РУБРИКИ

Реферат: Математика 1 часть

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Реферат: Математика 1 часть

Реферат: Математика 1 часть

ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН.

ВЕКТОР

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом.

Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной величине или об истинном скаляре.

Если некоторая скалярная величина определяется одним чис­лом, абсолютная величина которого не зависит от выбора осей от­сче­та, а ее знак зависит от выбора положительного направления на осях ко­ор­динат, то тогда говорят о псевдоскалярной величине

Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом - числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Геометрически принято изображать вектор направленным отрезком. Зная координаты начала и конца вектора Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть , можно найти координаты вектора, определяемого этими точками Реферат: Математика 1 часть , т.е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.

Сложение и вычитание

Реферат: Математика 1 часть Сложение и вычитание векторов производят геометрически (рис. 7). Этот способ называют правилом треугольника.

Математически сложение записывают Реферат: Математика 1 часть или Реферат: Математика 1 часть , если речь идет о вычитании векторов (рис. 7).

Если в пространстве задано несколько векторов, число которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) записывают как Реферат: Математика 1 часть Геометрически этот способ называют правилом многоугольника.

Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора Реферат: Математика 1 часть на скаляр a получают новый вектор Реферат: Математика 1 часть , совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль) которого изменяется в a раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора Реферат: Математика 1 часть , если a > 0, или противоположно исходному вектору, если a < 0. В координатной форме, если Реферат: Математика 1 часть , то Реферат: Математика 1 часть .

Реферат: Математика 1 часть Два одинаково направленных и параллельных вектора называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть разной длины

Два вектора Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть называют коллинеарными, если существуют такие два числа a и b, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство

Три вектора Реферат: Математика 1 часть ,Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть назовем компланарными, если существуют такие три числа a, b и g, не равные одновременно нулю, что выполняется равенство Реферат: Математика 1 часть

ТЕМА 2. Действия над векторами

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОРТАМ.

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Скалярным произведением двух векторов Реферат: Математика 1 часть иРеферат: Математика 1 часть называется число S =|Реферат: Математика 1 часть | |Реферат: Математика 1 часть | сos (Реферат: Математика 1 часть ). Эта операция обозначается Реферат: Математика 1 часть .В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е. Реферат: Математика 1 часть . Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

Реферат: Математика 1 часть .

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора Реферат: Математика 1 часть на направление единичного вектора Реферат: Математика 1 часть . Следовательно, любой вектор можно представить как Реферат: Математика 1 часть , где Реферат: Математика 1 часть - проекции вектора Реферат: Математика 1 часть соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда Реферат: Математика 1 часть , т.е. Реферат: Математика 1 часть .

Реферат: Математика 1 часть Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектораРеферат: Математика 1 часть по ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае вектор Реферат: Математика 1 часть является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора Реферат: Математика 1 часть на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора Реферат: Математика 1 часть численно будет равен

Реферат: Математика 1 часть .

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

Реферат: Математика 1 часть ,

где Реферат: Математика 1 часть , Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть есть скалярное произведение вектора Реферат: Математика 1 часть с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

Реферат: Математика 1 часть

где a, b и g - углы, которые составляет вектор Реферат: Математика 1 часть соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не ну­­левой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда Реферат: Математика 1 часть , т.е. Реферат: Математика 1 часть .

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Реферат: Математика 1 часть

Реферат: Математика 1 часть .

ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов.

ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Линейно независимые векторы Реферат: Математика 1 часть , Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть образуют правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в противном случае говорят о левой тройке векторов

Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и образующие правую тройку векторов, называют прямоугольной декартовой системой координат.

Углом между векторами Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть называют такой угол a, не превосходящий p, на который нужно повернуть вектор Реферат: Математика 1 часть , чтобы совместить его с направлением вектора Реферат: Математика 1 часть , начало которого должно совпадать с началом Реферат: Математика 1 часть .Угол между векторами обозначается (Реферат: Математика 1 часть ,Реферат: Математика 1 часть ) или (Реферат: Математика 1 часть ÙРеферат: Математика 1 часть ).

Реферат: Математика 1 часть Под векторным произведением векторов Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть понимают вектор Реферат: Математика 1 часть , имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости Реферат: Математика 1 часть ,определяемой векторами Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть , причем так, что векторы Реферат: Математика 1 часть ,Реферат: Математика 1 часть иРеферат: Математика 1 часть образуют правую тройку векторов (длина вектора Реферат: Математика 1 часть численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: Реферат: Математика 1 часть или Реферат: Математика 1 часть . Очевидно, что Реферат: Математика 1 часть (из определения векторного произведения). Реферат: Математика 1 часть . Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

Реферат: Математика 1 часть .

. Смешанным про­из­ве­дением векторов Реферат: Математика 1 часть , Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть назовем чис­ло К, равное объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да, построенного на этих век­то­рах (рис. 10) и вычисляемое как:

Реферат: Математика 1 часть

Очевидно, что если Реферат: Математика 1 часть , Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть компланарны, то К = Реферат: Математика 1 часть =0.

Из определения смешанного произведения следует интересный факт, что произведение не зависит от порядка следования векторов в смешанном произведении, так как объем параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит только от расположения этих векторов в пространстве (левая или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. Следовательно, можно записать

Реферат: Математика 1 часть или Реферат: Математика 1 часть .

Это свойство смешанного произведения служит обоснованием упрощения записи смешанного про­из­ве­дения:

Реферат: Математика 1 часть .

ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С ЗАДАННОЙ ТОЧКОЙ И НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования.

Уравнение Реферат: Математика 1 часть , связывающее две переменные x и y называется уравнением линии L в выбранной плоской системе координат, если координаты любой точки этой линии L удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному уравнению.

По определению линия — это есть соотношение, связывающее координаты точек некоторой области пространства, и, причем только эти координаты. Уравнение представляет собой аналитическую запись уравнения любой плоской линии.

Реферат: Математика 1 часть .

Если вместо Реферат: Математика 1 часть подставить его численное значение, от получим известное уравнение прямой

Реферат: Математика 1 часть .

Известно, что уравнение прямой имеет вид:

Реферат: Математика 1 часть .

По условию задачи k задан. Точка M (x0 ,y0) должна также принадлежать искомой прямой и, по определению линии, обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и подставим значения x0 и y0 в уравнение, получим :

Реферат: Математика 1 часть .

В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным преобразова­ни­ем из последнего уравнения получим

Реферат: Математика 1 часть .

Найденное b подставим в уравнение и окончательно

Реферат: Математика 1 часть .

Уравнение является уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

Неизвестен k - угловой коэффициент наклона линии по отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная общий вид уравнения прямой (Реферат: Математика 1 часть ) и учитывая, что обе точки расположены на искомой линии, можно составить следующую систему:

Реферат: Математика 1 часть ,

где Реферат: Математика 1 часть – координаты точек M1 и M2 соответственно, (из­вест­ны), а k и b – искомые неизвестные. Вычитая из первого уравнения второе, выразим k,

Реферат: Математика 1 часть .

Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b

Реферат: Математика 1 часть .

Подставим найденные k и b в уравнение прямой

Реферат: Математика 1 часть .

Преобразуем последнее уравнение

Реферат: Математика 1 часть

и окончательно

Реферат: Математика 1 часть .

Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

ТЕМА 5. Прямая и плоскость в пространстве.

Реферат: Математика 1 часть УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

ПРЯМАЯ КАК ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Любая поверхность есть геометрическое место точек, ее

составляющих, определенное уравнением

Реферат: Математика 1 часть

Иными словами, все точки, которые

удовлетворяют этому уравнению, будут

принадлежать поверхности.

Пусть в пространстве XYZ задана

плоскость a и к ней в точке K проведем

вектор нормали Реферат: Математика 1 часть . Так как плоскость a

ориентирована произвольно в пространстве,

то вектор Реферат: Математика 1 часть будет составлять с осями x, y, z углы a, b и g соответственно.

Выберем на плоскости a точку M, не совпадающую с K и свяжем с этой точкой вектор Реферат: Математика 1 часть . Очевидно, что Реферат: Математика 1 часть , где r – модуль вектора Реферат: Математика 1 часть , из уравнения получаем Реферат: Математика 1 часть .

Получаем нормальное уравнение плоскости: Реферат: Математика 1 часть .

Однако, если представим вектор Реферат: Математика 1 часть как Реферат: Математика 1 часть , а вектор Реферат: Математика 1 часть Реферат: Математика 1 часть , тогда подставив полученные выражения, получаем Реферат: Математика 1 часть

Зная, что для любой точки, принадлежащей плоскости, с координатами (A,B.C) можно вычислить направляющие косинусы

Реферат: Математика 1 часть

с учетом которых можно уравнение преобразовать

Реферат: Математика 1 часть ,

которое известно, как уравнение плоскости.

Прямой линией назовем пересечение двух плоскостей в пространстве. Определение можно записать математически как Реферат: Математика 1 часть .

Пусть плоскости a и b (рис. 6) за­да­ны уравнениями:

Реферат: Математика 1 часть

и

Реферат: Математика 1 часть ,

где Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть , Реферат: Математика 1 часть

система из этих уравнений:

Реферат: Математика 1 часть Уравнения называются общими уравнениями прямой в

пространстве, записанными в векторной форме.

ТЕМА 6Матрицы и определители.

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ СВОЙСТВА

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составлен­ная из чисел Реферат: Математика 1 часть , которые называют элементами матрицы и обозначается

Реферат: Математика 1 часть Если в выражении (1) Реферат: Математика 1 часть , то говорят о квадратной матрице, а если Реферат: Математика 1 часть , то о прямоугольной.

Суммой двух матриц Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть называется матрица C, у которой Реферат: Математика 1 часть , и записывают Реферат: Математика 1 часть .

Произведением матрицы Реферат: Математика 1 часть на число Реферат: Математика 1 часть называется такая

матрица C = (cij), у которой (cij) = (kaij).

Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один Реферат: Математика 1 часть элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число Реферат: Математика 1 часть та­кое, что 1) у матрицы A имеется минор Реферат: Математика 1 часть го порядка Реферат: Математика 1 часть ; 2) всякий минор матрицы A порядка Реферат: Математика 1 часть и выше равен нулю, тогда число Реферат: Математика 1 часть , обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается Реферат: Математика 1 часть . Из определения вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так Реферат: Математика 1 часть 2) если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. Реферат: Математика 1 часть ,то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю Реферат: Математика 1 часть .

Определителем n-го порядка называется число Реферат: Математика 1 часть равное алгебраической сумме Реферат: Математика 1 часть , где Реферат: Математика 1 часть есть алгебраические дополнения элемента Реферат: Математика 1 часть , а Реферат: Математика 1 часть - есть соответствующие миноры, т.е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го столбца, на пересечение которых находится элемент Реферат: Математика 1 часть .

Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

Решением системы называется совокупность из n чисел (с1, с2, ..., сn), которые, будучи подставленными в систему на место неизвестных x1, x2, ..., xn, обращают все уравнения системы в истинные равенства

Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.

Решения Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть считают различными, если хотя бы одно из чисел Реферат: Математика 1 часть не совпадает с соответствующим числом Реферат: Математика 1 часть

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определнной; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.

Формулы Крамера Реферат: Математика 1 часть .

Метод Гаусса.

Пусть А - невырожденная матрица, то есть det A 0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части на А-1 слева, получаем:

А-1 (А Х) = А-1 В (А-1 А)Х = А-1 В Е Х = А-1 В, то есть Х = А-1 В и есть искомое решение системы (14). Действительно, подставив (16) в (14), получим А (А-1 В) = (А-1 А)В = Е В = В.

ТЕМА 7. Предел функции.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Если некоторому множеству значений Реферат: Математика 1 часть поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество Реферат: Математика 1 часть , то тогда говорят, что на множестве Реферат: Математика 1 часть определена функцияРеферат: Математика 1 часть . Множество Реферат: Математика 1 часть называется областью изменения функции, множество Реферат: Математика 1 часть областью определения функции. Такая функция называется однозначной.

Если некоторому множеству значений Реферат: Математика 1 часть поставлено по определенному правилу F несколько значений из множества Реферат: Математика 1 часть , то тогда говорят, что на множестве Реферат: Математика 1 часть задана многозначная функция.

Для того чтобы обозначить, что Реферат: Математика 1 часть есть функция отРеферат: Математика 1 часть , используют следующие виды записи: Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть и т.д.

Если невозможно выразить Реферат: Математика 1 часть , тогда говорят, что задана неявная функция и записывают: Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть и т.д.

Если надо выделить некоторое частное значение функции, соответствующее какому-либо конкретному значению Реферат: Математика 1 часть , тогда записывают: Реферат: Математика 1 часть .

Если каждому натуральному n по какому-либо известному правилу поставлено в соответствие некоторое число Реферат: Математика 1 часть , тогда говорят, что задана последовательностьРеферат: Математика 1 часть , которая обозначается как Реферат: Математика 1 часть Правило, по которому формируется последовательность Реферат: Математика 1 часть , обозначается как Реферат: Математика 1 часть и называется общим числом последовательности. Число Реферат: Математика 1 часть назовем пределом последовательностиРеферат: Математика 1 часть при Реферат: Математика 1 часть стремящимся к Реферат: Математика 1 часть , если для любого положительного, наперед заданного числа e, определяющего окрестность точки A, можно указать такую d, что для любого Реферат: Математика 1 часть , отличного отРеферат: Математика 1 часть из отрезка Реферат: Математика 1 часть значений функции Реферат: Математика 1 часть принадлежит Реферат: Математика 1 часть и это записывают как Реферат: Математика 1 часть .

ПоследовательностьРеферат: Математика 1 часть называется бесконечно большой, если для любого числа Реферат: Математика 1 часть найдется номер N, такой что для всех Реферат: Математика 1 часть выполняется неравенство Реферат: Математика 1 часть . Геометрически это обозначает, что какой бы большой номер числа последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее выбранного, если последовательность составлена из положительных чисел, или левее, если последовательность составлена из отрицательных. Это записывают Реферат: Математика 1 часть , или Реферат: Математика 1 часть .

Последовательность Реферат: Математика 1 часть называется бесконечно малой, если Реферат: Математика 1 часть

ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательностьРеферат: Математика 1 часть сходилась к числу A не­обходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство Реферат: Математика 1 часть , где Реферат: Математика 1 часть .

Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и бесконечно малыми.

Функции Реферат: Математика 1 часть называется непрерывной при Реферат: Математика 1 часть или в точке Реферат: Математика 1 часть , если выполняется Реферат: Математика 1 часть .А так как функция при этом должна быть непрерывной в точке Реферат: Математика 1 часть , то должно быть справедливо Реферат: Математика 1 часть .

Функция Реферат: Математика 1 часть называется непрерывной в точкеРеферат: Математика 1 часть , если для всех положительных, сколь угодно малых e можно указать такое положительное число Реферат: Математика 1 часть , для которого выполняется неравенство Реферат: Математика 1 часть для всех Реферат: Математика 1 часть из отрезка Реферат: Математика 1 часть .

ТЕМА 8. Производная.

Реферат: Математика 1 часть ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕС-КИЙ СМЫСЛ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ.

ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Если отношение Реферат: Математика 1 часть имеет предел при

Реферат: Математика 1 часть этот предел называ­ют

производной функцииРеферат: Математика 1 часть при заданном

значении Реферат: Математика 1 часть и записывают

Реферат: Математика 1 часть .

Производная функции Реферат: Математика 1 часть в точке Реферат: Математика 1 часть численно равна тангенсу угла, который составляет касательная к графику этой функции построенной в точке Реферат: Математика 1 часть с положительным направлением с осью Реферат: Математика 1 часть

Из определения ясно - в случае убывающей функции производная отрицательна. Это объясняется тем, что Реферат: Математика 1 часть , еслиРеферат: Математика 1 часть будет отрицательным. На этом свойстве производной основано исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.

Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. Реферат: Математика 1 часть .

Производная произведения равна Реферат: Математика 1 часть .

Если функция Реферат: Математика 1 часть имеет в точке Реферат: Математика 1 часть производную Реферат: Математика 1 часть и функция Реферат: Математика 1 часть имеет в точке Реферат: Математика 1 часть производную Реферат: Математика 1 часть , тогда сложная функция Реферат: Математика 1 часть имеет в точке Реферат: Математика 1 часть производную, равную Реферат: Математика 1 часть

Если Реферат: Математика 1 часть имеет в точке Реферат: Математика 1 часть производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция Реферат: Математика 1 часть также имеет производную и имеет место соотношение Реферат: Математика 1 часть .

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д.

Пример 1.Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; ...; Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть .

Пример 2.Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть . Так как Реферат: Математика 1 часть , то можно предположить, что в данном случае функцию можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Пример 3.Реферат: Математика 1 часть . Реферат: Математика 1 часть . Как и во втором примере, эта функция дифференцируема бесконечное количество раз.

Пример 4.Реферат: Математика 1 часть . Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; Реферат: Математика 1 часть ; . Реферат: Математика 1 часть ; ...Как следует из приведенных примеров, разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

ТЕМА 9. Экстремум функции.

ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Функция называется возрастающей на некотором промежуткеРеферат: Математика 1 часть , если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует большее значение функции, т.е. если Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть Реферат: Математика 1 часть , то выполняется Реферат: Математика 1 часть .

Функция называется убывающей на некотором промежуткеРеферат: Математика 1 часть , если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует меньшее значение функции, т.е. если Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть , Реферат: Математика 1 часть , то Реферат: Математика 1 часть .

Если функция определима и непрерывна на некотором отрезке Реферат: Математика 1 часть и на концах отрезка имеет знак, то на указанном отрезке эта функция имеет по крайне мере хотя бы одну точку, в которой Реферат: Математика 1 часть .

Функция Реферат: Математика 1 часть достигает своего максимума в точке Реферат: Математика 1 часть , если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем значение функции в этой же точке Реферат: Математика 1 часть .

Функция Реферат: Математика 1 часть достигает своего минимума в точке Реферат: Математика 1 часть , если ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение функции в этой же точке Реферат: Математика 1 часть .

Правило поиска экстремальных точек

1. Находим область определения функции Реферат: Математика 1 часть .

2. Находим производную функции Реферат: Математика 1 часть .

3. Определяем критические точки Реферат: Математика 1 часть по ее первой производной.

4. Исследуем Реферат: Математика 1 часть на знак слева и справа от найденных точек.

5. Если слева от точки Реферат: Математика 1 часть , а справа Реферат: Математика 1 часть , то тогда говорят, что точка Реферат: Математика 1 часть является точкой максимума.

6. Если слева от точки Реферат: Математика 1 часть , а справа Реферат: Математика 1 часть , то тогда говорят, что точка Реферат: Математика 1 часть является точкой минимума.

7. Если Реферат: Математика 1 часть слева и справа от критической точки не меняет знак, то говорят, что Реферат: Математика 1 часть является точкой перегиба функции.

Если функции Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть непрерывны при Реферат: Математика 1 часть , где Реферат: Математика 1 часть – некоторое положительное число, отличное от нуля и достаточно маленькое, и имеют непрерывные производные в указанной точке, а также Реферат: Математика 1 часть не обращается в нуль при вычитании указанных условий, тогда можно сформулировать следующую теорему.

Теорема Коши.Если при соблюдении предположений относительно функций Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть отношение Реферат: Математика 1 часть стремится к некоторому числу при Реферат: Математика 1 часть , то тогда к такому же числу будет стремиться отношение функций Реферат: Математика 1 часть .

Эта теорема позволяет формулировать правило Лопиталя. При раскрытии неопределенности вида Реферат: Математика 1 часть можно функцию числителя Реферат: Математика 1 часть и знаменателя Реферат: Математика 1 часть заменить их производными Реферат: Математика 1 часть и Реферат: Математика 1 часть , соответственно, и рассматривать предел Реферат: Математика 1 часть вместо Реферат: Математика 1 часть в указанной точке.

ТЕМА 10
ТЕМА 11
ТЕМА 12
ТЕМА 13
ТЕМА 14
ТЕМА 15
Реферат: Математика 1 часть


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.