РУБРИКИ

Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса
Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине «Информатика» студента группы КС-31 Кузнецова Дмитрия Олеговича Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 2 1.Задача 1 1.1 Постановка задачи 1.2 Решение 4 2. Задача 2 2.1.Постановка задачи 2.2.Решение 6 3.Задача 3 3.1.Постановка задачи 3.2.Решение 10 4.Задача 4 4.1.Постановка задачи 4.2.Решение 15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 16

ВВЕДЕНИЕ Основой автоматизации умственного труда человека является широкое внедрение вычислительной техники во все сферы деятельности человека . Применение ЭВМ ускорило процесс математизации науки и техники . Расширяется круг профессий ,для которых математическая грамотность и наличие практических навыков применения ЭВМ становятся необходимыми. Решение технической или научной задачи включает её математическое описание на языке уравнений, функций .Очень часто математическая формулировка задачи может оказаться непереводимой на язык ЭВМ ,так как ЭВМ выполняет только арифметические действия. Численный метод решения задачи –это определённая последовательность операций над числами , язык которого числа и арифметические действия .Численные методы легко реализуются на ЭВМ ,что делает эти методы мощным и универсальным инструментом. Процесс решения инженерной задачи на ЭВМ сложный и длительный .Он включает в себя этапы, требующие от разработчика профессиональной подготовки и грамотности. Для снижения трудоёмкости , на всех типах ЭВМ создан мощный аппарат технологической поддержки работы пользователя ЭВМ. 1.Задача 1 1.1.Постановка задачи Необходимо графически определить один корень уравнения . Уточнить корень уравнения с точностью Е=0,001 методом Ньютона. Дано нелинейное уравнение : tg(ax+b)=x2 где a=0,5 и b=0,2 1.2.Решение Для того ,чтобы определить корень ,преобразуем уравнение к виду : tg(0.5x+0.2)=x2 Построим графики двух функций : y1= tg(0.5x+0.2) и y2=x2; Кривые на рис.1 описаны следующим образом: 1) y1= tg(0.5x+0.2) функция периодическая ,её значения сведём в таблицу 1.1 Таблица 1.1.
x-3.1-3-2-10122.12.2
y-4.45-2.57-1.02-0,30,20,842.573.03.6
2) y2=x2 – парабола y2=0 когда x=0 y2=4 при x=±2 По графику определяем ,что уравнение имеет несколько корней .Для уточнения корня выберем интервал [0,1] .Уточняем корень по формуле Ньютона: xn+1= xn- Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Необходимо выбрать начальное значение x0 , исходя из условия сходимости: f(x0)f "(x0)>0 f(x)= tg(0.5x+0.2) – x2 Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Проверяем условия сходимости для x=0 : Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса f(0)f"(0)<0,условие не соблюдается Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Проверяем условие сходимости для x=1.0 : Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса f(0)f"(0)>0,условие соблюдается берём за x0=1 и условие: Т=Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Решение запишем в виде таблицы:
n

x n

f(x n)

f '(x n)

Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

T<E 10-1

01.000000-0.158000-1.1510000.137271Нет
10.862728-0.013000-0.9760000.013119Нет
20.849416-0.000467-0.9580000.000487Нет
30.848929-0.000009-0.9580000.000009Да
40.848920
В результате проделанной работы мы определили один корень уравнения вида tg(0.5x+0.2)=x2 графически,а затем уточнили его методом Ньютона и получили

X=0.848929

Вывод по решению: В результате проделанной работы мы определили один корень уравнения Tg(0.5x+0.2)=x2 графически, а затем уточнили его методом Ньютона и получили x=0.848929 2.Задача 2 2.1.Постановка задачи Выбрать формулу интерполяции и с её помощью определить значение функции в точке x=0,38.Функция задана в виде таблицы 2.1 ,Степень интерполяционного многочлена равна 3. Таблица 2.1
0,150,860708
0,250,778801
0,300,740818
0,400,670320
0,450,637628
0,550,576950
0,600,548812
0,650,522046
0,700,496585
0,750,472237
2.2.Решение Решение будем производить методом Лагранжа.Oцениваем шаг h=xi+1 -xi В этой таблице h=const.Для интерполяции функции с произвольно задаными узлами выбираем интерполяционный многочлен Лагранжа:Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса ; Выражения,называемые коэффициентами Лагранжа: Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Далее построим матрицу Лагранжа: Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Обозначим произведение строк через Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса ,а произведение элементов главной диагонали через Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса ,тогда : Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Вычислим её: Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса отсюда: Пn+1=4,00384 .10-9 D0=7,68488.10-6 D5=1.1475.10-8 D1=-1.84275.10-7 D6= -1.16944.10-8 D2= 4.2525.10-8 D7=2.3625.10-8 D3=2.92313 10-9 D8= -8.91.10-8 D4= -7.0875.10-9 D9=7.86713.10-7

Далее по формуле:

Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса , имеем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса В результате проделанной работы мы произвели интерполяцию функции заданной таблицей 2.1 и получили значение функции в точке х=0,38 y=0,683860. О справедливости полученного результата мы можем судить из того ,что точка х=0,38 находиться точками х=0,30 и х=0,40 и искомое значение должно находиться между соответствующими значениями этих точек. Полученное значение y=0,683860 находиться в пределах между y(0.30)=0.670320 и y(0.40)=0.740818. Следовательно решение верно. 3.Задача 3 3.1.Постановка задачи Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Решить систему линейных уравнений: Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 9.3x1+(1.62+a)x2+6.1x3+1.9x4=-12.65+b; 4.92x1+7.45x2+(9.7-a)x3+2.46x4=10.21; 4.77x1+(6.21+a)x2+9.04x3+2.28x4=13.45; 3.21x1+(2.65-a)x2+3.69x3+6.99x4=-10.35. методом Гаусса. Все расчёты ведите с тремя значащими цифрами после запятой. 2)Результаты вычисления прямого хода представьте в виде таблицы с контролем в виде суммирующего столбца. Вычисления обратного хода сделайте подробно, записав все промежуточные вычисления. 3.2.Решение Перепишем систему линейных уравнений в виде: Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 9.3x1+(1.62+0.8)x2+6.1x3+1.9x4=-12.65+3.6; 4.92x1+7.45x2+(9.7-0.8)x3+2.46x4=10.21; 4.77x1+(6.21+0.8)x2+9.04x3+2.28x4=13.45; 3.21x1+(2.65-0.8)x2+3.69x3+6.99x4=-10.35. Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 9.3x1+2.42x2+6.1x3+1.9x4=-9.05; 4.92x1+7.45x2+8.9x3+2.46x4=10.21; 4.77x1+7.01x2+9.04x3+2.28x4=13.45; 3.21x1+1.85x2+3.69x3+6.99x4=-10.35. Введём обозначение:Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса илиКурсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса а15,а25,а35,а45---свободные члены Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса ---суммирующий (контрольный) коэффициент Прямой ход. Заполнение таблицы: 1.Запишем аij в четырёх строках и пяти столбцах раздела 1 таблицы(i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,5) 2.Стимулирующие аi6 запишем в столбце å (столбец контроля) 3.Вычисляем b1j=a1j/a11 (j=1,2,3,..6) и запишем в пятой строке раздела 1 4.Вычисляем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса и проверяем совпала ли она с b16 c вычисления ведутся с постоянным количеством знаков после запятой). В противном случае проверяем действия пункта 3. 5.Вычисляем b1ij(1)=aij-ai1. b1j(i=2,3,4 , j=2,3,..6) и записываем их в в первые три строки раздела 2. 6.Проверка. Сумма элементов каждой строки Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса и Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса должен совпасть с указанной в п.4 точностью, иначе надо проверить п.5. 7.Вычисляем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса и записываем в четвёртой строке раздела 2 8.Проверка как в п.4. 9.Вычисляем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса и записываем в первые две строки раздела 3. 10.Проверка как в п.4. 11.Вычисляем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса (j=3,4,5,6) и записываем в третьей строке раздела 3. 12.Проверка как в п.4. 13. Вычисляем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса и записываем в первую строку раздела 4.
i

ai1

ai2

ai3

ai4

ai5

åai6

1

1

2

3

4

9.3

4.92

4.77

3.21

1.0

2.42

7.45

7.01

1.85

0.2602

6.1

8.9

9.04

3.69

0.6559

1.9

2.46

2.28

6.99

0.2043

-9.05

10.21

13.45

-10.35

-0.9731

10.67

33.94

36.55

5.39

1.1473

2

2

3

4

6.1698

5.7688

1.0148

1.0

5.6730

5.9114

1.5846

0.9195

1.4548

1.3055

6.3342

0.2358

14.9977

18.0918

-7.2263

2.4308

28.2953

31.0775

1.7073

4.5861

3

3

4

0.6069

0.6515

1

-0.0547

6.0949

-0.0901

4.0690

-9.6931

6.7045

4.6212

-2.9467

7.6144

4

5

4111

6.1536

1

-14.0611

-2.2850

6,4986

-3.0059

-3.9866

-7.9075

-1.2850

7,4986

-2.0059

-2.9866

Обратный ход: Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 4.5861-0.2358(-1.2850)-0.9195.7.4986=2.0059 Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса x1=b15-b14.x4-b13.x13-b12.x2=-0.9731-0.2043(-2.2850)-0.6559 . 6.4986-0.2602. (-3.0059)=-3.9866 Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 1.1473-0.2043(-1.2850)-0.6559 . 7.4986- -0.2602 . (-2.0059)=-2.9866 Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Вывод по решению: В результате проделанной работы мы решили систему из четырёх уравнений методом Гаусса и получили: X1=-2.2850; X2= 6.4986; X3 =-3.0059; X4=-3.9866. 4.Задача 4 4.1.Постановка задачи Дано дифференциальное уравнение : Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса где a=0,5 b=0 Начальное условие y(0)=0 Необходимо найти методом Рунге-Кутта его решение на отрезке [0;0,3] c шагом h=0.1 4.1.Решение Дифференциальное уравнение : Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса решаем методом Рунге-Кутта по вычислительной схеме приведенной в методическом указании по выполнению курсовой работы. Для вычисления воспользуемся таблицей 4.1. включив в неё вычисления правой части f(x,y). Наиболее часто используется метод численного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. y'=f(x,y), y(x0)=y Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка. В этом методе на одном шаге интегрирования при вычислении yi+1=yi+Dyi приращение Dyi определяется как сумма четырёх приращений взятых с различными весовыми коэффициентами : Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Порядок заполнения таблицы: 1. Записываем в первой строке таблицы данные правой части x0 ,y0 2. Вычисляем f(x0,y0),умножаем на h и заносим в таблицу в качестве D1(0). 3. Записываем во второй строке таблицы Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 4. Вычисляем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса ) умножаем на h и заносим в таблицу в качестве Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса . 5. Записываем в третьей строке таблицы 6. Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Вычисляем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса ,умножаем на h и заносим в таблицу в качестве Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса . 7. Записываем в четвёртой строке таблицы Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 8. Вычисляем Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса и умножаем на h заносим в таблицу в качестве D4 9. В столбец Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса записываем числа Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 10. Суммируем числа стоящие в столбце Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса делим на 6 и заносим в таблицу в качестве Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 0 Вычисляем y1=y0+Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса 0.затем продолжаем вычисления в том же порядке принимая за начальную точку (x1,y1) Таблица 4.1.
ixYD =hf(x,y)Dy
0

0.00000

0.05000

0.05000

0.10000

0.00000

0.02857

0.02757

0.05517

0.05714

0.05514

0.05517

0.05253

0.05714

0.11028

0.11034

0.05253

0.05504
1

0.10000

0.15000

0.15000

0.20000

0.05504

0.08060

0.07973

0.10445

0.05112

0.04938

0.04945

0.04333

0.10224

0.09876

0.09890

0.04333

0.05721
2

0.20000

0.25000

0.25000

0.30000

0.10087

0.12651

0.12187

0.14344

0.05128

0.04199

0.04257

0.03849

0.10256

0.08399

0.08514

0.03849

0.05169
30.300000.15256
В результате проделанной работы мы нашли решения дифференциального уравнения : Курсовая: Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса методом Рунге-Кутта и получили следующие решения: Y(0)=0 Y(0.1)=0.05504 Y(0.2)=0.10087 Y(0.3)=0.15256 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М: Наука, 1970. 2. Кувыкина М.И. Методические указания по курсу информатика. – М.: 1996. 3. Фокс Д. Бейсик для всех. – М.: Энергоатомиздат , 1987.


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.