Шпора: Шпора по матану

Мн-во Х назся огран.

сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся

неравенство с³х(х³с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х.

Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым Если мн-во имеет 1

верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.

Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.

Точные грани числовых мн-в

Пусть мн-во Х ограничено сверху, если

это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это

число назся макс мн-ва Х и обозначается Х=maxX. Если мн-во содержит мин число

Х , то оно min мн-ва Х

Пример Х=[0,1) то max[0,1) не $.

min [0,1)=0

Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если

во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном

уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн.

грань – supX=x, а нижн. грань infX=x

Теорема. Любое

непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.

Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва

действит. Чисел.

4.Th о сущ. т.в.г. и т.н.г.

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную

верх(ниж) грань.

Док-во: Пусть Х непустное мн-во, ограниченное сверху. Тогда Y- мн-во чисел,

ограничивающих мн-во Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани

следует, что для любого х€Х и y€Y любого выполняется нер-во х≤у. В силу

св-ва непрерывности вещ.чисел существует такое с, что для любых х и у

выполняется нер-во х≤с≤у. Из первого нер-ва следует, что число с

ограничивает мн-во Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго нер-ва

следует, что число ч явл.наименьшим из таких чисел,т.е. явл точной

верхн.гранью. Теорема док-на. Аналогична теорема о т.н.г

5.Числовые последовательности, действия над ними

Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему

число xn, то мн-во чисел х1,х2, . ,хn, .(1,2,3,n –внизу) наз-ся числовой

последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-

ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти . Над числовыми

последовательностями можно выполнять след. Арифметические операции:

произведение, сумма, разность, произведением на число, частное.

6.Огранич и неогранич пос-ти

Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn}

M(m) xn£M "n (xn³m "n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич.

сверху и снизу.

Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn

этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А.

7. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними

Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N

такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е.

("A>0)($N=N(A))("n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной.

Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б.

Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε (сколь бы

малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n>N

выполняется нер-во |An|< ε, т.е. ("ε>0)($N=N(ε))(

"n>N):|An|< ε

Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть

{1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть.

(следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м

пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение

ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.

8.Понятие сходящихся постей, lim пости.

Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n

>N:½xn-a½< e

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся

расходящимися.

Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ. N=N(e),

такой, что все Эл-ты Xn с номерами n>N находятся в этой e-окрестности.

9.Основные св-ва сход. Постей

Теорема «Об единственности пределов»

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от

противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹b. Тогда согласно определению

пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за

исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в

точке b. Возьмем два радиуса e= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не

пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с

некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Пусть посл-ть {xn}®а e >о N:"n>N½xn-a½<e эквивалентна

а-e<xn<a+e "n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет

неравенству½xn½£ c = max

{½a-e½,½a+e½,½xn½,.,½xn-1½}

Теорема «Об арифметических дейсьвиях»

Пусть посл-ть {xn}®a,{yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями

приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b

б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b

в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0

Док-во: а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в

разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой

части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва.

б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn

an*b – это произведение const на б/м

а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи

сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b

10. Предельный переход в нер-вах.

11. Монотонные пос-ти

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<.<xn<xn+1<.;

неубывающей, если x1£x2£.£xn£xn+1£.; убывающей,

если x1>x2>.>xn>xn+1>.; невозр., если

x1³x2³.³xn³xn+1³.

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными

Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие

ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

12. Число е

Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) .

Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но

явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается

символом е»2,7128.

Док-ем формулу lim(n->∞)(1+1/n)^n(в степени n)=е

yN=; zN=yN +

1) yN монотонно растет

2) yN<zN

3) zN-yN®0

4) zN монотонно убывает

Доказателство:

zN-zN+1 = yN + - yN+1 -= +-=

2=y1<yN<zN<z1=3

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных

промежутках имеем: yN<e<zN = yN +

1/(n*n!)

Если через qN обозначить отношение разности e - yN

к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN = qN

/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = y

N + qN/(n*n!), qÎ(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mÎZ, nÎN

m/n = e = yN + qN/(n*n!)

m*(n-1)!= yN*n! + qN/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)ÎZ, (qN/n)ÏZ => противоречие

13. Th о вложенных промежутках

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],.,[an,bn],.

Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:

1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]Ì[an,bn],

"n=1,2,.;

2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с

указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с

принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков

к которой они стягиваются.

14.Понятие ф-ии, способы задания, классификация

15.Предел ф-ии в точке(Гейне,Коши,правый,левый) Предел ф-ии на бесконечности

16. Th о пределе ф-ии

17. Первый замечательный предел

Доказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на

промежутке

Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

, так как х>0, то ,

2. следовательно, что

1. Покажем, что

2. Докажем, что

3. Последнее утверждение:

18. Второй замечательный предел

lim(n®¥)(1+1/n)^n=e Док-во:

x®+¥ n x:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n

Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция

возрастает, то можно записать новое неравенство

(1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4)

Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е.

Заметим (х®+¥, n®¥)

lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1=

lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e

lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n* lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e

19.Б-м ф-ии, действия над ними

Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из

этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0

при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($

С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет

более высокий порядок малости чем b.

2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м

одного порядка.

3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)),

при х®х0.

4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно

b(х).

Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.

20. Б-б ф-ии, связь с б-м

Опр. Ф-ия y=f(x) называется бесконечно большой в точке а, если ее предел

в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim(x->a)(f(x))=∞

Свойства :Пусть y=f(x) и y=g(x) - бесконечно большие ф-ии в точке а.

Ф-ия j(х) имеет предел в точке а, отличный от 0

Ф-ия a(х) и b(ч) – бесконечно малые

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.

2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля

предел - бесконечно большая.

3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно

малая, и наоборот.

21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии

22.Определение непрерывности в точке, на отрезке.

Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f(x))=f(x0)

Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений аргумента

Х: х1,х2,х3..,хn,.. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть значений ф-ии:

f(x1), f(x2),f(x3),....,f(xn),... сходится к числу f(x0), т.е. ("{xn}->x0,

xn€X):{f(xn)}->f(x0)

Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ε>0 найдется

отвечающее ему положительное число δ такое что для всех х, удовлетворяющих

условию |x-x0|< δ выполняется нер-во |f(x)-f(x0)|< ε

Опр4. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке

является бесконечно малой функцией при ▲x->0, т.е.

lim(▲x->0)( ▲y)=0

23.Th о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии

Th Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x),

f(x)g(x),f(x)\g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)≠0)

Докво.Т.к. ф-ия f(x) непрерывна в точке х0, то lim(x->x0)(g(x))=g(x0). Тогда

по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f(x)+g(x),f(x)g(x) b f(x)\g(x)

существуют и соответственно равны

f(x0)±g(x0),f(x0)g(x0),f(x0)\g(x0)(g(x0)≠0).Но эти величины равны

соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно определению

ф-ии f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)\g(x) непрерывны в точке х0

24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода

Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-ии.

Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го ,

и 2-го рода.

а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой

f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-

рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы

она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для

нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим

исправл. f.

б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между

собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или

бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

25.Th об устойчивости знака непрерывной ф-ии

26.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при смене

знаков)

Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение

разных знаков f(a) f(b), то $ т-ка сÎ(a,b),в которой ф-ия обращается

в0.

Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом

деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.

Пусть f(d)¹0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков.

Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2

и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d

или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть

вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о

вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0.

Действительно если допустить, что f(c)¹0 то по св-ву сохр. знаков в

некоторой d окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между

тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f

имеет разный знак на концах этих отрезков.

27.2 Th Больцано-Коши(Th о прохождении непрерывной ф-ии через любое

промежуточное значение)

28.1 Th Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)

Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x)

огран. на этом отрезке, т.е. $ с>0:½f(x)½£c

"xÎ(a,b).

Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от

противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b]

f(x) неогр.

Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру

деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d

(d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны

f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр.

на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно

огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все

отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на

др. пр-ки

29. 2 Th Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих

точных граней)

Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке,

т.е. $ т-ка max X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x)

"xÎ[a,b].

Док-во.Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд.

т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при

хÎ[a,b])=M(<¥). InfE(f)= inff(x)=m(m>-¥). Для опр. докажем

[a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. $ х*:f(x)=M. Допустим противное,

такой т-ки не $ и сл-но f(x)<M "xÎ[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию

g(x)=1/(M-f(x) при хÎ[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и

то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. $ c>0

!0<g(x)£c g³0, на [a,b] – 1/(M-f(x))£c => 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c "xÎ[a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой

части стоит “C”

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на

др. пр-ки

30.Th о непрерывности сложной ф-ии

31.Th о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры)

Пусть ф-ия y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором

промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У обратная

ф-ии x=φ(y) одназначна, строго монотонна и непрерывна.

32.Понятие производной

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть

▲x – приращение

аргумента в точке x0, а ▲y=f(x0+▲x)-f(x0)– соответствующее

приращение функции. Составим

отношение ▲y/(поделить)▲x этих приращений и рассмотрим его предел

при▲x->0. Если указанный

предел существует, то он называется производной функции f в точке x0 и

обозначается ,

или , то есть

Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция,

имеющая

производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет

производную в

каждой точке интервала (a,b), то она называется дифференцируемой на этом

интервале.

33.Геометрический смысл производной

Шпора: Шпора по матану

а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x),

дифференцируемой в

точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и M(x0+▲x,

y0+▲y) графика прямую l, и пусть

B(угол Бэтта) - угол ее наклона к оси х. Тогда

(1)▲y/(деленный)▲x=tg B(бэтта)

Рис. 13.

Если ▲x стремится к нулю, то ▲y также стремится к нулю, и точка M

приближается к точке M0, а

прямая l - к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью x угол

α(альфа). При этом

равенство (1) принимает вид: (2) f ’(x0)=tgα’ откуда следует, что

производная функции в точке

равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

34.Понятие дифференцируемости ф-ии

Df : Ф-ия

дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке

сможет быть представлено в виде:

, А – const.

Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и

достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

(достаточность): Шпора: Шпора по матану

35.Непрерывность и диф.

36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью dy

Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но

▲х, часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала

ф-ии используют символ dy.

Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии

можно представить в виде

Из равенства нулю предела следует, что

- б.м. более высшего порядка малости, чем

, и

Поскольку - б.м. одного порядка малости.

- б.м. одного порядка малости - б.м. эквивылентные, т.е.

Пусть

**************

Zm1: и х – независимые переменные, т.е.

Zm1: для независимых переменных.

37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн

1) ;

2) , где - постоянная;

3) ;

4) ;

5) если , а , то производная сложной функции находится по формуле

где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.

38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^n,nЄN,cos,sin,tg ,ctg,

loga(основание)Х(а>0,a≠1,x>0)

39.Th о произв сложной ф-ии

Пусть:

1. - дифф. в точке y0 .

2. - дифф. в точке х0 .

тогда сложная ф-ия - дифф. в точке х0 и справедлива формула:

Доказательство:

1. - дифф. в точке y0

2. - дифф. в точке х0

3. - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке.

40.Производная ф-ий x^α, αЄR(прием логарифм. Диф)

41.Th о производной обратной ф-ии

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в

точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0

=f(x0)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в

(а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно

отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и

f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и

g’(y0)=1/f’(x0)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN

®y0, yN¹y0 => $ посл-ть xN:

xN=g(yN), f(xN)=yN

g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-x

O/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO

)/xN-xO ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN

®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO

®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a≠1)

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что

Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к.

Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит

Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)

1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x2

4) x®Arcctg’x= -1/1+x2

5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x является обратной для ф-ии

x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения loga(a-

OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в степени х)lna

43.Производная высших порядков

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO

, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO

или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется

второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и

обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и

так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) -

производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0

(xO)=f(xO).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы

существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO

(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f

N-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные

порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную

функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует

производная у’(t)=у’(х)*х’(t).

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную

функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует

производная у’(t)=у’(х)*х’(t)

+нужно док-во

44.Диференциалы высших порядков

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е.

d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного

порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется

дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается

dny)По определению dny= d(dn-1

y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dn

y=f(n)(х)dxn, в предположении,

что n-ая производная f(n)(х) сущ-ет.

+нужно док-во

45.Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и

убыван ф-ии в точке

46.Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x0 локальный

максимум, если сущ-ет окрестность (х0-d, х0+d),

для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)£f(х0

). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно

равенство f(х)³f(х0).

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х0 локальный

экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х0

) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0. Пусть

(х0-d, х0+d) - та окрестность, для точек которой

выполняется неравенство

Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х0)А это

означает, что правая производная fпр'(х0) и левая

производная fл'(х0) равны между собой: f

пр'(х0)= fл'(х0)= f'(х0).

Таким образом, с одной стороны, f'(х0)≤0, с другой

стороны, f'(х0)≥0, что возможно лишь, когда f'(х

0)=0.

47.Th Роля

Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) $ т-

ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.

Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на

[a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x Î (a,b), любую т-ку можно взять в

кач-ве с. Пусть f¹ const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по

т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min.

Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max

или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном

случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.

48.Th Логранжа (формула конечн.приращен)

Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда " т.

х и x+Dx Î [a,b] $ т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива

ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с

диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться

в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее

значение (a,b) не запрещены.

Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла

(7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.

(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)

Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию

g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)

Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) g(a)=g(b)=0

Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-

(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

49.Th Коши(обобщенная формула конечн.приращен)

Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке

[a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке

g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î

(a,b), что выполняется равенство (1)

Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0

,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что

производная g'(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка

(a,b), что противоречит условию g'(х)≠0. Образуем вспомогательную

функцию:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в

(a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих

промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0.

Следовательно, существует точка c Î (a,b), , такая, что F'(c)=0.

Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы

приходим к формуле (1)

50.Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии)

51.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры)

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)=

lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $

конечный или бесконечный.

Раскрытие ¥/¥. Второе правило.

Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)=

lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда

x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.

Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0.

Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических

преобразований. А неопр. 0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества

f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

52.Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума)

53.Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке.

Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за

исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной

окрестности f’(x)>0 слева от точки с и f’(x)<0 справа от точки с,то

функция f(x) имеет в точке с локальный максимум.Если f’(x)<0 слева от точки

с и f’(x)>0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный минимум.

Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в

точке с нет.

(док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное

условие локального экстремума)

54.Два достаточных условия экстремума.

55.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)

Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в

любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.

y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не

превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие

выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)³f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) "

x,x0Î(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып.

ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и

вогнутой.

56.Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки)

Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми

перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при

переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.

Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-

ки графика по разные стороны.

57.Достаточное усл. Точек перегиба

58.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.

В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается,

что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно

стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами.

.Вертикальные асимптоты – прямая

называется вертикальной асимптотой графика ф-ии

в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен

бесконечности.

Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота

появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен

нулю.

********************

Наклонная асимптота – прямая

наклонная асимптота ф-ии

, если эта ф-ия представлена в виде

Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:

Для существования наклонной асимптоты

к графику ф-ии

необходимо и достаточно существование конечных пределов:

Доказательство: Пусть:

Пусть:

Следовательно существует асимптота.

Шпора: Шпора по матану