная: Высшая математика , т.е. Контрольная: Высшая математика - уравнение горизонтальной асимптоты. 5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную: Контрольная: Высшая математика Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. Контрольная: Высшая математика : Подпись: Рисунок 2.
 
Исследование на экстремум.
Контрольная: Высшая математика , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. Контрольная: Высшая математика , отсюда Контрольная: Высшая математика , следовательно Контрольная: Высшая математика , значит точка Контрольная: Высшая математика - точка экстремума функции. На участкеКонтрольная: Высшая математика производная Контрольная: Высшая математика > 0, значит, при Контрольная: Высшая математика , заданная функция возрастает. На участкеКонтрольная: Высшая математика производная Контрольная: Высшая математика < 0, значит, при Контрольная: Высшая математика , заданная функция убывает (рис 2.). Следовательно Контрольная: Высшая математика - точка максимума заданной функции Контрольная: Высшая математика . 6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную: Контрольная: Высшая математика Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. Контрольная: Высшая математика : Контрольная: Высшая математика , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. Контрольная: Высшая математика , значит Контрольная: Высшая математика , тогда Контрольная: Высшая математика , отсюда Контрольная: Высшая математика Отсюда Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика . Подпись: Рисунок 3.
 
Исследование на выпуклость.
На участкеКонтрольная: Высшая математика производная Контрольная: Высшая математика >0, значит это участок вогнутости графика функции. На участке Контрольная: Высшая математика производная Контрольная: Высшая математика >0, значит это тоже участок вогнутости графика функции. Следовательно, приКонтрольная: Высшая математика график заданной функции является вогнутым. На участкеКонтрольная: Высшая математика производная Контрольная: Высшая математика <0, значит, при Контрольная: Высшая математика график заданной функции является выпуклым (рис. 3). Следовательно, точки Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика - точки перегиба графика заданной функции Контрольная: Высшая математика . Подпись: Рисунок 4.
 
График заданной функции  


Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествахКонтрольная: Высшая математика иКонтрольная: Высшая математика . Задана функция полных издержек Контрольная: Высшая математика . Цены этих товаров на рынке равны Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль. Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Решение:

Пусть Контрольная: Высшая математика - функция прибыли, тогда Контрольная: Высшая математика Найдем первые частные производные функции Контрольная: Высшая математика : Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика . Найдем стационарные точки графика функции Контрольная: Высшая математика . Для этого решим систему: Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика Следовательно Контрольная: Высшая математика - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого введем обозначения: Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , тогда Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика . Т.к. Контрольная: Высшая математика > 0, то экстремум есть, а т.к. Контрольная: Высшая математика < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика , достигается максимальная прибыль равная: Контрольная: Высшая математика

Ответ:

Контрольная: Высшая математика и достигается при объемах выпуска Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика .

Задание №12. Вопрос №9.

Вычислить неопределенный интеграл:

Контрольная: Высшая математика

Решение:

Контрольная: Высшая математика

Ответ:

Контрольная: Высшая математика

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Контрольная: Высшая математика

Ответ:

Данный несобственный интеграл – расходящийся.

Задание №15. Вопрос №6.

Решить уравнение

Контрольная: Высшая математика

Решение:

Контрольная: Высшая математика . Разделив обе части на Контрольная: Высшая математика , получим Контрольная: Высшая математика . Проинтегрируем полученное уравнение Контрольная: Высшая математика . Представим Контрольная: Высшая математика , как Контрольная: Высшая математика , тогда Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика

Ответ:

Решением данного уравнения является Контрольная: Высшая математика .

Задание №18. Вопрос №9.

Найти общее решение уравнения:

Контрольная: Высшая математика

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: Контрольная: Высшая математика , тогда Контрольная: Высшая математика , следовательно Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , тогда фундаментальную систему решений образуют функции: Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика , возьмем Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: Контрольная: Высшая математика Представим правую часть уравнения, как Контрольная: Высшая математика и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида: Контрольная: Высшая математика . Имеем Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , тогда т.к. Контрольная: Высшая математика - многочлен второй степени, то общий вид правой части: Контрольная: Высшая математика . Найдем частные решения: Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика Сравним коэффициенты при Контрольная: Высшая математика слева и справа, найдем Контрольная: Высшая математика , решив систему: Контрольная: Высшая математика , отсюда Контрольная: Высшая математика . Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: Контрольная: Высшая математика .

Ответ:

Контрольная: Высшая математика .

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Контрольная: Высшая математика .

Ответ:

Заданный предел равен Контрольная: Высшая математика .

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики: Контрольная: Высшая математика .

Решение:

1. Область определения данной функции: Контрольная: Высшая математика . 2. Т.к. точка Контрольная: Высшая математика не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика , следовательно, уравнение Контрольная: Высшая математика – уравнение вертикальной асимптоты. 3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: Контрольная: Высшая математика , где: Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика Подпись: Рисунок 5.

 
Графики асимптот функции 
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной асимптоты имеет вид: Контрольная: Высшая математика . Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем точки пересечения наклонной асимптоты Контрольная: Высшая математика с осями координат: С осью OX: точкаКонтрольная: Высшая математика , с осью OY: точкаКонтрольная: Высшая математика

Ответ:

Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика – уравнения асимптот заданной функции.

Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Т.к. по определению производная функции Контрольная: Высшая математика в точке Контрольная: Высшая математика вычисляется по формуле Контрольная: Высшая математика , тогда приращение Контрольная: Высшая математика в точке Контрольная: Высшая математика : Контрольная: Высшая математика . Следовательно Контрольная: Высшая математика .

Ответ:

Контрольная: Высшая математика .

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя: Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Контрольная: Высшая математика .

Ответ:

Заданный предел равен Контрольная: Высшая математика .

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке Контрольная: Высшая математика уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции Контрольная: Высшая математика в точке Контрольная: Высшая математика имеет вид: Контрольная: Высшая математика . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: Контрольная: Высшая математика . Подставив в полученное уравнение координаты точки Контрольная: Высшая математика вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим: Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика .

Ответ:

Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке Контрольная: Высшая математика имеет вид Контрольная: Высшая математика .

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции Контрольная: Высшая математика в области: Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области. Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему: Контрольная: Высшая математика , точка Контрольная: Высшая математика не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа: 1. Контрольная: Высшая математика , тогда Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид: Контрольная: Высшая математика Эта система имеет четыре решения:

Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Точка Контрольная: Высшая математика – точка условного максимума, при этом функция Контрольная: Высшая математика .

Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Точка Контрольная: Высшая математика – точка условного максимума, при этом функция Контрольная: Высшая математика .

Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Точка Контрольная: Высшая математика – точка условного минимума, при этом функция Контрольная: Высшая математика .

Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Точка Контрольная: Высшая математика – точка условного минимума, при этом функция Контрольная: Высшая математика .

2. Контрольная: Высшая математика , тогда Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид: Контрольная: Высшая математика Эта система также имеет четыре решения:

Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Точка Контрольная: Высшая математика – точка условного максимума, при этом функция Контрольная: Высшая математика .

Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Точка Контрольная: Высшая математика – точка условного максимума, при этом функция Контрольная: Высшая математика .

Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

Точка Контрольная: Высшая математика – точка условного минимума, при этом функция Контрольная: Высшая математика .

Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика

В точке Контрольная: Высшая математика – точка условного минимума, при этом функция Контрольная: Высшая математика .

Подпись: Рисунок 6.

 
График наибольших/наименьших значений функции   при  .
Следовательно, заданная функция Контрольная: Высшая математика в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика и наименьшего в точках Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика при этом графики функций Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика касаются окружности Контрольная: Высшая математика в точках Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика , Контрольная: Высшая математика соответственно (см. рис.6).

Ответ:

Заданная функция Контрольная: Высшая математика при условии Контрольная: Высшая математика имеет Контрольная: Высшая математика и Контрольная: Высшая математика .

Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл: Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Контрольная: Высшая математика

Ответ:

Заданный неопределенный интеграл равен Контрольная: Высшая математика .

Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение: Контрольная: Высшая математика .

Решение:

Контрольная: Высшая математика . Разделив обе части на Контрольная: Высшая математика , получим Контрольная: Высшая математика . Проинтегрируем полученное уравнение: Контрольная: Высшая математика Контрольная: Высшая математика .

Ответ:

Решением данного уравнения является Контрольная: Высшая математика .


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.