Шпора: Математические примеры

Шпора: Математические примеры

Ôèðñîâ Äìèòðèé 441

¹368Â

Îòîáðàçèòü âåðõíþþ ïîëîâèíó ïëîñêîñòî ñðàçðåçàìè ïî îòðåçêàì íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü.

Ðåøåíèå:

Îòîáðàæåíèå

îòîáðàæàåò âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ ðàçðåçàìè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç ðàçðåçîâ (ïîä îïåðàöèåé âçÿòèÿ â êâàäðàòíûå ñêîáêè íàäî ïîíîìàòü âçÿòèå öåëîé ÷àñòè îò ÷èñëà). Äîêàæåì ýòî:

Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå èç ïîëîñû ïîëóïëîñêîñòè ñðàçðåçàìè â ïîëóïëîñêîñòü áåç ðàçðåçîâ. (*) ñîâåðøåííî î÷åâèäíî ,÷òî â íàøåì ñëó÷àå . Òî åñòü, ìû ïîëó÷àåì âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç äåéñòâèòåëüíîé îñè. Ðàññìîòðèì îáðàç ëó÷à . Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (*) çíà÷åíèÿ z íà ëó÷å ìû ïîëó÷èì â îáðàçå ëó÷, ëåæàùèé íà äåéñòâèòåëüíîé îñè .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè, ÷òî îáðàçîì ïîëîñû (1) ÿâëÿåòñÿ

. Åñëè íà ïîëîñó ïëîñêîñòè áåç ðàçðåçà ïîäåéñòâîâàòü îòîáðàæåíèåì sin(Z) òî â îáðàçå ïîëó÷èì òàêîå ìíîæåñòâî

(2). Ïðèìåíèâ

îòîáðàæåíèå

ê ïîëîñå(1) ñ

ðàçðåçîì â

îáðàçå

ïîëó÷èì

ìíîæåñòâî (2).

Ïîýòîìó

ôóíêöèÿ

îòîáðàæàåò

ïîëîñó

ñ ðàçðåçîì â

ïîëîñó

áåç ðàçðåçà.

Ïðîäîëæèì

ýòó ôóíêöèþ

íà âñþ

ïîëóïëîñêîñòü

ñ ðàçðåçàìè.

Ðàññìîòðèì

ôóíêöèþ

çàäàííóþ â

ïîëîñå

ñ ðàçðåçîì.

Ôóíêöèÿ

îòîáðàæàåò

ýòó ïîëîñó

íà ïîëîñó

áåç ðàçðåçà.

È òîãäà

îòîáðàæåíèå

îòîáðàæàåò

ïîëîñó

áåç ðàçðåçà.

Ïðîâåðèì

ÿâëÿåòñÿ ëè

ôóíêöèÿ

àíàëèòè÷åñêèì

ïðîäîëæåíèåì

ôóíêöèè

. Äëÿ ýòîãî

ïðèìåíèì

òåîðåìó:

Òåîðåìà.

Ïóñòü ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà â îáëàñòè è ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà â îáëàñòè . È îáëàñòè è èìåþò îáùèé ôðàãìåíò ãðàíèöè . Åñëè ôóíêöèè íà ñîâïàäàþò òî ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè â îáëàñòü .

Åñòåñòâåííî ôóíêöèè è ñîâïàäàþò íà ëó÷å . Ïîýòîìó ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè íà ïîëîñó . Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìû ìîæåì ïðîäîëæìòü ôóíêöèþ íà âñþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ âûðåçàìè. È â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôóíêöèþ:

îòîáðàæàþùóþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ âûðåçàìè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç âûðåçîâ.