Реферат: Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

Реферат: Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

(алгебра и начала анализа)

Исполнитель: Зырянов Р.Б.

Руководитель: Попова Н.Б.

Екатеринбург 1998

Оглавление

I. Введение

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто

приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в

экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто

бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе

же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики

рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,

а = а0, b = b0, c = c0, ., k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные

значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, ., k,

x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех

допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е.

аÎА, bÎB, ., xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, ., K

выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, ., k и

подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е.

уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, ., k, которые при решении уравнения считаются

постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением,

содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ., k,

l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях

3. В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех

функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то

определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=

¦(х) относительно х.

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

относительно а :

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного

и , получаем

и .

Если а Î ,

Если а Î , то , ;

и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции

– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный

, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три

указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая

касается графика функции

. Поэтому находим производную

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим

при Следовательно,

это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы

“скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на

множители

Множеством точек плоскости

, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол”

имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В

соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то

рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы”

совпадает с точкой А, то

.

Случай касания “полупараболы” с прямой

определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при

, а при или

имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а Î (-¥;-3] È(;+¥).

IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения.

Построим графики функций

и Из графика

следует, что при

графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при

графики функций совпадают и, следовательно, все значения

являются решениями уравнения (*).

При графики

пересекаются в одной точке, абсцисса которой

. Таким образом, при

уравнение (*) имеет единственное решение -

.

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*)

будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что

, можно заключить, что при

исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но

, поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение

.

Ответ:

если аÎ (-¥;3), то решений нет;

если а=3, то хÎ [3;5);

если aÎ (3;7), то ;

если aÎ [7;+¥), то решений нет.

V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)

Решение.

1. При любом а :

2. Если , то ;

если , то .

3. Строим график функции

, выделяем ту его часть , которая соответствует

. Затем отметим ту часть графика функции

, которая соответствует

.

4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет

решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

если , то

если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров

и , при которых

системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что

имеет смысл только при

, получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе

уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1)

и радиусом

Поскольку , а

, то , и,

следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При

окружность касается прямой

и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если

, то система (4) имеет четыре решения, если

, то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4)

имеет четыре решения в случае, когда

, и больше четырех решений, если

.

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы

задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором

квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство

прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или

четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная

уравнением , иметь

общие точки с гиперболой

при (прямая

всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции

).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего

уравнения:

· если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;

· если , то система (3) имеет три решения;

· если , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это

имеет место, когда

.

Ответ:

II. Неравенства с параметрами.

§1. Основные определения

Неравенство

¦(a, b, c, ., k, x)>j(a, b, c, ., k, x), (1)

где a, b, c, ., k – параметры, а x – действительная переменная величина,

называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c

0, ., k = k0, при некоторой функции

¦(a, b, c, ., k, x) и

j(a, b, c, ., k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых

значений параметров.

называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, ., k, x) и

j(a, b, c, ., k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений

параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения

неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1),

если неравенство

¦(a, b, c, ., k, x0)>j(a, b, c, ., k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением

этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров

существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, ., k, x)>j(a, b, c, ., k, x) и (1)

z(a, b, c, ., k, x)>y(a, b, c, ., k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и

том же множестве систем допустимых значений параметров.

§2. Алгоритм решения.

1. Находим область определения данного неравенства.

2. Сводим неравенство к уравнению.

3. Выражаем а как функцию от х.

4. В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех

значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

6. Исследуем влияние параметра на результат.

· найдём абсциссы точек пересечения графиков.

· зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

7. Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с

использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с

использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

Ответ: , .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на

четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с

центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение

заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

Ответ:

III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

Решение.

1.Находим область допустимых значений –

2.Построим график функции в системе координат хОу.

· при неравенство решений не имеет.

· при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при

, где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство

Решение.

1.Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

2.Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего

перейдем к равенству :

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на

при . Но

является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при

.

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять

областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем

точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

№	точка	неравенство:	вывод
1			-
2			+
3			-
4			+
5			-
6			+
7			-
8			+
9			-

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.

Ответ.

при

при

при

при решений нет

при

Литература

1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа -

Пресс”. Москва 1996 г.

2. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных

экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

3. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”.

Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

4. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство

“Айрис”. Москва 1996 г.

5. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”.

Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

6. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука”

физико–математическая литература. Москва 1977 г.

7. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство

“Асар”. Минск 1996 г.