Реферат: Векторы

дним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике. Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике. В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики. Реферат: Векторы

Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением ( т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение : «Вектором называется всякий параллельный перенос». Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность , нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Итак, вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1). Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху,

Той же буквой, но не жирной , а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или I аI. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить , что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому. Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными. Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены. Сложение векторов. Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику» – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе. Суммой векторов а и в с координатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор с с координатами а1 + в1, а2 + в2, т.е. а (а1; а2) + в (в1;в2) = с (а1 + в1; а2 + в2). Следствие: а + в = в + а , (коммутативность) а + ( в + с ) = (а + в) + с. (ассоциативность) Реферат: Векторы

Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример. а и в – векторы (рис.5). Пусть ОА =а, ОВ = в.

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА. 2. а = ОА = ВС, в = ОВ = АС, т.к. параллелограмм. 3. ОА + АС = ОВ + ВС = ОС, значит а + в = в + а. ч.т.д. Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС. (а + в ) + с = (ОА + АВ) + ВС = ОВ + ВС = ОС, а + (в + с ) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + АС = ОС, откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов. Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор», имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор» изображается «отрезком нулевой длины», т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0. Равенство векторов. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует, что разные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны. Действительно, пусть векторы АВ и С D – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то есть параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и С D равны, что и требовалось доказать. Реферат: Векторы

Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла между векторами. Обозначение: а х в = IaI * IbI * cos ( а, в). Свойства скалярного произведения: 1. а х в = в х а. 2. Для того, чтобы два нулевых вектора а и в были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. а х в = 0. 3. Выражение а х а будем обозначать а2 и называть скалярным квадратом вектора а. Свойства операций над векторами. Имеют место следующие теоремы об операциях над векторами, заданными в координатной форме. 1. Пусть даны а = (ах, аy, аz ) и в = ( вx, ву, в z), тогда сумма этих векторов есть вектор с, координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т.е. с = а + в = (ах + вx; а y + ву; аz + вz). Пример 1. а = ( 3; 4; 6) и в = ( -1; 4; -3), тогда с = ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2; 8; 3). 2. а = (ах, аy, аz ) и в = ( вx, ву, в z), тогда разность этих векторов есть вектор с , координаты которого равны разности одноименных координат данных векторов, т.е. с = а - в = (ах - вx; а y - ву; аz - вz). Пример 2. а = ( -2; 8; -3) и в = ( -4; -5; 0), тогда с = а – в = ( -2 – ( -4 ); 8 – ( -5 ); -3 –0 ) = = ( 2; -13; -3). 3. При умножении вектора а = (ах, аy, аz) на число м все его координаты умножаются на это число, т.е. ма = ( мах, маy, маz). Пример 3. а = ( -8; 4; 0) и м = 3, тогда 3а = ( -8 х 3; 4 х 3; 0 х 3) = ( -24; 12; 0). Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач. Рассмотрим доказательство некоторых теорем с помощью векторов. Теорема 1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Доказательство.

Пусть АВСD – данный ромб (рис.7). Введем обозначения : АВ = а, ВС = в. Из определения ромба: АВ = DC = а, AD = ВС = в.

По определению суммы и разности векторов АС = а + в; DВ = а – в.

Рассмотрим АС * DВ = (а + в )( а – в) = а2 – в2 . Реферат: Векторы

Так как стороны ромба равны, то а = в. Следовательно, AC * DB =0. Из последнего получаем АС

DВ, т.е. DB АС. Ч.т.д. Реферат: Векторы

Рассмотрим теперь решение задач с помощью векторов. Задача 1. Даны два вектора AB и CD, причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С( -1; -2; 2) и D(2; 1;5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет. Решение. Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3). Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов: АВ х СD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0. Последнее и означает, что АВ СD. Задача 2. Реферат: Векторы

Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

Решение. Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с : ВС = а, СА = в, АВ = с (рис.8). Тогда АD = АВ + ВD = АВ +

= с +

аналогично определяются и другие медианы: ВЕ = а +

, СF = в + Так как, в силу условия замкнутости ВС + СА + АВ = а + в + с =0, то мы имеем: АD + ВЕ + СF = ( с + ) + (а + ) + ( в + ) =

( а + в + с) =

х 0 = 0. Следовательно, отложив от точки В, вектор В1С1 = ВЕ и от точки С1 – вектор С1D1 = СF, мы получим. А1В1 + В1С1 + С1D1 = АD + ВЕ + СF = 0. А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1 является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1. Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника. Задача 3. Доказать, что для любого треугольника имеет место формула с2 = а2 + в2 – 2ав х соs С (теорема косинусов) Реферат: Векторы

Решение. Положим: а = СВ, в = СА, с = АВ (рис.10). Тогда с = а – в, и мы имеем (учитывая, что угол между векторами а и в равен С): с2 = ( а – в )2 = а2 – 2ав + в2 = а2 – 2ав х соs С + в2. Задача 4. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение. Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.11). Имеем векторные равенства АВ + AD = АС, АВ – АD = DВ. Возведем эти равенства в квадрат. Получим: АВ2 + 2 АВ х АD + АD2 = АС2, АВ2 – 2АВ х АD + АD2 = DВ2 Сложим эти равенства почленно. Получим: 2АВ2 + 2 АD2 = АС2 + DВ2. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать. Задача 5. Даны три точки: А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D ( х; y ), чтобы векторы АВ и СD были равны. Решение. Вектор АВ имеет координаты –2, -1. Вектор СD имеет координаты х – 0, y –1. Так как АВ = С D, то х – 0 = -2, y –1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х = -2, y = 0. Задача 6. Даны два вектора АВ и СD, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2), D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет. Решение. Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD ( 3; 3; 3). Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов: AB х CD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0. Последнее озночает, что АВ СD. Рассмотренные выше примеры задач показывают, что векторный метод является весьма мощных средством решения геометрических и многих физических (и технических) задач. Содержание: 1. Что такое вектор? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами. 6. Доказательства и решение задач.

Используемая литература. 1. «Векторы в школьном курсе геометрии». (1976 г.) В.А.Гусев. Ю.М.Колягин. Г.Л.Луканкин. 2. «Векторы в курсе геометрии средней школы. (1962 г.) В.Г.Болтянский. И.М.Яглом.