Лекция: Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

Лекция: Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не

отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных

уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов,

положенных в основу работы объекта.

Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного

тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким

трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре

U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=j(t). Уравнение

электрической цепи имеет вид

,

где - противо ЭДС,

- угловая скорость вала двигателя,

- единый электромагнитный коэффициент.

Уравнение моментов будет иметь следующий вид

,

где , J - момент

инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.

Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=w, x3=j.

Получим

,

.

Запишем эти уравнения относительно переменных , ,

,

,

,

.

Запишем матричные уравнения

,

,

где

, , .

Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем

постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.

Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем

постоянного тока

Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой

груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим

демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t),

управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из

уравнения равновесия сил

,

где - инерционная

сила, f - коэффициент вязкого трения,

- сила сопротивления демпфера,

- сила сопротивления пружины.

Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и

- перемещение и скорость перемещения соответственно.

Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и

вязкий демпфер

Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество

переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза

можно записать в виде двух уравнений

где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.

Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода

.

Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической

системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде

,

.

Запишем это уравнение в другом виде

,

,

где , , , , .

С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему,

где двойными линиями показаны векторные переменные.

Рис. 2.3. Структурная схема

Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC цепи

Рис. 2.4. RLC цепь

Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при

t³t0, если известны начальные значения: i(t0), e

c(t0) и входное напряжение e(t) при t³t0,

следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и

ec(t). При указанных переменных состояния i(t) и ec(t)

имеем следующие уравнения

где , .

Введем следующие обозначения

В соответствии с этими обозначениями получаем

причем .

Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-

матричном виде

,

.

Запишем матричные уравнения

,

,

где , , , .