РУБРИКИ

Курсовая: Неравенство Коши

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Курсовая: Неравенство Коши

Курсовая: Неравенство Коши

МИНИСТЕРСТВО ПОЛНОГО–ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

кафедра математического анализа

Курсовая работа

на тему: Неравенства Коши

Выполнил:

студент 31 гр., ФМФ,

Шакиров Айрат Альбиртович

Проверил:

доц. Каримов Загир Шакирович

Уфа – 2002

Оглавление:

1. Введение

2. Множества в Евклидовом пространстве

Основные метрические понятия

а) Угол между векторами

б) Неравенство треугольника

3. Комплексные пространства со скалярным произведением

Скалярное произведение (Основные метрические понятия)

а) Неравенство Коши–Буняковского

б) Неравенство треугольника

Введение

Курсовая: Неравенство Коши

Коши Огюстен Луи (1789—1857) — знаменитый французский математик. Доказал ряд

замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного

переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши —

разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие

классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.

Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы

прошлого века французским математиком О. Коши (1789—1857), предложившим

точные определения пределов функции и последовательности и на их основе

доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821 г.)

определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных

результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на

промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский

математик Б. Больцано (1781 —1848), но его работы стали известны много

позднее.

Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А

называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а

(т.е. Курсовая: Неравенство Коши ),

если для любого числа Курсовая: Неравенство Коши

можно подобрать такое число Курсовая: Неравенство Коши

>0, что Курсовая: Неравенство Коши для

всех х, удовлетворяющих неравенству 0< | x—а |< Курсовая: Неравенство Коши

».

Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в

точке: функция f непрерывна в точке x0 если

limf(x)=f(x0)

Курсовая: Неравенство Коши

Формулировка определения предела последовательности такова: «Число А

является пределом последовательности если для любого Курсовая: Неравенство Коши

существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство Курсовая: Неравенство Коши

| ».

О. Л. Коши внес также большой вклад в развитие математического анализа. О. Л.

Коши хорошо известен каждому человеку, изучавшему математический анализ

своими результатами в области математического анализа.

Множества в Евклидовом Пространстве

Основные метрические понятия

п.1 Угол между векторами. Угол между парой векторов x и y мы будем

называть тот угол (в пределах от 0 до 1800), косинус которого равен

отношению Курсовая: Неравенство Коши .

Чтобы это определение можно было применить в общем евклидовом пространстве,

необходимо доказать, что указанное отношение по абсолютной величине не

превосходит единицы, каковы бы ни были векторы x и y.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим векторы Курсовая: Неравенство Коши

, где Курсовая: Неравенство Коши

вещественное число. В силу аксиомы о положительно определенной форме скалярного

произведения векторов при любом Курсовая: Неравенство Коши

Курсовая: Неравенство Коши .

Используя формулу

Курсовая: Неравенство Коши ,

мы можем написать это неравенство в виде

Курсовая: Неравенство Коши .

В левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно Курсовая: Неравенство Коши

с постоянными коэффициентами. Трехчлен этот не может иметь различных

вещественных корней, так как тогда он не мог бы сохранять знака для всех

значений Курсовая: Неравенство Коши . Поэтому

дискриминант Курсовая: Неравенство Коши

этого трехчлена не может быть положительным. Следовательно,

Курсовая: Неравенство Коши ,

откуда ,извлекая квадратный корень, получаем

Курсовая: Неравенство Коши , (1)

что и требовалось.

Неравенство (1) называют неравенством Коши–Буняковского.

Примеры.

а) В пространстве V3 неравенство Коши–Буняковского, очевидно,

вытекает из самого определения скалярного произведения как произведение длин

векторов и косинуса угла между ними.

б) В пространстве Rn неравенство Коши–Буняковского имеет вид

Курсовая: Неравенство Коши ;

оно справедливо для любой пары векторов Курсовая: Неравенство Коши

и Курсовая: Неравенство Коши или, что-то же

самое, для любых двух систем вещественных чисел Курсовая: Неравенство Коши

и Курсовая: Неравенство Коши .

в) В пространстве R2(a,b) неравенство Коши–Буняковского имеет вид

Курсовая: Неравенство Коши .

Рассмотрим более подробно неравенство Коши в пространстве Rn.

Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства Rn

..

Def. n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками

определено по данной формуле Курсовая: Неравенство Коши

, называется n–мерным евклидовым пространством и обозначается R

n.

Ясно, что Курсовая: Неравенство Коши тогда и

только тогда, когда x = y, т. е. когда Курсовая: Неравенство Коши

при всех i = 1, 2, .,n. Также ясно, что Курсовая: Неравенство Коши

. Докажем, что для любых трех точек Курсовая: Неравенство Коши

Курсовая: Неравенство Коши (2)

Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот

элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше

третьей стороны*, и потому называется неравенством треугольника. Также

данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и

называется аксиомой треугольника

Предварительно установим важное неравенство Коши

Курсовая: Неравенство Коши , (3)

справедливо для любых вещественных чисел ai и bi.

Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании:

если квадратный трехчлен Ax2+2Bx+C с вещественными

коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его

дискриминант Курсовая: Неравенство Коши *.

Составим вспомогательную функцию Курсовая: Неравенство Коши

от вещественной переменной x, сводящуюся к квадратному трехчлену:

Курсовая: Неравенство Коши ,

где

Курсовая: Неравенство Коши

Из определения Курсовая: Неравенство Коши видно, что Курсовая: Неравенство Коши при всех x.

Тогда, на основании предыдущего замечания,

Курсовая: Неравенство Коши

это и есть иначе записанное неравенство Коши.

Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство

Курсовая: Неравенство Коши (4)

(ai и bi – любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши.

Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей

неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и

прибавим к ним выражение Курсовая: Неравенство Коши

. В результате получим

Курсовая: Неравенство Коши

Это неравенство можно переписать и так:

Курсовая: Неравенство Коши

Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).

Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2). Пусть

Курсовая: Неравенство Коши

Полагая в неравенстве (4)

Курсовая: Неравенство Коши

мы получим неравенство (2).

Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.

Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых

последовательностей Курсовая: Неравенство Коши

удовлетворяющих условию

Курсовая: Неравенство Коши

Таким образом, l – метрическое пространство

Обозначим через l2 множества всех таких последовательностей Курсовая: Неравенство Коши

вещественных чисел, для которых Курсовая: Неравенство Коши

, и положим

Курсовая: Неравенство Коши .

Прежде всего нужно проверить, что Курсовая: Неравенство Коши

конечно (т. е. что ря в правой части сходится) для любых x и y

из l2. А для этого сначала покажем, что неравенство Коши (4)

справедливо и для бесконечных последовательностей чисел ai и b

i (i=1, 2, .). Действительно, беря произвольное натуральное n,

запишем неравенство (4), а затем перейдем в нем к пределу при Курсовая: Неравенство Коши

. Получим неравенство

Курсовая: Неравенство Коши , (5)

которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных

последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и

другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:

Курсовая: Неравенство Коши . (6)

Из неравенства (5), в частности, следует, что если Курсовая: Неравенство Коши

и Курсовая: Неравенство Коши , то и

последовательность Курсовая: Неравенство Коши

, т.е. Курсовая: Неравенство Коши .

Теперь проверка выполнения в l2 аксиом метрического

пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для

Rn.

Пространство l2 иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.

п.2 Неравенство треугольника. Если x и y –произвольные векторы, то по

аналогии с элементарной геометрии вектор x+y естественно называть

третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y.

Используя неравенство Коши–Буняковского, мы получаем

Курсовая: Неравенство Коши

или

Курсовая: Неравенство Коши (7)

Курсовая: Неравенство Коши (8)

Неравенства (7)–(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они

означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма

длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин

этих сторон.

Комплексные пространства со скалярным произведением

Скалярное произведение (Основные метрические понятия)

п.3 Неравенство Коши–Буняковского. Для любых двух векторов x, y из C

имеет место неравенство

Курсовая: Неравенство Коши , (9)

Доказательство проводится по той же схеме, что и в вещественном случае (п.1), но

с некоторой осторожностью обращения с комплексными числами. Если (x, y)=0,

неравенство (9) очевидно. При (x, y)¹0 замечаем, что

Курсовая: Неравенство Коши

при любом комплексном Курсовая: Неравенство Коши . Раскрываем скобки, находим

Курсовая: Неравенство Коши . (10)

Будем считать, что Курсовая: Неравенство Коши

изменяется по прямой Курсовая: Неравенство Коши

, симметричной относительно вещественной оси с прямой, определяемой комплексным

числом (x, y), так что Курсовая: Неравенство Коши

, где t вещественно, а zo–единичный вектор,

определяющий направление прямой Курсовая: Неравенство Коши

, Курсовая: Неравенство Коши . Тогда Курсовая: Неравенство Коши

есть вещественное число, так что Курсовая: Неравенство Коши

. Неравенство (10) преобразуется к виду

Курсовая: Неравенство Коши . (11)

Теперь та же аргументация, что и в (п.1), приводит нас к искомому неравенству

(9).

Если в неравенстве(9) стоит знак равенства, то трехчлен в левой части (11) имеем

один вещественный корень to. Заменяя tzo

на Курсовая: Неравенство Коши , мы получаем,

что трехчлен в левой части (10) имеет корень Курсовая: Неравенство Коши

, откуда

Курсовая: Неравенство Коши

и Курсовая: Неравенство Коши , так что векторы x и y отличаются лишь (комплексным) множителем.

п.4 Неравенство треугольника. Если x и y – два вектора в унитарном

пространстве C, то по неравенству Коши–Буняковского (п.3)

Курсовая: Неравенство Коши

Курсовая: Неравенство Коши

откуда

Курсовая: Неравенство Коши (12)

Неравенства (12), как и в вещественном случае, называют неравенствами

треугольника.

Курсовая: Неравенство Коши

Список литературы:

1. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.,1973.

– 350 с.

2. Коровкин П. П. Неравенства. М., 1983. – 56 с.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства).

М.,1969 г., 432 с.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2

М., 1966 г., 800с.


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.