РУБРИКИ

Методические указания: Метод наименьших квадратов

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

10 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 10.1 Постановка задачи Рассмотрим один из методов, позволяющих проанализировать и обработать данные, полученные в результате эксперимента (таблица 10.1). Пусть в результате измерений получена таблица зависимости одной величины Методические указания: Метод наименьших квадратов от другой Методические указания: Метод наименьших квадратов Таблица 10.1

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

...

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

...

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Необходимо найти формулу Методические указания: Метод наименьших квадратов , выражающую таблично заданную зависимость аналитически. Применение интерполяции в данном случае нецелесообразно, т.к. значения Методические указания: Метод наименьших квадратов в узлах получены экспериментально и поэтому являются сомнительными (в ходе эксперимента возникает неустранимая погрешность, обусловленная неточностью измерений). Кроме того, совпадение значений в узлах не означает совпадения характеров поведения исходной и интерполирующей функции. Поэтому необходимо найти такой метод подбора эмпирической формулы, который не только позволяет найти саму формулу, но и оценить погрешность подгонки. Постановка задачи. Найдем функцию заданного вида Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.1) которая в точках Методические указания: Метод наименьших квадратов принимает значения как можно более близкие к табличным значениям Методические указания: Метод наименьших квадратов . Практически вид приближающей функции можно определить визуально: по таблице 10.1 строится точечный график функции, а затем проводится кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек (рис.10.1). Методические указания: Метод наименьших квадратов Рис.10.1 По полученной кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций: линейная, степенная, экспоненциальная или показательная, логарифмическая, гипербола, дробно- рациональная и т.д.). Заметим, что формула (10.1), называемая эмпирической формулой или уравнением регрессии Методические указания: Метод наименьших квадратов на Методические указания: Метод наименьших квадратов , позволяет находить значения функции Методические указания: Метод наименьших квадратов для нетабличных значений Методические указания: Метод наименьших квадратов , «сглаживая» результаты измерений величины Методические указания: Метод наименьших квадратов . Из рисунка 10.1 видно, что для каждого значения Методические указания: Метод наименьших квадратов экспериментальное Методические указания: Метод наименьших квадратов и расчетное Методические указания: Метод наименьших квадратов значения различаются на некоторую величину Методические указания: Метод наименьших квадратов , называемую абсолютной разностью. Потребовав, чтобы сумма квадратов абсолютных разностей для всех точек была минимальной, найдем оптимальные параметры функции Методические указания: Метод наименьших квадратов : если выполняется условие Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.2) где Методические указания: Метод наименьших квадратов , то считается, что функция Методические указания: Метод наименьших квадратов подобрана наилучшим образом. Рассмотрим все изложенное выше на примере линейной регрессии. 10.2 Линейная регрессия Будем искать приближающую функцию в виде: Методические указания: Метод наименьших квадратов Абсолютная разность Методические указания: Метод наименьших квадратов для Методические указания: Метод наименьших квадратов определяется следующим образом: Методические указания: Метод наименьших квадратов Методические указания: Метод наименьших квадратов формулу (10.2) перепишем в виде: Методические указания: Метод наименьших квадратов Рассматриваемая сумма является функцией с двумя параметрами Методические указания: Метод наименьших квадратов Задача сводится к отысканию минимума этой функции. Используем необходимое условие экстремума: Методические указания: Метод наименьших квадратов т.е. Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.3) Методические указания: Метод наименьших квадратов Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными относительно параметров Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов , получим конкретный вид искомой функции Методические указания: Метод наименьших квадратов Опуская математические выкладки, запишем выражения для искомых параметров: Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.4) Методические указания: Метод наименьших квадратов Рассчитав значение Методические указания: Метод наименьших квадратов , получим величину среднеквадратичной ошибки рассматриваемого приближения. Замечание: найденные значения Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов определяют точку экстремума Методические указания: Метод наименьших квадратов . Используя неравенство Коши-Буняковского можно доказать, что в этой точке функция принимает минимальное значение (см. [2]). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, изменится лишь количество уравнений в системе (10.3) (для Методические указания: Метод наименьших квадратов параметров соответственно будет записано Методические указания: Метод наименьших квадратов уравнений). 10.3 Подбор эмпирических формул Чтобы подобрать формулу, выражающую зависимость между двумя величинами, если это зависимость найдена опытным путем, строят график этой зависимости. Полученный график сравнивают по внешнему виду с графиками, построенными при помощи известных формул. Формулы содержат небольшое число параметров (коэффициенты, показатели степеней и т.д.), изменением которых можно в той или иной степени менять вид кривой. Чтобы формула не оказалась слишком сложной, число параметров не должно быть велико. Обычно берут два-три параметра. При сравнении обращают внимание на наличие максимумов и минимумов, поведение функции при больших и малых значениях аргумента, выпуклость кривой вверх или вниз на отдельных участках и т.д. Выбрав среди известных графиков подходящий, следует подобрать такие значения параметров в формуле, чтобы разница между опытными значениями величины и значениями, найденными по формуле, не превышала ошибок эксперимента. Если эта разница получается слишком большой, берут другой подходящий график и повторяют попытку. Ниже приведены наиболее употребимые формулы и соответствующие им графики. 10.3.1 Степенная зависимость (геометрическая регрессия) Степенная зависимость имеет вид Методические указания: Метод наименьших квадратов Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.5) Во всех случаях Методические указания: Метод наименьших квадратов при Методические указания: Метод наименьших квадратов При Методические указания: Метод наименьших квадратов в точке Методические указания: Метод наименьших квадратов кривая касается оси абсцисс. В этом случае, чем больше Методические указания: Метод наименьших квадратов , тем ближе подходит кривая к оси абсцисс при Методические указания: Метод наименьших квадратов и тем быстрее она возрастает при Методические указания: Метод наименьших квадратов При Методические указания: Метод наименьших квадратов в точке Методические указания: Метод наименьших квадратов кривая касается оси ординат. При Методические указания: Метод наименьших квадратов кривая ближе подходит к оси ординат, чем к оси абсцисс, при Методические указания: Метод наименьших квадратов наоборот. Методические указания: Метод наименьших квадратов Рис. 10.2 График степенной зависимости Покажем, как нахождение приближающей функции в виде геометрической регрессии может быть сведено к нахождению параметров линейной функции. Предполагая, что в исходной таблице 10.1 значения аргумента и функции положительны, прологарифмируем равенство (10.5) при условии Методические указания: Метод наименьших квадратов Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.6) Введем новую переменную Методические указания: Метод наименьших квадратов тогда Методические указания: Метод наименьших квадратов будет функцией от Методические указания: Метод наименьших квадратов . Обозначим Методические указания: Метод наименьших квадратов тогда равенство (10.6) примет вид: Методические указания: Метод наименьших квадратов т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной. Практически для нахождения приближающей функции в виде степенной (при сделанных выше предположениях) необходимо проделать следующие операции: 1) по данной таблице 10.1 составить новую таблицу 10.2, прологарифмировав значения Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов в исходной таблице;

Таблица 10.1

Таблица 10.2

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

2) по новой таблице 10.2 найти параметры Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов приближающей функции вида Методические указания: Метод наименьших квадратов 3) используя примененные обозначения, найти значения параметров Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов и подставить их в выражение (10.5). Окончательно получаем: Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.7) 10.3.2 Показательная зависимость Показательная зависимость имеет вид Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.8) Во всех случаях Методические указания: Метод наименьших квадратов при Методические указания: Метод наименьших квадратов . Если Методические указания: Метод наименьших квадратов то при Методические указания: Метод наименьших квадратов кривая растет с увеличением Методические указания: Метод наименьших квадратов тем быстрее, чем больше Методические указания: Метод наименьших квадратов При Методические указания: Метод наименьших квадратов она приближается к оси абсцисс с возрастанием Методические указания: Метод наименьших квадратов тем быстрее, чем больше абсолютная величина Методические указания: Метод наименьших квадратов Если найденная на опыте зависимость Методические указания: Метод наименьших квадратов от Методические указания: Метод наименьших квадратов является показательной, то график зависимости Методические указания: Метод наименьших квадратов от Методические указания: Метод наименьших квадратов представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой равен параметру Методические указания: Метод наименьших квадратов Если значение Методические указания: Метод наименьших квадратов при Методические указания: Метод наименьших квадратов неизвестно, то величину параметра Методические указания: Метод наименьших квадратов можно найти по формуле Методические указания: Метод наименьших квадратов для ряда значений Методические указания: Метод наименьших квадратов а затем взять среднее. Методические указания: Метод наименьших квадратов Рис. 10.3 График показательной функции Найдем коэффициенты Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов для исходной таблицы 10.1, если известно, что приближающую функцию целесообразно искать в виде показательной функции (10.8). Прологарифмируем равенство (10.8) : Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.9) приняв обозначения Методические указания: Метод наименьших квадратов перепишем (10.9) в виде: Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.10) Таким образом приближающая показательная функция нехитрыми преобразованиями сведена к линейной, следовательно, для определения коэффициентов Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов показательной функции можно воспользоваться выведенной для линейной функции формулой (10.4). Итак, для нахождения приближающей функции в виде (10.8) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице 10.1 и, рассматривая их совместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы 10.3 приближающую функцию вида (10.10).

Таблица 10.1

Таблица 10.3

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Окончательно получаем: Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.11) Методические указания: Метод наименьших квадратов Рис. 10.4 Замечание: формулам Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.12) Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.13) соответствуют кривые, изображенные на рисунках 10.2 и 10.3, сдвинутые вверх или вниз на величину Методические указания: Метод наименьших квадратов . Например, кривая, изображенная на рисунке 10.4, соответствует формуле Методические указания: Метод наименьших квадратов при Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов Чтобы найти параметры этих формул, следует сначала определить значение Методические указания: Метод наименьших квадратов Иногда величину Методические указания: Метод наименьших квадратов можно легко найти по значению, к которому стремится Методические указания: Метод наименьших квадратов при возрастании Методические указания: Метод наименьших квадратов (при Методические указания: Метод наименьших квадратов ) или по значению Методические указания: Метод наименьших квадратов при Методические указания: Метод наименьших квадратов (для формулы 10.12 при Методические указания: Метод наименьших квадратов ). Можно также воспользоваться формулой Методические указания: Метод наименьших квадратов где Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов — ординаты произвольных (но достаточно далеких) точек с абсциссами Методические указания: Метод наименьших квадратов ,Методические указания: Метод наименьших квадратов , а ордината Методические указания: Метод наименьших квадратов соответствует абсциссе Методические указания: Метод наименьших квадратов в случае формулы (10.12) и абсциссе Методические указания: Метод наименьших квадратов в случае формулы (10.13). 10.3.3 Дробно-линейная зависимость Будем искать приближающую функцию в виде Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.14) Равенство (10.14) перепишем следующим образом: Методические указания: Метод наименьших квадратов Из последнего равенства следует, что для нахождения значений параметров Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов по заданной таблице 10.1 нужно составить новую таблицу 10.4, у которой значения аргумента оставить прежними, а значения функции заменить обратными числами, после чего для получения таблицы найти приближенную функцию вида Методические указания: Метод наименьших квадратов . Найденные значения параметров Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов подставить в формулу 10.14.

Таблица 10.1

Таблица 10.4

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Используя формулы, полученные для линейной регрессии (10.4), а также подстановку Методические указания: Метод наименьших квадратов , окончательно получим: Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.15) Методические указания: Метод наименьших квадратов 10.3.4 Дробно-рациональная функция Приближающая функция имеет вид Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.16) Преобразуем ее к виду Методические указания: Метод наименьших квадратов если в исходной таблице 10.1 заменить значения Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов обратными величинами по формулам Методические указания: Метод наименьших квадратов и искать для новой таблицы 10.5 приближующую функцию в виде линейной Методические указания: Метод наименьших квадратов , то найденные значения Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов будут искомыми для формулы 10.16. Методические указания: Метод наименьших квадратов Рис. 10.5 Графики дробно-рациональной функции

Таблица 10.1

Таблица 10.5

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Выполнив все подстановки, получим Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.17) Методические указания: Метод наименьших квадратов 10.3.5 Логарифмическая функция Будем искать приближающую функцию в виде Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.18) Для перехода к линейной функции достаточно выполнить подстановку Методические указания: Метод наименьших квадратов Отсюда следует, что для нахождения значений a и b нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице 10.1 и для новой таблицы 10.6 найти приближающую функцию в виде линейной y=at+b. Коэффициенты a и b найденной функции подставить в формулу 10.14.

Таблица 10.4

Таблица 10.6

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Окончательно получим: Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.19) Методические указания: Метод наименьших квадратов Методические указания: Метод наименьших квадратов Рис.10.6 График логарифмической функции 10.3.6 Гиперболическая зависимость Приближающая функция имеет вид Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.20) Для перехода к линейной функции сделаем подстановку Методические указания: Метод наименьших квадратов . Получим Методические указания: Метод наименьших квадратов Перед нахождением приближающей функции вида 10.20 значения аргумента в исходной таблице 10.1 необходимо заменить обратными числами и найти для новой таблицы 10.7 приближающую функцию в виде линейной регрессии (10.4). Методические указания: Метод наименьших квадратов Рис. 10.7 График гиперболической функции

Таблица 10.1

Таблица 10.7

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Окончательно получим Методические указания: Метод наименьших квадратов (10.21) Методические указания: Метод наименьших квадратов 10.4 Пример поиска приближающей функции методом наименьших квадратов Построим приближающую функцию методом наименьших квадратов для зависимости, заданной таблицей.

x

1,11,72,43,03,74,55,15,8

f(x)

0,30,61,11,72,33,03,84,6
Точечный график изображен на рисунке 10.8. Вид приближающей кривой не очевиден, поэтому рассмотрим два способа приближения заданной функции: в виде прямой Методические указания: Метод наименьших квадратов и в виде степенной функции Методические указания: Метод наименьших квадратов После нахождения значений параметров Методические указания: Метод наименьших квадратов и m найдем суммы квадратов уклонений (10.2) и по их значениям установим какое из двух приближений лучше. Методические указания: Метод наименьших квадратов Рис. 10.8

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

ввод данных

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

даМетодические указания: Метод наименьших квадратов

нет

Методические указания: Метод наименьших квадратов

печатьМетодические указания: Метод наименьших квадратов

Рис.10.9

Значения параметров k, b линейной функции находятся из системы вида 10.4. Блок-схема расчета параметров линейной регрессии приведена на рисунке 10.9.

В блок-схеме используются следующие обозначения:

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Замечание: приведенная блок-схема позволяет рассчитать лишь значения параметров линейной регрессии, но не дает величины средней квадратичной ошибки (блок-схему для расчета величины Методические указания: Метод наименьших квадратов читателю предлагаем составить самостоятельно).

Проделав необходимые вычисления, получаем: Методические указания: Метод наименьших квадратов Т.е. приближающее линейное уравнение запишется в виде Методические указания: Метод наименьших квадратов Для нахождения параметров c и m степенной функции воспользуемся формулой (10.7). Составив соответствующую программу для ЭВМ, получим: Методические указания: Метод наименьших квадратов Таким образом, уравнение степенной регрессии имеет вид Методические указания: Метод наименьших квадратов Как видно, сумма квадратов абсолютных погрешностей для линейной функции составляет Методические указания: Метод наименьших квадратов , для степенной функции — Методические указания: Метод наименьших квадратов Видно, что приближение в виде степенной функции в данном случае предпочтительнее. Для решения задачи приближения функции методом наименьших квадратов сформулируем основные шаги алгоритма. 1. Ввод исходных данных. 2. Выбор вида уравнения регрессии. 3. Преобразование данных к линейному типу зависимости. 4. Получение параметров уравнения регрессии. 5. Обратное преобразование данных и вычисление суммы квадратов отклонений вычисленных значений функции от заданных. 1. Вывод результатов. 10.5 Контрольные вопросы 1. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов? Чем отличается этот метод от метода интерполяции? 2. Каким образом сводится задача построения приближающих функций в виде различных элементарных функций к случаю линейной функции? 3. В чем состоит основная идея метода наименьших квадратов? 4. Почему используется принцип минимума суммы квадратов абсолютных величин, а не суммы самих абсолютных величин? Ответ обосновать и подтвердить примерами. 5. Почему метод наименьших квадратов наиболее эффективен, если функция f(x) линейна относительно искомых параметров? 10.6 Задания к лабораторной работе № 10 1. Методом наименьших квадратов вывести формулы для параметров Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов и Методические указания: Метод наименьших квадратов приближающей квадратичной функции: Методические указания: Метод наименьших квадратов 2. Построить точечный график по заданной таблице Методические указания: Метод наименьших квадратов варианты заданий указаны в таблице 10.8). Подобрать наиболее подходящие по внешнему виду приближающие функции. После нахождения значений параметров каждой из приближающих функций найти суммы квадратов абсолютных значений по формуле (10.2) и по их значениям установить, какое из приближений лучше. На том же чертеже построить графики рассчитанных приближающих функций. В оформленной работе должны быть приведены все графики, составленные алгоритмы или блок-схемы, тексты программ и результаты расчетов, ответы на контрольные вопросы. Таблица 10.8
ВариантРезультаты опыта
1x0,00,51,011,52,02,5
y-13,65-5,77-0,076,9512,0518,97
x3,03,54,04,55,05,5
y25,6731,5738,4446,2051,3358,83
2x0,00,51,01,52,02,5
y15,65183,472226,2727121,093303984025059
3x0,00,51,01,52,02,5
y10,65210,73010,07410,45510,95110,532
x3,03,54,04,55,05,5
y10,31010,93410,56410,70310,66710,334
4x-4,0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5
y7,496,955,955,935,424,99
x-1,0-0,50,00,51,01,5
y4,453,903,852,912,411,40
5x012345
y0,129

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

x678910
y

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

Методические указания: Метод наименьших квадратов

6x-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0-2,5
y54,9845,5237,0029,5323,0017,53
x-2,0-1,5-1,0-0,500,5
y12,979,497,0345,504,985,32
7x101214161820
y29,588529,588029,674729,686929,748429,7223
x222426283032
y29,771029,826029,810029,803829,855429,8885
8x1,01,21,41,61,82,0
y3,8753,6403,4753,3633,2603,195
x2,22,4
y3,1253,072
9x0,20,40,60,81,01,2
y2,6171,8931,6591,3471,8881,698
x1,41,6
y1,3231,127
10x-5,0-4,1-3,2-2,3-1,4-0,5
y-45,03-35,99-27,04-18,00-8,99-0,01
x0,4
y8,98
11x1,01,21,41,61,82,0
y9,358,487,747,306,846,61
x2,22,4
y6,286,13
12x0,91,11,31,51,71,9
y8,487,236,355,715,224,84
x2,12,3
y4,524,26
13x0,40,71,01,31,61,9
y8,4815,3824,1533,4803,0692,777
x2,22,5
y2,5712,418
14x234567
y8,1513,4522,1736,5560,2699,35
x89101112
y163,79270,05445,24734,081210,286
15x234567
y0,9671,3461,8722,6043,6215,037
x89101112
y7,0109,7513,5618,8626,24
16x234567
y37,5222,7613,808,375,083,08
x89101112
y1,871,130,680,410,25
17x234567
y12,2113,49814,91816,48718,22020,137
x89101112
y22,25524,59627,18330,04033,200
18x234567
y0,9671,3461,8722,6043,6215,037
x89101112
y7,0109,7513,5618,862624
19x012345
y02,02,2972,4912,6392,759
x67891011
y2,8612,955113,0313,1043,1693,231
20x012345
y010,0014,11417,3220,0022,36
x67891011
y24,4926,4528,2830,0031,6233,16
21x123456
y1,00,7070,5770,5000,4470,408
x789101112
y0,3770,3530,3330,3160,3010,288
22x123456
y109,338,958,708,518,36
x789101112
y8,238,128,037,947,867,80
23x123456
y-2,00-3,38-4,19-4,77-5,22-5,58
x7891011112
y-5,89-6,16-6,39-6,60-6,79-6,96
24x123456
y5,505,255,165,1125,105,08
x789101112
y5,075,075,055,055,045,04
25x123456
y0,170,250,300,330,360,37
x789101112
y0,390,400,410,420,420,43


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.