РУБРИКИ

Реферат: Теория вероятности

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Реферат: Теория вероятности

Реферат: Теория вероятности

Математический аппарат современной экономики часто используется на основе

традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на

системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация

вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного

эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех

возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных

начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные

величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты

существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при

планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует

теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных

по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в своем эссе я

рассмотрю случайные величины и функции распределения.

Случайные величины

Определение. Пусть Реферат: Теория вероятности — произвольное вероятностное пространство.

Случайной величиной Реферат: Теория вероятности

называется измеримая функция Реферат: Теория вероятности ,

отображающая Реферат: Теория вероятности в множество

действительных чисел Реферат: Теория вероятности , т.е.

функция, для которой прообраз Реферат: Теория вероятности

любого борелевского множества Реферат: Теория вероятности

есть множество из Реферат: Теория вероятности -алгебры Реферат: Теория вероятности

.

Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.

2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно

брошенной в квадрат точки Реферат: Теория вероятности .

Множество значений случайной величины Реферат: Теория вероятности

будем обозначать Реферат: Теория вероятности , а образ

элементарного события Реферат: Теория вероятности Реферат: Теория вероятности

. Множество значений Реферат: Теория вероятности может быть

конечным, счетным или несчетным.

Определим Реферат: Теория вероятности -алгебру на множестве Реферат: Теория вероятности

. В общем случае Реферат: Теория вероятности -алгебра

числового множества Реферат: Теория вероятности может быть

образована применением конечного числа операций объединения и пересечения

интервалов Реферат: Теория вероятности или полуинтервалов

вида Реферат: Теория вероятности (Реферат: Теория вероятности

), в которых одно из чисел Реферат: Теория вероятности или Реферат: Теория вероятности

может быть равно Реферат: Теория вероятности или Реферат: Теория вероятности

.

В частном случае, когда Реферат: Теория вероятности

дискретное (не более чем счетное) множество, Реферат: Теория вероятности

-алгебру образуют любые подмножества множества Реферат: Теория вероятности

, в том числе и одноточечные.

Таким образом Реферат: Теория вероятности -алгебру множества Реферат: Теория вероятности можно построить из множеств Реферат: Теория вероятности или Реферат: Теория вероятности , или Реферат: Теория вероятности .

Будем называть событием Реферат: Теория вероятности любое

подмножество значений Реферат: Теория вероятности

случайной величины Реферат: Теория вероятности : Реферат: Теория вероятности

. Прообраз этого события обозначим Реферат: Теория вероятности

. Ясно, что Реферат: Теория вероятности ; Реферат: Теория вероятности

; Реферат: Теория вероятности . Все множества Реферат: Теория вероятности

, которые могут быть получены как подмножества Реферат: Теория вероятности

из множества Реферат: Теория вероятности , Реферат: Теория вероятности

, применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют

систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины Реферат: Теория вероятности

Реферат: Теория вероятности и выделив систему событий Реферат: Теория вероятности

, построим измеримое пространство Реферат: Теория вероятности

. Определим вероятность на подмножествах (событиях) Реферат: Теория вероятности

из Реферат: Теория вероятности таким образом, чтобы она

была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: Реферат: Теория вероятности

.

Тогда тройка Реферат: Теория вероятности назовем вероятностным пространством случайной величины Реферат: Теория вероятности , где Реферат: Теория вероятности

— множество значений случайной величины Реферат: Теория вероятности

; Реферат: Теория вероятности Реферат: Теория вероятности

-алгебра числового множества Реферат: Теория вероятности ; Реферат: Теория вероятности

— функция вероятности случайной величины Реферат: Теория вероятности

.

Если каждому событию Реферат: Теория вероятности поставлено

в соответствие Реферат: Теория вероятности , то говорят,

что задано распределение случайной величины Реферат: Теория вероятности

. Функция Реферат: Теория вероятности задается на таких

событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность

произвольного события Реферат: Теория вероятности . Тогда

событиями могут быть события Реферат: Теория вероятности .

Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство Реферат: Теория вероятности , образованное случайной величиной Реферат: Теория вероятности .

Определение. Функцией распределения случайной величины Реферат: Теория вероятности

называется функция Реферат: Теория вероятности

действительного переменного Реферат: Теория вероятности ,

определяющая вероятность того, что случайная величина Реферат: Теория вероятности

примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого

фиксированного числа Реферат: Теория вероятности :

Реферат: Теория вероятности (1)

Там где понятно, о какой случайной величине Реферат: Теория вероятности

, Реферат: Теория вероятности или Реферат: Теория вероятности

идет речь, вместо Реферат: Теория вероятности будем

писать Реферат: Теория вероятности . Если рассматривать

случайную величину Реферат: Теория вероятности как

случайную точку на оси Реферат: Теория вероятности , то

функция распределения Реферат: Теория вероятности с

геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка Реферат: Теория вероятности

в результате реализации эксперимента попадет левее точки Реферат: Теория вероятности

.

Очевидно что функция Реферат: Теория вероятности при любом Реферат: Теория вероятности

удовлетворяет неравенству Реферат: Теория вероятности .

Функция распределения случайной величины Реферат: Теория вероятности

имеет следующие свойства:

2) Функция распределения — неубывающая функция Реферат: Теория вероятности

, т.е. для любых Реферат: Теория вероятности и Реферат: Теория вероятности

, таких что Реферат: Теория вероятности , имеет место

неравенство Реферат: Теория вероятности .

Доказательство. Пусть Реферат: Теория вероятности и Реферат: Теория вероятности

и Реферат: Теория вероятности . Событие, состоящее в том,

что Реферат: Теория вероятности примет значение, меньшее,

чем Реферат: Теория вероятности , Реферат: Теория вероятности

представим в виде объединения двух несовместных событий Реферат: Теория вероятности

и Реферат: Теория вероятности : Реферат: Теория вероятности

.

Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, Реферат: Теория вероятности или по формуле (1)

Реферат: Теория вероятности , (2)

откуда Реферат: Теория вероятности , так как Реферат: Теория вероятности . Свойство доказано.

Теорема. Для любых Реферат: Теория вероятности и Реферат: Теория вероятности вероятность неравенства Реферат: Теория вероятности вычисляется по формуле

Реферат: Теория вероятности (3)

Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2).

Таким образом, вероятность попадания случайной величины Реферат: Теория вероятности

в полуинтервал Реферат: Теория вероятности равна разности

значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала Реферат: Теория вероятности

и Реферат: Теория вероятности .

2) Реферат: Теория вероятности ; Реферат: Теория вероятности .

Доказательство. Пусть Реферат: Теория вероятности и Реферат: Теория вероятности

— две монотонные числовые последовательности, причем Реферат: Теория вероятности

, Реферат: Теория вероятности при Реферат: Теория вероятности

. Событие Реферат: Теория вероятности состоит в том, что Реферат: Теория вероятности

. Достоверное событие Реферат: Теория вероятности

эквивалентно объединению событий Реферат: Теория вероятности

:

Реферат: Теория вероятности ; Реферат: Теория вероятности .

Так как Реферат: Теория вероятности , то по свойству вероятностей Реферат: Теория вероятности , т.е. Реферат: Теория вероятности .

Принимая во внимание определение предела, получаем Реферат: Теория вероятности ; Реферат: Теория вероятности

3) Функция Реферат: Теория вероятности непрерывна слева в любой точке Реферат: Теория вероятности , Реферат: Теория вероятности

Доказательство. Пусть Реферат: Теория вероятности

любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к Реферат: Теория вероятности

. Тогда можно записать:

Реферат: Теория вероятности

На основании аксиомы 3

Реферат: Теория вероятности

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к Реферат: Теория вероятности

, то остаток ряда, начиная с некоторого номера Реферат: Теория вероятности

, будет меньше Реферат: Теория вероятности , Реферат: Теория вероятности

(теорема об остатке ряда)

Реферат: Теория вероятности

.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию

распределения. Получим

Реферат: Теория вероятности

,

откуда Реферат: Теория вероятности или Реферат: Теория вероятности , а это означает, что Реферат: Теория вероятности .

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения Реферат: Теория вероятности

является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию Реферат: Теория вероятности

и Реферат: Теория вероятности . И, обратно, каждая функция,

обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция

распределения некоторой случайной величины.

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше

действительного числа Реферат: Теория вероятности ,

вычисляется по формуле Реферат: Теория вероятности .

Доказательство. Достоверное событие Реферат: Теория вероятности

представим в виде объединения двух несовместных событий Реферат: Теория вероятности

и Реферат: Теория вероятности . Тогда по 3-1 аксиоме

Колмогорова Реферат: Теория вероятности или Реферат: Теория вероятности

, откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения Реферат: Теория вероятности

имеет при Реферат: Теория вероятности скачок Реферат: Теория вероятности

, если Реферат: Теория вероятности , где Реферат: Теория вероятности

и Реферат: Теория вероятности пределы слева и справа

функции распределения Реферат: Теория вероятности в точке Реферат: Теория вероятности

.

Теорема. Для каждого Реферат: Теория вероятности из пространства Реферат: Теория вероятности случайной величины Реферат: Теория вероятности имеет место формула Реферат: Теория вероятности

Доказательство. Приняв в формуле (3) Реферат: Теория вероятности

, Реферат: Теория вероятности и перейдя к пределу при Реферат: Теория вероятности

, Реферат: Теория вероятности , согласно свойству 3),

получим искомый результат.

Можно показать, что функция Реферат: Теория вероятности

может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция

распределения может иметь не более одного скачка Реферат: Теория вероятности

, скачков Реферат: Теория вероятности — не более 3-х,

скачков Реферат: Теория вероятности не более чем Реферат: Теория вероятности

.

Иногда поведение случайной величины Реферат: Теория вероятности

характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим

законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона

распределения функцию распределения Реферат: Теория вероятности

.


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.