РУБРИКИ

Курсовая: Похідна та її застосування

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування

Зміст

Вступ............................................................................................................................1

Розділ 1. Основні теоретичні

відомості.................................................................2

1.1 Походження поняття похідної..............................................2

1.2 Екстремуми функції.........................................................5

1.3 Зростання та спадання функції..............................................9

1.4 Найбільше та найменше значення функції....................................11

1.5 Означення дотичної, під дотичної, нормалі.................................13

Розділ 2. Застосування

похідної............................................................................17

2.1 Правила диференціювання...................................................17

2.2 Дослідження функції та побудова її графіка................................21

2.3 Застосування похідної для розв’язування рівнянь...........................26

2.4 Текстові задачі на екстремум..............................................28

Висновок....................................................................................................................31

Список використаної

літератури.........................................................................32

Вступ

Розділ алгебри та початків аналізу “Похідна та її застосування” займає значне

місце у шкільному курсі математики, в першу чергу тому, що має велике

прикладне значення.

Програма з математики для загальноосвітньої школи відводить на вивчення теми

“Похідна та її застосування” приблизно, 26 годин (загальноосвітньої школи),

46 годин (ліцеї і гімназії з поглибленим вивченням математики).

Основна складність полягає в тому, щоб навчити школярів застосувати похідну

для дослідження функцій, розв’язання прикладних задач алгебри та геометрії.

Показати алгоритми застосування похідної, що значно полегшує розв’язання

багатьох типів задач.

Об’єктом дослідження даної атестаційної курсової роботи є питання:

застосування похідної для дослідження функцій на монотонність та екстремум,

побудова графіків функцій після їх повного дослідження, знаходження

найбільшого та найменшого значення функції на відрізку, прикладні задачі на

знаходження найбільшого та найменшого значення функції, складання рівняння

дотичної, нормалі, піддотичної і текстові задачі на екстремум функції.

Робота складається з вступу і двох основних частин: основні теоретичні

відомості, де наведено означення похідної, історія виникнення похідної,

основні теореми, необхідні та достатні умови зростання (спадання) функції,

достатня ознака екстремуму функції, та наведені алгоритми розв’язання

конкретного типу задач; другий розділ, який розбито на підрозділи, в якому

розглядаються різноманітні приклади, наводиться їх розв’язання з повним

поясненням.

Розділ 1

Основні теоретичні відомості

1.1. Походження поняття похідної

Ряд задач диференціального вирахування був вирішений ще в стародавності.

Основне поняття диференціального вирахування – поняття похідної – виникло в

XVII ст. у зв'язку з необхідністю вирішення ряду задач з фізики, механіки і

математики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкості прямолінійного

нерівномірного руху і побудови дотичної до похідної плоскої кривої.

Перша з цих задач була уперше вирішена Ньютоном. Функцію він називав флюентою,

тобто поточною величиною (від латинського fluere - текти), похідну ж - флюксіей

(від того ж fluere). Ньютон позначав функції останніми літерами латинського

алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні від флюент за часом, -

відповідно тими ж літерами з крапкою над ними: Курсовая: Похідна та її застосування

Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному з Ферма, розглядає

нескінченно малий приріст часу dt, що він позначав знаком х0,

відмінним від нуля. Вираз x0, що позначається нині Курсовая: Похідна та її застосування

і називається диференціалом (dx), Ньютон називав моментом.

Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки. Свої

результати в цій області він виклав у трактаті, названому їм «Метод флюксій і

нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р. Припускають, що Ньютон

відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х років XVII в., однак

вищезгаданий його трактат був опублікований посмертно лише в 1736 р.

Математиків XV - XVII ст. довго хвилювало питання про перебування загального

методу для побудови дотичної в будь-якій точці кривої. Задача ця була

зв'язана також з вивченням рухів тіл і з відшуканням екстремумів найбільших і

найменших значень різних функцій.

Деякі окремі випадки вирішення задач були дані ще в стародавності. Так у

«Початках» Евкліда дан спосіб побудови дотичної до окружності, Архімед

побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я, Аполлоній - до еліпса,

гіперболи і параболи. Однак давньогрецькі вчені не вирішили задачу до кінця,

тобто не знайшли загального методу, придатного для побудови дотичної до будь-

якої плоскої кривої в похідній її точці.

Із самого початку XVII в. чимало вчених, у тому числі Торрічеллі, Вивиани,

Роберваль, Барроу, намагалися знайти вирішення питання, прибігаючи до

кінематичних міркувань. Перший загальний спосіб побудови дотичної до

алгебраїчної кривої був викладений у «Геометрії» Декарта. Більш загального і

важливим для розвитку диференціального вирахування був метод побудови

дотичних Ферма.

Ґрунтуючись на результатах Ферма і деяких інших висновках, Лейбниц значно

повніше своїх попередників вирішив задачу, про яку йде мова, створивши

відповідний алгоритм. У нього задача знаходження tgj , тобто кутового

коефіцієнта дотичної в точці М, до плоскої кривої, обумовленою функцією Курсовая: Похідна та її застосування

, зводиться до знаходженню похідної функції y по незалежній змінній

x при даному її значенні (або в даній точці) x = x1.

Можна навести й інші приклади, що показують, яку велику роль грає поняття

похідної в науці і техніці: прискорення – є похідна від швидкості за часом,

теплоємність тіла – є похідна від кількості тепла по температурі, швидкість

радіоактивного розпаду – є похідна від маси радіоактивної речовини за часом і

т.п. Вивчення властивостей і способів обчислення похідних і їхнє застосування

до дослідження функцій складає головний предмет диференціального вирахування.

Перша друкована праця по диференціальному вирахуванню була опублікована

Лейбницем у 1684 р. Це були мемуари, що з'явилися в 1682 р. в математичному

журналі «Acta Eruditorum» (прототип «Навчальних записок») і озаглавлений

«Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є

перешкодою дробові й ірраціональні кількості, і особливий для цього рід

вирахування». У цій статті, що складається усього лише з 6 сторінок,

міститься виклад суті методу вирахування нескінченно малих, зокрема

викладаються основні правила диференціювання. Отже, якщо в «Методі флюксій»

як первісне поняття фігурує швидкість, то в «Новому методі» Лейбница таким

поняттям є дотична .

Збільшення абсциси Лейбниц позначав через dx, що відповідає збільшенню

ординати – через dy. Нині уживаний символ похідної

бере свій початок від Лейбница. У Лейбница основним поняттям була не похідна,

для якої він навіть спеціального терміна не мав, а диференціал.

У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою літерою ∆ для

позначення приростів змінних величин, тобто ∆y = y2 – y

1, ∆х = x2 – x1 і т.д. Це позначення

збереглося понині. Ми пишемо:

Курсовая: Похідна та її застосування .

Позначення Курсовая: Похідна та її застосування і Курсовая: Похідна та її застосування для похідної ввів Лагранж.

Сам термін «похідна» уперше зустрічається у француза Луа Арбогаста в його книзі

«Обчислення похідних», опублікованої в Парижі в 1800 р. Цим терміном відразу ж

став користуватися і Лагранж. Термін цей швидко ввійшов у загальний ужиток, а

Коші, використовуючи початкову літеру цього терміна, став позначати похідну

символом Dy або Df(x).

Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) і його символи похідної утратили своє

значення. Лише у фізиці і механіці в деяких випадках позначають крапками над

літерами похідні за часом.

Перший друкований курс диференціального вирахування вийшов у світ в Парижі в

1696 р. під заголовком «Аналіз нескінченно малих». Його автор Г. Ф. Де

Лопиталь за основу цієї книги взяв рукопис Йоганна Бернуллі, одного з

найближчих співробітників Лейбница. Ось чому цей курс варто розглядати як

типовий добуток школи Лейбница.

У першій же главі своєї книги Лопиталь вимагає, «щоб величина, збільшена або

зменшена на іншу нескінченно малу величину, могла бути розглянута як

незмінна». Отут нескінченно мала розглядається як нуль, її можна відкидати.

Це один з фундаментальних принципів вирахування нескінченно малих Лейбница,

нині відкинутий наукою. Цим принципом користувався Лопиталь і при

установленні формул диференціювання.

У перший період розробки математичного аналізу основоположники цієї теорії не

могли досить чітко і ясно обґрунтувати принципи цієї теорії і тому шукали

підтвердження правильності теорії в узгодженості математичних висновків з

досвідом, із практикою при вирішенні задач механіки й астрономії. Однак

проста перевірка гіпотези на практиці не дає абсолютної впевненості в її

непогрішності. Досить одного факту, що не погодиться з даною гіпотезою, як

вона буде спростована. Ось чому на наступних етапах перед математиками

виникла проблема суворого математичного обґрунтування теорії математичного

аналізу.

1.2. Екстремуми функції

Точка х0 називається точкою локального максимуму функції Курсовая: Похідна та її застосування

, якщо для будь-яких досить малих Курсовая: Похідна та її застосування

виконується нерівність

Курсовая: Похідна та її застосування .

Точка х0 називається точкою локального мінімуму функції Курсовая: Похідна та її застосування

, якщо для будь-яких досить малих Курсовая: Похідна та її застосування

виконується нерівність

Курсовая: Похідна та її застосування .

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції Курсовая: Похідна та її застосування

, а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:

Теорема 1.Якщо функція Курсовая: Похідна та її застосування

має в точці х0 локальний екстремум, то або Курсовая: Похідна та її застосування

, або Курсовая: Похідна та її застосування не існує.

Проте виявляється, що цього недостатньо, бо може Курсовая: Похідна та її застосування

, а функціяКурсовая: Похідна та її застосування в цій

точці екстремуму не має.

Точки, в яких функція Курсовая: Похідна та її застосування

визначена та неперервна, і в цих точках Курсовая: Похідна та її застосування

або не існує, називаються критичними для функції.

Проте не в кожній критичній точці функція Курсовая: Похідна та її застосування

має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції

f. Їх дають такі теореми:

Теорема 2.Нехай функція Курсовая: Похідна та її застосування

неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х0, і

диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої

точки х0).

Якщо для х<х0 Курсовая: Похідна та її застосування , а для х0<x Курсовая: Похідна та її застосування , то для х=х0 функція Курсовая: Похідна та її застосування має максимум.

Якщо для х<х0 Курсовая: Похідна та її застосування , а для х0<x Курсовая: Похідна та її застосування , то для х=х0 функція Курсовая: Похідна та її застосування має мінімум.

Теорема 3.Нехай функція Курсовая: Похідна та її застосування

два рази диференційована в околі точки х0 і Курсовая: Похідна та її застосування

. Тоді в точці х=х0 функція має локальний максимум, якщо Курсовая: Похідна та її застосування

, і локальний мінімум, якщо Курсовая: Похідна та її застосування

.

Якщо ж Курсовая: Похідна та її застосування , то точка х=х0 може й не бути точкою екстремуму.

Звідси випливає такий план знаходження екстремальних точок:

1. знаходять критичні точки функції Курсовая: Похідна та її застосування , тобто точки , в яких Курсовая: Похідна та її застосування , або Курсовая: Похідна та її застосування не існує;

2. знаходять другу похідну Курсовая: Похідна та її застосування

і обчислюють значення другої похідної в цих точках.

Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то така точка є

точкою максимуму, а якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою

мінімуму.

Якщо Курсовая: Похідна та її застосування в

критичній точці, то нічого конкретного сказати не можна, бо в цій точці може

бути екстремум, а може й не бути.

Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію

Курсовая: Похідна та її застосування

Розв’язання. Функція Курсовая: Похідна та її застосування визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну:

Курсовая: Похідна та її застосування .

Знайдемо нулі похідної:

х2+х-2=0, х1=-2 х2=1.

Отже, функція f має дві критичні точки х1=-2,х2=1.

Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х2

, то на інтервалах Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

, а на інтервалі (-2;1) Курсовая: Похідна та її застосування

.

Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на

протилежний.

Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з плюса

на мінус, то в цій точці функція має локальний максимум.

Курсовая: Похідна та її застосування .

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з мінуса на плюс. Тому в цій

точці функція f має локальний мінімум.

Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування .

Приклад 2.Дослідити на екстремум функцію

Курсовая: Похідна та її застосування

Розв’язання. Функція Курсовая: Похідна та її застосування визначена. Знайдемо її похідну:

Курсовая: Похідна та її застосування .

Критична точка х=9. при переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на

плюс. Отже, в цій точці функція f має локальний мінімум:

Курсовая: Похідна та її застосування .

Крім того, похідна дорівнює нулю в точці х=0. оскільки справа від цієї точки(до

х<6) функція не визначена, то в точці х=0 функція набуває найменшого

значення Курсовая: Похідна та її застосування .

Приклад 3.Дослідити на екстремум функцію

Курсовая: Похідна та її застосування .

Розв’язання. Функція Курсовая: Похідна та її застосування визначена і диференційована на R. Її похідна

Курсовая: Похідна та її застосування

дорівнює нулю при Курсовая: Похідна та її застосування .

Ця критична точка розбиває числову пряму на два інтервали знакосталості похідної Курсовая: Похідна та її застосування

:

Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування .

Оскільки на інтервалі Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування , то функція f в точці Курсовая: Похідна та її застосування має локальний максимум.

Його значення Курсовая: Похідна та її застосування

1.3. Зростання та спадання функції

Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі

математичного аналізу.

Теорема. Нехай функція неперервна на проміжку <a,б> і

диференційована в інтервалі (а,б).для того, щоб функція f була

зростаючою(спадною) на проміжку <a,б>, необхідно і достатньо виконання

двох умов:

1. Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

2. рівність Курсовая: Похідна та її застосування

не повинна виконуватися ні в жодному інтервалі, що міститься в <a,б>.

Як наслідок цієї теореми можна використовувати таку теорему (достатня ознака

строгої монотонності):

Теорема. Нехай функція f неперервна на проміжку <a,б> і

диференційована в інтервалі (а,б). Якщо Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

, то f зростає(спадає) на <a,б>.

Тому для знаходження проміжків зростання та спадання диференційованої функції Курсовая: Похідна та її застосування

діють у такий спосіб:

1. Знаходять:

а)область визначення функції Курсовая: Похідна та її застосування , якщо вона наперед не задана;

б)похіднуКурсовая: Похідна та її застосування даної функціїКурсовая: Похідна та її застосування ;

в)точки, в яких похідна дорівнює нулю, для чого розв’язують рівнянняКурсовая: Похідна та її застосування

, а також точки, в яких функція визначена, але похідна Курсовая: Похідна та її застосування

не існує, їх називають критичними точками.

2. Визначають знак похідної Курсовая: Похідна та її застосування

на конкретному інтервалі, достатньо обчислити її значення для будь-якого

значення аргументу, що належить цьому інтервалу.

Приклади

Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції

Курсовая: Похідна та її застосування

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на множені R.

Знайдемо її похідну

Курсовая: Похідна та її застосування .

Нулями похідної є х1=1, х2=Курсовая: Похідна та її застосування .

Оскільки похідна неперервна, то вона зберігає знак на інтервалах Курсовая: Похідна та її застосування

. Оскільки похідна задана квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х

2, то вона набуває додатних значень поза коренями, тобтоКурсовая: Похідна та її застосування

на інтервалах Курсовая: Похідна та її застосування і

від’ємних між коренями, тобто Курсовая: Похідна та її застосування

на інтервалі Курсовая: Похідна та її застосування .

Отже , на інтервалахКурсовая: Похідна та її застосування функція f зростає, а на інтервалі Курсовая: Похідна та її застосування – спадає.

Приклад 2. Довести, що функція

Курсовая: Похідна та її застосування

спадає на R.

Розв’язання. Дана функція визначена і диференційована на R.

Знайдемо похідну

Курсовая: Похідна та її застосування .

Оскільки для Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування , то дана функція f спадає на R.

1.4. Найбільше та найменше значення функції

Нехай дано функціюКурсовая: Похідна та її застосування ,

яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за

винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти

найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з

математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому

свого найбільшого і найменшого значення.

Чим викликана необхідність знаходження найбільшого і найменшого значення

функції на відрізку?

Справа в тому, що в практичних задачах, де процес, явище, закон, величина

описуються певною функцією, зміст самої задачі накладає певні обмеження на

аргумент, тобто аргумент має певні межі.

Так, наприклад, кут трикутника може змінюватися лише від 0 до П, швидкість тіла

доводиться розглядати в проміжку часу від t0 до t1 та

інше. Тому й необхідно досліджувати поведінку функції на конкретному проміжку

[a;b] або на його кінцях, то чинять так:

1. знаходять критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна

дорівнює нулю або не існує), обчислюють значення функції в цих точках;

2. знаходять значення функції на кінцях відрізка, тобтоКурсовая: Похідна та її застосування ;

3. серед усіх значень вибирають найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого

значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось

обчисленням значень Курсовая: Похідна та її застосування

.

По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше

значення функції, неперервної в інтервалі (a;b).

Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого

значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція Курсовая: Похідна та її застосування

в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх

точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють

значення функції в цих точках;

2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і б , тобто Курсовая: Похідна та її застосування

. Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних

точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за

знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на

інтервалі.

Приклади.

Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]

Курсовая: Похідна та її застосування

Розв’язання. На даному відрізку функція визначена і неперервна,

диференційована в інтервалі(-2;2). Знайдемо похідну, критичні точки:

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування х=0

знайдемо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка:

Курсовая: Похідна та її застосування

Отже,

Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування .

Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [a;b]

Курсовая: Похідна та її застосування

Розв’язання. Функція визначена і неперервна на відрізку Курсовая: Похідна та її застосування

, диференційна в інтервалі (-1;1). Тому вона набуває на даному відрізку

найбільшого і найменшого значення. Знайдемо критичні точки даної функції. Для

цього знайдемо похідну

Курсовая: Похідна та її застосування

і прирівняємо її до нуля:

х4+8х=0; х=0; х=-2.

Отже, на інтервалі (-1;1)функція має лише одну критичну точку х=0. знайдемо

значення функції в цій точці Курсовая: Похідна та її застосування

.

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка

Курсовая: Похідна та її застосування , Курсовая: Похідна та її застосування .

Отже,

Курсовая: Похідна та її застосування , Курсовая: Похідна та її застосування

Відповідь:Курсовая: Похідна та її застосування ,Курсовая: Похідна та її застосування

1.5. Означення дотичної, піддотичної, нормалі

Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняння дотичної до

графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд:

Курсовая: Похідна та її застосування ,

де х і у – біжучі координати дотичної, f ‘(x0)=k – кутовий коефіцієнт

дотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенс

кута нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.

Курсовая: Похідна та її застосування

Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точки дотику і точкою перетину дотичної з

віссю абсцис, називають під дотичною. Її довжина дорівнює |х0-х

1|.

Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точці її дотику М до графіка функції

у=f(x), називається нормаллю.

Рівняння нормалі записують у вигляді:

Курсовая: Похідна та її застосування

якщо f ‘(x0)Курсовая: Похідна та її застосування 0(в противному разі рівняння нормалі х-х0=0).

На цей матеріал можна скласти ряд задач. Розглянемо деякі з них.

1. Дано абсцису точки дотику х0 графіка функції у=f(x), а необхідно

записати рівняння дотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.

Для цього знаходимо похідну функції у=f(x), її значення в точці х0,

тобто Курсовая: Похідна та її застосування , та

значення функції в точці х0, тобто Курсовая: Похідна та її застосування

. Цих даних достатньо, щоб записати рівняння дотичної Курсовая: Похідна та її застосування

.

2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщо відома абсциса

точки дотику х0?

Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної Курсовая: Похідна та її застосування ,то Курсовая: Похідна та її застосування .

Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x), тобто y’=f

‘(x), і обчислення її значення в точці х0.

3. Знайти гострий кут між дотичними, проведеними до графіків функцій Курсовая: Похідна та її застосування

,що мають спільну абсцису х0:

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування , Курсовая: Похідна та її застосування .

4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точки дотику якої

дорівнює х0.

Довжиною дотичної прийнято називати відстань між точкою дотику до графіка

функції і точкою її перетину з віссю абсцис.

У цьому випадку знаходимо

Курсовая: Похідна та її застосування

і скористаємося формулою

Курсовая: Похідна та її застосування

Приклади:

Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції

Курсовая: Похідна та її застосування

в точці з абсцисою х0=3.

Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної в

точці х0:

Курсовая: Похідна та її застосування

скориставшись рівнянням дотичної

Курсовая: Похідна та її застосування ,

матимемо

Курсовая: Похідна та її застосування

Звідси Курсовая: Похідна та її застосування .

Відповідь:Курсовая: Похідна та її застосування .

Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2

-4x+8 в точці (3;5)?

Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в

рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.

Знайдемо похідну y’=2x-4.

Тоді Курсовая: Похідна та її застосування . Звідси Курсовая: Похідна та її застосування

Відповідь:Курсовая: Похідна та її застосування

Приклад 3. Дотична до графіка функції

Курсовая: Похідна та її застосування

нахилена до осі абсцис під кутом Курсовая: Похідна та її застосування . Знайти координати точки дотику.

Розв’язання. Знайдемо похідну функціїКурсовая: Похідна та її застосування :

Курсовая: Похідна та її застосування .

За умовою y’(x0)=tgКурсовая: Похідна та її застосування =1 маємо

Курсовая: Похідна та її застосування

отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).

Відповідь: А(2;2).

Розділ 2

Застосування похідної

2.1. Правила диференціювання

Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках

інтервалу (a; b), то

(u(x)±(x))’ = u’(x)±n’(x)

для любого х є (a; b). Коротше,

(u±n)’ = u±n’

Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є (a; b), яка представляє собою

нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування

Також, Курсовая: Похідна та її застосування

Так як

х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:

Курсовая: Похідна та її застосування

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,

а) Курсовая: Похідна та її застосування

б) Курсовая: Похідна та її застосування

в) Курсовая: Похідна та її застосування

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість

формули (u1(x) + u2 (x) +. кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках

інтервалу (a; b), то

Курсовая: Похідна та її застосування

для любого х є (a; b). Коротше,

Курсовая: Похідна та її застосування

Доведення. Позначимо похідні Курсовая: Похідна та її застосування

через Курсовая: Похідна та її застосування х є (a; b), і

найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді

Курсовая: Похідна та її застосування

Навіть так як

Курсовая: Похідна та її застосування

то

Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування

Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо

Курсовая: Похідна та її застосування

Теорема доведена.

Приклад,

а) Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

б) Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування

в) Курсовая: Похідна та її застосування

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Курсовая: Похідна та її застосування

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про

похідну де а – число, отримаємо

Курсовая: Похідна та її застосування

Приклади.

а) Курсовая: Похідна та її застосування

б) Курсовая: Похідна та її застосування

Похідна частки двох функцій .

Теорема. Якщо функції Курсовая: Похідна та її застосування

мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому Курсовая: Похідна та її застосування

для любого х є (a; b), то

Курсовая: Похідна та її застосування

для любого х є (a; b).

Курсовая: Похідна та її застосування

Доведення. Позначимо тимчасово Курсовая: Похідна та її застосування

через Курсовая: Похідна та її застосування знайдемо Курсовая: Похідна та її застосування

використовуючи визначення похідної.

Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).

Тоді,

Курсовая: Похідна та її застосування

Навіть, так як

Курсовая: Похідна та її застосування

то

Курсовая: Похідна та її застосування

і послідовно

Курсовая: Похідна та її застосування

Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х

0 можна замінити на х. Теорема доведена.

Приклади.

а) Курсовая: Похідна та її застосування

б) Курсовая: Похідна та її застосування

2.2. Дослідження функції та побудова графіка

Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1) знайти область визначення функції та множину її значень;

2) дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки

розриву, проміжки знакосталості функції;

4) дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності,

знайти якщо вони є, асимптоти графіка;

5) знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції,

точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6) знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості

графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;

7) для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних

точок, через які він проходить.

Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною

схемою і в такій саме послідовності.

Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після

знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву

і на нескінченності.

Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично

відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні

періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має

область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого

факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо

нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є

періодичною.

Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої

або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.

Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.

Для складних функцій Курсовая: Похідна та її застосування можна керуватися такими простими твердженнями:

1. якщо функція Курсовая: Похідна та її застосування парна, то складна функція також парна;

2. якщо функція Курсовая: Похідна та її застосування і Курсовая: Похідна та її застосування непарні, то складна функція непарна;

3. якщо Курсовая: Похідна та її застосування непарна, а функціяКурсовая: Похідна та її застосування парна, то складна функція парна;

4. якщо функція Курсовая: Похідна та її застосування

періодична, то і складна функція Курсовая: Похідна та її застосування

періодична, причому її період може бути меншим за період функції Курсовая: Похідна та її застосування

, але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго

монотонна.

Зручно користуватися такими твердженнями:

1. сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною)

функцією;

2. добуток парних функцій є парною функцією;

3. добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-

множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;

4. добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.

Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.

Приклад 1. Побудувати графік функції

Курсовая: Похідна та її застосування

Розв’язання.

1) Область визначення функції f :

Х=Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування .

2) Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона

невизначена лише у двох точках.

4) Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції

відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

5) Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього

знайдемо похідну

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування ;

х=0–критична точка.

Для Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

. Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на

проміжках Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його

значення

Курсовая: Похідна та її застосування .

6) Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування .

На проміжках Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

. Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

, а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

7) Оскільки Курсовая: Похідна та її застосування , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:

Курсовая: Похідна та її застосування , Курсовая: Похідна та її застосування .

Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною

асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також

є вертикальною асимптотою.

Курсовая: Похідна та її застосування

.

Приклад 2. Побудувати графік функції:

Курсовая: Похідна та її застосування

Розв’язання.

1. Область визначення функції f :

Курсовая: Похідна та її застосування .

2. Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо

випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.

3. Період функції Курсовая: Похідна та її застосування

. Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку Курсовая: Похідна та її застосування

. Крім того, враховуючи, що Курсовая: Похідна та її застосування

, робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої Курсовая: Похідна та її застосування

на проміжку Курсовая: Похідна та її застосування . Тому

можна обмежитися дослідженням функції на проміжку Курсовая: Похідна та її застосування

.

4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку Курсовая: Похідна та її застосування

. Для цього знайдемо її похідну

Курсовая: Похідна та її застосування .

Для Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

. Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді на проміжку Курсовая: Похідна та її застосування

вона зростає, а в точці Курсовая: Похідна та її застосування

має мінімум, який дорівнює 1.

Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжкахКурсовая: Похідна та її застосування

і зростає на проміжках Курсовая: Похідна та її застосування

, Курсовая: Похідна та її застосування . В точках Курсовая: Похідна та її застосування

набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.

5. Дослідимо функцію на опуклість на проміжку Курсовая: Похідна та її застосування :

Курсовая: Похідна та її застосування .

Звідси безпосередньо випливає, що для Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування

. Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку Курсовая: Похідна та її застосування

він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках Курсовая: Похідна та її застосування

графік функції опуклий вниз.

6. Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля Курсовая: Похідна та її застосування зліва:

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування .

Отже, прямі х=0, х=Курсовая: Похідна та її застосування

вертикальні асимптоти. Тоді і прямі х=Курсовая: Похідна та її застосування

,Курсовая: Похідна та її застосування – вертикальні

асимптоти.

Курсовая: Похідна та її застосування

2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь

Похідна в окремих випадках може бути застосована до розв’язування рівнянь, а

саме : для встановлення кількості коренів або їх відсутності, для їх

знаходження.

Так, наприклад, якщо маємо рівняння Курсовая: Похідна та її застосування

, де Курсовая: Похідна та її застосування – зростаюча

або спадна функція, то , зрозуміло, що рівняння не може мати більше одного

кореня, причому можна з впевненістю сказати, що він буде, якщо а

належить множині значень функції Курсовая: Похідна та її застосування

. А для визначення строгої монотонності застосовується похідна.

Використовують і такий факт: якщо многочлен k-го степеня має k

дійсних коренів, то його похідна має їх k –1 .

Розглянемо застосування похідної до розв’язування рівнянь на конкретних

прикладах.

Приклад 1. Яким умовам повинні задовольняти параметри p та

q, щоб рівняння Курсовая: Похідна та її застосування

мало три різних дійсних корені?

Розв’язання. Розглянемо функцію

Курсовая: Похідна та її застосування .

Для того щоб дана функція мала три різні нулі, необхідно, щоб її похідна

Курсовая: Похідна та її застосування

мала два різних нулі. А це буде тоді, коли Курсовая: Похідна та її застосування . Звідси Курсовая: Похідна та її застосування .

Отже, похідна має один додатний і один від’ємний корінь. Тоді функція Курсовая: Похідна та її застосування

має обов’язково один від’ємний корінь. А це можливо за умови, що Курсовая: Похідна та її застосування

. Отже, Курсовая: Похідна та її застосування .

Приклад 2.Скільки дійсних коренів має рівняння

Курсовая: Похідна та її застосування

Розв’язання. Розглянемо функцію

Курсовая: Похідна та її застосування =Курсовая: Похідна та її застосування .

Знайдемо її похідну

Курсовая: Похідна та її застосування =Курсовая: Похідна та її застосування .

Нехай

а) х<0, тоді очевидно, Курсовая: Похідна та її застосування >0;

б) х=0, тоді Курсовая: Похідна та її застосування ;

в) x>0, тоді знову ж таки Курсовая: Похідна та її застосування >0.

Отже, похідна всюди додатна, за винятком однієї ізольованої точки х=0. це

означає, що функція f зростає на всій числовій осі. Тому дане

рівняння не може мати більше одного кореня. Оскільки Курсовая: Похідна та її застосування

, то нуль і є тим єдиним коренем.

Приклад 3.Розв’язати рівняння

Курсовая: Похідна та її застосування .

Тривіальним коренем рівняння є х=0. доведемо, що інших коренів рівняння не

має. Розглянемо функцію

Курсовая: Похідна та її застосування .

Знайдемо її похідну Курсовая: Похідна та її застосування для будь-якого Курсовая: Похідна та її застосування .

Отже, функція Курсовая: Похідна та її застосування

зростає на всій числовій осі. Тому рівняння не має більше коренів.

Приклад 4.Розв’язати рівняння

Курсовая: Похідна та її застосування .

Розглянемо функцію Курсовая: Похідна та її застосування .

Вона диференційована на всій області визначення. Знайдемо її похідну

Курсовая: Похідна та її застосування .

Очевидно, Курсовая: Похідна та її застосування для Курсовая: Похідна та її застосування .

А це означає, що рівняння має лише один корінь (найвищий показник степеня

непарний). Тривіальним коренем є х=1.

Відповідь: 1.

2.4. Текстові задачі на екстремум

Приклад 1.Яке із десяти чисел

Курсовая: Похідна та її застосування

найбільше?

Розв’язання. Зрозуміло, що це число міститься в середині цієї скінченої

послідовності чисел і його можна знайти безпосереднім обчисленням.

Знайдемо це число за допомогою похідної. Для цього розглянемо функцію Курсовая: Похідна та її застосування .

Знайдемо її похідну, записавши функцію в такому вигляді:

Курсовая: Похідна та її застосування .

Тоді

Курсовая: Похідна та її застосування .

Знак похідної залежить лише від виразу, що знаходиться в дужках. Функція Курсовая: Похідна та її застосування

спадає на інтервалі Курсовая: Похідна та її застосування

, причому Курсовая: Похідна та її застосування , а Курсовая: Похідна та її застосування

. Тому на інтервалі Курсовая: Похідна та її застосування

функція f зростає, а на інтервалі Курсовая: Похідна та її застосування

– спадає. Тоді найбільше число буде Курсовая: Похідна та її застосування

або Курсовая: Похідна та її застосування . Безпосереднє

обчислення дає відповідь на поставлене в задачі запитання : Курсовая: Похідна та її застосування

є найбільшим серед десяти даних чисел.

Приклад 2. У плоску фігуру, обмежену параболою Курсовая: Похідна та її застосування

і прямою у=4, вписати прямокутник найбільшої площі так, щоб нижня основа лежала

на прямій Курсовая: Похідна та її застосування , а

вершини верхньої основи на параболі.

Розв’язання. Нехай у фігуру ABC вписано прямокутник DKMN.

Курсовая: Похідна та її застосування .

Позначимо абсциси точок M і N через Курсовая: Похідна та її застосування

, а тоді точки D і K матимуть абсцисою точку -Курсовая: Похідна та її застосування

.

Отже, DN=2Курсовая: Похідна та її застосування , де DN –

ширина прямокутника. Висота прямокутника буде дорівнювати різниці ординат точок

M і N, тобто MN=Курсовая: Похідна та її застосування .

Тоді площу прямокутника DKMN запишемо у такому вигляді:

Курсовая: Похідна та її застосування .

Розглянемо функцію Курсовая: Похідна та її застосування . Її похідна Курсовая: Похідна та її застосування . Точка Курсовая: Похідна та її застосування є точкою максимуму для функції Курсовая: Похідна та її застосування . Тоді

Курсовая: Похідна та її застосування .

Відповідь:Курсовая: Похідна та її застосування .

Приклад 3. Криволінійна трапеція обмежена графіком функції Курсовая: Похідна та її застосування

та прямими х=-1, х=2, у=0. У якій точці графіка функції треба провести

дотичну, щоб вона відтинала від криволінійної трапеції звичайну трапецію

найбільшої площі?

Розв’язання. Позначимо шукану точку через Курсовая: Похідна та її застосування

, де Курсовая: Похідна та її застосування . Запишемо

рівняння дотичної, яка проходить через точку графіка з абсцисою Курсовая: Похідна та її застосування

:

Курсовая: Похідна та її застосування ,

Курсовая: Похідна та її застосування .

Знайдемо значення цієї дотичної в точках х=-1, х=2:

Курсовая: Похідна та її застосування ,

Курсовая: Похідна та її застосування .

Площу звичайної трапеції запишемо у такому вигляді:

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування .

Розглянемо функцію

Курсовая: Похідна та її застосування Курсовая: Похідна та її застосування .

Знайдемо її похідну:

Курсовая: Похідна та її застосування

Курсовая: Похідна та її застосування .

Функція Курсовая: Похідна та її застосування має єдину критичну точку Курсовая: Похідна та її застосування , в якій вона досягає максимуму.

Відповідь:Курсовая: Похідна та її застосування .

Висновок

Мета даної курсової роботи розкрити деякі питання застосування похідної: для

дослідження функцій на монотонність та екстремум, знаходження найбільшого та

найменшого значення функцій, розглянути прикладні задачі на дослідження

функцій, а також задачі на складання рівнянь дотичної, нормалі та деяких

інших.

Для цього ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всі необхідні

теоретичні відомості, далі розглянуто алгоритми розв’язання кожного типу

задач, після чого наводиться приклади, які розв’язані з повним поясненням.

Приклади розташовані у порядку зростання складності, що дає можливість

поступово засвоювати викладення матеріалу. В роботі наводяться необхідні

геометричні інтерпретації.

Всі розглянуті приклади взяті із збірника задач з математики для середньої

загальноосвітньої школи.

На нашу думку робота буде корисною для учнів 10, 11 класів загальноосвітніх

шкіл, ліцеїв та гімназій.


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.