Гуманитарная роль математики в процессе подготовки учителя

Ученик французской начальной школы на вопрос, “сколько будет 2+3”, ответил: “3+2, так как сложение коммутативно”. Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают.

В.И.Арнольд

О преподавании математики

Изменения в структуре высшего педагогического образования России, появление средних школ разного профиля: лицеев, гимназий, колледжей и т.п., демократизация общественной жизни имеют в своей основе коренной поворот к гуманистическим позициям функционирования современного образования. Способность и готовность учителя XXI века дать личности возможность получения образования необходимого уровня и глубины на любом отрезке ее жизнедеятельности становится теперь одной из основных тенденций развития современного образования. Современный этап развития среднего образования выдвигает повышенные требования к профессиональной (особенно предметной) подготовке учителя, вооруженного новейшими методиками и технологиями обучения, творчески мыслящего созидателя учебного процесса.

Одной из ведущих задач педагогического процесса подготовки учителя математики средней (полной) школы является преобразование личности студента в учителя-профессионала, способного решать все многообразие задач, связанных с обучением и воспитанием школьников. Улучшение профессиональной подготовки учителя математики требует не только новых, более эффективных путей организации учебно-воспитательного процесса в педвузе, но и пересмотра структуры и содержания математической подготовки студентов, поднятия ее на технологический уровень преподавания и учения.

В немалой степени эта тенденция коснулась преемственности содержания математического образования в среднем и высшем звене, равно как и авторского подхода к развитию теорий, концепций и методов обучения математике. Индивидуализация обучения, дифференцированный подход, использование новейших исследований в психологии, физиологии человека, педагогике для совершенствования процесса обучения, поиск оптимальных условий для усвоения сложного математического содержания требуют от учителя математики не только высокой компетентности в предметной области, но и достаточной подготовленности к самообразованию, к проявлению творческой активности на основе профессиональной идентичности личности учителя и требований профессии.

В современных условиях интенсивного применения математических методов в естествознании, технике и смежных науках, которые непременно находят свое отражение в изменяющихся программах школьного и вузовского математического образования, важной является также проблема более активного включения психофизиологических механизмов целостного восприятия информации личностью обучаемого, развития его математических способностей, мышления и культуры.

Потребности общества в математическом образовании граждан сильно изменились за последние десятилетия. Теория игр и искусственный интеллект, стохастика и теория информации становятся все более доступными для изучения массового исследователя ввиду логики развития самих наук, которые становятся все более значимыми в практическом приложении, но фактически еще не представленными в математическом образовании школьника.

С другой стороны, именно эти новые знания дают мощный мотивационный заряд изучения математических дисциплин и, как следствие, повышение интереса к профессии учителя математики, поскольку математическое образование наиболее приспособлено к развитию качеств мышления, развитию теоретического мышления (сравнение, эвристика, аналогия, интуиция, анализ, синтез и т.п.). Математическое мышление отличают доминирование логической схемы рассуждений, лаконизм, четкая распределенность хода рассуждений, умение выделить главное, способность к обобщению, анализу, синтезу. Не случайно известный математик и педагог А.Я. Хинчин считал, что высокий уровень математического мышления является необходимым элементом общей культуры человека [3].

Математика, являясь дисциплиной естественно-научного цикла, представляет своим предметом методологию и язык других дисциплин, связи между идеализированными объектами, далеко не однозначно отражающими реальную действительность. В этом смысле место математики – особое даже среди дисциплин естественно-научного цикла.

Математика не только способствует появлению нового знания о природе, обществе и человеке, но и находит в родственных науках реальные стимулы для своего развития. Так, развитие теории локально выпуклых пространств в функциональном анализе стимулировалось физическими проблемами квантовой электродинамики и задачами нахождения обобщенных решений уравнений математической физики, теория неограниченных операторов в банаховом пространстве – проблемами квантовой механики, тензорный анализ – проблемами механики упругих сред, теория функций многих комплексных переменных – проблемами квантовой теории поля и т.п.

С другой стороны, в самой математике в последние десятилетия возникли разделы, имеющие относительно самостоятельный предмет и специфические методы исследования: искусственный интеллект и теории массового обслуживания, теория случайных процессов и функциональный анализ, теория игр и математическое программирование, алгебраическая геометрия и теоретико-множественная топология и другие.

Поэтому последствия все более усиливающейся тенденции к фундаментализации математического знания связаны именно с интенсивным применением математических методов в других науках (в том числе гуманитарных), часть из которых непосредственно влияет на жизнедеятельность и социализацию личности в современном мире.

Математический аппарат предназначен, в том числе, и для описания целостных систем, функционирующих в реальном мире; он описывает их структуру и динамику, статику и интегральные характеристики. Глубокие взаимосвязи, выражающиеся в математической модели целого, описываются функциональным анализом и теорией автоматов, алгеброй и теорией случайных процессов, статистическими и вероятностными методами. В то же время математические понятия, теоремы, алгоритмы, доказательства и т.п., будучи математическими объектами педагогического процесса обучения математике, должны приобретать свойства и характеристики целостности как основы сохранения, обработки и переноса информации новому поколению.

В последние десятилетия математика как педагогическая задача испытывает беспрецедентное давление со стороны общественности как по поводу содержания обучения, так и относительно методов ее преподавания. Дело в том, что глубина ее формализации даже в естественных приложениях и следование внутренним закономерностям строения здания математики входят в противоречие как с онтогенезом развития и социализации отдельного индивидуума, так и с потребностями общества по обеспечению своей жизнедеятельности. Поэтому обучение математике и содержание математического образования как в средней, так и в высшей школе должны пересматриваться в направлении большей визуализации, наглядного моделирования и раскрытия социального статуса математики.

Важным обстоятельством при этом является то, что основным средством, способствующим появлению новообразований, является моделирование как высшая форма знаково-символической деятельности, ведущая к появлению нового знания о природе и технологических процессах в производстве, о законах общественного развития и закономерностях мышления, восприятии и памяти человека.

В последние годы усиливается также роль математики как средства гуманизации и социализации образования личности в современном обществе, как необходимого атрибута образовательной парадигмы личности XXI века.

Более того, математика как образовательный предмет все больше рассматривается как гуманитарная (общекультурная), а не естественно-научная дисциплина. Продуктивность мышления и восприятия, развитие предметной речи, логическая полноценность аргументации, развитие умственных способностей могут быть реальным результатом математического образования при условии его разумной организации.

Таким образом, социально-культурная роль математики представляется в следующем виде (рис. 1).

Гуманитарная роль математики в процессе подготовки учителя

Рис. 1. Личность и математика

В последние десятилетия весь мир с упоением окунулся в море информационных технологий в образовании: мультимедиа, дистанционное обучение, телекоммуникации, графические калькуляторы и т.п. На представительном международном форуме по проблемам математического образования в Греции (Самос, 1998) большинство докладов, сообщений и “круглых столов” в той или иной мере трактовали вопросы внедрения информационных технологий в учебный процесс. Сотни университетов в мире (например, American Distance Education Consortium, в состав которого входят 55 университетов) ведут информационный обмен образовательными программами через Internet, осуществляя подготовку специалистов на основе дистанционного обучения (remote education): по последним данным таких студентов уже сотни тысяч. Но в данной связи необходимо четко расставить акценты относительно возможности профессиональной подготовки учителя: информационные технологии как средство обучения – да, информационные технологии как структурообразующий фактор педагогической системы – да, дистанционное обучение как парадигма в подготовке учителя, альтернативная личности преподавателя, – нет (по крайней мере, на данном этапе развития средств коммуникации и информационного обмена).

В обоснование последнего положения приведем, например, следующие аргументы:

“неуправляемое становление приемов мыслительной деятельности”. Именно этот фактор привел к неудовлетворительным результатам реализации идей программированного обучения (Э. Торндайк, Б. Скиннер, Н. Краудер и др.) в 60–70-х годах XX века. В основе неудач лежал необоснованный перенос принципов научения животных на процесс обучения человека со своими специфическими особенностями. Н.Ф. Талызина видит причины неудач скиннеровского подхода в выборе неадекватной психологической теории, обосновывая использование деятельностной теории учения с получением качественно новых результатов, доказывающих возможность управления становлением рациональных приемов мышления у человека. Однако в данном случае речь уже пойдет о принципах программирования процесса обучения с реальным взаимодействием учителя и ученика [4];

“отсутствие реального (а не интерактивного) взаимодействия учителя с учениками, между учениками”, несущее в себе возможности активизации направленных и взаимообуславливающих полифункциональных факторов адекватного восприятия новой информации: перцептивных, мнемических, эмоциональных, волевых и т.п.;

“нарушение целостности интериоризации” визуально-логического ряда перцептивных образов новой информации ввиду искусственного ограничения поля восприятия и динамики обращения с репертуаром кратковременной и долговременной памяти.

Все вышесказанное относится к вопросу эффективности дистанционной и очной форм обучения и притом в области профессионально-предметного блока подготовки учителя математики; естественно, что увеличение временных периодов для дистанционных форм обучения, равно как и создание специфических дидактических методов и усовершенствование средств коммуникации способны компенсировать отмеченные недостатки.

В то же время, рассматривая математику как педагогическую задачу, приходится сталкиваться с проблемами адекватного представления, различения, становления, устойчивости восприятия и воспроизведения математического знания и выявления специфических особенностей феномена математического мышления во всех трех ипостасях математики (рис. 1), тем более, что в последние десятилетия возникла принципиально новая ситуация, благоприятствующая реальным шагам возрастания интереса к математике, в том числе как педагогической задаче и эффективному средству развития интеллекта школьников и студентов. Этому способствовали, на наш взгляд, следующие факторы:

глубокая озабоченность учеников, родителей, педагогов содержанием математического образования и его влиянием на развитие личности;

демократизация и гуманизация образовательных процессов в школе и вузе, выдвижение на первый план проблем личностного развития школьников, особенно в период формирования онтогенетических новообразований в мышлении;

расширение информационных средств обеспечения учебного процесса: дисплейные классы, Internet, сервисные программные продукты, мультимедиа, дистанционное обучение и т.д.;

интенсивное развитие методологических основ обеспечения педагогических процессов: психология и физиология человека, искусственный интеллект, инженерная психология и психология индивидуальной и совместной деятельности, теория управления и теория образовательных систем и т.д.

Как рассказать школьнику, что большая теорема Ферма (над которой триста лет бились лучшие умы человечества) доказана А.Вайлсом в 1995 году, а трисекция угла и квадратура круга невозможны с помощью циркуля и линейки? Как наиболее эффективно развить мыслительные операции ученика (логику, анализ, синтез, обобщение, конкретизации, аналогии и т.п.) в процессе обучения математике, которая объективно должна являться самым мощным развивающим средством (и что не наблюдается в настоящее время)? Как должна быть отражена в обучении математике ее роль в жизнедеятельности общества и в развитии других наук, в том числе в обосновании космических полетов и безопасности воздушных перевозок? Как показать, что физика – мощный поддерживающий компонент жизнедеятельности и мировоззрения, который без знания и использования математики есть просто наблюдение и эксперимент, а психология без использования статистических методов обработки и анализа экспериментальных данных и моделирования психических процессов есть тенденция к внешней феноменологии и эмпиризму без вскрытия внутренних, сущностных механизмов психических процессов?

Все эти вопросы – только часть необходимого и далеко не разрешенного состояния отдельных проблем школьной математики как в российских, так и в зарубежных образовательных системах.

Анализ образовательных систем школьной математики позволяет выделить в качестве ведущих следующие противоречия:

между целостностью математики как системы научных знаний и ее представлением в школьных учебных планах и программах отдельными дисциплинами: алгеброй, геометрией, началами анализа, стохастикой и другими;

между значимостью и ролью математики в жизни общества, развитии науки и техники и отражением этой функции математики в процессе формирования мотивационной и эмоционально-волевой сферы учения;

между сущностью формируемых в процессе обучения математике знаний, умений, навыков, математических методов и процедур и их реальным формализованным проявлением в педагогическом процессе;

между объективным и интенсивным развитием психических процессов в переходном возрасте (1216 лет) и методами (средствами, технологиями) внешнего воздействия на личность ученика в образовательном пространстве.

Разнообразие педагогических систем и теорий обучения математике создает широкую палитру мирового опыта, ставящего сложные насущные проблемы осмысления и универсализации передовых методических идей и концепций. Взаимопроникновение методологий и эффективный мониторинг образовательных систем в настоящее время еще не соответствуют потребностям в адекватном отражении существа и целостности математических знаний.

Однако некоторые выводы о состоянии математических достижений школьников в разных странах мира можно сделать. Например, в школах Шотландии весь цикл учебных предметов разбивается на 2000 модулей трех типов: общих, специальных, интегративных. Тем не менее исследования, проведенные авторами в рамках Кассель-проекта под руководством профессора Д. Берджеса (Англия) по проблеме математических достижений школьников в различных странах мира (в том числе и в России), дали следующие результаты на репрезентативных выборках и идентичных тестах с интервалом в 1 год (одни и те же школьники):

Таблица 1

Средний прирост показателей по трем тестам: число, алгебра, геометрия

(из расчета 50 баллов за каждый тест)

Страна