Работа ученика 11 класса

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется

радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её

центр, называется диамет­ром сферы.

Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, нахо­дящихся на

расстоянии не большем данного от данной точки

(или фигура, ограниченная сферой).

не удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат

Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плос­кости и

на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.

уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окруж­ность

C(0;0;0) и r^2=R^2 - d^2

2) d=R , x^2 + y^2 =0 , x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в

точке О(0;0;0)

3) d>R , d^2>R^2 R^2 - d^2 < 0

x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений

Касательная плоскость к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной

плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой ка­сания плоскости и

сферы.

Теорема:

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпен­дикулярен

Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к

плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем

противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

ч.т.д.

Теорема:

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец,

лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендику­ляром,

проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому рас­стояние от центра

сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следова­тельно, сфера и плоскость

имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является

касательной к сфере.

ч.т.д.

Площадь сферы:

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного

многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если

сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в

многогранник.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем не­ограниченно

увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился

к нулю. За площадь сферы примем предел после­довательности площадей

поверхностей описанных около сферы много­гранников при стремлении к нулю

наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и

получить формулу для вы­чесления площади сферы радиуса R :