Реферат: Математические основы теории систем

ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление 1 Введение 3 Объект и устройство 3 Задачи управления 4 Матричный формализм в теории систем 6 Линейные операторы 6 Инвариантное подпространство 6 Действия над векторами 8 Матрицы и линейные преобразования 10 Понятие матриц 10 Операции над матрицами 11 Транспонированная матрица 12 Теорема Гамильтона-Келли 13 Обратная матрица 13 Диагонализация матриц 13 Понятие динамического объекта 14 Уравнение вход-выход-состояние 15 Объекты управления с непрерывным временем 19 Способы вычисления матричной экспоненты 21 Весовая функция 24 Передаточные функции и их свойства 26 Объекты управления с дискретным временем 27 Решетчатые функции 28 Разностные уравнения 29 Структурные свойства объектов управления 33 Наблюдаемость 35 Характеристики управляемости 35 Сигналы в задачах управления и наблюдения динамических объектов 36 Скачкообразная и переходная функции 38 Импульсная и весовая функции 39 Детерминированные стохастические сигналы и системы 40 Модели случайных сигналов 42 Векторные (многомерные) случайные величины 42 Числовые характеристики (моменты) случайных величин 43 Моменты многомерных случайных величин 46 Коварционная матрица 48 Элементы теории случайных функций 48 Линейные операции над случайными функциями 52 Стационарные случайные функции 55 Оптимизация в теории систем 55 Постановка задачи оптимального управления 56 Классификация задач оптимального управления 57 Динамически задачи оптимизации управления 59 Классическая задача оптимизации 61 Выпуклые и вогнутые функции 61 Задачи нелинейного программирования 62 Метод штафных функций 62 Ограничения типа равенств неотрицательность переменных 63 Квадратичное программирование 64 Итеративные методы поиска оптимума 64 Градиентный метод 64 Метод наискорейшего спуска (подъема) 64 Алгоритм Ньютона 65 Задачи и методы линейного программирования 65 Геометрическая интерпритация основной задачи программирования 66 Симплекс метод 66 ВВЕДЕНИЕ. Кибернетика - это наука об управлении, а также передаче и обработке информации в технических и нетехнических системах. Кибернетика возникла на базе техники и прежде всего техники регулирования, связи и машинной вычислительной техники, причем здесь нашли применение методы различных математических дисциплин, таких как теория функций, теория вероятности, статистика и математическая логика. Новым и можно сказать революционным моментом явилось то, что эти способы и математические методы, применявшиеся первоначально в технике, оказались удобными для анализа определенных явлений и достижения определенных целей в нетехнических системах и, прежде всего, и биологии и философии, экономики и общественных науках. Теория автоматизации при предварительном определении понятия можно назвать кибернетикой. В автоматизированных процессах при автоматизации установок производственной техники, мы находим переплетение производственной и информационной техники. Оно характеризуется тем, что на основании информации, получаемой путем измерения и затем перерабатываемой, оказывается воздействие на поток энергии или вещества таким образом, чтобы целенаправленно изменить определенные физические или технико-экономические параметры. Этот процесс называется управлением. Управление - это целенаправленное воздействие на параметры или на отдельные системы и их поведение. ОБЪЕКТ И УСТОЙСТВО. Объект (объект управления) является частью данной установки, на которую оказывает управляющее воздействие и изменения которой являются определяющими для выполнения задачи управления. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА УПРВЛЕНИЯ

исполнительный орган

объект

управления

Управляемый

параметр исполнительный сигнал

устройство управле-ния(отбор информа-ции и обработка

или сигнал управления

задающее воздействие поток информации

Рис. 1 Регулятором (управляющее устройство) называется совокупность звеньев, которые служат для оказания воздействия на объект через исполнительный орган в соответствии с поставленной задачей. Исполнительным органом называется звено, которое служит для непосредственного целенаправленного воздействия на поток энергии или вещества, он обычно относится к объекту. Звенья объекта и устройства управления называются элементарными звеньями. Временные характеристики входных и выходных параметров этих звеньев называются входными и выходными сигналами. Входные сигналы, воздействующие на объект, называются сигналами помехи. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ Ранее мы охарактеризовали управление как целенаправленное воздействие на параметры процесса или системы. прежде чем осуществить такое целенаправленное воздействие, исследуем задачи. Конкретная постановка задачи гласит. 1. Основные параметры процесса, несмотря на воздействие возмущения, должны стабилизироваться или изменяться согласно заданию. 2. Заданные параметры (температура, давление и т.д.) должны регулироваться так, чтобы обеспечивался удовлетворительный или оптимальный режим работы, чтобы желаемый выходной продукт производился в достаточном или в максимально возможном количестве, чтобы заданное количество выходного продукта имело минимальную себестоимость. 3. При изменении производственной задачи или условий протекания, процесс должен легко перестраиваться на другой режим работы. Например, пуск и остановка процесса загрузки, производственного или энергетического процесса при ремонте и т.д. Задача 2 требует построения только статической модели процесса и является статической проблемой, так что мы можем говорить об управлении в статическом режиме. Задачи 2 и 3 касаются динамического режима, так как компенсация изменяющихся возмущающих воздействий, необходимая для стабилизации, сравнение параметров процесса с изменяющимся задающим воздействием, а также перестройка при переходе от одного режима в другой, могут быть решены только с учетом динамических характеристик процесса. Отсюда следует, что здесь идет речь об управлении в динамическом режиме. В качестве основы для отыскания решения и оценки качества приложенной схемы управления используем количественную меру. Она выражается целевой функцией. При решении проблем 1 и 3 может быть использовано время T, в течении которого автоматическая система компенсирует скачкообразное возмущающие воздействие с точностью до заданной допустимой погрешности или в течении которого будет осуществляться процесс перехода в новое состояние. Время T при этом характеризует качество автоматического управления. При решении проблемы 1 можно использовать интеграл от абсолютной ошибки, представляющий разность между заданными и действительными значениями регулируемой величины в том случае можно говорить о функции ошибки. В зависимости от того, что выражает целевая функция (качество или прибыль, ошибку или стоимость), цель к которой надо стремится, состоит в том, чтобы изменять регулируемые величины или свободные параметры в пределах допустимых или возможных границ так, чтобы целевая функция имела максимальное или минимальное значение. Таким образом, мы получим оптимальное управление. В других случаях, например, при отсутствии полных сведений о процессе или с целью снижения затрат на аппаратуру и вычислительные устройства, можно ограничиться субоптимальным, удовлетворяющим уравнением. МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ТЕОРИИ СИСТЕМ. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Рассмотрим линейное n - мерное пространство Un. Пусть задано правило, которое ставит в соответствии произвольному вектору X пространства Un определенный вектор Y того же пространства. В этом случае вектор X называется прообразом, а вектор Y - образом вектора X. Это правило называется преобразованием пространства Un или оператором, заданном в пространстве Un. Преобразования (операторы) будем условно обозначать буквами А,В,С,... Например можно написать, что: (1) АХ=Y Равенство (1) читается так: преобразование (оператор) А, примененное к вектору Х, ставит ему в соответствие вектор Y. Преобразование (оператор) называется линейным преобразованием (линейным оператором), если выполнено условие: (2) A(Х+Y)=АХ+АY (3) А(ℷХ)=ℷ(АХ), где ℷ- произвольное число таким образом, линейное преобразование переводит сумму векторов в сумму их образов, а произведение вектора на число в произведение образа того вектора на это же число. ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРСТРАНСТВО. Пусть Х n - мерное линейное пространство и у=Ах -линейное преобразование на пространстве Х. Пусть X1∈X является некоторым подпространством Х, обладающим однако, тем свойством, что если х∈Х1, то и у=Ах∈Х1. Подпространство Х1, обладающее подобными свойством, называют инвариантным относительно линейного преобразования у=Ах. Особенно интересны одномерные инвариантные пространства, представляющие собой прямые в пространстве Х, проходящем через начало координат. Если х - произвольная точка пространства Х α - ве[ВЮЮ1] [ВЮЮ2] щественная переменная, меняющаяся от -∞ до +∞, то dx будет представлять собой одномерное подпространство Х, проходящее через х(при α =0), как показано на рисунке 2.

Реферат: Математические основы теории систем

x2 3 dx

2 x1 Такое одномерное подпространство будем обозначать R1. Предположим, что среди бесконечного множества одномерных пространств R1 найдутся такие, которые инвариантны относительно у=Ах, т.е. для любого x∈R1 , имеет место у=Ах∈R1. Обозначим через ℷ отношение у к х, которое при этом будет просто вещественным числом, т.е. можно записать у=ℷх, таким образом если R1 -инвариантное пространство, то для х∈R1 имеет место равенство: (4) Ах=ℷх Вектор х≠0, удовлетворяющий соотношению (4) называют собственным вектором матрицы А, а число ℷ - собственным значением матрицы А. Для определения характеристических чисел матрицы перепишем соотношение (4) в ином виде, введя тождественное преобразование х=Iх. При этом получим: (5) (А-ℷI)х=0 Соотношение (5) представляет собой систему линейных однородных уравнений, которая может быть записана в явном виде как:

(a11-ℷ)x1+a12x2+...+a1nxn=0; (6) a21x1+(a22-ℷ)x2+...+a2nxn=0; ......................... an1 x1+an2x2+...+(a nn-ℷ)xn=0; Матрица вида (А-ℷI) (6) называется характеристической матрицей А. Определитель характеристической матрицы называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой матрицы. Из свойств решения уравнения (6) нетривиальное решение (отличное от нуля) возникает только тогда, когда имеется бесчисленное множество решений: (7) det(A-ℷI)+a0ℷn+a1ℷn-1+....+an-1ℷ=0 Подставив любое собственное значение в исходную систему уравнений (6), получим уравнение: (8) (А-ℷiI)х=0 которое имеет непрерывное решение, так как det(A-ℷiI)=0 Это решение дает вектор хi, определяемый с точностью до скалярного множителя. Этот вектор называется собственным вектором матицы А. Свойства: 1. Если собственные числа матрицы А различны (корни характеристического уравнения не равны), то порождаемые или собственные векторы образуют систему линейно независимых векторов. 2. Если матрица А симметрическая, то собственные числа такой матрицы всегда вещественны, а собственный вектор в матрице образует систему ортогональных векторов. Линейные пространства, элементами которых являются, упорядоченные последовательности n-вешественных чисел называются векторами. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ. Упорядоченные последовательности из n - чисел х(1),...,х(n) , могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки;

x(1) n n (9) х= ..... = x)i) ; (x(1),...,x(n))=(x(i)) x(n) 1 1 Эти числа, составляющие вектор, называются компонентами вектора. Если один из этих векторов обозначить буквой х, то другой будем обозначать х и называть транспонированным вектором. n (10) х=(х(i)) =(х(1),...,х(n)) 1 Число n компонент вектора называется его размерностью. СВОИСТВА ВЕКТОРОВ. а) х=у, если равны их компоненты: x(i)=y(i) Реферат: Математические основы теории систем

x(1) y(1) x(1)+y(1) б) х+у= ...... + ...... = ........... -сумма векторов. x(n) y(n) x(n)+y(n) в) Разность векторов х-у представляет собой вектор z, такой, что у+z=х. г) умножение вектора на скаляр Реферат: Математические основы теории систем

x(1) αx(1) αx[ВЮЮ3] =хα=α ....... = ......... x(n) αx(n) СКАЛЯРНОЕ ПРИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

x1 y1 Пусть х= х2 и у= у2 два вектора в трех мерном x3 y3 пространстве. Скалярным произведением этих векторов называют скалярную величину: (11) хTу=уTх=х1у1+х2у2+х3у3 Нормой или длинной вектора х в евклидовом пространстве называют число: (12) х = х =(хTх)½ , где х -норма вектора х. Линейное пространство в котором определено скалярное произведение называется евклидовым пространством. БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. Пусть имеем систему векторов (13) х1, х2, х3,..., хn Базисом (базой) системы векторов (13) называется такая линейно-независимая ее подсистема, через которую линейно выражаются все указанные векторы. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ. Пусть х=(х1, х2) и у=(у1, у2) - два вектора на плоскости. Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с направлением вектора х, так что x1= x , х1 =0 (рис.3)

y2 y

α x

y1 1 обозначим через угол α между векторами х и у при этом хTу=х1у1+х2у2= х * у cosα Угол между векторами определяется: α=arccos(xTy/ x y ) при │х│=1 скалярное произведение хTу определяет проекцию вектора у называется ортогональным, если угол между ними равен 90○ , т.е. если хTу=0. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПОНЯТИЕ МАТРИЦ. Матрицей А размером m*n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа Реферат: Математические основы теории систем

a11 .......... a1n A= ...................... =[aij] am1 .......... amn Если m=n, то матрицу называют квадратной. Матрицы А=[аij] и В=[вij] равны (А=В) в том и только в том случае, если имеют один и тот же размер аij=вij для всех ij. Преобразованием линейного n-мерного пространства Х называют оператор А, отображающий это пространство в m - мерное линейное пространство Y: (1) А:Х→Y Таким образом, преобразование А ставит в соответствие каждому вектору х пространства Х вектор (2) Y=А-х, пространства Y. Преобразование А называют линейным, если выполняется условие: (3) А(х1+х2)=Ах1+Ах2, А(ℷхi)=ℷАх Условие (3) будет выполнятся, если между компонентами хi и уj векторов х и у имеется линейная зависимость вида: n ___ (4) у(i)= ∑ aijx(j), i=1,m ,где аij - произвольное число j=1 ____ ___ Совокупность чисел аij, i=1,m; ;j=1,n образуют матрицу: Реферат: Математические основы теории систем

a11......a1n A= ................ = [aij] am1......amn Реферат: Математические основы теории систем

которую называют матрицей линейного преобразования. у=Ах можно записать в виде умножения матрицы на вектор: y(1) a11......a1n x(1) (5) .... = ............... * ..... y(n) am1......amn x(n) ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. Пусть А матрица линейного преобразования Ах, α- число. (6) αА=[α аij ] При умножении матрицы А на число α все ее члены умножаются на это число. СУММА МАТРИЦ. Пусть у=Ах и v=Вх - два линейных преобразования с матрицами А=[aij] и В=[вij] размером m*n. Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х∈Х вектор у+v∈Y (7) у+v=Ах+Вх=(А+В)х Преобразование (А+В)х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или: (8) А+В=[aij]+[вij] При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ. Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у=Вх, z=Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В=[вkj] и A=[aik] матрицы размером m*k и k*n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz. (9) Z=Cx=A(Bx)=ABx Матрицу С=АВ размером n*n называют произведением матриц А и В. n ___ ___ (10) Сij= ∑ аikвkj , i=1,n , j=1,m k=1 Согласно (10) элемент Сij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде: Реферат: Математические основы теории систем

a11...a1k в11...в1m (11) АВ= ............ * ............. an1...ank вk1....вkm ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА. Пусть А=[aij] - матрица размером m*n. Матрица АT=[а' ij] размером m*n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А. Элемент а'ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из соотношения: (12) а'ij=аji ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ. В квадратной матрице число строк равно числу столбцов. Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов aij этой матрицы и обозначают det A. Определитель det A обладает следующими свойствами: 1) при умножении на ℷ любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ℷ; 2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный; 3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0; 4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным; 5) если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A=0; ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЕЛЛИ. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения. (13) det (A-ℷI)=a0ℷn+a1ℷn-1+...+an-1ℷ an=0 (14) a0An+a0An-1+an-1A+anI=0[n*n] ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение: (15) А*А-1=А-1*А=Е Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[xij]. Обратным преобразованием называют преобразование х=А-1у. Матрицу А -1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А. (16) А-1=(1/detA) [Aij]T , где Аij - алгебраическое дополнение элемента а в определителе матрицы. Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное решение, если detA≠0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной. ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ. Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия. Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица. Преобразованием подобия называют преобразование: (17) В=С-1*А*С Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы. Реферат: Математические основы теории систем

ℷ1 0 0 (18) diag[ℷ1 ℷ2 ......ℷn ]= 0 ℷ2 0 0 0 ℷn Нормой матрицы А размер m*n называется сумма модулей ее элементов: m n (19) │А│= ∑ ∑ │a ij │ i=1 j=1 При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимой переменной t. Эти матрицы имеют вид: Реферат: Математические основы теории систем

a11(t) a12(t) ...... a1n(t) (20) А(t)= a21(t) a22(t) ...... a2n(t) ............................ am1(t) am2(t) ..... amn(t) и называются функциональными матрицами. Производной матрицы А(t) по независимому переменному называется матрица А(t) вида:

da11(t)/dt da12(t)/dt ...... da1n(t)/dt (21) А(t)= dA(t)/dt = ............................................................. = dam1(t)/dt adm2(t)/dt ...... damn(t)/dt =[daij(t)/dt] 1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА. Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования. В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который обычно характеризуется числами или набором чисел. Таким образом, фактически абстрактный объект или просто объект представляет собой множество переменных вместе с отношениями между ними. Вспомогательные определения и понятия: v1, v2,...- основные переменные объекта А. Основное уравнение - соотношение между основными переменными. (1) A(1)(v1,..., vn)=0 Основное уравнение объекта A, A(2)(v1,...., vn)=0 где A(j), j=1,..., m ..................... vi , i= 1,..., n A(m)(v1,..., vn)=0 m и n - конечные числа Если абстрактный объект A определяется соотношениями (1) без каких - либо указаний, какие переменные являются входными (причина), а какие - выходными (следствия), то A будем называть неориентированным объектом. Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться ориентированным объектом. Состояние объекта A в момент t0 может рассматриваться как параметр S(t0), связанной с каждой парой вход-выход (U[t0, t], Y[t0, t]), таким образом, что Y[t0, t] единственным образом определяется заданием U[t, t] и S(t0 ). Иначе говоря, состояние объекта в момент t0 есть некоторый набор чисел, представленный, например, вектором α, который изменяется в пространстве ∑ так, что знание (1)α, (2) - уравнения вход-выход для объекта и (3) - входа U[t0,t]] является достаточным для однозначного определения входа y[t0,t]. S(t0) - называется состоянием объекта в момент t0. [t0,t]- интервал наблюдаемости УРАВНЕНИЕ ВХОД-ВЫХОД-СОСТОЯНИЕ. Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения [t0,t] - переменная в пространстве ∑, R[U], R[y]- пространство входа и выхода. (2) y(t)=A (α;U[t0,t]) ∀ t>t0 где A- функция α и U[t0,t] U и у принадлежат R[U], R[у] Уравнение (2) является уравнением вход-выход состояния. Символьная форма записи вход - выход - состояние. (2') у[t0,t]=A (α,U), где черта над A служит для того, чтобы отличить у(t) и у[t0,t] Следовательно пара U[t0,t],у[t0,t] удовлетворяет уравнению вход - выход - состояние (2), если U[t0,t] и у[t0,t] составляют пару вход-выход по отношению к некоторому α в ∑. В соответствии с уравнением (2') можем записать: R[y]= { A(α,U)│ α∈∑, U∈ R[U] } Условия взаимной совместимости: Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2') Более детально: (1) если (U[t0,t],у[t0,t]), или проще (U,у) является любой парой функции времени (при U∈R[U], у∈R[y]), удовлетворяющих уравнению А(U,y)=0, то (U,y) удовлетворяет также и (2') в том смысле, что существует α0 в ∑ такое, что (3) у= A (α0,U[t0,t]), и (2) любая функция времени (U,y), удовлетворяющая уравнению (2') для некоторого α, принадлежащего ∑ на интервале наблюдения [t0,t], является парой вход-выход для A. Первое условие собственной совместимости: Для того, чтобы множество ∑ могло называться пространством состояний A , оно должно иметь следующее свойство: если дана любая точка α в ∑ (которую мы назовем состоянием A в момент t0) и любой вход U [t0,t] в пространстве входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением α и U[t0,t], и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий t0, т.е. для всех t0 реакция y(t) в любой момент времени t>t0, однозначно определяется заданием α и U[t0,t]. Это свойство является ключевым в понятии состояния. Второе условие собственной совместимости. Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке пары (U [t0,t],у[t0,t]), тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар вида (U[t,t1], у[t,t1]), где t0 <t≤t1, а U[t,t1] и у[t,t1] являются сегментами U[t0,t], и у[t0,t] соответственно. Это должно выполняться для всех α и ∑ и всех пар вход-выход, относящихся к α. Пусть (UU',yy') - пара вход-выход, удовлетворяющая уравнению вход - выход-состояние (2') при α=α0. Тогда можно записать: yy'= A (α0,UU'), где U',y' вход и выход на интервале [t,t0 ] Утверждение, что (U',y') удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние (2'), будет эквивалентно утверждению, что существует не пустое множество Q значений α в ∑, при которых выражение y=A(α;U') удовлетворяется для всех α в Q. Тогда в качестве состояния объекта A в момент t может быть принято любое состояние α в Qt (α0,U) при α0 -состояние в момент t0 или, что тоже самое, начальном состоянии A. Состояние A в момент времени t будет обозначаться S(t). Когда будет необходимо показать, что S(t0) является начальным состоянием объекта A, уравнение вход - выход-состояние будет записываться в виде: (4) y(t)= A(S(t0);U[t0,t]) S(t0) и, в более общем случае S(t) изменяются в пространстве состояний ∑, т.е. для каждого фиксированного значения t, R[S(t)]=∑. Если выполнены условия совместимости, то можно утверждать, что состояние S(t) однозначно определяется состоянием S(t0) и входом U[t0,t] и что функциональная зависимость S(t) от S(t0) и U[t0,t] может быть получена из уравнения вход - выход-состояние: y(t)= A( S(t0); U[t0,t]), где α0=S(t0) (4) Выражение S(t) как функция S(t0) и U[t0,t] называется уравнением состояния объекта. (5) S(t)= S (S(t0);U[t0,t]), где S- функция со значением в ∑. Уравнение (5) производное от уравнения вход - выход-состояние (4). Природа пространства состояний ∑ объекта является одной наиболее важных его характеристик. Если ∑ есть континуум, то будем говорить, что А есть объект с непрерывным пространством состояний. Если ∑ есть счетное множество, A будет называться объектом с дискретным пространством состояний. Если ∑ есть конечное множество, то А есть объект с конечным пространством состояний. Вероятностные или стохастические объекты- объекты в которых для каждого t y(t) является случайной переменной. Для таких объектов уравнения вход-выход- состояние (4), заменяется уравнением вход-выход- распределение состояний, которое определяет вероятностную меру в пространстве y[t0,t] как функцию начального состояния S(t0) и входа U[t0,t] . Графическое представление систем.

U1 у1 U1 S у1

Uк ук Uк ук Представление объекта в виде блок-диаграмм 1.4 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ. Дифференциальные уравнения состояния: (1) Ś(t)= A(t)S(t)+B(t)U(t) (2) у(t)= C(t)S(t)+D0(t)U(t)+D1(t)U(1)(t)+...+Dк(t)U(к)(t) Коэффициенты этих уравнений являются матрицами. A- матрица состояний [n*n] B- матрица входа [m*n] C- матрица выхода [L*m] D- проходная матрица [L*m] Пусть А- непрерывная система, заданная уравнением входа-выхода вида: Lу+Kŷ=Mu, где L,K,M- матричные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, u,у - входной и выходной векторы, а ŷ -скрытый выходной вектор. Соотношения вход - выход-состояние. В процессе установления соответствия вектора состояния с системой и связанного с этим определения соотношения вход - выход-состояние системы, описываемой дифференциальными уравнениями, состоит в нахождении общего решения этого дифференциального уравнения. (2) L(p)y=u, L(p)=anpn+...+a0, an≠0, которое описывает R. Решить дифференциальное уравнение можно с помощью методов, хорошо известных из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако будет удобно основываться не на классической теории, а получить общее решение сразу, путем преобразования Лаплпса. Пусть R- система, описываемая соотношением вход-выход (2), тогда выражение для общего решения будет иметь вид: n t (3) y(t)= ∑ y(ℷ-1)(t 0-)Фℷ(t-t0)+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ t≥t0, ℷ=1 t0 где h(t)=Z {1/L(S)}= импульсной реакции R (4) H(S)=1/L(S)= передаточная функция R, Фℷ=Z-1{(anSn-ℷ+...+aℷ)/L(S)}, ℷ=1,...,n Функции времени Ф1,...,Фn линейно независимы и удовлетворяют дифференциальному уравнению L(p)Фℷ(t)=0, ℷ=1,...,n На втором этапе необходимо отождествить постоянные ai, i=1,..,n из уравнения (2) с составляющими вектора x(t0-) - состояние R в момент времени t0-. Положим базисные функции, или точнее говоря их преобразования по Лаплпсу, равными: Sn-1/L(S),...,S/L(S),1/L(S) В этом случае составляющим x(t0) будет: (5) x1(t0-)=any(t0-), x2(t0-)=any(n-1)(t0-)+a1y(t0-) .................................................... xn(t0-)=any(n-1)(t0-)+...+an-1y(t0-) Заменяя начальные значения y(ℷ-1)(t0 -) в (3) через их выражения, представленные с помощью составляющих x(t 0-), получим для общего решения (3) t (6) y(t)=<(t-t0),...,x(t0-)>+ ⌡ h(t-ℰ)U(ℰ)dℰ, t≥t0 t0 где h- импульсная реакция R Ф(t)=(Ф1(t),...,Фn(t)); составляющие которого суть базисные функции: Фℷ(t)= Z-1{ (anℷn-1+...+ aℷ)/L(S) }, а <Ф(t-t0), x(t0-)> обозначает скалярное произведение базисного вектора Ф(t-t0) и начального вектора состояния x(t0-). Уравнение (6) является соотношением вход - выход-состояние для R. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА. Будем исследовать реакцию при нулевом входе и вынужденную реакцию систем, описываемых уравнением вида: (11) x(t)= A(t)x(t)+B(t)U(t), где A(t)- квадратная матрица порядка n, элементами которой являются функции, непрерывные для всех значений t; B(t)-непрерывная матрица размером [n*r]; x(t) - вектор состояния, U- вход. Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой - непрерывные функции. Тогда решение матричного дифференциального уравнения: (12) X= A(t)X(t), X(t0)=C, где C есть произвольная постоянная матрица, имеет следующий вид: (13) X(t)= (t,t0)C Любая неособенная матрица, которая удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению (12), называется фундаментальной матрицей системы (11). Таким образом, любая фундаментальная матрица имеет вид (13) при некоторой неособенной матрице С n строк любой фундаментальной матрицы есть n линейно независимых решений для уравнения (11). th. Пусть A(t) есть квадратная матрица порядка n, элементы которой непрерывные функции времени. Пусть Ф(t,t0) есть также квадратная матрица порядка n, которая является решением уравнения (14) d/dt Ф(t,t0)=A(t)Ф(t,t0), (t,t0)=I Тогда решение уравнения (15) x(t)= A(t)x(t), x(t0)=x0, обозначаемое через x(t,x0,t0), есть (16) x(t,x0,t0)=Ф(t,t0)x0 ∀t, ∀x0 Матрица Ф(t,t0) называется переходной матрицей состояния. Из уравнения (16) можно сказать: матрица Ф(t,t0) есть линейное преобразование, которое отображает состояние x0 в момент времени t0 в состояние x(t) в момент t. СПОСОБЫ ВЫЧЕСЛЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ. t 1. Если всех t ⌡ A(Ʈ)dƮ и A(t) коммутативны, то t0 Реферат: Математические основы теории систем

t Ф(t,t0)= exp ⌡ A(Ʈ) dƮ t0 Пусть Ф(t,t0) переходная матрица для (11),определяемой выражением (14), тогда: Реферат: Математические основы теории систем

t (17) det Ф(t,t0)= exp ⌡ a(Ʈ) dƮ , где t0 n a(Ʈ) ≜ ∑ aiƮ(Ʈ) ≜ trA(Ʈ). i=1 2. Законченное решение позволяет получить формула интерполяции Лагранжа- Сильвестра. Она применима к матричным функциям, которые могут быть представлены в виде (сходящихся) степенных рядов. ∞ f(A)= ∑ CiAi ,где 0 матрица А с n отличающимися друг от друга собственными значениями соответствующих формуле интерполяции Лагранжа для аппроксимации функций с помощью многочленов. Матрица перехода Ф=exp{At} представляет такой степенной ряд n (18) Ф(t)= eAt= ∑ eℷitFi , где i=1 n F=П (A-ℷiI)/(ℷi-ℷj) j=1 j≠i 3. Применение преобразования Лапласа к однородному дифференциальному уравнению вида q=Aq, позволяет получить формулу, похожую на формулу Сильвестра, которую можно использовать не только для случая с простыми корнями. ∞ (19) Ф(t)= eAt≜ ∑ Aiti/i!= I+At+A2t2/2!+... i=1 Эта формула особенно пригодна для аналитических исследований. 4. С помощью преобразования подобия матрица с n совершенно различными корнями ℷi может быть приведена к диагональной матрице Л. Решение относительно А дает. (20) A= KЛK-1 ,где К - матрица собственных векторов, K≜[K1,K2,...,K n], согласно выводу из теории матриц имеет: для двух подобных матриц А и, Л соответствующих уравнению (20), справедливо f(A)=Kf(Л)K-1 (21) Ф(t)=KeЛtK-1 причем, если известны корни ℷi, сразу можно записать матрицу exp{Лt} Реферат: Математические основы теории систем

eℷ1t......0 eЛt= 0......eℷnt Рассмотренные способы дают решение в аналитическом виде и требуют больших затрат времени на определение собственных значений матрицы А, т.е. корней характеристического уравнения. В приведенных ниже способах оба этих момента отсутствуют. 5 При расчете матрицы перехода с помощью формулы Тейлора из (19) p-1 (22) Ф(t)= ∑ Ai ti/t!+Rp i=0 в системах с сосредоточенными параметрами для отдельных элементов матриц получим полиномы в функции t, которые могут быть записаны в виде сумм показательных функций e. 6. Путем программирование на аналоговой вычислительной машине элементы матрицы перехода могут быть получены в виде кривых, численно оценены или аналитически аппроксимированы. Модуль вход-выход непрерывного объекта управления в форме векторно-матричного дифференциального уравнения вектор входа U=[U1, U2,...,Um]T вектор выхода x=[x1,x2,...,xm]T вектор состояния q=[q1,q2,...,qm]T Уравнение состояния (векторное дифференциальное уравнение) (23) q(t)= Aq(t)+Bu(t) Уравнение входа (24) x(t)= Cq(t)+Du(t) Для одномерной системы n-го порядка эти уравнения упрощаются: (25) q(t)=Aq(t)+bu(t) (26) x(t)=CTq(t)+du(t)

(27) q1 = a11 a12 q1 + b1 U; при n=2 q2 a21 a22 q2 b2

(28) x=|C1 С2| q1 + dU q2 Таким образом, векторное дифференциальное уравнение (25) служит компактной формой записи для системы из n скалярных дифференциальных уравнений первого порядка (29) q = a11q1+a12q2+b1U; q = a21q1+a22q2+b2U. Уравнение входа для одномерной системы представляет собой скалярное алгебраическое уравнение (30) x= c1q1+c2q2+dU ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ. Прежде всего нужно определить выходной сигнал xv(t), соответствующий входному сигналу Uv(t) (31) Uv(t)=U(V)dV δ(t-V) U(V)dV - площадь импульса δ(t-V)- единичный импульс при t=V Соответствующий этому выходной сигнал представляет реакцию на импульсное воздействие, или соответственно весовую функцию g(t-V), характеризуемую импульсами площадью U(V)d . Если уравнения системы представлены в стандартной форме записи (23), (24), то можно использовать общую форму решения уравнения переходного процесса: t (32) q(t)= Ф(t)q(0)= ⌡ Ф(t-Ʈ) BU(Ʈ)dƮ= qсв (t)+qпрн(t) 0 В рассматриваемом здесь случае переходного процесса при возмущающем воздействии и нулевых начальных условиях для выраженного в относительных единицах входного сигнала Uδ Uδ(t)=δ(t) получим характеристику состояния в относительных t (33) qδ(t)= ⌡ Ф(t-Ʈ) bδ(Ʈ) dƮ 0 Для импульса δ(Ʈ), возникающего в момент времени Ʈ=0, интервал интегрирования должен быть принят от -0

Ф(t)b , при t≥0 (34) qδ(t)= 0, при t<0 Весовую функцию находят путем подстановки (34) в уравнение выхода (26) (35) q(t)=xδ(t)=CTqδ(t)+dU δ(t)= CTФ(t)b+dδ(t) при t≥0 Для определения элементарного выходного сигнала xδ(t), соответствующего уравнению (31), нужно учесть еще смещение входного импульса по времени и его интенсивность (площадь). (36) xv(t)=U(V) dV g(t-V)=U(V) dV[CTФ(t-V)b+dδ(t-V)]

U(t)=U(V)dV δ(t-V) U

x(t)=U(V)dVq(t-V)

V Ʈ=t-V

t Элементарный входной и выходной сигналы при разложении на импульсы. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. Пусть система A линейна и стационарна и пусть h(*) является ее импульсной реакцией. Предположим, что существует преобразование Лапласа для h. Тогда это преобразование ∞ (37) H(S) ≜ ⌡ e-st h(t) dt -∞ называется передаточной функцией H системы A. Передаточная функция является оператором, характеризующим передачу сигнала линейным передаточным звеном, путем умножения которого, на изображении входного сигнала получается преобразованный входной сигнал звена, имевшего до этого рабочую точку q=0. В случае системы со многими входами и выходами передаточная функция становится матричной передаточной функцией H(S); ее (i,j)- представляет собой преобразование Лапласа для hij(t), т.е. для установившегося режима i-го выхода на единичный импульс, приложенный к j-му входу в момент t=0. Пусть - линейная стационарная система, и пусть H(S)- ее передаточная функция. Если y является реакцией системы при нулевом состоянии на входе воздействия U, то (38) Y(S)= H(S) V(S) где Y и V - преобразования Лапласа для y и U. Передаточная функция H(S) идентична весовой функции g(t), преобразованной по Лапласу. 1.5 ОБЪЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ. В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только периодически, причем период наблюдения достаточно мал, так то все переменные можно восстановить с приемлемой точностью по их квантованным значениям, можно записать уравнения рассматриваемой системы для дискретных (квантованных) значений для всех переменных. Иными, словами в качестве такой системы берется дискретная по времени система. Исследование дискретных систем во многом подобно исследованию непрерывных систем. Преобразование непрерывных систем в дискретные. Пусть дана непрерывная система Y с уравнениями состояния (1) x= Ax + Bu; (2) y= Cx + Du, где A,B,C,D суть (n*n), (n*r), (p*n) и (p*r)- постоянные матрицы соответственно. Предположим, что компоненты входного вектора замеряются периодически и фиксируются (сохраняются неизменными) в течении каждого интервала (kT,(k+1)T), где k=...,-1,0,1...

квантование и запоминание

S определяется

ур-ми (1),(2)

Страницы: 1, 2