Реферат: Диспут и формула Кардано

Реферат: Диспут и формула Кардано

Диспут

Формула Кардано

Мостового

Кирилла

г. Одесса

1999г

Диспут

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище,

привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили

разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой понимали

то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было,

конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили

обо всем. Например, о том , приобщать ли мышь к духу святому, если съест

причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа,

почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не

менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как

толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто

именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади

имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением

ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над

неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась

внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у

двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для

спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то,

что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас

от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в

черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана!

Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его

противником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо

Тарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna»

опубликовал способ решения уравнения 3-Й­­ степени, принадлежащий

ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал

своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его

приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с

горбатым носом и курчавой бородой, а на противополжную кафедру взошел молодой

человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его

манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и

каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

- Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ

решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал

победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина

Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня

секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы

знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах

алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием

каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31

задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен

срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть

тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал

с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я

получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне

основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

- Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых

же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес

моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли

доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность

второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья

совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как

пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в открытии алгебраического

правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит

честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего

человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть по

истине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его

постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым.»

- Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы

дали не верное решение его задач. Но как может быть неверным корень

уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом

уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет

быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы,

укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его для решения

предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой учитель и я – не

считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение

замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел

способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой учитель говорит об

этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

- Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня!

Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и

красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство.

Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не правильно, но и я докажу

это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно,

как известно .

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы,

начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от

него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари.

Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно

опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно

приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

.Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и

новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й

степени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталье. Он открыл , а Кардано выманил

у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни

уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это -

историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать

меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-

то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это

останется тайной .

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной

символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в

высшей степени элементарных соображений:

Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

ax3+3bx2+3cx+d=0 (1)

Если положить

, то мы приведем уравнение (1) к виду

(2)

где ,

.

Введем новое неизвестное U с помощью равенства

.

Внося это выражение в (2), получим

(3)

Отсюда

,

следовательно

Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение

и учесть, получающееся в результате выражение для u оказывается

симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим

.

(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p ).

Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x,

то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.

Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в

математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари

находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в

свою книгу. Что же представляет собой этот способ?

Пусть (1)

– общее уравнение 4-й степени.

Если положить ,

то уравнение (1) можно привести к виду

, (2)

где p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e.

Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:

(3)

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t,

взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2).

Выберем параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) была

полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и

достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из

коэффициентов трехчлена (относительно y), стоящего справа:

(4)

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой

либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид

.

Отсюда

.

Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а

следовательно и (1).

За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он

напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его

сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его

собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября

1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в

ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом

случае Кардано – астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу для решения уравнения в вещественной области. Итак,

При вычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а

затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в вещественной

области, если .

Два значения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных

слагаемых для x. Значения кубического корня в вещественной области

единственно и получается единственный вещественный корень x при

. Исследуя график кубического трехчлена

,нетрудно убедиться, что он в самом деле имеет единственный вещественный корень

при . При

имеется три вещественных корня. При

имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при

-трехкратный корень x=0.

Продолжим исследование формулы при

. Оказывается. Что если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет

целочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнуть

промежуточные иррациональности. Например, уравнение

имеет единственный корень (вещественный) – x=1. Формула Кардано дает

для этого единственного вещественного корня выражение

.

Значит,

. Но фактически

любое доказательство предполагает использование того, что это выражение

является корнем уравнения

. Если же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые

кубические радикалы.

О проблеме Кардано – Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубического

уравнения связали с «Великим искусством» и постепенно стали называть

формулой Кардано.

У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации,

когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих было важно

установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть дискуссий стала

носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики

поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало

ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком при

всех его недостатках; без них он был бы совершенством».