Реферат: Развитие аналитической геометрии

Реферат: Развитие аналитической геометрии

МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

Развитие аналитической геометрии

Выполнила

студентка

Гуленкова Оксана

Могилев 2002.

Алгебраические методы в геометрии

Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую исто­рию. Еще

древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники,

выражая искомые отрезки, как корни численных квадрат­ных уравнений;

аналогичные приемы употреблялись впоследствии неодно­кратно. В классической!

Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических

сечений, служила геометриче­ская алгебра, в которой место вычислений занимали

построения от­резков.

Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой

гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии,

приведших к созданию новой аналитической геометрии. Пер­воначально работы в

этом направлении не выходили за пределы тради­ционных постановок и решений

вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено

Виетом, за которым по­следовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди,

1566—1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время

бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и хороший знаток

греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым

познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorum

problematum collectio, Veneliae, 1607) и посмертно из­данном труде «О

математическом анализе и синтезе» (De resolutione et compositione

mathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Ви­ета решает

разнообразные задачи на деление отрезков, построение тре­угольников и так

называемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачи

выражаются уравнениями первой или второй степени относи­тельно искомого

неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое

решение. Упомянем античную задачу о вставке между продолжением стороны

квадрата и ближайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины,

продолжение которого проходит через вершину квадрата, не лежащую на названных

сторонах. Гетальди отнес задачу к тем, которые не относятся к алгебре (sub

algebram non cadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла

внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой

степени и по­казал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его

кор­ни, с положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с

целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два

квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично ир­рациональны

относительно исходных коэффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или

менее удачного выбора неизвестной зависит срав­нительная простота уравнения.

Эти соображения Декарта подробнее раз­виты во «Всеобщей арифметике» Ньютона.

Оригинальное решение при­надлежит еще Гюйгенсу.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень

многие. К уже названным можно добавить, например, имя английского алгебраиста

Вильяма Отреда (1574—1660), на книге кото­рого, озаглавленной, подобно одному

из сочинений ал-Каши, «Ключ ма­тематики» (Clavis mathematicae, Londini, 1631)

[1], отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.

Аналитическая геометрия

Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовля­ла почву для

создания аналитической геометрии, предметом которой яв­ляется уже нс только

нахождение отдельных отрезков, выражаемых кор­нями уравнений с одним

неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде

всего алгебраических линий и поверхно­стей, выражаемых уравнениями с двумя

или более неизвестными или ко­ординатами.

Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой

непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические

координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной

по­верхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой

чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения

положения светил на небесной сфере. Другой вид коор­динат представляли собой

отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы (см. т. I, 130),

выражали определяющие свой­ства этих кривых. В этом случае речь шла не о

числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и

параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками

рассматриваемой фи­гуры.

Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории

изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых коор­динат любых точек, ни

«симптомов», выраженных средствами геометри­ческой алгебры; словесно

сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась

плоской линией.

Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по

арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно

Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные некоторому диаметру,

Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными

линиями», а отрезки этого диа­метра от его конца до хорды — «отсеченными на

диаметре по порядку про­веденными (линиями)» (на рис. 6 соответственно у

и x). В своем упоминав­шемся ранее латинском издании «Конических

сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино первые

выражения передал оборотом ordinatim applicatae, т. е. «по порядку приложенные»

(т. е. направленные)[2], а вто­рое — quae

ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па

диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная»,

ordinata и applicata, которые, впрочем, уко­ренились не сразу. Слово

«абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например

Кавальерп (1635), становится техниче­ским термином координатной геометрии в

1668 г. у Микеланджело Риччи (1619—1692) ii особенно у Лейбница, начиная с

рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по

аналитической геомет­рии (1636—1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово

«ордината» в нашем смысле применял другой переводчик па латынь «Конических

се­чений» — Франчсско Мавролико. Ферма пользовался термином applica­ta, Декарт

— appliquee par ordre, т. е. французским переводом ordinatim applicata, но

также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое неза­долго перед тем в 1637

г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латин­ском тексте 1644г.—ordinata);

затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц.

В середине XVIII в. слово «ордината» начинает вытеснять в геомет­рии на

плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались

неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенны­ми, как у Декарта;

слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые

криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось

с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в

статьях «Abscissa, die Abscisse» и «Ordinatae, ordinatim applicatae, die

Ordinaten» «Математического словаря» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716)

Xp. Вольфа (ср. стр. 35).

Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендику­лярным

сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670).

Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine

— «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; два­дцатью годами ранее Я. де Витт

писал об initium immutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с

которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории

геометрических методов и идей.

Аналитическая геометрия Ферма

К разработке начал новой аналитической геометрии независимо друг от друга и

одновременно приступили оба крупнейших французских ма­тематика XVII в.— Ферма

и Декарт. Небольшое «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Ad locos

pianos et solidos isagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но

при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других только в рукописном

виде. Напомним, что «плоские и телесные места» — термины греческой геометрии

— означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и

гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности

урав­нений.

Ферма формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий

раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины

(quantitates ignotae), налицо имеется место, и ко­нец одной из них описывает

прямую или же кривую линию... Для уста­новления уравнений удобно расположить

обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей

частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин»

[3]. Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает

прямоли­нейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает NZ и

алгебра­ически буквой А, а вторую соответственно ZI и Е.

Затем по порядку рас­сматриваются различные плоские и телесные места.

Уравнение прямой, проходящей через начальную точку, Ферма вы­водит в форме

D на А равно В на Е,

т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI, так как

Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее

уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее

однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из

двух возможных прямых. Первое приведение по существу со­стоит в преобразовании

координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения

вида с - dx = by Ферма переходит к d (r - х) = by

, где dr = с. Идею преобразования координат путем па­раллельного

переноса системы Ферма более отчетливо выражает в сле­дующих примерах:

установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в

начальной точке есть b2 - x2 = у

2, он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца

преобразует к основной форме уравнение

b2 - 2dx = у2 + 2rу.

Для этого он производит дополнение до квадрата

p1 - (х + d)2 = (у + r)2, где р2 = r2 + b2 + d2,

затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает

p2 - x2 = у2.

Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрица­тельных

координатах, какими оказываются координаты центра (-d, -r) в

данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется,

построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма

непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду

Аполлоиня. Для параболы это уравнения x2 = dy и

симметричное у2 = dx, для эллипса (b2

- x2)/y2 = const (указывается, что в случае

непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для

гиперболы (b2 + x2)/y2 =

const. Любопытно, что на рисунке в по­следнем случае изображены обе ветви

гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано.

Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболы ху=с. Все это

распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения b2 - 2x2 = 2

xy + у2 Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа

старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и

построения соответствуют пе­реходу к новой системе координат X, Y

с прежним началом и осью орди­нат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со

старой. В этой системе Х =

х, Y = x + у, так что (2b2 — X

2)/Y2 = 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что

оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных мест»

[4]. На самом деле был сделан лишь первый шаг к созда­нию нового типа

геометрии, которая, между прочим, получила свое ны­нешнее наименование лишь в

самом конце XVIII в.[5]

Аналитическая геометрия Декарта

«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того

широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637

г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что

все основные идеи «всеобщей математики», как в ал­гебраической, так и в

геометрической части, имелись у ее творца не позд­нее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного

Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и

даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины,

не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других

отношениях геометрия Декарта имела реши­тельные преимущества. Не говоря уже о

том, что Декарт применял бо­лее развитую символику, что его изложение было

доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений,

весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие линии служат

предметом геометрии? Ответ определялся верой Де­карта в то, что единственным

общим методом математики является алге­браический. Сначала этот ответ

формулируется в кинематических выра­жениях: геометрические линии — это те,

которые «описаны непрерыв­ным движением или же несколькими такими

последовательными движе­ниями. пз которых последующие вполне определяются им

предшествую­щими.— ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»

[6]. Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики,

исключаются меха­нические линии, описываемые «двумя отдельными движениями,

между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно

измерить»[7]. Примеры механических

линий—спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся

кривые, описывае­мые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого

можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный смезолабием

предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних

пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части

«Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних

пропорциональных между двумя данными отрезками

а : x1 = x1 : x2 = x2 : х3 = ... = xn : b.

Уравнения описываемых этим прибором линий

r2 (x2 + у2)2n-1 = x4n (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и

применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая

характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или

несколькими непрерывными движения­ми, последовательно определяющими друг друга,

не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких

линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно

переме­щать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии»

[8]. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже

упоми­навшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), со­гласно

которой посредством плоских шарнирных механизмов можно опи­сать дуги любых

алгебраических кривых и нельзя описать ни одной транс­цендентной. Свой

кинематический способ деления линий на геометриче­ские и механические Декарт

тотчас облекает в более ясную аналитиче­скую форму и здесь же предлагает

классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,— которые можно назвать

геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную

меру, обяза­тельно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии,

которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек

данной линии»[9]. В этом поистине

замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод

прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о

функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков

x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую

или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по

данным значениям у,— первой координатой у него служила

у.

В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраи­ческими, а

механические — трансцендентными, мотивируя отказ от тер­минологии Декарта

тем, что и механические линии не подлежат исклю­чению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую

классификацию алгебраических кривых в зави­симости от степени их уравнений,

отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п — 1 и 2п.

Классификация требовалась прежде всего для все­общей математики Декарта (стр.

30), а также была нужна в аналитиче­ской геометрии. Предложенное Декартом

разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по

его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее, чем с

уравнением степени 2п — 1. Все трудности, связанные с четвертой

степенью, писал он, при­водятся к третьей, а трудности, связанные с шестой

степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по

порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет

смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы.

Это было Декарту ясно, и он, правда ми­моходом, но вполне отчетливо,

сформулировал фундаментальное предло­жение об инвариантности рода кривой при

замене одной системы прямо­линейных координат другой: «Действительно, хотя для

получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор,

но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, что­бы

линия оказалась того же самого рода: это легко доказать»

[10]. Впрочем, доказательство не приводится, да и формулы линейного

преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС, описанной

точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолжен­ной стороны

CNK плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона кото­рой KL

движется вдоль данной прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G

линейку, неизменно проходящую при этом через точку L. При­няв GA

, перпендикуляр к ВА, равным а, KL = b, NL =

с, выбрав АВ за ось х и точку А за начало, Декарт

обозначает «неопределенные и неизве­стные величины» СВ = у,

ВА = х. Тогда на основании подобия тре­угольников СВК и NLK,

с одной стороны, и CBL и GAL — с другой, быстро выводится

уравнение линии ECG

уу = су - ху + ау - ас,

так что эта линия первого рода и, как указывает без доказательства Де­карт,

гипербола (пример этот подробно разобрали комментаторы латинского издания

«Геометрии»).

Страница первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637):

начало вывода уравнения линии ЕС

Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать таким образом

бесконечное множество кривых. Так, если CNK есть окружность с центром

L, то будет описана конхоида (не­сомненно, что прием Декарта является как

раз обобщением античного определения конхоиды), а если CNK есть

парабола с диаметром KB, то возникает кривая второго рода, именно та,

которую Ньютон впослед­ствии назвал трезубцем (ср. далее стр. 108). Вообще,

заявляет Декарт, если образующая кривая имеет род п, то описанная линия будет

рода п -)- 1. Это одна из немногих ошибок Декарта, который не довел,

видимо, до конца легкие, по его собственным словам, вычисления. На самом деле,

если в подвижной системе координат СВ = у, BL = х', уравнение

линии CNK есть

f(x',y) = 0,

то кривая ECG имеет в прежних координатах уравнение

Неточность Декарта показал на частном примере еще Ферма. В рассмотренном

только что примере нарисованы две взаимно перпен­дикулярные координатные оси,

хотя и не в обычном для нас положении. Однако чаще всего Декарт, так же как

Ферма и ближайшие поколения их последователей, чертил только одну ось с

начальной точкой и указывал направление других координат, вообще говоря

наклонных. Отрицатель­ные абсциссы lie рассматривались, что иногда приводило

к неточным или неполным чертежам. Эти замечания не относятся к Ньютону или

Лейбницу. но правильное различение знаков координат и применение обеих осей

стало обычным делом уже в XVIII в.

Силу своего метода Декарт затем демонстрирует на предложенной ему Я. Гоолем

задаче Паппа о геометрическом месте к 2п или 2n - 1 прямым,

которое определяется следующим образом: даны 2п (или 2n - 1)

прямых, требуется найти геометрическое место таких точек, чтобы произведение

отрезков, приведенных от них под данными углами к п из этих прямых,

находилось в данном отношении к произведению аналогичных отрезков. проведенных

к остальным п (или n - 1) прямым. Древние знали, что при п

= 2 геометрическое место есть коническое сечение, но не оставили ана­лиза и

этого случая: случай же n > 2 остался нерассмотренным. Если мы

запишем уравнение прямых в виде аkх + bkу

+ ck = 0, то длины прове­денных к ним отрезков dk

пропорциональны левым частям этих уравне­ний, и для нас отсюда ясно, что

уравнение места будет, вообще говоря, кривой порядка п. Декарт, получив

выражения для dk в выбранной им косоугольной координатной

системе из геометрических соображений, при­ходит к тому же общему результату.

Более подробно он рассмотрел слу­чаи n = 2 и п = 3. Это прежде

всего место к трем или четырем прямым, исследование которого дает ему повод

исследовать уравнение второго порядка, весьма общего, хотя и не самого общего

вида. Пусть данные пря­мые суть АВ, AD, EF и GH

, причем углы, образуемые с ними отрезками СВ, CD, CF и

СH, проведенными из точек С искомого геометрического ме­ста,

определяемого условием CB - -CF = CD - CH, известны (рис. 8). Де­карт

принимает одну из данных и одну из проведенных линий, именно АВ и

ВС, за оси А В = х, ВС = у и обозначает данные длины

отрезков ЕА = k, AG = l. Данными являются также

углы треугольников на рис. 8, а значит, отношения их сторон

АВ : BR = z : b, CR : CD = z : с

и т. д., где z, b, с, ... суть данные отрезки (Декарт не

вводит синусы углов). После этого нее нужные отрезки выражаются через x

, у, z, b, с, ..., k,l, линейно

относительно х и у:

CB = y, ,

а условие CB·CF = CD·CH выражается уравнением второй степени без

свободного члена, решение которого относительно у, после введения

не­которых сокращенных обозначений, дает

Однородность полученного уравнения объясняется принятыми для отно­шений

сторон выражениями и, в сущности, не была в глазах Декарта обя­зательной (ср.

стр. 42), но представляла в данном случае то удобство, что в принципе

позволяла сразу строить одни отрезки по другим. В приводи­мом несколько далее

числовом примере однородность относительно бук­венных величин не соблюдается

в отличие от примера Ферма, в алгебре примыкавшего к Виету (ср. стр. 102).

Опираясь на теоремы I книги «Конических сечений» Аполлония, Де­карт показывает,

что полученное уравнение принадлежит коническому сечению, а в особых случаях,

когда радикал обращается в нуль или ко­рень извлекается нацело, оказывается

прямой линией: в самостоятельном виде уравнение прямой отсутствует и о

«вырождении» кривой второго порядка в пару прямых ничего не говорится. В ходе

анализа выясняется, при каких знаках коэффициентов получаются парабола,

гипербола и эл­липс, в частности окружность, и определяются положение и форма

кони­ческого сечения — в случае параболы

вершина, диаметр и «прямая сторона»[11],

а в случае центральных кривых—центр вершины, «прямая сто­рона» и диаметры.

Здесь же Декарт разбирает числовой пример, беря ЕА = 3, AG = 5,

АВ = BR и т. д., а угол ABR равным 60°, так что урав­нение есть

уу = 2у — ху + 5x — хх: кривая при этом оказывается

окруж­ностью. Общее заключение гласит, что к первому роду принадлежат круг,

парабола, гипербола и эллипс. Прямая не упоминается, — ее при­надлежность к

первому роду подчеркнул Дебон, который рассмотрел так­же случай, когда в

уравнении нет членов с х2 и у2, но есть

ху, оставленный Декартом в стороне.

Вслед за тем Декарт изучает еще место к пяти прямым и специально случай, в

котором четыре прямые суть эквидистанты АВ, IH, ED,

GF, а пятая GA к ним перпендикулярна (рис. 9), причем CF·CD·CH =

СВ·СМ·а, где а — расстояние между соседними эквидистантами. Здесь

появляется первое в истории аналитической геометрии уравнение кривой третьего

порядка. Обозначив СВ = у, СМ = х, Декарт находит

у3 — 2ay2 — аау + 2а3 = аху,

т. е. уравнение трезубца (см. стр. 106), и показывает, что эта кривая CEG

может быть, как он утверждал ранее, описана пересечением параболы CKN,

диаметр которой KL = а движется по АВ, и линейки GL

, вра­щающейся вокруг точки G и постоянно проходящей через точку L

[12]. Он не упускает из виду, что искомым местом служит также кривая

NIo, опи­санная пересечением GL с другой ветвью параболы (HKN

), можно взять и сопряженные линии cEGc и пI0, получающиеся,

если подвижная парабола обращена вершиной в другую сторону. Чертеж в

«Геометрии» недо­статочно отчетливо изображает вторую часть трезубца, который

состоит из двух отдельных линий, имеющих каждая — в терминологии Ньютона —

гиперболическую ветвь с асимптотой АВ и параболическую ветвь, ли­шенную

асимптоты. Как и должно быть, кривая пересекает на чертеже горизонтальную ось

при значениях у = — а, у = а, у = 2а, но

точка перегиба у части, лежащей справа от асимптоты, не обозначена.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов,

рассматриваемых в биполярных координатах, и про­ведение нормалей. Вторая книга

сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода

на про­странственные кривые посредством проектирования их точек на две вза­имно

перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не

пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий»

[13].

Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке

«Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действи­тельно, перед

геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало

спорили о том, имелась ли у Аполлония аналити­ческая геометрия и было ли

творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от

определения термина «аналитическая гео­метрия», который, как отмечалось в

другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно

многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не

внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом

плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой

геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям

кривых второго порядка.

Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная

методом древних самой алгебре, была причиной многочислен­ных комбинаций между

средствами и объектом геометрического исследо­вания — комбинаций, которые

должны были оставаться довольно чуж­дыми аналитической геометрии, в особенности

поскольку последняя стре­милась превратить геометрические проблемы целиком в

задачи исчисле­ния»[14]. И до тех пор,

пока средством исследования оставалась геометри­ческая алгебра, синтетическое

рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в глазах некоторых

ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон, завершая свой вывод

теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал:

«Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью

исчисления, но геометри­ческим построением, и изыскивалось древними»

[15]. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться

чисто аналитический ме­тод исследования геометрических образов, в принципе не

нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на

ал­гебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует

добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка,

первые примеры чего имеются уже у Декарта

[16] (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система

коор­динат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными

точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения),

что приобретали право на существование отрицательные коор­динаты и т. д. Мы не

говорим уже о том, что в новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие

о функции, заданной формулой.

В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, при­сущие

аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к то­му же менее

совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об

отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй оси,

а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими примерами

приложения нового метода.

Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в ла­тинских

изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслу­живающие упоминания

вещи.

[1] В первом издаиии этот весьма

распространенный в XVII в. труд назывался «Основы арифметики в числах и видах»

(Arithmeticae in numeris et speciebus institutio).

[2] Еще в переводе арабского трактата Ибн

ал-Хайсама о параболических зеркалах, сделанном в XII в., употребляется оборот

linea secunduin ordinem, т. е. «линия по порядку». Н. Орем в середине XIV в.

писал о перпендикулярно приложенных отрез­ках — perpendiculariter applicatae.

[3] П. Ферма. Введение в изучение

плоских и пространственных мест. В книге: Р. Де­карт. Геометрия, стр.

137—138.

[4] См. Р. Декарт. Геометрия, стр. 146.

[5] Термин «аналитическая геометрия» в

применении к любым геометрическим прило­жениям алгебры употреблялся в XVIII в.

не раз. В более специальном смысле. совпадающем с общепринятыми в XIX в., его

начал применять С. Ф. Лакруа, а пер­вую книгу, озаглавленную «Начала

аналитической геометрии» (Elements de geome­tric analytique. Paris, 1801),

опубликовал профессор Политехнической школы Ж. Г. Гарнье (1766-1840).

[6] Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.

[7] Там же, стр. 30-31

[8] Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.

[9] Там же, стр. 33

[10] Р. Декарт. Геометрия, стр. 34

[11] «Прямая сторона» — термин,

восходящий к древности, есть отрезок, равный нашему удвоенному параметру. Слово

«параметр» (измеряю) предложил в этом смысле употреблять друг Декарта Кл.

Мидорж во «Введения в катоптрику и диоптрику или труде о конических сечениях»

(Prodromus catoptricorum et dioptri-corum sive conicoruni opus, Parisiis,

1631).

[12] В подвижной системе координат ЕВ

= у, LB = х' уравнение параболы CKN есть у2

= а (a — х'), при этом х' = ху/(2а — х)

.

[13] Р. Декарт. Геометрия, стр. 73

[14] Г. Цейтен. История математики

в древности и в средние века. Перевод П. С. Юшке­вича. М.— Л., 1938, стр. 138.

[15] И. Ньютон. Математические

начала натуральной философии. Перевод А. Н. Кры­лова. Собрание трудов А. Н.

Крылова, т. VII. М.— Л., стр. 122.

[16] Помимо трезубца Декарт рассмотрел (в

переписке 1638 г.) так называемый декартов лист x3 + y

3 = 3axy и еще некоторые высшие кривые.