|
|
|
|
Реферат: Приложения производной
Вывод:
На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.
Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение
цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом
, а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка
убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.
На промежутке  функция U(p)
вогнута. В точке  график
перегибается (см. на рисунке):
  
8. Применение производной в физике
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или
наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.
Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец
находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать,
при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным
ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец
лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?
Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=
4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки. Высота y(t) описывается
формулой:  ,так
как движение равноускоренное. В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t
2, из которого 
; В этот момент 
по т. Пифагора, т.е. 
Скорость его изменения
Ответ:
Задача 2 Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно
испаряясь так, что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m
изменяется в граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала
падения кинематическая энергия капли будет наибольшей? Скорость
капли  , её
кинетическая энергия в момент t равна 
Исследуем функцию 
на наибольшее с помощью поизводной:  
=0 t1=0 t2=1 (t>0)
При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно кинетическая
энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек. Задача 3
Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50
Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление
R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была наибольшей? По
закону Ома сила тока в цепи есть  
выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть  
Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: 
P’(R) = 0 : r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее
значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при
сопротивлении R =50 Ом.
Ответ: 50 Ом
9. Применение производной в алгебре 9.1.
Применение производной к доказательству неравенств.
Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств
основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и
знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
Теорема 1. Если функция 
на некотором интервале 
имеет производную 
всюду на  , то 
на  монотонно
возрастает; если же 
всюду на  , то 
на  монотонно
убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке 
выполняется неравенство 
, функция  и 
непрерывны в точке 
и  , то на 
выполняется неравенство 
.
Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием этих
теорем.
Задача 1. Пусть  .Докажите истинность неравенства  . (1)
Решение: Рассмотрим на 
функцию  . Найдем ее
производную:  .
Видим, что  при 
. Следовательно,  на 
убывает так, что при  
. Но  
Следовательно неравенство (1) 
верно.
Задача 2. Пусть 
и  положительные
числа,  Тогда
очевидно, что  , 
. Можно ли гарантировать, что неравенство 
(2)
верно а) при  ; б) при  ?
Решение: а) Рассмотрим функцию  . Имеем: 
Отсюда видно, что при 
функция  возрастает.
В частности, она возрастает на интервале 
Поэтому при 
неравенство (2) справедливо.
б) на интервале  
, т.е.  убывает.
Поэтому при любых 
и  , для которых 
, неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла: 
Задача 3. Доказать неравенство:  при  (3).
Воспользуемся теоремой 2. 
и  , верно
неравенство  : 
на промежутке  и
выполнимо условие 
где  , в данном
случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача 4. Доказать неравенство:   (4).
Решение:  ,  ; 
Неравенство  при любых  верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача 5. Доказать, что если  , то  (5).
Решение: Пусть  Тогда
Чтобы найти, при каких значениях 
функция 
положительная, исследуем ее производную 
. Так как при  
то 
Следовательно, функция 
возрастает при  .
Учитывая, что  и 
непрерывна, получаем 
, при  .
Поэтому 
возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку 
непрерывна и  то 
при  . Неравенство
(5) верно.
Задача 6. Выясним, что больше при  :  или  .
Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь  .
Рассмотрим на  вспомогательную функцию  .
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке 
. Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби):
 при  .
В силу теоремы 1 функция  вырастает на отрезке  . Поэтому, при   т.е. 
 при  .
При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нежно
доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто
целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква 
) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли
буквой  , а значение
остальных букв (в данном случае значение буквы 
) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить
указанный прием несколько раз.
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных 
неравенство: 
(6).
Решение: Пусть  Рассмотрим функцию
 .
При  имеем  .
Отсюда видно (теорема 1), что 
убывает на  Поэтому
при  имеем 
т.е. мы получили неравенство:
 (7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию  . При  имеем: 
Следовательно,  убывает на  , т.е.  при  значит,  (8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности
неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое
непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция 
непрерывна на  и
пусть имеется такая точка с из 
, что  на 
и  на 
. Тогда при любом х из 
справедливо неравенство 
причем равенство имеет место лишь при 
.
Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х
следующее неравенство:  
Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого
найдем производную:
 .
Видно, что  на 
и  на 
. Следовательно, в силу теоремы 3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем
равенство имеет место лишь при 
.
9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.
Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться одним
очевидным замечанием:
Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее
производная на этом интервале постоянно равна нулю:
 на  на  .
Задача 1. Проверить тождество:
(1)
Доказательство: Рассмотрим функцию
Вычислим ее производную (по х):
Поэтому (замечание)  . Следовательно,  что равносильно тождеству (1).
Задача 2. Проверить тождество:
 (2)
Доказательство: Рассмотрим функцию
Докажем, что 
Найдем ее производную:
Значит 
. При х=0  ,следовательно,тождество (2) верно.
В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении
постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной,
по которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить
возможно более простые выкладки.
9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и
тригонометрических выражений.
Прием использования производной для преобразования алгебраических и
тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет
значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она
легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного
выражения:
Задача 1 Упростить выражение: 
Решение: Обозначив данное выражение  будем иметь:
 
Таким образом, заданное выражение (1) равно  .
Задача 2. Упростить выражение:
Решение: Обозначив это выражение через  , будем иметь:
отсюда  .
и при  получаем: 
Так что 
Задача 3. Упростить запись функции:
 (2)
Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно
громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:
Отсюда 
Найдём  : 
Таким образом функция (2) равна 
Задача 4. Упростить запись многочлена:
 (3)
Решение: Обозначим многочлен (3) через 
и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции:
Ясно, что  Поэтому  , где  , найдём  : при   ,  .
9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.
Задача 1. Разложить на множители выражение:
 (1)
Решение: Считая 
переменной, а  и 
постоянными фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через 
, будем иметь:
Поэтому  (2)
где  - постоянная,
т.е. в данном случае - выражение, зависящее от параметров 
и  . Для нахождения 
в равенстве  положим 
тогда  .
Получим 
Задача 2. Разложить на множители выражение:
 (3)
Решение: Поскольку переменная 
входит в данное выражение в наименьшей степени, рассмотрим его, как функцию 
и будем иметь:
 получим:
Таким образом, исходное выражение (3) равно 
Задача 3. Разложить на множители выражение:
Решение: Обозначив данное выражение через  и считая  и  постоянными, получим:
 откуда  , где  зависит только от  и  . Положив в этом тождестве  , получим  и
Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но в
качестве переменной рассмотрим 
, поскольку эта переменная входит в меньшей степени, чем 
. Обозначая его через 
и считая  и 
постоянными, будем иметь:
отсюда: 
Таким образом исходное выражение (4) равно
9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.
С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение.
Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение
её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных
функций:
Задача 1. Если функция 
возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение 
имеет не более одного корня.
 (1)
Решение: Область определения данного уравнения - промежуток 
определение на этом промежутке функцию 
, положив
Тогда, на 
   Þ  ,
и таким образом функция 
- возрастающая, так что данное уравнение (1) не может иметь более одного
решения.
Задача 2. При каких значениях  имеет решения уравнение
 (2)
Решение: область определения уравнения - отрезок  , рассмотрим функцию  , положив 
Тогда на открытом промежутке 
 , так что 
- единственная критическая точка функции 
, являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку  
то  примет
наибольшее значение при 
, а наименьшее значение - при 
.
Так как функция 
непрерывна, то её область значений представляет собой отрезок 
, между её наименьшим и наибольшим значением. Другими словами, исходное
уравнение (2) имеет решения при 
.
Заключение
Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в
математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но
громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для
учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и
повысит интерес к производной.
Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x0
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке
с абсциссой x0.
Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке x0
- это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность
изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или
относительно другого исследуемого фактора.
Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости по
известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции
скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.
Производная является важнейшим инструментом экономического анализа,
позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических
понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических
формул.
Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть
при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка,
предельная производительность труда или других факторов производства и т.
д.).
Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые,
законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются
прямыми следствиями математических теорем
Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической
теории, физике, алгебре и геометрии.
Страницы: 1, 2
|
|
|
|
|
