|
|
|
|
Реферат: Рациональные уравнения и неравенства
Уравнения содержащие знак модуля.
Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются лишь
знаком: если |a| = |b|, то либо a = b, либо a = -b. Применим это замечание к
решению уравнения
|3x - 1| = |2x + 3|.
В силу сказанного выше из этого уравнения вытекает, что либо 3х - 1 = 2х + 3,
либо 3х - 1 = -(2х + 3). Корнем первого уравнения является число 4,
а второго — число -2 / 5. Итак, решение уравнения имеет вид х1 =
4, х2 = -2 / 5.
В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются
в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось
на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки
знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков
от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на
каждом промежутке.
При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод
интервалов. Напомним, что
 f (x), если f (x) ³ 0,
| f (x) | =
– f (x), если f (x) < 0.
Пример 12.59. Решим уравнение.
|x| = |3 - 2x| - x - 1.
Решение. Выражение x обращается в нуль при x = 0, а выражение 3 - 2x — при x =
3 / 2. Точки 0 и 3 / 2 разбивают числовую ось на промежутки (-¥; 0),[0; 3 /
2], (3 / 2; ¥). При -¥ < x < 0 имеем x < 0 и 3 - 2x > 0.
Поэтому на этом промежутке |x| = - x, |3 - 2x| = 3 - 2x и уравнение принимает
вид -x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это значение x не
лежит на (-¥; 0), и потому на этом промежутке уравнение корней не имеет.
При 0 £ x £ 3/ 2 имеем x ³ 0, 3 - 2x ³ 0, поэтому
|x| = x, |3 - 2x| = 3 - 2x. И уравнение принимает вид x =
3 - 2x - x - 1. Решая его, находим x = 0,5. Так как это значение x
принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем заданного
уравнения. Наконец, на промежутке (3 / 2; +¥) имеем x > 0, 3 - 2x <
0, а потому |x| = x, |3 - 2x| = -(3 - 2x) и уравнение принимает вид x = -(3 -
2x) - x - 1, т.е. 0 = - 4. Значит, на этом промежутке нет корней заданного
уравнения.
Мы получили, таким образом, что уравнение имеет лишь один корень, а именно x
= 0,5.
Ответ: x = 0,5.
В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много решений.
Пример 12.60. |8 - 5x| = |3 + x| + |5 -6x|.
Выражения (8 - 5x), (3 + x) и (5 - 6x) обращаются в нуль соответственно в точках
8 /5, -3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка. При этом, в
ходе решения, устанавливаем, что на промежутках (-¥; -3), (5 / 6; 8 /5],
(8 / 5; +¥) уравнение корней не имеет, а на промежутке [-3; 5 / 6] оно
обращается в тождество 8 - 5x = 3 + x + 5 - 6x. Поэтому ответ имеет вид [-3; 5
/ 6].
Ответ: [-3; 5/ 6].
Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак модуля под
знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на промежутки
знакопостоянства позволяет решить уравнение.
Пример 12.61. Решим уравнение |2x - 3 - |x + 2|| = 8x + 12.
Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = -2. Если x < -2, то (x
+ 2) < 0 и потому |x + 2| = -(x + 2). Значит, на промежутке (-¥; - 2)
заданное уравнение принимает вид |2x - 3 + (x + 2)| = 8x + 12, т.е. |3x
- 1| = 8x + 12. Но при x < -2 имеем 3x - 1 < 0 и потому
|3x - 1| = - (3x - 1). Получаем уравнение -(3x - 1) = 8x + 12,
имеющее корень x = -1. Так как это число не лежит на промежутке (-¥; - 2),
то заданное уравнение не имеет на это промежутке корней.
Пусть теперь x ³ - 2. Тогда |x + 2| = x + 2, и мы получаем уравнение
|2x - 3 - (x + 2)| =8x + 12, т.е. |x - 5| = 8x + 12.
Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5 и x ³ 5. В первом случае
½x - 5| = -(х - 5), и потому получаем уравнение
-(x - 5) = 8x + 12. Его корень равен -7 / 9. Поскольку -2
£ (-7 / 9) £ 5, то -7 / 9 является корнем заданного уравнения. Если
же x ³ 5, то |x - 5| = x - 5 и уравнение принимает вид x - 5 = 8x + 12.
Корнем полученного уравнения является число -17 / 7. Поскольку оно не лежит на
луче [5; +¥), оно не является корнем заданного уравнения. Итак, решение
имеет вид x = - 7 / 9.
Ответ: x = -7 / 9.
Пример 12.62.
|1 – 2x| + |3x + 2| + |x| = 5.
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем
на числовой оси полученные значения, исследуем уравнения в каждом из
полученных интервалов:
А) если x < – 2 / 3, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение
переписывается так:
1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е. – 6x = 6, x = – 1 Î(–¥; – 2 / 3).
Б) если – 2 / 3 £ x < 0, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 ³ 0, x < 0 и поэтому имеем:
1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к. 3 ¹ 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0)
корней нет.
В) если 0 £ x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е. 2x =
2; x = 1 Ï[0; 0,5).
Г) если 0,5 £ x, то – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3 Î(0,5; ¥).
Ответ: x1 = – 1; x2 = 2 / 3.
Пример 12.63.
| x | + | x – 1 | = 1.
Решение. (x – 1) = 0, x = 1; Þ получаем интервалы:
A) x Î(-¥; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0 Ï(-¥; 0).
Б) x Î[0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1 Þ x — любое число из
[0; 1).
В) x Î[1; ¥), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 Î[1; ¥).
Ответ: x Î[0; 1].
Основные методы решения рациональных уравнений.
1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к
общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные
уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле
Также используется теорема Виета: x1 + x2 = – b / a; x1x2 = c / a.
2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения
формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда
слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем
приравниваем к нулю каждый из сомножителей.
3) Подстановка: ищем в уравнении некоторое повторяющееся
выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения.
В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение
(x2 + x – 5) / x + 3x / (x2 + x – 5) + 4 = 0,
легко решается с помощью подстановки (x2 + x – 5) / x = t,
получаем t + (3 / t) + 4 = 0.
Или: 21 / (x2 – 4x + 10) – x2 + 4x = 6. Здесь можно
сделать подстановку x2 – 4 = t. Тогда
21 / (t + 10) - t = 6 и т.д.
В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких
преобразований. Например, дано уравнение
(x2 + 2x)2 – (x +1)2 = 55.
Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x)2 – (x2
+ 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x2 + 2x=t.
Имеем t2 – t – 56 = 0, t1 = – 7, t2 = 8.
Осталось решить x2 + 2x = – 7 и x2 + 2x = 8.
В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать «заранее». Например
1) Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c
сводится к биквадратному, если сделать подстановку
x = t – (a + b) / 2.
2) Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn
+ a1xn – 1 + . + a1x + a0 = 0
(коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью
подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение
имеет корень x = – 1.
3) Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится
к квадратному, если a + b = c + d и т.д.
4) Подбор: при решении уравнений высших степеней
рациональные корни уравнения anxn
+ an – 1xn – 1 + . + a1x + a0 = 0
ищем в виде p / q, где p — делитель a0, q — делитель
an, p и q взаимно просты, pÎZ, qÎN.
5) «Искусство», т.е. решать пример нестандартно, придумать «свой
метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на
что-то разделить и умножить и т.д.
6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется
определение модуля и метод интервалов. Напомним, что
 f (x), если f (x) ³ 0,
| f (x) | =
– f (x), если f (x) < 0.
Рациональные неравенства.
Пусть ¦(c) ¾ числовая функция одного или нескольких переменных
(аргументов). Решить неравенство
¦(c) < 0 (¦(c) > 0) (1)
¾ это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции ¦,
при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента
(аргументов) функции ¦, при которых неравенство (1) справедливо, называется
множеством решении неравенства или просто решением неравенства.
Множество решении нестрого неравенства
¦(c) £ 0 (¦(c) ³ 0) (2)
представляет собой объединение множества решении неравенства (1) и множества
решении уравнения ¦(c) = 0.
Два неравенства считаются эквивалентными, если
множества их решении совпадают.
Под множеством допустимых значении неизвестных,
входящих в неравенство, понимают область определения функции ¦(c).
Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных
функции ¦i(c), могут быть сведены в систему неравенств. Решить
систему неравенств ¾ это значит найти множество всех значении
аргументов функции ¦i(c), при которых справедливы все неравенства
системы одновременно.
Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если
множества их решении совпадают.
Свойства равносильных неравенств.
При решении неравенств используют свойства равносильности.
Неравенства с одной переменной называются равносильными
, если множества их решении совпадают.
Например, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют
одинаковые множества решении хÎ[2; +¥]. Эти неравенства –
равносильные.
Неравенства х > 0 и х2 > 0 –
неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество
хÎ[0; +¥], а решение второго неравенства есть множество
хÎ[-¥; 0]È[0; +¥]. Эти множества не совпадают.
При решении неравенств выполняются только такие
преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства.
Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных
неравенств.
Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же
число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях
переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х) – выражение,
которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хÎR.
Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) >
Q(x) + T(x) – равносильные.
Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а)
> Q(a) – верное числовое равенство, т.е. х =а – одно из решении неравенства
Р(х) > Q(x), Т(а) – значение Т(х) при х =а.
По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) –
верное числовое неравенство.
Следовательно, х = а – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х)
> Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это
значение есть также решение второго неравенства.
б) Пусть х = b – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) >
Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) –верное числовое неравенство. По
свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство.
Следовательно, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x).
Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) +
T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.
Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл
при вех хÎR, перенести из одно части в другую с противоположным знаком,
то получим неравенство, равносильно данному.
Дано. P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) –
слагаемое, которое имеет смысл при всех хÎR.
Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) >
Q(x) – T(x) – равносильные.
Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям
неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это
слагаемое имеет смысл при всех хÎR; получим равносильное неравенство:
P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).
Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же
положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех
значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. P(x) > Q(x) – неравенство (1),
T(x) > 0, xÎR,
P(x)×T(x) > Q(x)×T(x) – неравенство (2).
Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.
Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное
числовое неравенство, т.е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) –
значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.
По свойству числовых неравенств P(a)×T(a) >
Q(a)×T(a) – тоже верное числовое неравенство, т.е. х = а –одно из решении
первого неравенства. Следовательно, если х= а – решение первого неравенства, то
х = а – также решение второго неравенства.
Пусть при х = b неравенство P(b)×T(b) >
Q(b)×T(b) – верное числовое неравенство, т.е. х = b – одно из решении
второго неравенства.
По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное
числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b – одно из
решении первого неравенства.
Поскольку множества решении первого и второго неравенств
совпадают, то они равносильные.
Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же
отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех
значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то
получим неравенство, равносильное данному.
Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.
Алгебраические неравенства.
Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0, a ¹ 0,
решениями которых будут:
при a > 0
xÎ(- ; ¥ ), xÎ( -¥; - ), xÎ[ - ; ¥ ), xÎ( -¥; - ],
при а < 0
xÎ( -¥; - ), xÎ( - ; ¥ ), xÎ( -¥; - ], xÎ[ - ; ¥ ).
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0,
ax2 + bx + c ³ 0, ax2 + bx + c £ 0,
где a, b, c ¾ некоторые действительные числа и а ¹ 0.
Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в
зависимости от значении своих коэффициентов a, b и c имеет решения:
при а > 0 и D = b2 – 4ac ³ 0
xÎ( -¥; )È(; ¥);
при а > 0 и D < 0 x ¾ любое действительное число;
при а < 0 и D ³ 0
xÎ( ; );
при а < 0 и D < 0
x = Æ (т. е. решении нет ).
Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится к решению
рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (-1).
Метод интервалов.
Пусть Рn(x) ¾ многочлен n-й степени с действительными
коэффициентами, а c1, c2, ¼ , ci
¾ все действительные корни многочлена с кратностями k1, k
2, ¼ , ki соответственно, причем с1 > c
2 > ¼ > ci. Многочлен Pn(x) можно
представить в виде
Рn(x) = (x - c1) k1(x - c2) k2 ¼ (x – ci)ki Qm(x), (3)
где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет и либо
положителен, либо отрицателен при всех хÎR. Положим для определенности,
что Qm(x) > 0. Тогда при х > c1 все сомножители в
разложении (3) положительны и Рn(х) > 0. Если с1
¾ корень нечетной кратности (k1 ¾ нечетное), то при
хÎ(с2; с1) все сомножители в разложении (3), за
исключением первого, положительны и Рn(х)<0. В этом случае
говорят, что многочлен Рn(х) меняет знак при переходе через корень с
1. Если же с1 ¾ корень четной кратности (k1
¾ четное), то все сомножители (в том числе и первый) при хÎ(с2
; с1) положительны и, следовательно, Рn(х) > 0 при
хÎ(c2; с1). В этом случае говорят, что многочлен Р
n(х) не меняет знак при переходе через корень с1.
Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при
переходе через корень с2 многочлен Рn(х) меняет знак,
если k2 ¾ нечетное, и не меняет знака, если k2
¾ четное. Рассмотренное свойство многочленов используется для решения
неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения
Рn
(х) > 0, (4)
достаточно знать все действительные корни многочлена Рn(х) их
кратности и знак многочлена Рn(х) в произвольно выбранной точке, не
совпадающей с корнем многочлена.
Пример: Решить неравенство
х4 + 3х
3 – 4х > 0. (*)
Решение. Разложим на множители многочлен Р4(х), стоящий в левой
части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем
Р4(х) = х(х3 + 3х2 – 4).
Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х
= 1. Следовательно, он может быть представлен в виде
х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.
Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2
и неравенство (*) может быть записано в виде
х(х –1)(х + 2)2
> 0. (**)
Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все
сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.
Будем двигаться по оси Ох справа налево. При
переходе через точку х = 1 многочлен Р4(х) меняет знак и принимает
отрицательные значения, так как х = 1 ¾ простой корень (корень кратности
1); при переходе через точку х = 0 многочлен также меняет знак и принимает
положительные значения, так как х = 0 ¾ также простой корень; при
переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, так как х = -2 ¾
корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р4 (х)
схематически представлены на рис 1. Используя этот рисунок, легко выписать
множество решений исходного неравенства.
Ответ. х Î (-¥; -2) È (-2; 0) È (1; ¥).
Пример: Решить неравенство
(х2 – 3х – 2)(х2 – 3х + 1) < 10.
Решение: Пусть х2 – 3х – 2 = y. Тогда неравенство примет вид
y(y +3) < 10, или y2 + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) <
0. Решением этого неравенства служит интервал –5<y<2. Таким образом,
получаем систему неравенств
  x2 – 3x – 2 < 2, x2 – 3x – 4 < 0,
или
x2 – 3x –2 > -5, x2 – 3x + 3 > 0,
откуда
 (x – 4)(x + 1) < 0,
(x + )2 + > 0.
Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение
этой системы есть интервал (-1; 4).
Ответ: (-1; 4).
Пример: Решить неравенство
х4 – 34х2 + 225 < 0.
Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х4 – 34х2
+ 225 < 0. Полагая х2 = z, получаем квадратное уравнение z
2 – 34z + 225 = 0, из которого находим: z1 = 9 и z2
= 25. Решая уравнения х2 = 9 и х2 = 25, получаем 4 корня
биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит, х4 – 34х2
+ 225 = (х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5), и поэтому заданное неравенство иммет вид:
(х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5) < 0.
Изображаем на координатной прямой точки –5, -3, 3, 5 и проводим кривую
знаков. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и (3;
5).
Ответ: (-5; -3)È(3; 5).
Пример: Решить неравенство
х4 – 3 < 2х(2х2 – х – 2).
Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в
левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное
неравенство
х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 < 0.
Решая уравнение х4 – 4х3 + 2х2
+ 4х – 3 = 0, находим корни х1 = -1, х2,3 = 1, х4
= 3. Тогда неравенство можно переписать в виде
(х – 1) 2(х + 1)(х – 3) < 0.
 Найденные
корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на каждом из которых левая
часть неравенства, а значит, и исходного неравенства сохраняет знак. Выбирая
пробные точки в каждом из промежутков (достаточно значения х подставлять только
в последний два сомножителя), получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что
неравенство выполняется на промежутках (-1; 1) и (1; 3).
Так как неравенство строгое, то числа –1, 1, 3 не входят в
решение неравенства.
Ответ: (-1; 1)È(1; 3).
Дробно-рациональные неравенства.
Решение рационального неравенства
> 0 (5)
где Рn(х) и Qm(х) ¾ многочлены, сводится к
решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части
неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который
положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при
которых Qm(x) ¹ 0), получим неравенство
Рn(х) × Qm(x) > 0,
эквивалентное неравенству (5).
Дробно-линейным называется неравенство вида
> k
где a, b, c, d, k ¾ некоторые действительные числа и с ¹ 0,
¹ (если с = 0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное,
если = неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам
относятся и неравенства вида (6), где вместо знака > стоят знаки <,
³, £. Решение дробно-линейного неравенства сводится к решению
квадратного неравенства. Для этого необходимо умножить обе части неравенства
(6) на выражение (сх + d)2, положительное при всех хÎR и x
¹ -d/c.
Пример: Решить неравенство
< -1.
Решение: Прибавляя к обеим частям неравенства 1, получим
неравенство вида (5).
< 0,
которое эквивалентно неравенству
х2(х2 – х – 2) < 0.
Множество решений последнего неравенства находится методом
интервалов: хÎ( -1;0)È(0;2).
Ответ: хÎ(-1;0)È(0;2).
Пример: Решить неравенство
£ .
Решение: Перенеся все члены неравенства в левую часть, получим - -
£ 0, или £ 0, откуда £ 0. Пользуясь методом интервалов и
учитывая знак неравенства, заключаем, что решением неравенства является
объединение полуинтервалов: [-4; -3)È(-1; 1].
Ответ: [-4; -3)È(-1; 1].
Пример: Решить неравенство:
£ 0.
Решение: Полагая х ¹ 0 и х ¹ 3, разделим обе части неравенства
на положительную дробь и получим и сразу заметим, что х = 0 удовлетворяет
заданному неравенству, а х = 3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с
нечетными показателями степени заменим соответствующими множителями первой
степени (ясно, что при этом знак выражения в левой части неравенства не
изменится). В результате получим более простое неравенство, равносильное
заданному для всех х¹0 и х¹3:
£ 0.
Начертив кривую знаков, заштрихуем промежутки удовлетворяющие
этому неравенству, и отметим на той же оси точки х = 0 и х = 3. Учитывая, что
значение х = 0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит
заштрихованному промежутку, его следует дополнительно включать в ответ.
Значение х = 3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихованному
промежутку; следовательно, это значение нужно исключить. Итак, получаем ответ:
(-¥; -4)È[1; 3)È È(3; 4,5]U0.
Ответ: (-¥; -4)È[1; 3)È(3; 4,5]U0.
Пример: Решить неравенство
< 0.
Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, переписываем
данное неравенство в виде
< 0.
 Точками, в которых
множители меняют знаки, являются –5, 1, 2, 6. Они разбивают числовую ось не
интервалы (-¥; -5), (-5; 1), (1; 2), (2; 6),(6; +¥). С помощью
кривой знаков находим интервалы, где выполняется неравенство: (-5; 1) и (2; 6).
При этом из (-5; 1) надо удалить точку 0, так как в этой точке выражение
обращается в нуль. Итак, получаем ответ в виде (-5; 0)È(0; 1)È(2;
6).
Ответ: (-5; 0)È(0; 1)È(2; 6).
Пример: Решить неравенство
< 0.
Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное
неравенство в виде
< 0.
Нанесем числа 0, 1, 2, 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в
нуль, на числовую ось. Они разбивают числовую ось на пять промежутков.
 С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке.
Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: (-¥; 0), (0; 1), (2; 5).
Ответ: (-¥; 0)È(0; 1)È(2; 5).
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.
При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной
величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих
неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного
неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на
промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.
Пример: Решить неравенство
½х2 - 2½ + х < 0.
(*)
Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х2 –
2, стоящего под знаком абсолютной величены.
1) Предположим, что
х2 – 2 ³ 0,
тогда неравенство (*) принимает вид
х2 + х –2 < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2
–2 ³ 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства
(рис 1): хÎ(-2; -].
2) Предположим, что х2 – 2 < 0, тогда согласно определению
абсолютной величены имеем ½х2 - 2½= 2 – х2,
и неравенство (*) приобретает вид
2 – х2 + х < 0.
 
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2
– 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2):
хÎ(-; -1).
Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем
хÎ(-2; -1)
Ответ: хÎ(-2; -1).
В отличие от уравнений неравенства не допускают
непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в
правильности полученных результатов графическим способом. Действительно,
запишем неравенство примера в виде
½х - 2½ < -х.
Построим функции y1 =½х2 - 2½ и y
2 = -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и
найдем те значения аргумента, при которых y1<y2.
На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые
значения х.
Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно
значительно сократить, используя равенство ½х½2= х
2.
Пример: Решить неравенство
½½ > 1.
(*)
Решение: Исходное неравенство при всех х ¹ -2 эквивалентно неравенству
½х - 1½> ½х + 2½.
(**)
Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных
членов получаем неравенство
6х < -3,
т.е. х < -1/2.
Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства,
определяемого условием х ¹ -2, окончательно получаем, что неравенство (*)
выполняется при всех хÎ(-¥; -2)È(-2; -1/2).
Ответ: (-¥; -2)È(-2; -1/2).
Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
> 1.
-(2х + 5) < х + 1 2х + 5 > х +1, |
|
Решение: Так как ½х +1½ ³ 0 и, по условию, ½х
+1½ ¹ 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 >
½х +1½. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств
–(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5, или ,
 откуда
Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет
неравенств, является 0. Заметим, что х ¹ -1, иначе выражение в левой части
данного неравенства не имеет смысла.
Ответ: 0.
Пример: Решить неравенство:
³ ½х½ - 2 .
Решение: Пусть ½х½ = y. Заметим далее, что ½х½
+ 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 ³ (y
–2)(y + 1), или y2 – y £ 0, или 0 £y£ 1, или 0
£½х½£ 1. Отсюда -1£ х £ 1.
Ответ: [-1; 1].
Пример: Решить неравенство
½х2 – 3х + 2½+ ½2х + 1½ £ 5.
Решение. х2 – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и
неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -½.
Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.
1. х < -½. В этом случае х2 – 3х + 2 > 0, 2х
+1 < 0. Получаем неравенство х2 – 3х + 2 – 2х – 1
£ 5, х2 – 5х – 4 £ 0. Его решение £ х £ . С
учетом условия х < -½ находим £ х £ -½.
2. – ½ £ х £ 1. Имеем неравенство х2 –
х – 2 £ 0. Его решение –1 £ х £ 2. Следовательно, весь
отрезок –½ £ x £ 1удовлетворяет неравенству .
3. 1 < x < 2. Получаем х2 – 5х + 6 ³ 0; х
£ 2 или х ³ 3. Вновь подходит весь интервал.
4. х ³ 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.
Ответ: £ х £ 2.
Пример: Решить неравенство.
½½х3 + х - 3½- 5½£ х3 – х + 8.
Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.
| | | | |  | |  |
 
½х3 + х - 3½ - 5 £ х3 – х + 8,
½х3 + х - 3½ £ х3 – х
+ 13
½х3 + х - 3½ - 5 £ -х3 + х – 8
½х3 + х - 3½ ³ - х3 + х
– 3
    х3 + х – 3 £ х3 – х + 13 х £ 8,
   
х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 13, х
3 ³ -5,
 х3
+ х – 3 ³ -х3 + х – 3, х3
³ 0,
х3 + х – 3 £ х3 – х + 3 х £ 3
   -£ х £ 8, -£ х £ 8.
х – любое
Ответ: -£ х £ 8.
Неравенства с параметрами.
Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса
элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать
при всех допустимых значениях входящих в них параметров.
Пример: Для всех значений а решить неравенство
aх > 1/x.
Решение: Запишем неравенство в виде
> 0,
тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств:
ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0,
x > 0; x < 0.
Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде:
ax2 > 1.
При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2 > 1/a,
множество решений которого х < -1/ и x > 1/. В этом случае решения первой
системы: хÎ(1/; ¥). При а £ 0 левая часть неравенства ах
2 –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а
следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.
Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства
ах2 – 1<0 будут значения хÎ(-1/; 1/), а решениями системы
¾ значения хÎ(-1/; 0). При a£ 0 левая часть неравенства ах
2 –1 < 0 отрицательна при
любых значениях х, т.е. это неравенство выполняется при все хÎR и,
следовательно, решениями системы будут значения хÎ(-¥; 0).
| | 
|
Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера.
Для этого рассмотрим отдельно два случая а > 0 и а £ 0 и для
каждого из них построим графики функций, стоящих в левой и правой частях
исходного неравенства. Заштрихованные промежутки оси Ох
представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.
Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и
неравенств с параметрами.
Ответ: Если а £ 0, то хÎ(-¥; 0); если а > 0, то хÎ(-1/; 0)È(1/; ¥).
Пример: Решить неравенство:
¾ < .
Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m2х + 3 – 2mx2
– 6 < m + 9x; mx2 – 9x < m + 3; (m – 3)(m + 3)x < m +
3. Далее находим решение неравенства при различных значения параметра m:
1) Пусть (m – 3)(m + 3) > 0, т.е. m < -3 или m > 3. Тогда
неравенство имеет решение х < 1/(m – 3).
2) Пусть (m – 3)(m + 3) < 0, т.е. –3 < m < 3. Тогда
неравенство имеет решение х > 1/(m – 3).
3) Пусть (m – 3)(m + 3) = 0, т.е. m = 3 или m = -3. Тогда если m = 3,
то неравенство примет вид 0×х < 6 и, значит выполняется при любом
хÎR. Если же m = -3, то неравенство примет вид 0×х < 0 и,
следовательно, не имеет решении.
Пример: Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство
4а3х4 + 4а2х2 + 32х + а + 8 ³ 0.
Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как
относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4
и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену y = ax, то в
новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0
дает нам ответ х ³ - ¼. Будем теперь считать, что а > 0. Умножив
обе части неравенства на а и сделав замену y = ax, получим
4y4 + 4ay2 + 32y + a2 + 8a ³ 0.
Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а:
a2 + (4y2 + 8)a + 4y2 + 32y ³ 0,
¼D = (2y2 + 4) 2 – 4y2 – 32y = 16(y – 1) 2.
Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим
(а + 2y2 + 4y)(a + 2y2 – 4y + 8) ³ 0,
или
(2y2 + 4y + a)(2y2 – 4y + 8 + a) ³ 0.
Второй множитель положителен при всех y, если а > 0. Приходим к
неравенству 2y2 + 4y + a ³ 0, откуда, если 0 < a < 2, y
£ ½(-2 -) или y ³ ½(-2+); если а ³ 2, y – любое.
Возвращаясь к х, получим ответ.
Ответ: Если а = 0, то х ³ - ¼; если 0 < a < 2, то х
£ 1/2a*(-2 - ) или х ³ 1/2a(-2 + ); если а ³ 2, то х –
любое.
Пример: Решить систему неравенств
 х2 – 3х + 2 £ 0,
ах2 – 2(а + 1)х + а – 1 ³ 0.
Решение: Поскольку решением первого неравенства является 1 £ х
£ 2, то задача сводится (при а ¹ 0) к выяснению расположения корней
квадратного трехчлена f(x) = ах2 – 2(а + 1)х + а –1 относительно
отрезка [1; 2]. Имеем
¼D = (а + 1) 2 – а(а – 1) = 3а + 1, f(1) = -3, f(2) = а – 5.
Область изменения параметра а оказалось разделенной на 4 части
(не считая граничных точек).
1) Если а < - 1/3, второе неравенство, а следовательно
и данная система не имеют решения. То же имеет место и при а = -1/3.
2)
 
Если –1/3 < a < 0, то f(1) < 0, f(2) < 0. Для вершины параболы
выполняется неравенство хв = < 0 (рис. 1,а ). Следовательно,
множество решении второго неравенства не содержит точек отрезка [1; 2]. Система
не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.
3) Если 0 < a < 5, то f(1) < 0, f(2) < 0
(рис. 1, б). Значит, на всем отрезке [1; 2] f(x) < 0. Система вновь не имеет
решения.
4) 
Если а ³ 5, то f(1) < 0, f(2) ³ 0 (рис. 1, в). Решением системы
будет х2 £ х £ 2 где х2 – больший корень
уравнения f(x) = 0.
Ответ: Если а < 5, система не имеет решения; если а ³ 5, то 1/а(а
+ 1 +) £ х £ 2.
Пример: Решить неравенство
½2х2 + х – а - 8½ £ х2 + 2х – 2а – 4.
Решить: Напомним, что неравенство ½а½ £ b
эквивалентно двойному неравенству –b £ a £ b. В нашем случае после
преобразования приходим к системе неравенств
 а £ -х2 + х + 4,
а £ х2 + х – 4.
Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, координаты которых
удовлетворяют полученной системе. При конкретном значении параметра а =
a решением нашего неравенства будут абциссы тех точек горизонтальной прямой а =
a, которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения А(2;
2), В(-2; -2) наших точек парабол и вершину С(-0,5; -4,25) параболы а = х2
+х – 4.
Далее получаем: если а > 2, то соответствующая прямая
пересекается с заштрихованной областью.
Если –2 < a £ 2, то соответствующая прямая
пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут
точки с абциссами ½(-1 + ) (больший корень уравнения а = х2 +
х – 4 или х2 – х – 4 + а= 0).
Если –4¼ £ a £ -2, то горизонтальная прямая,
соответствующая таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум
отрезкам. Решением неравенства будет
½(1 - ) £ х £ - ½(1 + ),
½(-1 + ) £ х £ -½(1 + ).
Если а < -4¼, то ½(1 - ) £ x £ ½(1 + ).
Системы рациональных неравенств.
Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные
числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких
случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним
неизвестным х.
Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все
решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и
будет решением системы.
Пример: Решить систему неравенств
(х –1)(х – 5)(х – 7) < 0,
> 0.
Сначала решаем неравенство
(х – 1)(х – 5)(х – 7) < 0.
Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении
неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-¥, 1) и (5, 7).
Теперь решим неравенство
> 0.
Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении
неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +¥).
Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем
координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь яс
но, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал (5,
7) (рис. 3).
Следовательно, множество всех решении системы неравенств (1) составляет
интервал (5, 7).
Пример: Решить систему неравенств
 х2 – 6х + 10 < 0,
> 0.
Решим сначала неравенство
х2 – 6х + 10 < 0.
Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что
х2 – 6х + 10 = х2 - 2×х×3 + 32 - 32 + 10 = (х – 3) 2 +1.
Поэтому неравенство (2) можно записать в виде
(х – 3) 2+ 1 < 0,
откуда видно, что оно не имеет решении.
Теперь можно не решать неравенство
> 0,
так как ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.
Пример: Решить систему неравенств
 < 1,
x2 < 64.
Рассмотрим сначала первое неравенство; имеем
- 1 < 0, < 0.
С помощью кривой знаков (рис. 4) находим решения этого неравенства: х <
-2; 0 < x < 2.
Решим теперь второе неравенство заданной системы. Имеем x
2 - 64 < 0, или (х – 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков (рис. 5)
находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Отметив найденные решения первого и второго неравенства на
общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения
совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть
решение системы.
Пример: Решить систему неравенств
 х2 ³ 100х3;
³ 0.
Преобразуем первое неравенство системы:
х3(х – 10)(х + 10) ³ 0, или х(х – 10)(х + 10) ³ 0
(т.к. множители в нечетных степенях можно заменять соответствующими
множителями первой степени); с помощью метода интервалов (рис. 7) найдем
решения последнего неравенства: -10 £ х £ 0, х ³ 10.
Рассмотрим второе неравенство системы; имеем
£ 0.
Находим (рис. 8) х £ -9; 3 < x < 15.
Объединив найденные решения, получим (рис. 9) х £ 0; х > 3.
Пример: Найти целочисленные решения системы неравенств:
 х + y < 2,5,
x – y > -3,
y –1 > 0.
Решение: Приведем систему к виду
 x + y < 2,5,
y – x < 3,
y > 1.
Складывая первое и второе неравенства, имеем y < 2, 75, а учитывая
третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится
только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
 х < 0,5,
x > -1,
откуда –1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
Ответ: х = 0, y =2.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Неравенства с одной или двумя переменными можно решать графически.
Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) >
g(x), где f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.
Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и
у = g(x).
 Решение
неравенства есть множество значений переменой х, при которых график функций
у=g(x), так как f(x)>g(x).Это показано на рисунках 1 и 2.
Решение неравенства с двумя переменными f(x,y)>0 есть множество
точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству.
Рассмотрим на примерах решение некоторых неравенств с двумя переменными.
Пример 1. Решить графически неравенство
x + у > 0.
Решение. Запишем неравенство в виде у> -х. Построим прямую у= -х.
Координаты точек плоскости, которые лежат выше этой прямой, есть решение
неравенства ( на рисунке 3 – заштрихованная область).
Пример 2. Решить графически неравенство
х2 – у > 0.
Решение. Запишем неравенство в виде у < x2 .
Построим кривую у = х2 (парабола) (рисунок 4).
Решение неравенства есть координаты точек плоскости, которые
лежат в заштрихованной области (ниже построенной параболы).
При решении систем неравенств с двумя переменными находят
пересечение областей решений этих неравенств.
Пример 3.Решить графически систему неравенств
x2 + у2 – 4 > 0,
y > 0,
x > 0.
Решение. Решение первого неравенства системы есть координаты точек
плоскости (рисунок 5), которые лежат вне окружности х+у=4; решение второго
неравенства есть координаты точек верхней полуплоскости; решение третьего
неравенства есть координаты точек правой полуплоскости.
Решением системы являются координаты точек, которые лежат в
заштрихованной области.
ТЕСТ
1) Решить уравнение: = 1.
А) 0,
Б) 1,
В) Нет решений,
Г) xÎ (-¥; 1)È(1; ¥).
2) Решить уравнение: = 0.
А ) Нет решений,
Б) -1,
В) -5,
Г) -1; -5.
3) Решить уравнение: + - = 0.
А) -2; ; 5,
Б) Нет решений,
В) xÎ (-¥; 3)È(3; ¥),
Г) x ÎR.
4) Решить уравнение: ax = 1.
А) Если a ¹ 0, то xÎR; если a = 0, то нет решений,
Б) Если a = 0, то нет решений; если a ¹ 0, то x = ,
В) Если a = 0 , то xÎR; если a ¹ 0, то x = .
Г) Нет решений.
5) При каких a уравнение ax2 - 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?
А) - 4 < a < 0,
Б) 0 < a < 1,
В) aÎ(-¥; 0)È(0; ¥),
Г) - 4 < a < 0; 0 < a < 1.
6) При каких a уравнение (a - 2)x2 + (4 - 2a)x + 3 = 0
имеет единственное решение?
А) 2,
Б) аÎ(-¥; 2)È(2; ¥),
В) 5,
Г) - 4.
7) Решить уравнение: |x2 - 1| + |a(x - 1)| = 0.
А) Если a ¹ 0, то x =1; если a = 0, то x = ±1,
Б) Если а ¹ 0, то нет решений; если a = 0, то x = 1.
В) x = ±1,
Г) Нет решений.
8)  Решить систему:
- = ,
y2 - x - 5 = 0.
А) (4; 3), (4; - 3),
Б) (1; 2),
В) Нет решений,
Г) xÎR, y = ±3.
9)  Решить систему:
x2 + y2 - 2x = 0,
x2 - 2xy + 1 = 0.
А) (1; -1), (5; 5)
Б) Нет решений,
В) (1;1),
Г) (-2; 3), (3; -2).
10) При каких a неравенство 2x + a > 0 является следствием неравенства
x + 1 - 3a > 0?
А) ,
Б) а ³ ,
В) при любых a,
Г) а £ .
11) Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:
- > 1.
а) хÎ(-¥; -3,5),
б) –3,
в) –4,
г) нет решений.
12) Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:
- > -.
а)5,
б) –3,
в) 4,
г)нет решений.
13) Найти целочисленные решения неравенств:
< 0.
а) 0, 1, 2,
б) 4, 5,
в) 7,
г)нет решений.
14) Найти целочисленные решения неравенств:
17 – 4х < 0,
10х – 67 < 0.
а)5,
б) –3, -4, -5,
в) 5,6,
г)нет решений.
15) Решить неравенство:
- < 0.
а) (-¥; -3)È(0; 3,
б) (–3, 0)È(0; ¥),
в) (5; 7),
г) нет решений.
16) Решить неравенство:
< -.
а) (-¥; -3/25)È(0; ¥),
б) (–12, 0)È(7;9),
в) (-¥;)È ( ; 5),
г) нет решений.
17) Решить неравенство:
< -1.
а) (-9; -5)È(0; 8),
б) (–8, -7)È(1;3),
в) (-¥; -7)È(1; 3),
г) нет решений.
18) Решить неравенство:
£ .
а) [-4; -2)È(0;5],
б) (–1, 0]È[1;7),
в) (-4; -3)È[5; 7],
г) нет решений.
19) Решить неравенство
½1,5 – 3х½ < 3.
а) (-2,5; -2)È(0; 3,5],
б) (–0,5; 1,5),
в) (-4,5; -3,5),
г) нет решений.
20) Решить неравенство:
> ½х + 2½.
а) (-3; -1),
б) (0; 1),
в) (-7; -10),
г) нет решений.
Ответы: 1 - Г; 2 - В; 3 - В; 4 - Б; 5 - Г; 6 - В; 7 - А; 8 - А; 9 - В;10 – Б;
11 – В; 12 – А; 13 – А; 14 – В; 15 – А; 16 – В; 17 – Б; 18 – В; 19 – Б; 20 – А.
Список использованной литературы:
1) Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. О. Ю. Черкасов, А.
Г. Якушев. Москва, изд. «Айрис», 1997.
2) Тысяча и один пример. Равенства и неравенства. А. М. Назаренко, Л.
Д. Назаренко. Сумы, изд. «Слобожанщина», 1994.
3) Система тренировочных задач и упражнений по математике. А. Я.
Симонов. Москва, изд. «Просвещение» 1991.
4) Алгебра 8 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. «Просвещение», 1995.
5) Задачи по математике для поступающих во ВТУЗы. Р. Б. Райхмист.
Москва, изд. «Высшая школа», 1994.
6) Алгебраический тренажёр. А. Г. Мерзляк. Москва - Харьков, изд.
«Илекса», изд. «Гимназия», 1998.
7) Готовимся к экзамену по математике. Д. Т. Письменный. Москва, изд.
«Айрис», 1996.
8) Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Вавилов В. В.,
Мельников И. И. Москва, изд. «Наука», 1987.
9) Алгебра и начала анализа. Издание второе, переработанное и
дополненное. А. Г. Мордкович. Москва, изд. «Высшая школа», 1987.
10) Алгебра. Пособие для самообразования. С. М. Никольский.
Москва, изд. «Наука», 1985.
11) Справочник по методам решения задач по математике. А. Г.
Цыпкин. Москва, изд. «Наука», 1989.
12) Решение задач. И. Ф. Шарыгин. Москва, изд. «Просвещение», 1994.
13) Алгебра и математический анализ. 10 класс. Н. Я. Виленкин.
Москва, изд. «Просвещение», 1997.
14) Математика. Алгебра и начала анализа. А. И. Лобанова. Киев,
изд. «Вища школа», 1987.
15) Алгебра. 9 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд.
«Просвещение», 1996.
Страницы: 1, 2
|
|
|
|
|
