Курсовая: Уравнения с параметрами

Курсовая: Уравнения с параметрами

ПЛАН

Введение

Глава 1.

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

§2. Основные виды уравнений с параметрами.

Глава 2.

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

Заключение.

ВВЕДЕНИЕ

Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение

и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие

их математических способностей. Процесс обучения строится как

совместная исследовательская деятельность учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на

факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с

параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе

не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что

уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных

экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.

Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими

основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и

рекомендациями к решению.

ГЛАВА 1

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

Рассмотрим уравнение

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ...,

γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α0

,β0, ..., γ0 уравнение (F) обращается в

уравнение

F(х, у, ..., z; α0,β0, ..., γ0) =0 (F0)

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo

) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры.

Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для

каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее

множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры,

устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (F),

Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (Ф)

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ

называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество

допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой

системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений

параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений

параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у,,z; α,β, ..., γ)=0 (F)

задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, ...,

γ);

у = у(α,β, ..., γ);..

z=z (α,β, ..., γ). (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет

уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных

х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно

при всех допустимых значениях параметров:

F (x(α,β, ..., γ), y(α,β, ..., γ),.,z

(α,β, ..., γ)≡0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров α =

α0,β=β0, ..., γ= γ0

соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения

F(х, у, ..., z; α0,β0, ..., γ0) =0

§2. Основные виды уравнений с параметрами .

Линейные и квадратные уравнения.

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как

уравнение с параметрами : ах = b, где х –

неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или

контрольным значением параметра является то, при котором обращается в

нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи,

когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно

имеет единственное решение х =

.

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b.

В этом случае значение b = 0 является особым значением

параметра b.

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением

данного уравнения является любое действительное число.

П р и м е р . Решим уравнение

2а(а — 2) х=а — 2. (2)

Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых

коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются

а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих

частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях

параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом,

целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на

подмножества

A1={0}, А2={2} и Аз= {а≠0, а≠2}

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение

(2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях

параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0 х=0. Корнем этого

уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х=

откуда х= .

0 т в е т: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2,

то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а

≠2 , то х=

П р и м е р . Решим уравнение

(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (3)

Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в

том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠

1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит,

целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся

из него при следующих значениях параметра: 1) а=l; 2) а

≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (3) примет вид бх+7=0. Из этого

уравнения находим х= - .

2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при

которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то

при переходе значения D через точку ао дискриминант

может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при

а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао

меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере

при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>а

о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о

качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых

обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным

значениям.

Составим дискриминант уравнения (3):

=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим а= — второе контрольное значение параметра а. При

этом если а < , то D <0; если a≥ , , то D≥0.

a ≠ 1

Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а<

и в случае, когда { a≥

, a ≠ 1 }.

Если а< , то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же

{ a≥ , a ≠ 1 }, то находим

Ответ: 1) если а< , то корней нет ; 2) если а= 1, то х = - ;

3) a ≥ , то

a ≠ 1

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное

уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий

знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным

им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые

обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта

задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется

находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е.

решать соответствующие уравнения относительно параметра.

П р и м ер . Решим уравнение

(4)

Р е ш е н и е. Значение а=0 является контрольным. При a=0

уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если

а≠0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х2+2 (1 — а) х +а2 — 2а — 3=0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

= (1 — a)2 — (a2 — 2а — 3) = 4.

Находим корни уравнения (5):

х1 =а + 1, х2 = а — 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась

область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних

корней. Поэтому необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х

1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х

2+2=0.

Если х1+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а= — 2.

Таким образом, при а= — 2 х1 — посторонний корень уравнения

(4).

Если х1+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а= — 3.

Таким образом, при а= — 3 x1 — посторонний корень

уравнения (4).

Если х2+1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а=2.

Таким образом, при а=2 х2 — посторонний корень

уравнения (4)'.

Если х2+2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким

образом, при а= 1 х2 — посторонний корень уравнения

(4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

только х2 только х2 корней нет только х1 только х1

х1,2 х1,2

1,2 х1,2

-3 -2 0 1 2

а

В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х= — 3 — 3= — 6;

при a= — 2 х= — 2 — 3= — 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3.

Итак, можно записать

От в ет: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= —

2, то х= — 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l,

то х=2; 5) если а=2, то х=3;

6) если а≠ -3 ;

а≠ -2 ;

а≠ 0 ; то х1 = а + 1,

а≠ 1 ; х2 = а – 3.

а≠ 2,

Иррациональные уравнения с параметрами.

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с

параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

П р и м ер . Решить уравнение х - = 1. (6)

Решение:

Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей

проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

= х – 1 (7)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и

проведения тождественных преобразований получим:

2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.

Особое значение : а = 0,5. Отсюда :

1) при а > 0,5 х1,2 = 0,5 ( 1 ± );

2) при а = 0,5 х = 0,5 ;

3) при а <0,5 уравнение не имеет решений.

Проверка:

1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное

исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является

решением (7) и уравнения (6).

2) при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ± ) в (7) получим:

-0,5 ( 1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))2

Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не

удовлетворяет исходному уравнению.

3) Подставим х2 в уравнение (7):

=

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а

≥1, а х2 может быть корнем уравнения (6) при а >

0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1.

Тригонометрические уравнения.

Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к

решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении

таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических

функций у = sin x и y = cos x. Рассмотрим примеры.

Пример . Решить уравнение: cos =2а.

Решение: Так как Е(соs t)=[-1; 1], то имеем два случая.

1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.

2. При |a| ≤0,5 имеем:

а)

=arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2

πn≥0, то n может принимать значения n=0, 1, 2,

3,.... Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а

)2

б) =-аrссоs2

а+πn. Так как уравнение имеет решение при условии, что

-аrссоs2а+2πn>0, то n=1, 2, 3,..., и

решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)2 .

Ответ: если |a| > 0,5, решений нет;

если |a| ≤0,5 , х = 1+(2πn+аrссоs2а)

2при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2πn-arccos2a

)2 при n

N.

Пример . Решить уравнение: tg ax2 =

Решение:.

ах2 = +πn, n Z

Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое

значение параметра. В данном случае:

1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.

2. Если а 0, то х2 = , n Z

Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n

и а выполняется это условие:

≥0

откуда n ≥ и а > 0 или n ≤ и а < 0.

Итак, уравнение имеет решение х = ± , если

1) а > 0 и n = 1,2,3,. или

2) а < 0 и n Z.

Ответ: при а = 0 решений нет;

при а > 0 и n = 1,2,3,. или а < 0 и n Z х = ± .

Пример. Решите уравнение: а sin bx = 1

Решение: Особое значение параметра а : а = 0.

1. При а = 0 решений нет.

2. При а 0 sin bx = . Имеем 2 случая:

2.1. Если > 1, то решений нет.

2.2. Если ≤ 1, то особое значение b = 0:

2.2.1. Если b = 0, то решений нет.

2.2.2. Если b 0, то х =

Ответ: при а = 0 или > 1 и а 0 или а 0 b = 0 решений нет;

при а 0 и ≤ 1 и b 0 х =

Показательные уравнения с параметрами.

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным

показательным уравнениям вида а f (x) =

b φ(х) (*), где а > 0, b

> 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение

областей допустимых значений функций f(x) и φ (х).

Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является

область его допустимых значений D.

2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*)

служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых

значений D.

3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*)

находится как решение уравнения f(х) = 0 на области

D.

4) При а = b (а > 0, а ≠ 1,

b >0, b ≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению

f(х) = φ(х) на области D.

5) При а ≠ b (а > 0, а ≠

1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно

уравнению

log c a f(x) = log c b φ(x) (c > 0, c ≠ 1) на области D.

Пример. Решите уравнение: а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х R.

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3.

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1.

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b

>0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х

х = 1.

6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1,

b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение

по основанию а, получим:

, х + 1 = ( 3 – х ) log a b ,

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3.

при а ≠ 1, b = 1 х = -1

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)

Логарифмические уравнения с параметром.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению

корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения

уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных

корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 – log (1 + х) = 3 log а - log ( х 2 – 1 )2

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного

уравнения:

log а а2 + log ( х2 - 1) = log а ()3 + log a,

log а ( а2 (х2 - 1)) = log а (()3 ),

а2 (х2 - 1) = (х - 1) ,

а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части

уравнения на (х - 1)

а2 =

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а4 (х + 1) = х – 1 а4 х + а4 = х – 1 х( 1 - а4 ) = а4 + 1

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно

выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 –

а4 > 0, то есть при

а < 1.

Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 <

a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1

ГЛАВА 2

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде.

Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при

изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие

задания:

1) При каком р уравнение х2 – 2х + 1 = р имеет один корень ?

2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного

уравнения

х2 + ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?

В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами

целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период

вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать

уравнения с одним параметром.

Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство

уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в

зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества

допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества

находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить

внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого

значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет

это уравнение и какого вида.

На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:

1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет

хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.

2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при

которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений

на множестве М.

3) на исследование: для каждого параметра найти все решения

заданной задачи.

Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура

следующая:

Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений

с параметрами.

Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных

уравнений с параметрами.

Занятие№4. Тест

Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений

с параметрами.

Занятие№7. Решение показательных и логарифмических

уравнений с параметрами.

Занятие№8. Тест

Занятие№1

Занятие№2

Занятие №3

Занятие № 4.

Вариант I.

1. Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.

а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ;

б) при k-2 корней нет; при k=-2 ;

в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .

1. Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2 – 5а+6 относительно х

а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ;

в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 .

1. При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет

   отрицательное решение.

а) b<1 ; б) b>1 ; в) b=1

1. При каких значениях а парабола у = ах2 – 2х +25 касается оси х?

а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.

1. При каких значениях k уравнение (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3

   = 0 имеет единственное решение?

а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .

1. Решите относительно х уравнение

а)при b+1, b ; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

б)при b ; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;

в)при b= ; при b=±1 нет смысла.

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение

а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0

1. При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25<а≤ 0 ; в) –0,25<а< 0

1. При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?

а) с( - ∞ ;

-1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с

( - ∞ ; -1,5√3)

Вариант II.

1. Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х.

а) при а=-2 корней нет; при а-2 ;

б) при а-2 корней нет; при а=-2 ;

в) при а-2 и а- корней нет; при а=-2 .

1. Решите уравнение (а 2 - 81)х = а2 + 7а - 18 относительно х

а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 и а9 ;

б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а-9 и а9 ;

в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 ;

1. При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет

   отрицательное решение?

а) b<3 ; б) b<2 ; в) b>3

1. При каких значениях k уравнение kx2 – (k - 7)x + 9 =0

   имеет два равных положительных корня?

а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 .

1. При каких значениях а уравнение ax2 - 6x+а = 0

   имеет два различных корня?

а) а( - 3 ; 0)U(0; 3

); б) при а( - 3 ;

3) ; в) с( -

∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)

1. Решите относительно х уравнение

а)при а1,а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

б) при а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;

в) при а1, а-0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение ?

а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6

1. При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?

а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1

1. При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?

а) с( - ∞ ;

-1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с

( - ∞ ; -1,5√3)

Занятие №5-6

Занятие №7

Занятие №8.

Вариант I.

1. Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений параметра.

а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos ; при b(-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;

б) при b [ -1; 0,5 ] х = ± arcos ; при b(-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;

в) b(-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;

1. Найдите все действительные значения параметра а, при

   которых уравнение sin2 x – 3sin x + a

   =0.

а) a [ -4; 2 ] ; б) а ( -4 ; 2) ; в) а [ - 4; 2 ).

1. При каких значениях а уравнение cos4 x

   + sin4 x = a имеет корни?

а) a [ 0,5; 1 ] ; б) а [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ - 0,5; 1 ).

1. Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, а1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а > 0 х R ; при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.

в) при а = 1 х R ; при а > 0, а1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.

1. При каких значениях параметра уравнение 4х –

   а2 х+1 – 3а2 + 4а = 0 имеет

   единственное решение?

а) 2; б) 1 ; в) -1.

1. Решите уравнение log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.

а) при а ≤ 1 х = 0,5( 2+ ) ; при а =100 х = 1.

б) при а > 100 реш. нет; при 1<a<100 х = 0,5( 2+ ); при а =100 х = 1;

при а ≤ 1 не имеет смысла .

в) при а > 100 реш.нет ; при 1<a<100 х = 0,5( 2+ ) ;

при а ≤ 1 не имеет смысла .

7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение

имеет только один корень 1+ log 2 (ax) = 2 log 2

(1 - x)

а) а > 0, а = 2 ; б) а > 0, а = - 2 ; в) а < 0, а = - 2 .

1. Решите уравнение а > 0, а1

а) а ; ; б) а2 ; - ; в ) а2 ;

Вариант II.

1. Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.

а) при |b| ≤ 1 х = ; при |b| > 1 реш.нет;

б) при |b| ≤ 1 и b=0 х = ; при |b| > 1 реш.нет;

в) при |b| > 1 х = ; при |b| < 1 реш.нет;

1. Найдите все действительные значения параметра а, при

   которых уравнение cos2 x + asin x =2

   a -7.

а) a ( 2 ; 6 ) ; б) а ( 2 ; 4 ] ; в) а [ 2 ; 6 ].

1. При каких значениях а уравнение cos6 x

   + sin6 x = a имеет корни?

а) a [ 0,25; 0,5 ] ; б) а [ 0,25 ; 1 ] ; в) а [ - 0,25; 1 ].

1. Решите уравнение

а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла.

б) при а = 1 х

R ; при а > 0, а

1 х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.

в) при а > 0х R ; при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.

1. При каких значениях параметра уравнение а( 2

   х + 2-х ) = 5 имеет единственное решение?

а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ;

в) –2,5.

1. Решите уравнение 3 lg (x – а) - 10 lg ( x - а)+1 = 0.

а) х = а + 1000, х = а + 3√10 ;

б) х = а - 3√10 , х = а –1000 ;

в) х = а - 3√10 , х = а + 1000 .

7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение

имеет только один корень

а) 4 ; б) -4 ; в) - 2 .

1. Решите уравнение а > 0, а1

а) -1 ; а ; б) 1 ; - а; в ) 1 ; а

Заключение.

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит

повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение

программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор,

тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие

математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и

обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это

помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких

качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила

воли и точность.

Литература.

1. С.И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры.

   Москва-1962.

2. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998.

3. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" №36/2001;

   №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.