|
|
|
|
Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Если f '(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо
провести первым способом.
4°. Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию:
у = 5 — х2 — х3 — x4/4.
Решение. 1. Находим первую производную:
y ' = - 2х - Зx2 — x3
2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение:
— 2x — Зx2 — x3 = 0, или x(x2+3х+2) = 0,
отсюда x = 0 или x2+ 3х + 2 = 0.
Решая квадратное уравнение x2 + 3х + 2 = 0, получаем:
x = (-3 + 1)/2.
Стационарных точек три: x1 = — 2, x2 = — 1 и х3 = 0.
3. Находим вторую производную:
у" = — 2 - бx — Зx2.
4. Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в
первой, затем во второй и потом в третьей стационарной
точке:
при х = — 2 у'' = — 2 — 6(— 2) — 3(— 2)2 = — 2, при х = —
1 у" = — 2 — 6(— 1) — 3(— l)2 = + 1, при x = 0 у" = — 2
.
Следовательно, данная функция имеет минимум при х = —1 и максимум при
х = — 2 и при х =0,
Пример 2, Исследовать на максимум и минимум функцию: у = х4.
Решение: 1) y' = 4x3;
2) 4х3 = 0; х = 0;
3) y" = 12x2;
4) при х = 0 y" = 0.
Так как оказалось, что вторая производная равна нулю, то исследование ведем
первым способом: при х < 0 у' = 4x3 < 0, а при х
> 0 у' = 4x3 > 0. Следовательно, функция у = х
4 имеет минимум в точке x = 0.
5°. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том
случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же дифференцирование
сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает выражение первой
производной, то первый способ может быстрее привести к цели.
Направление вогнутости кривой
Пусть две точки M1 и M2 имеют одну и ту же
абсциссу. Если при этом ордината точки M1 более (менее)
ординаты точки M2, то говорят, что точка M1
лежит выше (ниже) точки M2. Говорят также, что в промежутке
а<х<b линия y = f(x) лежит выше (ниже) линии
у=φ(х), если в этом промежутке каждая точка первой линии лежит выше
(ниже) соответствующей ей точки второй линии, т. е. если
f(x)> φ(x) [или f(x)< φ(x)].
Определение. В промежутке а < х < b кривая— график
дифференцируемой функции y=f(x) — называется вогнутой вверх (вниз), если она
лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.
Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а <
х < b и вогнутой вниз в промежутке b < х < с.
2°. В более подробных курсах анализа доказывается, что если
производная f '(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х
< b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.
Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.)
произвольно ряд точек и проведем через каждую из них
прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием абсциссы
намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к некоторой кривой
линии [tgφ = f '(x)], построим эту кривую линию. Мы видим,
что она может лежать только выше каждой из проведенных касательных.
3°. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке
а<х<b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за
исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом
промежутке вогнута вверх (вниз).
Действительно, если в промежутке а<х<b вторая производная f
"(x), например, положительна, за исключением отдельных точек, в которых она
равна нулю, то первая производная f '(х)—возрастающая функция, а кривая
y = f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.
Если f "(x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежутке, то в
этом промежутке f '(x) — постоянная функция, a f(x) — линейная
функция, график ее — прямая линия, и говорить о вогнутости не имеет смысла.
Точки перегиба
1°. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая
—график дифференцируемой функции y = f(x) — имеет слева и справа от
точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с
называется точкой перегиба.
 Точку М кривой
(черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она
отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба
может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В
окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и
ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая
точка, как Р (черт.), в которой единственной касательной не имеется,
точкой перегиба не является.
2°. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости
кривой y=f(x) разного направления, то вторая производная f "(x)
имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая
вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем,
что в точке перегиба она равна нулю, т. е.
f(c) = 0.
3°. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:
1) найти вторую производную данной функции;
2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения
х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней
отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;
3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков,
отграниченных полученными корнями;
4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки
второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если
одинаковыми, то точки перегиба нет.
4°. Примеры. Найти точки перегиба и определить промежутки вогнутости вверх и
вниз кривых:
1) у = lп х.
Р е ш е н и е. Находим вторую производную:
y '=1/x; y ''= -1/x2.
При всяком значении x = (0 < х <+∞) у"
отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью
вниз.
2) у = sin x.
Решение. Находим вторую производную:
y' =cos x, y'' = -sin x.
Полагая - sin x = 0, находим, что x = kπ, где k - целое число.
Если 0 < x< π, то sin x положителен и y ''
отрицательна, если же π < x< 2π, то sin x
отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки
перегиба 0, π, 2π,...
В первом промежутке 0 < x< π она обращена вогнутостью вниз,
во втором - вогнутостью вверх и т. д.
Механическое значение второй производной
Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется
уравнением s = f(t), где t время. Скорость v в момент
времени t есть производная от пути по времени, т. е.
v=ds/dt.
Скорость изменения скорости в момент времени t есть ускорение а,
a=(v)' = (ds/dt)' = (d2s/dt2).
Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения
в данный момент времени.
Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:
s = (t3 — 2) м.
Определить ускорение в момент t = 10 сек.
Решение. Ускорение а = d2s/dt2.
Дифференцируя функцию s=t3 — 2, находим d2s/dt2 =6t
Следовательно,
a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м\сек2.
2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его,
непостоянна, каждому моменту времени t соответствует определенное
значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция
времени t, F=f(t).
По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила F равна
произведению массы т на ускорение а, т. е.
F=ma, или f(t) = ma.
При прямолинейном движении a =d2s/dt2, поэтому
f(t) = m*d2s/dt2.
Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти
значение действующей силы в каждый момент времени.
Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает
прямолинейные колебания по закону
s = А*sin(ωt + ω0).
Решение. f(f) = m*d2s/dt2, поэтому находим вторую производную функции:
s = А*sin(ωt + ω0), ds/dt = А*cos(ωt+ω0)* ω,
d2s/dt2=— А*sin (ωt + ω0)* ω
2 = — s*ω2 = — ω2s; f(t) = — mω2
s,
т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной
перемещению s и направленной в противоположную сторону.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Сравнение бесконечно малых
1°. Составим отношение бесконечно малых, приближающихся к
нулю по различным законам, так что каждому рассматриваемому моменту приближения
к нулю одной из бесконечно малых отвечает определенное значение каждой из
рассматриваемых бесконечно малых. Например, пусть в те моменты приближения к
нулю, когда значения α = 10;1; 0.1; 0,01 и т.д.;
значения β =1000; 1; 0,001; 0,000001 и т.д.
Отношение β/α =100; 1; 0, 01; 0, 0001 и т.д., т.е.
значение отношения бесконечно малых не остается неизменным в процессе
приближения их к нулю. Отношение бесконечно малых, таким образом,—величина
переменная, и у нее может существовать предел, конечный (равный нулю, как в
примере, или отличный от нуля) или бесконечный, а может предела и не
существовать.
2°. Определения: 1) β называется бесконечно малой высшего
порядка малости, чем α, если предел отношения β/α равен нулю, т.
е. если
limβ/α =0;
2) β называется бесконечно малой низшего порядка малости, чем α, если
limβ/α = ∞;
3) β и α называются бесконечно малыми одинакового порядка малости,
если предел их отношения есть число k, отличное от нуля, т. е. если
limβ/α = k, где k ≠ 0 и k ≠ ∞
4) β и α называются несравнимыми бесконечно малыми, если предела
их отношения не существует.
3°. Примеры. 1. В рассмотренном выше примере limβ/α = 0
, β высшего порядка малости, чем α, a
limα/β = ∞ и α низшего порядка, чем β
.
lim (β/α) = lim (1+x) =2. х→1 |
|
2. α =1—х и β=1— x2 —бесконечно малые, если
х→1. Отношение β/α=(1- x2)/(1-x) = 1+x.
Значит, 1—х и 1—x2 —бесконечно малые одинакового порядка малости при х→1.
3. Сравним 1 —cosx с х при x→ 0.
| | lim((1-cosx)/x) = lim((2sin2(x/2))/x) = lim((sin(x/2))*sin(x/2)/(x/2))= x→0 x→0 x/2→0 =lim((sin(x/2))/(x/2))*lim(sin(x/2)) = 1*0 = 0 x/2→0 x/2→0 |
|
т. е. 1—cos x при х → 0 есть бесконечно малая высшего
порядка малости, чем х.
Дифференциал функции
1°. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется
произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ∆x
аргумента х, т. е.
(I)
2°. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два
числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ∆x
.
Пример. Вычислить дифференциал функции у = x2 при изменении
значения аргумента х от 3 до 3,1.
Решение. dy=f '(х)* ∆х. Найдем dy сначала для произвольных
значений х и ∆x.
f '(x) = (x2)' =2x.
Поэтому
dy=2x*∆x.
Начальное значение аргумента х=3, приращение его ∆x = 3,1 — 3
= 0,1. Подставляя эти значения в выражение dy находим:
dy =2*3*0,1=0,6.
 Для данного значения
независимого переменного х дифференциал функции f(x) есть линейная функция
приращения независимого переменного ∆х.
3°. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в
точке х проведена касательная к графику функции y=f(x). Из
∆MPT следует, что
PT = MP*tgφ = ∆x*f '(x).
Но по определению f '(х) *∆x = dy, поэтому PT = dy.
Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается
приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.
4°. Дифференциал dy и приращение ∆у вообще не равны
между собой. На черт. dy = PT менее ∆y=PQ.
Очевидно, dy может быть и более ∆y. Это будет, например,
если поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.
5°. Пример. Для функции у=x2 при изменении х
от 3 до 3,1 приращение ∆y = 2x*∆x + + ∆
x2 = 2*3*0,1 + 0, 12 = 0, 61 Дифференциал dy
= 2х *∆x = 2*3 * 0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное
значение ∆у, имеем: абсолютная погрешность приближения равна
разности ∆у—dy=0,01, а относительная погрешность приближения есть
отношение:
(∆y—dy)/dy=00,1/0,60=1,7%
6°. Разность между приращением и дифференциалом функции, ∆у—dy,
высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ∆x.
Действительно, отношение ∆y/∆x отличается от своего предела
f '(x) на бесконечно малую α, причем α → 0
при стремлении ∆x к нулю,
∆y/∆x — f '(x)= α.
Производя вычитание в левой части равенства, получаем:
(∆y-f '(x)*∆x)/∆x = α, или (∆у - dy) ∆x=
α,
| | lim((∆y-dy)/ ∆x) = lim α = 0. ∆x → 0 ∆x → 0 |
|
7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть
приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к
нулю вместе с приращением аргумента.
8°. Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x)
обладает двумя свойствами:
1) dy пропорционален ∆x (dy = k∆x, где k=y');
2) отношение (∆y—dy)/∆x стремится к нулю при стремлении ∆x
к нулю.
Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами:
 1) z=k∆x и 2) то z есть дифференциал функции у.
Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:
т. е. k = y',
а следовательно,
z = k∆x = y’∆x,
т. е. z есть дифференциал функции у.
Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.
Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов
1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его
приращение, ∆x:
dx = ∆х (II)
Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал функции
у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,
dy = (x)' ∆x, или dy = ∆x.
Но так как
dy = dx, то dx = ∆x,
т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.
2°. Внеся в формулу (I) значение ∆x=dx, получаем:
(III)
т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциал
аргумента.
3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула
dy = f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой
переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.
Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть
сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением
∆u, и dy надо вычислять по формуле;
dy = f 'u (x)* ∆u.
Но
f 'u (x)= f’x (x)* x’u
Значит,
dy = f’(x)—x'u * ∆u.
Но так как, по определению,
x'u ∆u = dx,
то, следовательно,
dy = f '(x)dx.
4°. Пример. Найти дифференциал функции:
_____________________
у = √ (e2x—1).
Решение. По формуле (III)
dy = у'*dx.
Находим у':
________
________
y’ = e2x*2/( 2√ (e2x—1)) = e2x/ √ (e2x—1).
Значит
_______
dy = e2x*dx/ √ (e2x—1)
5°. Из формулы (III) следует;
f’(x)=dy/dx,
т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к
дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где
dy/dx = PT/MP = tgφ=f '(x)
для произвольного значения dx = MP.
Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям
1°. Разность ∆y—dy—бесконечно малая высшего порядка
малости, чем ∆x, поэтому при достаточно малом ∆x
(IV)
Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х)
величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной
величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным
значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить
касательной к ней в точке х.
Так как ∆у = f(х + ∆x)—f (x), то, заменяя в формуле (IV)
∆у его выражением, имеем: f(x+∆x) - f(x) ≈ f '(x)*
∆x
| | f(x+∆x) ≈ f(x) + f '(x)* ∆x |
|
(V)
В математике производную применяют для:
1. Исследования функции на монотонность, экстремумы.
2. Нахождения касательной к графику.
3. Нахождения наибольших, наименьших значений функций.
4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.
5. Для доказательства неравенств.
Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и
физике.
Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+.+100(1/3)99;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+.+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+.+x100.
Ясно, что f ’(x)=g(x).
f(x) — сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,
g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-1))/(1—x)
2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.
Подставлю x = 1/3.
Ответ: 0,25(9—205*3-99)
Задача 2. Найти сумму 1+2*3+3*32+.+100*399;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+.+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+.+x100.
Ясно, что f ’(x)=g(x).
f(x) — сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,
g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-1))/(1—x)
2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.
Подставлю x = 3.
Ответ: ≈ 2,078176333426855507665737416578*1050.
Задача 3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и
B — точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику
y = (9—x2)/6 из точки M(4;3).
Решение.
т. A = укас1∩OX Решение:
т. B = укас2∩OX укас =y(x0)+у’(x0)(x—x0);
y = (9—x2)/6 y’(x0) = -2x*1/6 = -x/3;
M(4;3)________ т.к. укас проходит через M(4;3), то
SAMB —? 3 = (9—x02) — (4—x0)* x0/3 | *3
18 = 9—x02—2x0(4—x0);
x02—8 x0—9 = 0;
Д/4 = 16 + 9;
x0 = 4+5 = 9;
x0 = 4—5 = -1
укас1 = -12 — (x—9)*9/3 = -3x+15;
укас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;
A(5;0); B(-5;0);
AM = √10 (ед.);
AB = 10 (ед.);
BM = 3√10 (ед.);
p — полупериметр; __
p = (4√10 + 10)/2 = 2√10 + 5;
__ __ __ __ __ __
S = √(2√10 + 5) (2√10 + 5—√10
) (2√10 + 5—3√10) (2√10 + 5—10) =
= √(2√10 + 5)(√10 + 5)(5—3√10)(2√10—5) =
= √(40—25)(25—10) = 15 (ед2);
Ответ: 15 (ед2).
 Задача 4. Какая
наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если его стороны
OA и OB лежат на графике функции y = (|x|—x)/2, а прямая
AB проходит через точку M(0;1).
Решение:
 -x, x<0
y =
0, x>0
A(a;-a); B(b;0);_
AO = |a|√2 = -a√2 (т.к. a<0);
BO = b;
Для т. B:
у1 = kx +z;
т.к. у1—график линейной пропорциональности, проходящий через
т M(0;1), то z = 1.
0=kx+1;
k=-1/b;
Для т. A:
у1=kx+1;
-a=kx+1;
k=(-1-1a)/a;
у1A= у1B
(-a—a)/a = -1/b;
b+ab=a;
a(1—b)=b;
a = b/(1-b);
S∆AOB=0,5*AO*OB*sin/_AOB
ÐAOB =180o—45o = 135o
S∆AOB=0,5*(√2/2)* (-a)b√2 = -ab/2;
S∆AOB = -b2/(2(1—b)) = b2/(2(1—b))
; D(y): b>1(т.к. при b<1 не образует
∆AOB.);
т.к. функция непрерывна и дифференцируема на b>1, то найду ее производную:
S’ = (4b(b—1)—b2)/(4(b—1)2) = (4b2—4b—2b2)/(4(b—1)2) = 2b(b—2)/(4(b—1)2) =
= b(b—2)/(2(b—1)2);
S’ = 0;
точки экстремума:
 b=0;
b=1;
b=2;
но b>1, значит
Sнаим =S(2) = 4/(2(2—1))=2(ед2);
Ответ: 2 ед2.
Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1
C1D1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD
1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1
B1C1D1 , вершину А и точку Р
, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение
параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро
DC в этом случае?
Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО Î АA1
C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО
до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP -
линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости,
а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP
= SK*AP/2 , потому что SK/2— высота параллелограмма ANMP.
Это видно из следующего рассуждения.
В ΔASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 =
4), в ΔPSC также средняя линия МC1, а
плоскость A1B1C1D1 делит
пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и
SK.
Пусть PC = x; ΔCLP подобен ΔDAP,
LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24—x);_____________ ____________
Из ΔCLP: KC = (6x*x/(24—x))/(√(36x2/(24—x)2
)+x2) = 6x/(√(36+ (24—x)2);
________ ___________________ __________________
Из ΔSCK: SK = √SC2+ KC2 =
√64+36x2/(36+(24—x)2) = 2√16+9x2
/(36+(24—x)2) ;
Из ΔADP: AP = √36+(24—x)2;
_____ _________________ __________________
Sсеч = AP*SK/2 = 0,5*(√36+(24—x)2) 2√16+9x
2/(36+(24—x)2) = √16(36+(24—x)2)+9x2
;
Если S’(x) = 0, то 18x+16*2(24—x)(-1) = 0;
50x—32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);
Sсеч = 312;
DP = 24—16*24/25 = 216/25;
Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.
Задача 6. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит
через середину ребра AC. Выберите на AC точку М так,
чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M,
середину ребра TC и вершину B, была наименьшей, если
AB=BC=AC=TC=2.
Решение. HF=FC=1/2;
S∆BME = BM*EK*1/2;___ _
Из ∆TCH => TH = √4—1=√3;
EF = TH/2=√3/2;
Пусть MC = x.
Из ∆BMC по теореме косинусов MB2= x2+4—2*2*x*1/2;
MB = √x2—2x+4; _ _
S∆BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2√3 /2 = x√3/2;
S∆BMC = 0,5*BM*PC, _ ________
PC = (2S∆BMC)/BM, PC = x√3/√x2—2x+4 ;
∆KMF подобен ∆PMC(по двум углам):
KF/PC = MF/MC(рис 2),_____ _ _________
KF = x√3(x—1/2)/(x√x2—2x+4) = √3(x—1/2)/(√x2—2x+4);
________ ______________________
Из ∆KEF => KE = √ KF2+
EF2 = √3(x—1/2)2/(
x2—2x+4)+3/4;
_
S∆BME = 0,5√x2—2x+4
*√3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4 = 0,5√3(x—1/2)
2+(x2—2x+4)*3/4;
Если S’(x) = 0, то
6(x—1/2)+(2x—2)*3/4 = 0;
15x—9 = 0;
x = 3/5; __
S(3/5) = √15/5 кв.ед.
Ответ: √15/5 кв.ед.
Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная
пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o
. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M
лежит на апофеме пирамиды, а BK — высота основания пирамиды, не
пересекающая апофему?
Решение. TP = 2R, ÐATO = 60o.
Пусть AB = BC = CA = a(рис.)
Тогда AO = a√3/3,
AD = BK = a√3/2, _ _
TO = AO*ctg60o= a√3/3*1/√3 = a/3,
OD = a√3 /6,
AO2 = TO*OP = TO(2R - TO),
a2/3 = a(2R – a/3)/3, a = 3R/2.
S∆MBK = BK*LM*1/2, BK = const,
S∆MBK = f(LM),__
LM = √MN2+NL2
Пусть MD = x, тогда MN = x cos / NMD; _
cos Ð NMD = TO/TD = a/(3√a2/9+a2/12 = 2/√7, MN = 2x/√7 .
Из ∆ONL: LN = ON cos30o (ÐONL = 30o);
ON = OD – ND, _ _ _ _ _
ND = x sin ÐNMD = x √3/√7, ON = a√3/6 - x√3/√7,
LN = (a√3/6 - x√3/7)√3/2 = (a/4 – 3x/(2√7)),
LM = √4x2/7+(a/4 – 3x/(2√7))2. _ _
Если LM’(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2√7))(-3/2√7) = 0,
8x/7 – 3a/4√7 + 9x/14 = 0,
25x/14 = 3a/4√7,
x = 21a/50√7. __ __
MN = (21a/50√7)*(2/√7) = 3a/25,
LN = a/4 – (3/2√7)*(21a/50√7) = 4a/25,
LM = √a2/625 + 9a2/625 = a√10/25. _
S∆MBK = a√3/2*a/5*1/2 = a√3/20 = 9√3 R2/80.
Ответ: 9√3 R2/80.
Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная
пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между
боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма,
одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой
грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна
быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.
Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу
радиусом R,
SO*1,5 = AD,
LMN – правильная четырехугольная призма.
Найти. Vпр = f(LM).
Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;
SO1 = R – радиус сферы; LM = x –высота призмы.
∆SKO1 подобен ∆SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.
Из ∆AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 - R)2,
R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3,
8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.
Отсюда OD = R/2;
AO1 = R и SO1 = R; _
SD = √R2 + R2/4 = R√5/2, _
OK1 = 2*R*R/(2R√5) = R√5/5;
O1K = R√5/5.
Из ∆O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,
NF = √R2 – R2/5 – 2x(√5)2/5 – x2 ,
Sосн = 2NF2. _
Vпр = Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x√5 R/5 - x2)*x;
Vпр = 2(4R2x/5 – 2x2√5 R/5 - x3);
V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x√5 R/5 - 3x2) = 0; _
x 1,2 = (2R√5/5 + √4R2
/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R√5/5 + 4R/√5
)/(-3);
x = 2√5 R/15 _ _
Vпр.max = 2(4R2*2√5R/(5*15)
– 2√5R*4R2/(45*5) - _ 40√5R3/(225
*15)) = 16R3√5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16√5R
3/135.
Ответ: 16√5R3/135 м3 при H = 2√5R/15.
Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в
плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой
поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее
нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины
верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины
диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра
к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти
этот объем призмы, если высота конуса – H и радиус основания – R
.
Дано. ASO – конус;
SO = H;
AO = R;
CL/CM = BK/BN;
Найти. BN, чтобы Vпр = max
Решение. BN = x, CM = h, Vпр = Sосн CM = CL2h/2.
∆CSD подобен ∆ASO: CD/AO = SD/SO;
CD/R = (H – x - h)/H;
CD = R(H – x -h)/H.
∆BSE подобен ∆ASO: BE/AO = SE/SO;
BE/R = (H - h)/H;
BE = R(H - h)/H.
Находим отношение CD/BE = (H – x - h)/(H - x).
Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,
что CD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x2)/H
Тогда CD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H - x)2/H2,
CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2.
V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5;
 V’(x) = 2R2((H - x)5 – 5(H - x)4 x)/H5 = 0,
(H – x) – 5x = 0, x = H/6.
V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.
Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66.
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или
наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором
находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 –
b/r, где a и b — положительные постоянные, r —
расстояние между частицами.
Найти:
а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы;
б) выяснить устойчиво ли это положение;
в) Fmax значение силы притяжения;
г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
U = a/r2 – b/r; Решение:
a и b — counts; Для определения r0 соответствующего равновесному
r0 — ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.
Fmax — ? Используя связь между
потенциальной энергией поля
U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0;
при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;
Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;
равновесие устойчивое.
Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:
F = 2a/r3— b/r2;
dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
при r = r1 = 3a/b;
подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;
U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0;
F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b;
Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2,
R3 соединены параллельно. Сопротивление R1 в
9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора
соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.
Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи
будет наибольшим.
R1 = 9 R2
Решение:
При параллельном соединении резисторов эквивалентное
R1, R2, R3 сопротивление по формуле:
1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3;
Rэкв max— ? выражу R3 через R2:
R3 = R— R1—R2=R—10R2;
тогда 1/Rэкв = (10R—91R2)/(9R2(R—10R2));
Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].
Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2 и преобразуем ее:
(1/Rэкв)’ = -910(R2—R/7)(R2—R/13)/(9R22 (R-10R2)2);
В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в
которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке
R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв
и максимум функции Rэкв, при этом
R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;
Rэкв max = 9R/169;
Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее
диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время
горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная
составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по
закону B = B0(1 + αH), где α = const
(черт.).
Решение. Пусть n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток,
созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,
Ф = BS = B0(1 + αH)S, где S = πd2/4 – площадь контура.
ЭДС индукции, возникающая в кольце,
E = - Ф’(t) = - (B0(1 + αH)S)’ = - B0SαH’(t).
 Производная H’(t) = ν
н – это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,
Ei = - B0Sα( - νн).
Так как скорость кольца направлена против оси H, то νн
= - ν, где ν – модуль скорости кольца и Ei
= B0Sαν.
По кольцу протекает индукционный ток
J = Ei /R = B0Sαν/R.
В результате в кольце за промежуток времени Δt выделяется
количество теплоты
Q = J2RΔt.
На высоте H1 кольцо обладает механической энергией
W1 = mgH1 + mν2/2,
на высоте H2
W2 = mgH2 = mgH2 + mν2/2
(ν = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения
энергии
W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2
+ J2RΔt => mg(H1 - H2) = (B
0Sαν/R)2RΔt =>
mg(H1 - H2) = (B0Sαν)2
Δt/R (*)
Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное
кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 =
νΔt, и уравнение (*) примет вид:
mgνΔt = (B0Sαν)2Δt/R => mg = (B0Sα)2ν/R =>
ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.
Ответ: ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.
Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от
батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС
E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея
включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится
m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m,
n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).
Решение:
При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,
По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую
функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к
нулю.
J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R; .
n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;
m = k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.
Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под
действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается
песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением,
найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки.
Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не
насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с
постоянной скоростью m кг/с.
Решение.
Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
 Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = FS
P – импульс системы платформа-песок, FS – сила,
действующая на систему платформа-песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt:
Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) – (M+mt)u =FDt
где u – скорость платформы
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F
или
d[(M+mt)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы
равной нулю:
(M+mt)u = Ft
Следовательно:
u = Ft/(M+mt)
Тогда, ускорение платформы:
a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u = FDt
Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из
платформы за время Dt
Тогда:
Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
(M-mt)du/dt = F
или
a1=du/dt= F/(M-mt)
Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.:
Просвещение, 1964.
2. М 71 В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.
3. P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.:
Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998.
4. P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных
задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000.
5. Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.:
Просвещение, 1995.
6. М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников.
Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.
7. С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.:
Союз, 1997.
8. В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три
подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир”
при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
9. Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.:
Педагогическа-Пресс, 1999.
10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2.
Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.
РЕЦЕНЗИЯ НА РАБОТУ
Страницы: 1, 2
|
|
|
|
|
