Реферат: Векторы. Действия над векторами

Реферат: Векторы. Действия над векторами

вектором ортонормированного

базиса на плоскости угол

φ, тогда

.

Пример: Пусть вектор

единичной длины образует с

векторами ,

и ортонормированного базиса в

пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда

. Причем . Величины cosα,

cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора

Глава 6. Скалярное произведение

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число,

равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из

векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов

и обозначается через

[или ; или

]. Если φ - угол между векторами

и , то

.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (коммутативность).

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда

сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

4. .

5. .

6. .

Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:

; ; .

Действительно, пусть , причем

каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору. Из теоремы

второго раздела следует, что ,

где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или

противоположно направлены векторы

, и . Но,

, где φ - угол между векторами

, и . Итак,

. Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:

1. ; 2. ; 3. .

Пусть в некотором базисе заданы

векторы и

тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

Величины называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно .

Теорема: В ортонормированном базисе

;

;

;

.

Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая

расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости

получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это

самостоятельно.

Глава 7. Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется

правоориентированной (правой), если после приложения к

общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора

ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная

тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (

левой).

Определение: Векторным произведением вектора

на вектор называется вектор

, удовлетворяющий условиям:

1. где φ – угол между векторами и ;

2. вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;

3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов

является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется

площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Пусть, а

ортогонален к . Тогда

получается из вектора поворотом

вокруг вектора на

по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора

).

Пример: Если дан вектор

, то каждый вектор можно представить в виде суммы

, где – ортогонален

, а – коллинеарен

. Легко видеть, что .

Действительно, можно заметить, что

. Вектор компланарен векторам

и , а потому

и коллинеарны. Легко видеть

(рис. 12), что они одинаково направлены.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. (антикоммутативность);

Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не

зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор

коллинеарен вектору . Однако,

переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы

было выполнено условие 3) определения. Действительно, если

, ,

- правая тройка, то ,

, - левая, а

, ,

- снова правая тройка.

2. ;

Если φ - угол между векторами

и , то

. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой,

перпендикулярной и

. При λ > 0 и вектор и

вектор направлены так же, как .

Если λ < 0, то кратчайший поворот от

к производится навстречу

кратчайшему повороту от к

. Поэтому и

противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и

векторы и

. Таким образом, при λ ≠ 0 векторы

и направлены всегда одинаково,

и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.

3. ;

Если , то доказываемое

очевидно. Если , то разложим

и в суммы

и , где

и ортогональны

, а и

коллинеарны . Поскольку

, и вектор ортогонален

, а коллинеарен

, нам достаточно доказать равенство

и (в силу свойства 2) даже равенство

, где . Длина вектора

равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на

сводится к повороту (ортогонального к

) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный

на и

, поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.

4. .

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда

или

Теорема: В ортонормированном базисе

или

{если базис левый, то перед одной из частей каждого равенства следует

поставить знак минус}.

Справедливость теоремы следует из предыдущих формул при учете примеров в

начале раздела. Чтобы избежать постоянных замечаний об ориентации базиса, мы

будем считать, что базис выбирается всегда правый.

Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:

1. Нахождения вектора перпендикулярного плоскости, в которой расположены

два заданных вектора.

2.

Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах

и , как на сторонах. В

ортонормированном базисе

.

В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает

считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный

вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное

произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь

параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой

.

Глава 8. Смешанное произведение

Определение: число называется смешанным произведением векторов , и .

Смешанное произведение векторов , и обозначается или .

Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему

параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс

если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая.

Действительно, , где φ -

угол между векторами и

, а θ - угол между векторами

и . Объем параллелепипеда,

построенного на векторах ,

и , равен (рис. 13)

произведению площади основания

на высоту . Таким образом,

первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком

cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда

направлен в ту же сторону от плоскости векторов

и , что и вектор

, т. е. когда тройка ,

, правая. Аналогично

доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.

Пример: Если -

ортонормированный базис, то

или , смотря по тому, правый

это базис или левый.

Теорема: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов

является равенство нулю их смешанного произведения.

Равенство возможно в следующих случаях:

a.хотя бы один вектор нулевой; тогда все три вектоpaкомпланарны;

b.sinφ = 0 тогда и коллинеарны, и следовательно , и компланарны;

c.cosθ = 0 тогда вектор ортогонален , т. е. компланарен и .

Обратное утверждение доказывается аналогично.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. .

Пусть в некотором базисе векторы , , , тогда

или

В частности, в ортонормированном базисе

{если базис левый, то перед одной из частей равенства следует поставить знак

минус}.

Следствие: Условие

является необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов,

заданных своими координатами в некотором базисе

Глава 9. Двойное векторное произведение

Определение: Вектор называется двойным векторным произведением векторов , и .

Теорема: Для любых векторов , и справедлива формула

.

Литература

• Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М, Наука, 1968,

  912 с.

• Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М, Высшая

  школа, 1967, 655 с.

• Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии

  и линейной алгебры. М, Наука, 1971, 328 с.

Действительно, этим числом является или

, или в зависимости от того,

направлены ли векторы и

одинаково или противоположно. Если

, то λ = 0. Единственность множителя λ очевидна: при умножении на

разные числа мы получим различные векторы.

Страницы: 1, 2