РУБРИКИ

Методические указания: Интерполяция

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

7 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ

7.1 Постановка задачи

Предположим, что задано Методические указания: Интерполяция различных точек плоскости:

Методические указания: Интерполяция (7.1)

Требуется найти функцию Методические указания: Интерполяция

, значения которой при данных значениях абсциссы Методические указания: Интерполяция

в точности равны соответствующим ординатам заданных точек:

Методические указания: Интерполяция

Т.е. нужно найти линию, описываемую уравнением Методические указания: Интерполяция

, проходящую через Методические указания: Интерполяция

данную точку (рис.7.1).

Методические указания: Интерполяция

Рис.7.1

Заметим, что здесь приходится различать два случая:

1) интерполяцию (от лат. interpolar — подновлять) —

восстановление промежуточных значений функции внутри интервала Методические указания: Интерполяция

по ряду известных ее значений;

2) экстраполяцию (лат. приставка extra означает «вне») — когда

не вошедшее в исследование значение Методические указания: Интерполяция

лежит вне интервала Методические указания: Интерполяция

.

Очевидно, интерполяция более надежна, чем экстраполяция.

Вообще говоря, существует бесконечное число линий, проходящих через Методические указания: Интерполяция

заданную точку. Потребуем, чтобы искомая линия была простейшей, т.е. значения

функции, задающие эту линию, должны находиться при помощи простейших операций

(сложения, умножения). Этому требованию отвечают многочлены (полиномы), т.е.

выражения вида:

Методические указания: Интерполяция (7.2)

Зная численные значения коэффициентов Методические указания: Интерполяция

многочлена, мы можем найти его ординату при любом значении переменной Методические указания: Интерполяция

. Наконец, из двух многочленов условимся считать простейшим тот, степень

которого ниже.

Итак, приходим к задаче о полиномиальной интерполяции: пусть даны Методические указания: Интерполяция

различных чисел Методические указания: Интерполяция и Методические указания: Интерполяция

соответствующих им чисел Методические указания: Интерполяция

, требуется найти многочлен Методические указания: Интерполяция

наименьшей возможной степени, удовлетворяющий Методические указания: Интерполяция

условиям:Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

7.2 Интерполяционный многочлен Лагранжа для произвольных узлов

Для решения предложенной задачи зафиксируем одну ординату Методические указания: Интерполяция

, а остальные будем считать равными нулю (рис.7.2), т.е. заданным значениям

абсцисс Методические указания: Интерполяция ставятся

в соответствие значения ординат Методические указания: Интерполяция

Из свойств многочленов следует, что многочлен, обращающийся в нуль в Методические указания: Интерполяция

разных точках, т.е. имеющий Методические указания: Интерполяция

различных корней, должен

делиться на каждую из Методические указания: Интерполяция разностей:

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

Рис.7.2

а следовательно, и на произведение этих разностей, т.е. его степень не может

быть ниже Методические указания: Интерполяция . В таком

случае многочлен должен иметь вид

Методические указания: Интерполяция

(7.3)

Из условия Методические указания: Интерполяция определим значение const

Методические указания: Интерполяция

,

таким образом находим

Методические указания: Интерполяция

(7.4)

В полученном выражении никакого особого преимущества Методические указания: Интерполяция

не имеет, мы можем приписать эту особую роль любому Методические указания: Интерполяция

, т.е. если абсциссам Методические указания: Интерполяция

поставить в соответствие значения Методические указания: Интерполяция

, указанные в любой из следующих строк:

Методические указания: Интерполяция

то выражение для многочлена, принимающего при соответствующих значениях

абсцисс численные значения, выписанные в одной из строк, будет аналогично

рассмотренному, т.е.

Методические указания: Интерполяция

(7.5)

Общее решение является суперпозицией (суммой) частных решений (7.5)

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

(7.6)

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По наборам исходных пар (7.1)

формула (7.6) позволяет достаточно просто составить «внешний вид» многочлена.

Используя обозначение

Методические указания: Интерполяция , (7.7)

формуле Лагранжа можно придать более сжатый вид. Продифференцируем Методические указания: Интерполяция по Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

;

при Методические указания: Интерполяция имеем:

Методические указания: Интерполяция

. (7.8)

Формула Лагранжа с учетом (7.7) и (7.8) примет вид:

Методические указания: Интерполяция

или Методические указания: Интерполяция (7.9)

В рассмотренном случае предполагалось, что точки Методические указания: Интерполяция

расположены на отрезке Методические указания: Интерполяция

произвольно. Рассмотрим формулу Лагранжа, для равноотстоящих значений абсцисс.

7.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа для равностоящих узлов

Пусть на отрезке Методические указания: Интерполяция

задана система равноотстоящих узлов Методические указания: Интерполяция

которыми отрезок делится на Методические указания: Интерполяция

равных частей

Методические указания: Интерполяция где Методические указания: Интерполяция

В этом случае интерполяционный многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих

узлах и имеет более удобный вид.

Обозначим Методические указания: Интерполяция , где Методические указания: Интерполяция . Отсюда:

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

..................................................

Методические указания: Интерполяция

Т.е. в общем случае:

Методические указания: Интерполяция (7.10)

Используя (7.10) и принятое обозначение Методические указания: Интерполяция получим:

Методические указания: Интерполяция (7.11)

Учитывая, что Методические указания: Интерполяция найдем:

Методические указания: Интерполяция (7.12)

Заметим, что в (7.12) ровно Методические указания: Интерполяция

строк (Методические указания: Интерполяция -я строка

отсутствует); причем численные значения Методические указания: Интерполяция

первых строк положительны, а остальные — отрицательны. Используя (7.12),

получим:

Методические указания: Интерполяция

т.е.

Методические указания: Интерполяция (7.13)

Методические указания: Интерполяция

С учетом (7.11) и (7.13) формула Лагранжа для равноотстоящих

узлов примет вид:

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

(7.14)

7.4 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

На практике часто встречается случай, когда интерполяционная функция подбирается

для таблиц с равноотстоящими значениями аргумента Методические указания: Интерполяция

Рассмотрим метод построения интерполирующей функции, основанный на вычислении

конечных разностей.

7.4.1 Конечные разности

Назовем конечными разностями разности между значениями функции в

соседних узлах интерполяции:

Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

где Методические указания: Интерполяция Полученные

конечные разности будем называть разностями первого порядка. Из разностей

первого порядка получим разности второго порядка:

Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

где

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Повторяя процедуру, получим конечные разности третьего порядка:

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Для конечных разностей Методические указания: Интерполяция -го порядка:

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

В результате получим таблицу конечных разностей:

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

.............

Методические указания: Интерполяция

Используя понятие конечных разностей выведем интерполяционную формулу Ньютона

для равноотстоящих узлов Методические указания: Интерполяция

7.4.2 Интерполяционная формула Ньютона

Полином Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция -й степени (т.е. имеющий Методические указания: Интерполяция корней)

Методические указания: Интерполяция

перепишем в виде

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

где Методические указания: Интерполяция — узлы интерполяции.

Т.к. полином Методические указания: Интерполяция

выбирается таким образом, чтобы Методические указания: Интерполяция

— значения заданной функции совпадали с Методические указания: Интерполяция

— значениями интерполирующей функции в узлах, то, полагая Методические указания: Интерполяция

найдем Методические указания: Интерполяция

1. Полагая Методические указания: Интерполяция найдем Методические указания: Интерполяция

2. Полагая Методические указания: Интерполяция найдем Методические указания: Интерполяция

отсюда Методические указания: Интерполяция

3. Полагая Методические указания: Интерполяция найдемМетодические указания: Интерполяция

отсюда Методические указания: Интерполяция и т.д.

Методические указания: Интерполяция В общем случае Методические указания: Интерполяция и

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

отсюда Методические указания: Интерполяция

Подставив вычисленные значения Методические указания: Интерполяция в выражение для многочленаМетодические указания: Интерполяция , получим

Методические указания: Интерполяция

(7.15)

Методические указания: Интерполяция

Полученное выражение называется интерполяционной формулой Ньютона для

равноотстоящих узлов.

7.5 Погрешность многочленной интерполяции

1. Оценочная формула погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа

записывается следующим образом:

Методические указания: Интерполяция (7.16)

где Методические указания: Интерполяция — максимальное

значение производной от интерполирующей функции на отрезке Методические указания: Интерполяция

(считаем, что функция Методические указания: Интерполяция

дифференцируема на отрезке Методические указания: Интерполяция Методические указания: Интерполяция

раз).

2. Погрешность при интерполяции полиномом Ньютона оценивается по формуле:

Методические указания: Интерполяция (7.17)

7.6 Пример вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа

Имеется таблица значений функции Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

0,412,63
1,553,75
2,674,87
3,845,03

Требуется получить значение этой функции в точке Методические указания: Интерполяция

, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа. Для составления программы

вычисления одного значения интерполяционного многочлена Лагранжа на ЭВМ

воспользуемся формулой (7.9).

Методические указания: Интерполяция ввод N, Q

ввод таблицы x, y

Методические указания: Интерполяция

S=0

Методические указания: Интерполяция

начало цикла по I от 1 до N

Методические указания: Интерполяция

L=1

Методические указания: Интерполяция

начало цикла по J от 1 до N

Методические указания: Интерполяция

да I=J нет

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

конец цикла по J

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

конец цикла по I

Методические указания: Интерполяция

вывод Q,S Рис.7.3

Схема алгоритма изображена на рисунке 7.3. В приведенной блок-схеме: N

— количество узлов интерполяции; Q — заданное значение аргумента Методические указания: Интерполяция

Для набора исходных данных рассматриваемого примера будут получены следующие

результаты:

Методические указания: Интерполяция

7.7 Контрольные вопросы

1. В чем особенность приближения таблично заданной функции методом

интерполирования?

2. Как связана степень интерполяционного многочлена с количеством узлов

интерполяции?

3. Как строятся интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона? В чем

особенности этих двух способов интерполяции?

4. В чем состоит различие между интерполяцией и экстраполяцией?

7.8 Задания к лабораторной работе № 7

1. По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного

многочлена Лагранжа. Построить его график и отметить на нем узловые точки Методические указания: Интерполяция

2. Вычислить одно значение заданной функции для промежуточного значения

аргумента Методические указания: Интерполяция с помощью

интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность интерполяции.

3. Выполнить пункт 2 для интерполяционного многочлена Ньютона. Сравнить

полученные результаты.

В оформленной работе должны быть приведены графики функций; все составленные

алгоритмы или блок-схемы методов, программы и результаты расчетов, ответы на

контрольные вопросы. После выполнения заданий необходимо сравнить полученные

результаты и сопоставить в них верные цифры.

Вариант

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

Методические указания: Интерполяция

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

-1 0 1 2

2 3 4 5

0 2 4 6

7 9 11 13

-3 -1 1 3

1 2 3 4

-2 -1 0 1

2 4 6 8

-4 -2 0 2

-1 1 3 5

2 4 6 8

-9 -7 -5 -3

0 1 2 3

-8 -5 -2 1

-7 -5 -3 -1

1 4 7 10

7 8 9 10

-4 0 4 8

-3 -1 1 3

0 3 6 9

0,7 0,8 0,9 1,0

2,7 2,75 2,8 2,85

3 3,5 4 4,5

10 14 18 22

2 4 6 8

-3 5 2 3

4 1 7 6

-1 -4 2 -2

2 -2 3 2

7 -1 4 3

-3 -7 2 3

4 9 1 1

9 -3 6 4

2 8 5 3

4 -7 1 -2

-1 -6 3 4

3 -3 4 -4

7 -1 8 0

9 -2 4 2

4 -4 5 2

-2 9 3 0,5

6 -2 7 0

4 8 -2 2

11 -1 6 4

1 5 -4 -2

0,7 1 6 11

0,7 0,8 0,95 1,2

1,7 1,8 1,6 1,4

9,8 9,7 9,4 8,5

2,2 4,2 5,1 1,9

2

3,5

1

8

0

0,5

0,1

3

-1

2

5

-3

1,5

-3,2

-6,3

3,5

9,8

-2

0,4

5

0,83

2,72

3,9

23

8


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.