 |
РУБРИКИ |
Методические указания: Численные методы |
РЕКОМЕНДУЕМ |
||
|
Методические указания: Численные методыМетодические указания: Численные методы8 ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.1 Введение Одномерный определенный интеграл вида с пределами интегрирования можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной отрезками прямых , осью абсцисс и графиком подынтегральной функции Если известна первообразная для легко определяется по формуле Ньютона-Лейбница Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с помощью асимптотических рядов. Однако в общем случае может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами Рис. 8.1 подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются так называемые классические» методы численного интегрирования по квадратурным формулам: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией . Хотя эти методы обычно предпочтительны в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для вычисления последних наиболее пригоден метод Монте-Карло (численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин). 8.2 «Классические» методы Во всех этих методах отрезок интегрирования разбивается на достаточно большое число равных частей, на которых строятся искомые площади (рис. 8.2): Оценкой площади под кривой служит сумма площадей криволинейных трапеций Простой прием построения формул для расчета интегралов состоит в том, что подынтегральная функция заменяется на отрезке Рис.8.2 8.2.1 Метод прямоугольников Простейшей оценкой искомой площади слижит сумма площадей прямоугольников, заменяющих криволинейные трапеции, как показано на рисунке 8.3.а. Рис.8.3 В обычном методе прямоугольников значение вычисляется в начале каждого отрезка и оценка интеграла дается выражением Просуммировав элементарные площади фигур, построенных на сегментах получим примерное значение искомого определенного интеграла Погрешность приближения показана на рисунке 8.3.а закрашенной фигурой. Одна из модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении не в начальной, а в средней точке каждого отрезка (рис.8.3.б). В этом случае искомый интеграл оценивается выражением 8.2.2 Метод трапеций Другим приближением является формула трапеций, в которой интеграл оценивается вычислением суммы площадей элементарных трапеций со сторонами, равными значениям и конце элементарного отрезка. Это приближение равносильно замене функции отрезком прямой, соединяющей значения в начальной и конечной точках отрезка (рис.8.4). Рис.8.4 Площадь каждого элементарного сегмента разбиения считается по формуле Просуммируем элементарные площади т.к. Погрешность приближения (как и в предыдущем случае) показана на рисунке 8.4 закрашенной фигурой. 8.2.3 Метод Симпсона (парабол) Более высокую точность расчетов обеспечивает использование параболической (квадратичной) интерполяции по трем соседним точкам отрезка (рис.8.5). Уравнение полинома второй степени, проходящего через точки можно записать в виде (8.4) (см. раздел 7 «Интерполяция полиномами Лагранжа»). Проинтегрировав (8.4) с учетом того, что получим под параболой отрезке Просуммировав все элементарные площади, получим (8.5) причем 8.2.4 Условия применимости, точность и сходимость классических методов А. Практически все выведенные формулы применимы для численного интегрирования достаточно регулярных функций т. е. для функций, которые можно аппроксимировать полиномом: В методе прямоугольников на каждом малом сегменте заменяется прямой, описываемой первым членом в разложении (8.6): (рис.8.3). В методе трапеций для берутся два члена разложения: (рис.8.4); метод Симпсона (парабол) учитывает еще и третий член разложения: (рис.8.5). Если функция», то можно вычислить с отрезка удвоить число отрезков и снова вычислить эту площадь . Если вычисления завершаются. В противном случае число разбиений вновь увеличивается вдвое до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. Очевидно, что величина погрешности зависит от характера функции , ее поведения на концах отрезка интегрирования, следовательно, никакой численный метод не может быть рекомендован как универсальный. Применение конкретного метода зависит от вида подынтегральной функции . Б. Не вдаваясь в математические тонкости выведения формул погрешностей вычисления интеграла различными методами, приведем лишь сами формулы. (Любознательных читателей, интересующихся выводами, отсылаем к учебникам по математическому анализу, например [3,4]). Итак, формулы для оценки погрешности численного интегрирования методом: 1) прямоугольников (обычным и модифицированным) 2) трапеций 3) Симпсона где Очевидно, формула Симпсона обладает повышенной точностью: 1) она оказывается точной для являющихся полиномами до третьей степени включительно, т.к. для этих случаев производная четвертого порядка равна нулю; 2) для достижения той же точности, что и в формуле трапеций, в формуле Симпсона можно брать меньшее число отрезков разбиения. В. Выше уже рассматривалась процедура оценки одномерных определенных интегралов, т.е. для выбранной классической формулы интегрирования вычисляются и значения ли последовательность к истинному значению интеграла и существует ли какой-нибудь способ экстраполяции к пределу? Рассмотрим этот вопрос на примере метода прямоугольников. Т.к. погрешность приближения в методе убывает как то —экстраполированное значение связано с — значением интеграла при разбиениях соотношением: Отсюда сходимость данной последовательности очевидна. Следовательно, формула прямоугольников дает последовательность сходящуюся к некоторому числу Т.к. ошибка метода трапеций имеет тот же порядок а метода Симпсона меньший порядок то очевидно, что последовательности в методах трапеций и Симпсона также сходятся к некоторым пределам. 8.2.5 Численное интегрирование многомерных интегралов классическими методами Все геометрические и механические величины, связанные с плоским непрерывным распределением массы вдоль некоторой фигуры, выражаются двойным интегралом. Например, элементарные статические моменты и моменты инерции относительно осей координат, а также координаты центра тяжести плоской фигуры рассчитываются по формулам, включающим в себя двойные интегралы. Многие физические задачи содержат усреднение по нескольким переменным, требующее вычисления многомерных интегралов порядка Таким образом, встает задача о вычислении многомерных интегралов. Рассмотрим численное интегрирование классическими методами на самом простом примере двойного интеграла Определим некоторую функцию тогда (8.10) Для расчета интеграла (8.9) отрезок интегрирования необходимо разбить на частей; разобъем для простоты отрезок также на вычислим интегральную сумму для (8.9) по точкам одним из описанных классических методов. Очевидно, для расчета интеграла третьего порядка потребуется считать сумму по точкам, для интеграла — по точкам. Понятно, что для больших значений обычные численные методы становятся неприемлемыми. Для таких расчетов применяется метод Монте-Карло. 8.3 Метод Монте - Карло Основывается на теореме о среднем: если на отрезке задана некоторая непрерывная интегрируемая функция то найдется такая точка, принадлежащая этому отрезку, что справедлива формула Т.е. площадь криволинейной трапеции можно заменить площадью прямоугольника , одной из сторон которого является отрезок , а численное значение другой стороны — (рис.8.6). Выберем на отрезке показать, что при достаточно большом т.е. Рис.8.6 Для двойного интеграла метод Монте-Карло дает следующую формулу интегрирования: (8.12) где Метод Монте-Карло, как и классические методы, дает приближенные результаты. Погрешность метода Монте-Карло В отличие от классических методов эта погрешность не зависит от вида подынтегральной функции и от кратности интеграла. Заметим, что ошибку можно сделать сколь угодно малой, либо увеличивая число испытаний , либо применяя дополнительно методы существенной выборки или случайного блуждания (интересующихся этим вопросом отсылаем к теории вероятностей). 8.4 Примеры Пример 1. Вычислить интеграл по формуле трапеций, разделив отрезок на 10 равных частей, и оценить погрешность вычислений. Оценим ошибку метода. Для этого найдем вторую производную подынтегральной функции: На отрезке положительна, причем ее значение ограничено сверху: Таким образом, используя формулу (8.7.б) имеем: полагая Итак, приняв на заданном участке интегрирования мы сможем получить интеграл от заданной функции с погрешностью, не превышающей 0,001375, если будем вести вычисления таким образом, чтобы погрешность округления не исказила окончательный результат в пределах точности метода. В соответствии с формулой трапеций (8.3) и учетом рассчитанной ошибки получим Пример 2. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле Симпсона при том же числе отрезков разбиения Для оценки остаточного члена найдем производную четвертого порядка от подынтегральной функции Значение ограничено числом 14. Используя формулу (8.7.в), получаем оценку: Приведем полученный результат в соответствии с оценкой Сравнивая этот результат со значением интеграла, полученным в примере 1, заметим, что при одинаковом числе отрезков разбиения формула Симпсона дает ответ с большим числом верных знаков. Посмотрим, как можно было бы воспользоваться в данном случае формулой (8.7.в). Пусть требуется найти значение заданного интеграла с точностью Тогда по формуле (3.7.в) получим: Отсюда Следовательно, для достижения точности достаточно было разбить отрезок на 9 частей. Пример 3. Вычислить интеграл из примера 1 по формуле Симпсона методом повторного счета. В 8.2.4 уже отмечалось, что существует прием, позволяющий не делать рассмотренную выше оценку точности вычисления. А именно: искомый интеграл вычисляется дважды. Для оценки погрешности, например, метода трапеций при этом может использоваться простая формула. Пусть и интегрирования по формуле трапеций соответственно при и разбиения. Учитывая приведенную оценку, можно составить равенство Полученная формула удобна для практической оценки погрешности метода трапеций, но требует двойного счета (аналогично получаются формулы и для всех остальных рассмотренных методов). Из оценочных формул (8.7) следует, что ошибка интегрирования уменьшается с уменьшением шага интегрирования. На основании этого хотелось бы сделать вывод, что при последовательном увеличении числа отрезков разбиения мы будем получать значения интеграла все более и более близкие к истинному. Но в процессе практических вычислений при последовательном удвоении числа отрезков разбиения начинает сильно увеличиваться удельный вес ошибки округления, значение которой с некоторого момента ставит предел достижимой точности результата интегрирования. Итак, если требуемая точность не достигается, в программе должен предусматриваться повторный счет с шагом, уменьшенным вдвое. Схема соответствующего алгоритма приведена на рисунке 8.7. В блок-схеме буквами
ввод a, b, eps, n
J(n) = 0
h = (b - a)/n, S = (f(a) - f(b))/2
x = a + h
S = S + 2f(x) + f(x + h) x < b да J(2n) = 2hS/3, n = 2n M = J(n) - J(2n), J(n) = J(2n)
да M > 15 eps нет вывод J(2n) Рис. 8.7 Расчет интеграла по приведенной схеме с заданной точностью Замечание: если функция меняет знак на отрезке в конечном числе точек, то интеграл равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции отрезками оси отрезками, параллельными оси . 8.5 Контрольные вопросы 1. В чем сходство и различия между методами прямоугольников, трапеций, Симпсона? Чем эти методы отличаются от метода Монте-Карло? 2. Как влияет на точность интегрирования величина шага ? Как можно прогнозировать примерную величину шага для достижения заданной точности интегрирования? 3. Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования, уменьшая величину шага? 8.6 Задания к лабораторной работе № 8
Задание № 11. Составить программу и вычислить на ЭВМ интеграл заданной функции на отрезке точностью методами, указанными преподавателем. Сравнить точность полученных результатов с точным значением интеграла. 2. Определить, какое число отрезков разбиения обеспечило бы достижение точности при вычислении заданного интеграла по формуле трапеций. 3. В оформленной работе должны быть приведены все составленные алгоритмы или блок-схемы методов, программы и результаты расчетов, ответы на контрольные вопросы. После выполнения заданий необходимо сравнить полученные результаты и сопоставить в них верные цифры.
Страницы: 1, 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(8.1)
то интеграл
и 
интерполяционным многочленом 
и получается приближенное равенство
где 
где 
(8.2.а)
где 
(8.2.б)
в начале
где 
то полная площадь определяется выражением
(8.3)
— площадь
на
— обязательно четное число.
(8.6)
— «гладкая
разбиениями
, а затем
то
(8.7.а)
(8.7.б)
(8.7.в)
для приемлемого
. Сходится
(8.8)
как внутренний интеграл по переменной 
(8.9)
частей и
-мерного
(8.11)
случайных точек 
Можно
выполняется условие
— среднее между ординатами случайно выбранных точек 
— количество испытаний (случайных выборок).
— оценка 
для 
случайных выборок;
— независимые случайные числа на отрезках
(8.13)
всюду
, получим 
на отрезке 
— погрешности
отрезках
отсюда 
следовательно, 
и 
обозначены концы отрезков интегрирования;
— точность расчета;
— первоначальное число отрезков разбиения.
x = x + h 
нет
дает 
.
и
с
© 2010 |
|