на число, сложение и умножение матриц.

Прежде всего договоримся считать матрицы равными, если эти матрицы имеют

одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция

составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем :

+ =

=

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 )

непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же

свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно :

1) переместительным свойством : A + B = B + A

2) сочетательным свойством : (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц

при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., n ) на

вещественное число

называется матрица C = (Cij) ( i = 1, 2, . , m; j = 1, 2, ., n ), элементы

умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число

обладает следующими свойствами :

2) сочетательным свойством относительно числового множителя:

3) распределительным свойством относительно суммы чисел :

используется естественная запись : C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., n ), имеющей

на матрицу B = (Bij) ( i = 1, 2, ., n;

матрицу B называется перемножением этих матриц. Из

столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были

определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе

матрицами одного и того же порядка.

приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

=

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на

матрицу B :

1) сочетательное свойство : (AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство :

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить

лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры

показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не

обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если

положить

A = , B = , то AB = , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство,

принято называть коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных

матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны

нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной

диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц

получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется

. Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е,

аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении

вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то

ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство

матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует

определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах

.Такой определитель

называется определителем второго порядка, поскольку для его составления

взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен

а элементы b и c его побочную диагональ. Видно, что

определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной

и побочной диагоналях . Определитель третьего и любого другого порядка

находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная

матрица

. Определителем следующей матрицы является такое выражение : a11a22a33 +

a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.. Как вы видите он

просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность.

С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов

треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае

это треугольники a12a23a31, a13a21a32.

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей

параллельные, т.е. a11a23a32 , a12a21a33. Таким образом находятся определители

любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно

сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы

сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n-ого порядка, где n

2. Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n-ого порядка

определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в

результате вычеркивания i-й строки и j-ого столбца ( той строки и того столбца,

на пересечении которых стоит элемент Aij ). Минор элемента Aij будем обозначать

символом . В

этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер

соответствующим матрице, назовем число, равное

и обозначаемое символом

. Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число

(-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит

становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд свойств, которыми

обладает произвольный определитель n-го порядка.

1. Свойство

равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы

или определителя называется операция, в результате которой меняются местами

строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате

транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая

антисимметрии при перестановке двух строк ( или двух столбцов ). При

свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для

определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно ( из формулы

вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители

отличаются лишь знаком ).

3. Линейное

свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка (a) является

линейной комбинацией двух других строк ( b и c ) с коэффициентами

и . Линейное

свойство можно сформулировать так : если в определителе n-го порядка

некоторая i-я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами

и , то

=

+

, где

– определитель, у

которого i-я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все

остальные строки те же, что и у

, а –

определитель, у которого i-я строка равна второй из двух строк, а все остальные

строки те же, что и у

.

Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его

природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех

словами , общий множитель всех элементов некоторой строки ( или некоторого

некоторого столбца ) определителя прибавить соответствующие элементы другой

строки ( другого столбца ), умножение на произвольный множитель

, то величина определителя не изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство,

допускает более общую формулировку, которую я приведу для строк : если к

элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы

строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого

определителя ( с какими угодно коэффициентами ), то величена определителя не

изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении

при чем эти системы могут быть какой угодно величены и иметь сколько угодно

переменных. С помощью нескольких выводов и формул решение огромных систем

уравнений становится довольно быстрым и более легким.

В частности, я опишу методы Крамера и Гаусса. Наилегчайшим способом является

метод Крамера ( для меня ), или как его еще называют – формула Крамера. Итак,

допустим, что мы имеем какую-либо систему уравнений

, в виде

матрицы эту систему можно записать таким образом : A =

, где ответы будут уравнений будут находится в последнем столбце. Теперь мы

введем понятие основного определителя; в данном случае он будет выглядеть

таким образом :

=

. Основным определителем как вы уже заметили является матрица составленная из

коэффициентов стоящих при переменных. Они также идут в порядке столбцов, т. е.

ибо в следующих действиях мы будем заменять каждый столбец коэффициентов при

переменной на столбец ответов уравнений. Итак, как я уже говорил, мы заменяем

столбец при первой переменной на столбец ответов, затем при второй, конечно это

все зависит от того, сколько переменных нам нужно найти.

1 = , 2 = , 3 = .

Затем нужно найти определители

1 , 2 ,

3 . Как находится определитель третьего порядка вы уже знаете. А вот здесь мы и

Определитель составленный из коэффициентов при неизвестных, называется