РУБРИКИ

: Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

: Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

: Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ УЖГОРОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІЕП ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ФІЗИКО – МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН КУРСОВА РОБОТА Тема: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Студента 2-го курсу Ресенчука Станіслава. Науковий керівник доцент Лавер О. Г. УЖГОРОД – 1998 р. Зміст Вступ........................................................................ .................................... Формули прямокутників і трапеції.......................................................... Параболічне інтерполювання............................................................... ... Дроблення проміжку..................................................................... ............. Залишковий член формули прямокутників......................................... Залишковий член формули трапеції..................................................... Залишковий член формули Сімпсона................................................... Додаток 1............................................................................ ...................... Додаток 2............................................................................ ...................... Висновки..................................................................... .............................. Література................................................................... ..............................

Вступ.

Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона.

Формули прямокутників і трапеції.

Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , де : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции є деяка заданая на проміжку : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення. В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної. Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции як площу деякої фігури, яка обмежена кривою : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі. Перш за все, вдруге використовуючі ту думку, яка привела нас до самого поняття о визначеном інтегралі, можно розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , де : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.

: Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

Мал. 1

На практиці зазвичай беруть : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции якщо відповідну середню ординату : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции позначити через : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , то формула перепишеться у вигляді : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . (1) Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу. Геометричні міркування природньо приводять і до другої, часто використовуваємій наближеній формулі. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , где : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, що проміжок : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции .

: Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

Мал. 2

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . (2) Це так звана формула трапецій. Можно показати, що при зростанні : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменьшується. Таким чином, при достатньо великому : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності.

Параболічне інтерполювання.

Для наближеного обчислення інтеграла : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции можно спробувати замінити функцію : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции «близьким» до неї многочленом : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (3) і покласти : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции Можно сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана «крива» : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции замінюється на «параболу : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции - го порядку» (3), в зв'язку з чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання. Сам вибір інтерполюючуго многочлена : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции частіше всього виконують наступним чином. У проміжку : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции беруть : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции значень незалежної змінної : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции і підбирають многочлен : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции так, щоб при усіх взятих значеннях : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции його значення співпадало зі значенням функції : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Цією умовою, як ми знаємо, многочлен : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции визначається однозначно, і його вираз даеться інтерполяціонною формулою Лагранжа: : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіціенти раз і назавжди, можно їх використовувати для будь-якої функції : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции в даному проміжку : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . В найпростішому випадку, при : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , функція : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции просто замінюється сталою : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , де : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции – будь-яка точка у проміжку : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , скажемо, середня: : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Тоді наближено : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (4) Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті. При : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции функція : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции замінюється лінійною функцією : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , яка має однакові з нею значення при : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции и : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Якщо взяти : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , то : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (5) і, як легко обчислити, : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции Таким чином, тут ми наближено вважаємо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці. Менш тривіальний результат отримаємо взявши : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Якщо покласти : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , то інтерполяційний многочлен : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции буде мати вигляд : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (7) За допомогою легкого обчислення вираховуємо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции і, аналогічно : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Таким чином, приходимо до наближеної формули : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої. Збільшуя степінь : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.

Дроблення проміжку.

При обчисленні інтегралу : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции можно зроботи так. Розіб'ємо спочатку проміжок : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции на деяке число, : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , рівних проміжків : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , в зв'язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (9) Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8). Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) и (2). Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як і вище, : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Ми отримаємо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (10) Вона носит назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат.

Залишковий член формули прямокутників.

Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции функція : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (по формулі Тейлора) за степенями двочлена : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции в : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , де : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции міститься між : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции та : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции і залежить від : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции до : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , то другий член зправа зникне, бо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (11) Таким чином, отримаємо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Позначив через : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции і : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , відповідно найменьше та найбільше значення неперервної функції : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции у проміжку : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , де : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции міститься між точками : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции и : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции така точка : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , що : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , і остаточно : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . (12) Якщо зараз розділити проміжок : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции на : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции рівних частин, то для кожного часткового проміжку : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции будемо мати точную формулу : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Додавнши ці равенства (при : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , де вираз : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции також знаходиться між : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции і : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , то і він представляє одне із значень функції : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Тому остаточно маємо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (13). При зростанні : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции цей додатковий член спадає приблизно як : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции .[1]

Залишковий член формули трапеції.

Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Інтегруя цю формули від : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции до : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , знайдемо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , так що залишковий член формули (6) буде : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Нарешті, для випадку ділення проміжку на : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции рівних частин : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (14). Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции він також зменьшуеться приблизно як : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.

Залишковий член формули Сімпсона.

Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (15). Но ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Тому ми зробимо інакше. Вираз : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , яким би не було число : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , в точках : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции приймає одні і тіж значення, що і функція : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Легко підібрати число : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции так, щоб і похідна цього виразу при : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции співпадала з похідною : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Таким чином, при цьому значенні : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции і двукратному вузлу : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Скориставшись формулою Эрміта з залишковим членом – в пропушенні існування для функції : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции похідних до четвертого порядку включно – отримаємо: : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Тепер проінтегрувавши цю равність від : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции до : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции ; ми знайдемо, що : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции так як : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Якщо припустити похідну : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8) : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции , користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді[2]: : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Якщо проміжок : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции розділити на : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции (16). При зростанні : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции цей вираз зменьшується приблизно як : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули.

Додаток 1.

Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC: 'Тут описуються сталі e = 2.718281828459045# pi = 3.141592653589793# 'Тут задається від під інтегральної функції DEF fny# (x#) = e^x# ^2 DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2 DEF fnxi# (i#) = a# + i# * h# DEF fnxis# (i#) = a# + i# * h# / 2 DEF fnxic# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2 DEF fnxir# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2 CLS 'Тут вводяться межі інтегрування та 'кількість проміжків INPUT «Введіть нижню межу інтегрування » a# INPUT «Введіть верхню межу інтегрування » b# INPUT «Введіть кількість проміжків » n# 'Тут обчислюється крок h# = (b# - a#) / n# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом Сімпсона integ# = 0 FOR i# = 1 TO ((2 * n#) - 1) integ# = integ# + fncoef#(i#) * fny#(fnxis#(i#)) NEXT integ# = integ# + fny#(a#) + fny#(b#) integ# = integ# * (h# / 6) PRINT "Simpson = "; integ# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом трапецій integ# = 0 FOR i# = 1 TO (n# - 1) integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#)) NEXT integ# = integ# + (fny#(a#) + fny#(b#)) / 2 integ# = integ# * h# PRINT "Trapeze = "; integ# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом лівих прямокутників integ# = 0 FOR i# = 0 TO (n# - 1) integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT "L Rectangle = "; integ# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом центральних прямокутників integ# = 0 FOR i# = 0 TO n# integ# = integ# + fny#(fnxic#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT "C Rectangle = "; integ# 'Тут обчислюється наближене значення 'інтеграла за методом правих прямокутників integ# = 0 FOR i# = 1 TO n# integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT "R Rectangle = "; integ#

Додаток 2.

Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1. 1) : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции в межах від 0 до : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции n=1000 Метод Сімпсона -8.742278155181581D-08 Метод трапецій -8.742270585611512D-08 Метод лівих прямокутників 3.141505318306509D-03 Метод центральних прямокутників -3.14167628761223D-03 Метод правих прямокутників -6.283265152840917D-03 2) : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции в межах від 0 до : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции n=1000 Метод Сімпсона 2.000000000000067 Метод трапецій 1.999998355065565 Метод лівих прямокутників 1.999998355202888 Метод центральних прямокутників 1.999995887392223 Метод правих прямокутників 1.999990952591778 3) : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции в межах від 0 до 1

n=1

n=10

n=100

n=1000

n=10000

М-д Сімпсона

,33333333333,3333333333333,3333333333333,3333333333,3333333333333

М-д трапецій

,5,335,33335,3333334999999,3333333349999

М-д лів. прямокутників

0,2850000000000001,32835,3328334999999,3332833349999

М-д центр. прямокутників

2,5,44275,34342525,33433425025

,3334333425002

М-д правих прсмокутників

2,25,4425000000000001,3434249999999

,33433425

,3334333424999

4) : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции в межах від 0 до 1 n=1000 Метод Сімпсона .7468241385662959 Метод трапецій .7468240772530558 Метод лівих прямокутників .7471401375268841 Метод центральних прямокутників .7471916808878213 Метод правих прямокутників .7461916811378212 5) : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции в межах від 0 до : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции n=1000 Метод Сімпсона .8323745796964475 Метод трапецій .8323723082182791 Метод лівих прямокутників .8325874590746988 Метод центральних прямокутників .8319367429487694 Метод правих прямокутників .8319318081462942

Висновки.

У данній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведині формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона.

Література.

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968. 2. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М.: 1979. 3. Математический практикум. М.: 1960. [1] Ми кажемо наближено, бо і : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции може змінюватись із зміною : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Це маємо пам'ятати і надалі. [2] Якщо : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции є многочлен не вище третього степеня, то, очевидно, що : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции перетворюється в : Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции . Значить, для такого многочлена формула (8) будет точною.


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.