Реферат: Теория вероятностей

Реферат: Теория вероятностей

+(6-7/2)

)=(1/6)∙(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)=(1/6)∙(35/2)=35/12 (11.3)

Пусть некоторая случайная величина х* является суммой (10.4) случайных

величин . Пусть эти

случайные величины независимы. Это означает, что вероятность, с которой может

осуществиться то или иное значение случайной величины

не зависит от того, какое значение принимают другие случайные величины

. Тогда доказывается, что дисперсия случайной величины х* является

суммой дисперсии случайных величин

(11.4)

Важно заметить, что если случайные величины не являются независимыми, то

дисперсия их суммы не обязательно равна сумме их дисперсий.

12.Закон больших чисел.

В этом разделе приведу аккуратную формулировку закона больших чисел, которая

восходит к замечательному математику нашей страны П.Л.Чебышеву. Пусть имеем

некоторую случайную величину х. Выберем какое-нибудь положительное

число М. Отберем те значения

случайной величины х, для которых выполняется условие

(12.1)

Из выражения для дисперсии (11.2) и из неравенства (12.1) вытекает следующее

неравенство

РРР (12.2)

Здесь суммирование в (12.2) выполняется по тем индексам j, для которых

выполнено неравенство.

Предположим теперь, что произведено n независимых испытаний. Пусть в

i-том испытании осуществляется значение случайной величины

. Пусть математические ожидания и дисперсии всех этих независимых случайных

величин одинаковы. Тогда согласно материалу из разделов 10,11 для суммы

(12.3)

этих случайных величин и из (12.2) получаем следующее неравенство

Р

·Р (12.4)

Так как случайные величины

независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Кроме того, все

дисперсии равны

друг другу и все

математические ожидания

тоже равны друг другу

. Поэтому из (12.4) получаем неравенство

Р (12.5)

Введем число ε=M/n. Тогда из (12.5) получаем неравенство

Р (12.6)

Отсюда для противоположного события

(12.7)

из (12.6) получаем следующее неравенство П.Л.Чебышева

Р (12.8)

Таким образом, из (12.8) получается закон больших чисел П.Л.Чебышева:

Для любого сколь угодно малого положительного числа ε и числа

β<1 найдется такое число N, что при числе испытаний

n>N, будет справедливо неравенство

Р (12.9)

В самом деле, согласно (12.8) достаточно выбрать в качестве числа N

наименьшее из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству

, то есть

(12.10)

Это означает следующее. Какие бы числа

и мы ни выбрали,

если сделать количество n независимых испытаний больше, чем число N

, то среднее значение случайной величины будет отличаться от математического

ожидания меньше, чем на ε с вероятностью большей, чем β.

Иначе говоря, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее

значение случайной величины стремится к математическому ожиданию Е с

вероятностью, приближающейся к единице.

13.Испытания по схеме Бернулли.

Так называется следующая серия независимых испытаний. Пусть производится n

испытаний. В i-том испытании может осуществиться случайное событие

Ai с вероятностью Рi,i=1,.,n. Все события Аi

независимы в совокупности. То есть вероятность события Аi не зависит от

того, осуществляются или нет события Аj,j=1,.,n, j

i. Рассмотрим здесь такой частный случай, когда все вероятности Р

i равны друг другу и равны p,0‹p‹1. То есть

Р(Аi)=p, P(Ai*)=q, q=1-p, 0‹p‹1, 0‹q‹1, i=1,.,n (13.1)

Например, пусть испытания состоят в том, что случайная точка

в i-том испытании обязательно появляется в квадрате со стороной равной

единице. Событие Аi состоит в том, что точка

оказывается в четверти круга, вписанного в квадрат и имеющего радиус равный

единице (см.раздел7). Согласно (7.2) имеем

Р(Ai)=p= (13.2)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Бернулли: Пусть производится n испытаний по

схеме Бернулли. Пусть события Аi осуществились в m испытаниях.

Для любых чисел и

найдется такое натуральное число N, что при числе испытаний n>N

будет справедливо неравенство

P(|m/n–p|<)> (13.3)

В самом деле, свяжем с i-тым испытанием случайную величину

. Пусть эта величина принимает значение равное единице, если осуществляется

событие Аi, и

принимает значение равное нулю, если событие Аi не осуществляется, т.е.

осуществляется противоположное событие Аi*. Вычислим математическое

ожидание Еi и дисперсию Di случайной величины

. Имеем

pq=p (13.4)

p

qq

∙q∙1=p∙q (13.5)

Так как в нашем случае

(13.6)

то из закона больших чисел (12.9),(12.10) получаем неравенство

(13.3), если только

(13.7)

Это и доказывает теорему Бернулли.

Например, если мы хотим проверить теорему Бернулли на примере вычисления числа

π с точностью до

с вероятностью большей, чем

, то нам надо сделать испытания по схеме Бернулли в соответствии с разделом

7, т.е. получить согласно текущему разделу неравенство

P(|m/n–π/4|<0.01)>0.99 (13.8)

Для этого согласно (13.7) достаточно выбрать число

(13.9)

с большим запасом.

Такое испытание было сделано на компьютере по программе, приведенной в

следующем разделе. Получилось

4∙m/n=3.1424 (13.10)

Мы знаем, что число π=3.1415925626.. То есть действительно

получилось число с точностью по крайней мере до 0.01.

14.Программа вычисления числа π по схеме Бернулли.

CLS

INPUT "Введите n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

IF (x * x + y * y) < 1 THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

pi = 4 * m / n

PRINT "pi = ", pi

15.Метод Монте-Карло.

Испытания по схеме Бернулли составляют основу вычислительного метода, который

предложил Фон-Нейман для расчета сложных процессов. Например, для расчетов при

создании атомной бомбы. Этот метод он назвал методом Монте-Карло в честь

города, в котором идет игра в рулетку. Суть этого метода состоит в том, что

подбираются такие испытания по схеме Бернулли, в которых вероятности событий

Аi и определяют интересующую вычислителя величину. Простейший пример

вычисления по методу Монте-Карло и приведен в разделах 13,14 для числа

π. Особенно удобно вычислять методом Монте-Карло площади и объемы

сложных фигур и тел.

16.Стрельба по вепрю.

Задача 16.1.:

Три охотника стреляют по вепрю. Известно, что первый охотник попадает в цель

с вероятностью 0.7. Второй – с вероятностью 0.5. Третий – с

вероятностью 0.3. Результат стрельбы каждого из них не зависит от

результатов стрельбы других. Все три охотника дали один залп.

Какова вероятность, что в вепря попали 2 пули?

Решение:

Назовем попадание первого охотника событием А1, попадание второго –

А2, попадание третьего – А3.

Для того, чтобы попали две пули необходимо и достаточно, чтобы осуществилось

одно и только одно из следующих трех несовместных событий:

В1-первый попал, второй попал, третий промазал, В1=А1А2А3*

В2-первый попал, второй промазал, третий попал, В2=А1А2*А3

В3-первый промазал, второй попал, третий попал, В3=А1*А2А3

Так как события попадания для разных стрелков независимы, то вероятности

попадания равны произведению вероятностей. Поэтому

Р(В1)=Р(А1)∙Р(А2)∙Р(А3*)=0.7∙0.5∙0.7=0.245

Р(В2)=Р(А1)∙Р(А2*)∙Р(А3)=0.7∙0.5∙0.3=0.105

Р(В3)=Р(А1*)∙Р(А2)∙Р(А3)=0.3∙0.5∙0.7=0.105

Интересующее нас событие С=В1

В2В3. Так как

события В1,В2 и В3 несовместны, то вероятность объединения

равна сумме вероятностей событий Вi,i=1,2,3

Р(С)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0.245+0.105+0.105=0.455 (16.1)

Ответ: Вероятность, что попали 2 пули равна 0.455.

Задача 16.2.:

Те же охотники дали залп по другому вепрю. Известно, что попали 2 пули.

Какова вероятность, что попал первый охотник?

Решение:

Интересующая нас вероятность есть условная вероятность Р(А1|С)

события А1 при условии, что произошло событие С. По формуле

Бейеса имеем

Р(А1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P(C) (16.2)

По определению условной вероятности P(C|A1) (3.1) и

(3.2) имеем

P(C|A1)∙P(A1)=Р(С

А1) (16.3)

Но событие СА1

происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из двух несовместимых

событий

С2=А2А3*А1 (16.4)

С3=А3А2*А1 (16.5)

То есть имеем

(СА1)=(А2А3*А1)(А3А2*А1) (16.6)

Р(СА1)=Р(А2А3*А1)+Р(А3А2*А1)=0.5∙0.7∙0.7+0.3∙0.5∙0.7=

=0.245+0.105=0.35 (16.7)

Таким образом, согласно (16.2) для искомой условной вероятности Р

(A1|C) получим значение

Р(A1|C)=P(C|A1)∙P(A1)/P

(C)=0.35/0.455=0.769 (16.8)

Ответ: Вероятность того, что попал первый охотник при условии,

что попало в вепря две пули равна 0.769.

17.Решение задач о встрече методом Монте-Карло.

Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8.1. по

встрече из раздела 8.

Задача 17.1.:

Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1

часа пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент

времени или

соответственно

или из

отрезка .

Каждый пришедший ждет своего товарища в течение 20 минут или до момента

времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1

остается меньше 20 минут.

Какова вероятность, что они все трое встретятся?

Решение:

Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь построение

будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат XYZ. Полагаем

х=,у=

,z=. Тогда точка

с координатами х,у и z соответствует приходу Марии в момент

времени х=

, Ивана – в момент у=

и Петра – в момент z=

. Достоверному событию Ω соответствует в пространстве XYZ куб

Событию А, которое осуществляется, если Мария, Иван и Петр все

встретятся соответствует тело

. Это тело состоит из точек, лежащих в кубе

и к тому же удовлетворяющих условиям

|x–y|≤1/3, |y–z|≤1/3, |x–z|≤1/3

(17.1)

Поэтому

Р(А)= (17.2)

Здесь есть объем куба , есть объем тела . Вычислить объем тела

|x–y|≤1/3,|y–z|≤1/3,|x–z|≤1/3 (17.3)

затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло по схеме Бернулли. При этом

будем работать со случайными величинами

, которые принимают значение равное единице, когда точка

оказывается в теле ,

и принимают

значение равное нулю, когда точка

оказывается вне тела

. Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону больших чисел

(см.разделы 7 и 12) полагаем

P(A)= (17.4)

Здесь n – число испытаний по бросанию точки

в куб , m –

число попаданий в тело

. Равенство (17.4) выполняется с большой точностью и с большой вероятностью,

если число испытаний n достаточно велико.

Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000 дали следующий

результат

Р(А)=0.259 (17.5)

Ответ: Вероятность Р(А) того, что Мария,

Иван и Петр все встретятся равна 0.259.

Задача 17.2.:

Условия задачи 17.2. повторяют условия задачи 17.1. Но вопрос в задаче 17.2.

является таким.

Какова вероятность, что встретятся по крайней мере двое из трех?

Решение:

Назовем событием В событие, что встретятся по крайней мере двое из трех.

Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.1. Только в случае

события В искомая вероятность Р(В) определяется

формулой

Р(B)=m/n (17.6)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3)( (17.7)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.6) означает число попаданий точки

в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

Р(В)=0.964 (17.8)

Ответ: Вероятность Р(В), что встретились по

крайней мере двое из трех равна 0.964.

Задача 17.3.:

Условия задачи 17.3. повторяют условия задачи 17.2. Но вопрос в задаче 17.3.

является таким.

Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?

Решение:

Назовем событием С событие, что встретятся двое и только двое из трех.

Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.2. Только в случае

события С искомая вероятность Р(С) определяется

формулой

Р(С)=m/n (17.9)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3,|y–z|>1/3,|x-z|>1/3)

(17.10)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.9) означает число попаданий точки

в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

Р(C)=0.520 (17.11)

Ответ: Вероятность Р(C), что встретились

двое и только двое из трех равна 0.520.

Задача 17.4.:

Условия задачи 17.4. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.4.

является таким.

Какова вероятность, что не встретились никто из трех?

Решение:

Назовем событием D событие, что не встретится никто из трех. Повторим

построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события

D искомая вероятность Р(D) определяется формулой

Р(D)=m/n (17.12)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x-z|>1/3),( (17.13)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.12) означает число попаданий точки

в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

Р(D)=0.037 (17.14)

Ответ: Вероятность Р(D), что не встретятся никто из трех равна 0.037.

Задача 17.5.:

Условия задачи 17.5. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.5.

является таким.

Какова вероятность, что встретится один из трех с каждым из двух других, но

эти другие двое друг с другом не встретятся?

Решение:

Назовем событием Е событие, что встретится один из трех с каждым из двух

других, но эти другие двое друг с другом не встретятся. Повторим построения по

аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события Е

искомая вероятность Р(Е) определяется формулой

Р(Е)=m/n (17.15)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3,|х–z|≤1/3,|у-z|>1/3)

(17.16)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела

был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m

в (17.15) означает число попаданий точки

в тело . Испытания

при n=1000000 дали следующий результат

Р(Е)=0.182 (17.17)

Ответ: Вероятность Р(Е), что встретится

один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не

встретятся равна 0.182.

Проверка результатов

Р(А)+Р(С)+Р(Е)=Р(В) (17.18)

0.259+0.520+0.1820.964 (17.19)

Р(В)+Р(D)=1 (17.20)

0.964+0.0371 (17.21)

Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17.1.-17.5.,

приведены в разделе 18.

18.Программы, реализующие испытания по схеме Бернулли для задач 17.1.-17.5.

1. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF (ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) <= 1

/ 3) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p = ", p

2. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3)) OR ((ABS(z - y)

<= 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

3. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1

/ 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - y)

> 1 / 3)) OR ((ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3) AND

(ABS(x - y) > 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

4. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF (ABS(x - y) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1 / 3) AND (ABS(z - y) > 1 /

3) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

5. CLS

INPUT "Введите количество испытаний n=", n

RANDOMIZE

FOR i = 1 TO n

x = RND

y = RND

z = RND

IF ((ABS(x - y) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - z) > 1

/ 3)) OR ((ABS(x - z) <= 1 / 3) AND (ABS(y - z) <= 1 / 3) AND (ABS(x - y)

> 1 / 3)) OR ((ABS(y - z) > 1 / 3) AND (ABS(x - z) <= 1 / 3) AND

(ABS(x - y) <= 1 / 3)) THEN m = m + 1 ELSE m = m

NEXT i

p = m / n

PRINT "p=", p

Страницы: 1, 2