РУБРИКИ

Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия

Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия

Пермский Государственный Технический Университет Кафедра МКМК КУРСОВАЯ РАБОТА Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием. Анализ НДС вблизи отверстия. Исполнитель: студент группы ПКМ-96 Шардаков А.П. Проверил: Ташкинов А.А. 1999 г. Оглавление 1. Общетеоретическая часть................................................3 2. Прикладная часть 2.1 Физическая постановка задачи............................................9 2.2 Упругие свойства материала..............................................9 2.3 Математическая постановка задачи.......................................10 2.4 Аналитическое решение..................................................10 2.5 Иллюстрация распределения напряжений...................................11 Используемая литература.......................................................12 Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )..............................13 Приложение 2. (График распределения напряжений)...............................14 1. Общетеоретическая часть
Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Подпись: р1
Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей. Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (1) Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (2) В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия . Но в уравнения равновесия (2) не входит Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия , тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1 (x1,x2) и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются условия: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (3) Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (4) Введем также еще две функции F(x1,x2) и y(x1,x 2), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x 2) и y(x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия . Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (5) где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn. Обозначим Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия а выражение для Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия будет равно: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Теперь введем приведенные коэффициенты деформацииКурсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия , для которых имеет место выражение: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия , где i,j=1..6 (6) Подставим выражение для Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия в обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (7) Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой системе величины Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия - константы, величины Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия и D зависят от двух координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат. Система (7) является системой в частных производных относительно ui и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (8) Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (9) Аналогично с 5-ым уравнением: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (10) Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (11) Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (12) Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (13) Исходя из того, что: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия функция D будет иметь вид: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (14) Тогда с учетом системы (7) получим: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (15) Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования, сложения и вычитания) получим: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (16) Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (17) Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений через функции F(x1,x2) и y(x1,x2) и группируя получим: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (18) где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами. Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия F0 и y0 - общее решение соответствующей однородной системы: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (19) F* и y* - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно. Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее y0: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (20) В силу симметрии L их можно менять местами: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (21) Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка для функции F. Аналогично находим уравнение для y: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (22) Оказалось, что F0 и y0 должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение (21) представить в виде: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (23) Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x 1 и x2 для Dk имеем: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия (24) где Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия - это корни алгебраического (характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21). Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие общие выражения: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих рассуждений. Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому можно утверждать, что числа Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия в общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или чисто мнимые. Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела. 2. Прикладная часть 2.1 Физическая постановка задачи.
Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия
Подпись: р
Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим отверстием в центре. Направление главных осей эллипса совпадает с главными осями упругости материала, усилия приложены на бесконечности вдоль главных осей. Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р - усилие на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2. Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее -р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и построить их эпюру. 2.2 Упругие свойства материала. Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками: Е1=13,0 ГПа; Е2=19,8 ГПа; Е3=7,8 ГПа; G12=4,05 ГПа; G13=6,4 ГПа; G23=3,2 ГПа; n13=0.25; n32=0.14; n12=0.176; n23=0.06. 2.3 Математическая постановка задачи. Уравнения равновесия применительно к нашей задаче, когда напряжения зависят только от двух координат и fi=0, запишутся так: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Граничные условия будут иметь следующий вид: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия или в развернутом виде применительно к нашей задаче: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия где n - нормаль к контуру отверстия. 2.4 Аналитическое решение. Решая данную задачу по методу изложенному в первой части с учетом того, что материал у нас ортотропный выясняем что характеристическое уравнение для определения коэффициентов Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия распадается на уравнения 4 и 2 степени: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Отсюда немедленно вытекают следующие соотношения: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Как мы увидим в дальнейшем этих соотношений достаточно и искать непосредственно Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия не требуется. Для решения нашей задачи воспользуемся формулами полученными в работе [1]. Нам надо будет провести только некоторые обобщения и объединение этих формул. Определим для начала необходимые нам константы аij: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия введем теперь следующие обозначения: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Беря уравнение контура в параметрическом виде, т.е. полагая: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия введем еще обозначения для функций, зависящих от параметра Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия : Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Нас будет интересовать только напряжение у края отверстия - Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия где, как показывает ряд решенных задач, оно получается наибольшим. Опуская промежуточные выкладки приведем две формулы (при растяжении вдоль большой и малой оси эллипса): Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия для нашей задачи в силу принципа суперпозиции (а его можно применить, так как мы рассматриваем линейную связь между напряжениями и деформациями, а также считаем их малыми) получим следующую общую формулу: Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия 2.5 Иллюстрация распределения напряжений. Для построения эпюры напряжений на краю отверстия воспользуемся возможностями математического пакета MathCad 7.0. Используя найденную нами формулу рассчитаем напряжения Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия в зависимости от угла и отложим их на графики от контура отверстия на продолжении лучей, проведенных из центра через данные точки контура. Положительные напряжения изображены стрелками направленными от центра к периферии, отрицательные - стрелками направленными к центру. При расчетах полагалось р=1. Результаты расчета и график распределения напряжений приведены соответственно в приложениях 1 и 2. Проведем небольшой анализ полученных результатов. Как мы видим максимальное напряжение наблюдается в точках Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия , оно равно -6р. То есть наблюдаем концентрацию в 6 раз по сравнению с пластинкой без отверстия. Используемая литература: 1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Гостехиздат М. 1950 г. 2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. "Наука" М. 1977 г. 3. под ред. Любина Д. Справочник по композиционным материалам.. Машиностроение М. 1988 г. Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Курсовая: Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Приложение 2. (График распределения напряжений)


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.