Законы логики и их истолкование

Тема работы «Законы логики и их истолкование» на сегодняшний день актуальна. Ведь всякий логический закон есть универсальная взаимосвязь между абстрактными объектами, выраженная средствами некоторого естественного или формального языка. Иначе говоря, логический закон – это не любая универсальная взаимосвязь, а такая, понимание которой закреплено с помощью символов того или иного языка.

Помимо законов материалистической диалектики, человеческое мышление подчиняется еще законам логики, с помощью которых выражаются наиболее простые и необходимые связи между мыслями. Законы логики используются при оперировании понятиями и суждениями, применяются в умозаключениях, доказательствах и опровержениях.

Нарушение законов логики приводит к логической ошибке: как непреднамеренной – паралогизму, так и сознательной – софизму.

К числу наиболее важных логических законов относятся, прежде всего, закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания и др. средствами естественного языка эти четыре основополагающих логических закона и будут подробно рассмотрены в данной работе.

Логические законы отражают в сознании человека определенные отношения, существующие между объектами, или отражают такие обычные свойства предметов, как их относительная устойчивость, определенность, несовместимость в одном и том же предмете одновременного наличия и отсутствия одних и тех же признаков. Основные логические законы сложились исторически в результате многовековой практике познания. Кроме этих четырех основных законов существуют много второстепенных законов логики, которые надо выполнять при оперировании понятиями, или суждениями, или умозаключениями. Законы логики, как основные, так и второстепенные, в мышлении функционируют в качестве принципов правильного рассуждения в ходе доказательства истинных суждений и теорий и опровержения ложных суждений и ложных гипотез.

Цель работы – полностью истолковать основные законы логики, а также кратко охарактеризовать некоторые второстепенные законы, тем самым раскрыть тему контрольной работы.

Литературные источники, послужившие созданию данной контрольной работы, приведены в разделе «Литература».

Законы логики и их истолкование

1. Основные законы логики

1.1 Закон тождества

Внешне самым простым из логических законов является закон тождества. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически:

А → А,

если А, то А. Например: «если дом высокий, то он высокий», «Если трава черная, то она черная» и т.п.

В приложениях закона тождества к конкретному материалу с особой наглядностью обнаруживается отмечавшаяся ранее общая черта всех логических законов. Они представляют собой тавтологии, как бы повторения одного и того же и не несут содержательной, «предметной» информации. Это общие схемы, отличительная особенность которых в том, что, подставляя в них любые конкретные высказывания, обязательно получим истинное выражение.

«Применительно к абстрактным объектам принцип тождества принимается в качестве интуитивно очевидного постулата, лежащего в основе логики и рационального мышления в целом.

Применительно к эмпирическим объектам принцип тождества не столь очевиден и нуждается в некоторых дополнительных пояснениях. Вполне ясно суть этого принципа применительно к эмпирическим объектам выразил, в частности, Г.В. Лейбниц: «Не бывает никаких двух неразличимых друг от друга отдельных вещей»; «в силу незаметных различий две индивидуальные вещи не могут быть совершенно тождественными». Хотя любые эмпирические объекты, строго говоря, отличны друг от друга, в реальной практике мышления человек постоянно отождествляет нетождественные друг другу объекты. Например, в книжном магазине человек обычно отождествляет различные экземпляры одной и той же книги (ему важно купить конкретную книгу, а не конкретный экземпляр книги); наблюдая Солнце, человек считает его одним и тем же эмпирическим объектом (не учитывая, что пространственно-временные и многие другие характеристики Солнца непрерывно меняются и, следовательно, он имеет дело не с одним и тем же объектом, а со своеобразным «потоком» очень сходным друг с другом и в то же время отличных друг от друга эмпирических объектов) и т.д.

Ввиду этого принципиального обстоятельства принцип тождества применительно к эмпирическим объектам удобно использовать в следующей формулировке, впервые предложенной Г.В. Лейбницем:

Эмпирические объекты тождественны друг другу, если и только если они обладают одними и теми же свойствами». [4]

Этот принцип позволяет правильно понять, в каком смысле можно говорить о практическом тождестве различных эмпирических объектов. В процессе познания эмпирические объекты отождествляются не по всем, а лишь по некоторым своим свойствам, представляющим интерес для исследователя, в то время как другие свойства данных объектов не принимаются во внимание.

Закон тождества неверно истолковывается как один из законов бытия, говорящий о его относительной устойчивости и определенности. Понятый так, он превращается в утверждение, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Такое понимание этого закона, конечно, ошибочно. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается той же, то она такой же и остается.

1.2 Закон противоречия

Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т.е. о высказываниях, одного из которых является отрицанием другого. Например, высказывания «Луна – спутник Земли» и «Луна не является спутником Земли», «Трава – зеленая» и «Неверно, что трава зеленая» и т.п. В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом – это же самое отрицается.

Если обозначить буквой А произвольное высказывание, то выражение не –А (неверно, что А) будет отрицанием этого высказывания.

Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут вместе быть истинными.

Закон противоречия выражается формулой:

~ (А & ~A),

неверно, что А и не –А.

Закон противоречия говорит о противоречивых высказываниях – отсюда его название. Но он отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости – отсюда другое распространенное имя – закон непротиворечия.

Если применить понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказывание не является вместе истинным и ложным.

В этой версии закон звучит особенно убедительно. Истина и ложь – это две несовместимые характеристики высказывания. Истинное высказывание соответствует действительности, ложное не соответствует ей. Тот, кто отрицает закон противоречия, должен признать, что одно и то же высказывание может соответствовать реальному положению вещей и одновременно не соответствовать ему. Трудно понять, что означают в таком случае сами понятия истины и лжи.

Иногда закон противоречия формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным.

«Закон противоречия был открыт Аристотелем, сформулировавшим его так: «…невозможно, чтобы противоречащие утверждения были вместе истинными…». Аристотель считал данный закон наиболее важным принципом не только мышления, но и самого бытия: «Невозможно, чтобы одно и то же вместе было и не было присуще одному и тому же и в одном и том же смысле». Несколько раньше формулировка закона как принципа самого реального мира встречается у Платона: «Невозможно быть и не быть одним и тем же»». [3]

Аристотелю восходит традиция давать закону противоречия, как и ряду других логических законов, три разные интерпретации. В одном случае он истолковывается как принцип логики, говорящий о высказываниях и их истинности: из двух противоречащих высказываний одно должно быть ложным. В другом случае этот же закон понимается как утверждение о структуре самого реального мира: не может быть так, чтобы что-то одновременно существовало и не существовало, имело какой-то признак и не имело его. В третьем случае этот закон звучит уже как истина психологии, касающаяся своеобразия нашего мышления: не удается размышлять о какой-либо вещи, таким образом, чтобы она оказывалась такой и вместе с тем не такой.

Большинство неверных толкований закона противоречия и большая часть попыток оспорить его приложимость – если не во всех, то хотя бы в отдельных областях – связаны с неправильным пониманием логического отрицания, а значит, и противоречия.

Высказывание и его отрицание должны говорить об одном и том же предмете, рассматриваемом в одном и том же отношении. Эти два высказывания должны совпадать во всем, кроме единственной черты: то, что утверждается в одном, отрицается в другом. Если это забывается, противоречия нет, поскольку нет утверждения и отрицания.

«В одном из рассказов М. Твена о возбужденных людях говорится, что каждый из них размахивал руками энергичнее, чем его сосед. Понятно, что это невозможно, поскольку внутренне противоречиво.

Противоречиво и сообщение, будто в глухом австралийском селении живут два близнеца, один из которых на 12 лет старше другого, как и сообщение, что родился один близнец нормального роста и веса.

В начале ХХ века, когда автомобилей стало довольно много, в одном из английских графств было издано распоряжение, согласно которому если два автомобиля подъезжают одновременно к пересечению дорог под прямым углом, то каждый из них должен ждать, пока не проедет другой. Это распоряжение внутренне противоречиво, и поэтому невыполнимо». [3]

Противоречие недопустимо в строгом рассуждении, когда оно смешивает истину с ложью, правда имеет много разных задач в обычном языке.

Оно может выступать в качестве основы сюжета какого-то рассказа, быть средством достижения особой художественной выразительности и т.д.

Реальное мышление – и тем более художественное мышление – не сводится к одной логичности. В нем важно все: и ясность, и неясность, и доказательность и зыбкость, и точное определение и чувственный образ. В нем может оказаться нужным и противоречие, если оно стоит на своем месте.

««…Все мы полны противоречий. Каждый из нас – просто случайная мешанина несовместимых качеств. Учебник логики скажет вам, что абсурдно утверждать, будто желтый цвет имеет цилиндрическую форму, а благодарность тяжелее воздуха; но в той смеси абсурдов, которая составляет человеческое «я», желтый цвет вполне может оказаться лошадью с тележкой, а благодарность – серединой будущей недели». Этот отрывок из романа С. Моэма «Луна и грош» выразительно подчеркивает сложность, а нередко и прямую противоречивость душевной жизни человека». [3]

Логические противоречия недопустимы в науке, но установить, что конкретная теория не содержит их, непросто: то, что в процессе развития и развертывания теории не выведено никаких противоречий, еще не означает, что их в самом деле нет. Научная теория - очень сложная система утверждений. Далеко не всегда противоречие удается обнаружить относительно быстро путем последовательного выведения следствий из ее положений.

1.3 Закон исключенного третьего

Формулировка закона исключенного третьего такова: «Из двух противоположных суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано». [1]

Символически:

Аv ~ A,

А или не – А. например: «Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее» и т.п. само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

Как выразил эту мысль Аристотель: «…Не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать». [3]

Закон исключенного третьего с иронией обыгрывается в художественной литературе:

«Жила одна старушка,

Вязала кружева,

И, если не скончалась –

Она еще жива»

Закон исключенного третьего кажется самоочевидным, тем не менее, высказывались предложения отказаться от него или ограничить его действие применительно к определенным высказываниям.

Аристотель сомневался в приложимости закона к высказываниям о будущих событиях. В настоящий момент наступление некоторых из них еще не предопределено.

Немецкий философ Гегель весьма иронично отзывался как о законе противоречия, так и о законе исключенного третьего. Последний он представлял так: дух является зеленым или не является зеленым и задавал каверзный, как ему казалось, вопрос: какое из этих двух выражений истинно?

Ни одно из этих утверждений не является истинным, поскольку оба они бессмысленны. Закон исключенного третьего приложим только к осмысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно.

Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг закон исключенного третьего голландский математик Л. Брауэр. В начале ХХ века он опубликовал три статьи, в которых выразил сомнение в неограниченной приложимости законов логики и, прежде всего – закона исключенного третьего. Он считал, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются и настаивал на том, что кроме утверждения и отрицания имеется еще и третья возможность, которую нельзя исключить. Она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.

Предположим, что утверждается существование объекта с определенным свойством. Если множество, в которое входит этот объект, конечно, то можно перебрать все его элементы. Это позволит выяснить, какое из следующих двух утверждений истинно. Закон исключенного третьего здесь справедлив.

Но когда множество бесконечно, объекты его невозможно перебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством, первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект не удастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать, поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь не действует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ни отрицание этого утверждения не является истинным.

«Изъять из математики принцип исключенного третьего, - заявлял немецкий математик Д. Гильберт, - все равно, что запретить боксеру пользоваться кулаками». [3]

Критика Брауэром закона исключенного третьего привела к созданию нового направления в логике – так называемой интуиционистской логики. В последней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них – доказательства путем приведения к противоречию, или абсурду.

1.4 Закон достаточного основания

Впервые был сформулирован Лейбницем: «Ничто не происходит без причины, и должна быть причина, почему существует это, а не другое»; «ничего не делается без достаточного основания, т.е. не происходит ничего такого, для чего нельзя было бы при полном познании вещей указать основания, достаточного для определения, почему это происходит так, а не иначе»; ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе, хотя эти основания в большинстве случаев вовсе не могут быть нам известны». [4]

Лейбниц пришел к выводу, что существующий мир находится в предустановленной Богом гармонии, является логически непротиворечивым и наилучшим из возможных миров. При этом он подчеркивает, что сам Бог есть нечто такое, пониманию чего способствует принцип достаточного основания.

Метафизические следствия, вытекающие из принципа достаточного основания, еще не в полной мере изучены и являются предметом логико-философских дискуссий. В современной логике закон достаточного основания формулируется следующим образом: «Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованной». Это значит, что любое положение, прежде чем стать научной истиной, должно быть подтверждено аргументами, достаточными для признания его твердо и неопровержимо доказанным. [1]

2. Второстепенные законы логики

2.1 Закон двойного отрицания

Закон двойного отрицания можно сформулировать так: отрицание отрицания дает утверждение, или: повторенное дважды отрицание дает утверждение. Например: «Если неверно, что Вселенная не является бесконечной, то она бесконечна». [3]

Закон двойного отрицания был известен еще в античности. В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали его следующим образом: если из отрицания какого-либо высказывания следует противоречие, то имеет место двойное отрицание исходного высказывания, то есть оно само.

В символической форме закон записывается так:

~ ~ A → A,

если неверно, что не – А, то верно А.

Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечет свое двойное отрицание. Например: «Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты».

Символически:

A → ~ ~ A,

если А, то неверно что не – А.

Объединение этих законов дает так называемый полный закон двойного отрицания:

~ ~ A ↔ A,

неверно, что не – А, если и только если верно А.

2.2 Законы контрапозиции

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания «если есть первое, то есть и второе» вытекает «если нет второго, то нет и первого», и наоборот.

Символически:

(А → В) → (~ B → ~ A),

если дело обстоит так, что если А, то В, то если не – В, то не – А;

( ~ B → ~ A) → (A → B),

если дело обстоит так, что если не – В, то не – А, то если А, то В.

Например: «Если есть следствие, то есть и причина» следует высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второго высказывания вытекает первое.

К законам контрапозиции обычно относят также законы:

(A → ~ B) → (B → ~ A),

если дело обстоит так, что если А, то не – В, если В, то не - А. Например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

( ~ A → B) → (~ B → A),

если верно, что если не – А, то В, то если не – В, то А. Например: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

Контрапозиция подобна рокировке в шахматной игре. И подобно тому, как редкая партия проходит без рокировки, так и редко наше рассуждение обходится без контрапозиции.

2.3 Модус поненс

Слово «модус» в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. «Модус поненс» - термин средневековой логики, обозначающий определенное правило вывода и соответствующий ему логический закон.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого высказывания:

Если А, то В; А

_______________

Здесь «если А, то В» и «А» - посылки, «В» - заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если А, то В. А. Следовательно, В.

Благодаря этому правилу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». Например:

Если у человека грипп, он болен.

У человека грипп.

______________________________

Человек болен.

Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые оно было сформулировано учеником Аристотеля Теофрастом еще в III веке до н.э.

Соответствующий правилу отделения логический закон формулируется так:

(A → B) & A → B,

если верно, что если А, то В, и А, то верно В. Например: «Если при дожде трава растет быстрее и идет дождь, то трава растет быстрее».

Рассуждение по правилу модус поненс идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логическое корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.

Например, правильным является умозаключение:

Если висмут – металл, то он проводит электрический ток.

Висмут – металл.

__________________________________________________

Висмут проводит электрический ток.

Но внешнее сходное с ним умозаключение:

Если висмут – металл, он проводит электрический ток.

Висмут проводит электрический ток.

___________________________________________________

Висмут металл.

Это умозаключение логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно от истинных посылок прийти к ложному заключению. Например:

Если человек собирает марки, он коллекционер.

Человек - коллекционер.

___________________________________________________

Человек собирает марки.

Далеко не все коллекционеры собирают именно марки; из того, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки. Истинность посылок не гарантирует истинности заключения.

Против смещения правила модус поненс с указанной неправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.

2.4 Модус толленс

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждений:

Если А, то В; неверно В.

________________________

Неверно А.

Другая запись:

Если А, то В. Не – В. Следовательно не – А.

Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:

Если гелий – металл, он электропроводен.

Гелий неэлектропроводен.

_____________________________________

Гелий - не металл.

2.5 Модус понендо толленс

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждений:

Либо А, либо В; А Либо А, либо В; В

____________________________________

Неверно В Неверно А

Другая запись:

Либо А, либо В. А. Следовательно, не – В.

Либо А, либо В. В. Следовательно, не – А.

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.

Он родился в Москве.

__________________________________________________

Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.

Дизъюнкция, входящая в данную схему, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению:

На Южном полюсе первым был Амундсен или был Скотт.

На Южном полюсе первым был Амундсен.

__________________________________________________

Неверно, что там был Скотт.

Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:

На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.

На этом полюсе первым был Амундсен.

_______________________________________________

Неверно, что там первым был Скотт.

2.6 Модус толлендо поненс

Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит второе. Первая посылка умозаключения – разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой ее член:

А или В; неверно А А или В, неверно В

__________________ Или: __________________

В А

Другая форма записи:

А или В. Не – А. Следовательно, В.

А или В. Не – В. Следовательно, А.

Например:

Множество является конечным или оно бесконечно.

Множество не является конечным.

______________________________________________

Множество бесконечно.

Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом.

С использованием логической символики умозаключение формулируется так:

A v B, ~ A A v B, ~ B

_________ Или: ___________

B А

В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции. Ему соответствует логический закон:

(A v B) & ~ A → B,

если А или В и ~ А, то В.

2.7 Законы де Моргана

Широкое применение находят законы, названные именем американского логика А. де Моргана и позволяющие переходить от утверждений с союзом «и» и к утверждениям с союзом «или», и наоборот:

~ (A & B) → (~ Av ~ B),

если неверно, что есть и первое и второе, то неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе;

( ~ Av ~ B) → ~ (A & B),

если неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе, то неверно, что есть первое и второе. Объединение этих двух законов дает закон (↔ - эквивалентность, «если и только если»):

~ (A & B) ↔ (~ Av ~ B).

Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».

Еще один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:

~ (A v B) ↔ (~A & ~B),

неверно, что есть первое или есть второе, если и только если неверно, что есть первое, и неверно, что есть второе. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии».

На основе законов де Моргана связку «и» можно определить, используя отрицание, через «или», и наоборот:

- «А и В» означает «неверно, что не – А или не – В»,

- «А или В» означает «неверно, что не – А или не – В».

Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».

2.8 Закон приведения к абсурду

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-либо положения путем выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. [3]

Если из высказывания А выводится как высказывание В, так т его отрицание, то верным является отрицание А. например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью».

Закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A → B) & (A → ~B) → ~A,

если (если А, то В) и (если А, то не – В), то не – А.

«Приведение к нелепости, замечает математик Д. Пойа, имеет некоторое сходство с иронией, любимым приемом сатирика: ирония принимает определенную точку зрения, подчеркивает ее и затем настолько ее утрирует, что, в конце концов, приводит к явному абсурду». [3]

Частный закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A → ~А) → ~A,

если (если А, то не – А), то не – А. например, из положения «Всякое правило имеет исключения», которое само является правилом, вытекает высказывание «Есть правила, не имеющие исключений»; значит, последнее высказывание истинно.

2.9 Закон косвенного доказательства

«Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие». [3] Например: «Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы, так то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число».

Символически закон косвенного доказательства записывается так:

(~A → B) & (~A → ~B) → A,

если (если не – А, то В) и (если не – А, то не – В), то А.

Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:

(~A → (B & ~B)) → A,

если (если не – А, то В и не – В), то А. Пример: «Если из того, что 10 не является четным числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 – четное число».

2.10 Закон Клавия

Закон Клавия характеризует связь импликации и отрицания: «Если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным». [3]

Закон назван именем Клавия – ученого-иезуита, жившего в XVI веке, одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Геометрии» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из ее допущения, что она является ложной.

Символически закон Клавия представляется формулой:

(~A → A) → A,

если не – А имплицирует А, то верно А.

Например, необходимо доказать утверждение «У трапеции четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что у трапеции четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно.

Закон Клавия – один из случаев общей схемы косвенного доказательства: «из отрицания утверждения выводится само это утверждение, оно составляет вместе с отрицанием логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение». [3]

2.11 Закон транзитивности

Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: «Когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье». [3] Например: «Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека». Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго – истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.

Символически данный закон представляется формулой:

((A → B) & (B → C)) → (A → C),

если (если А, то В) и (если В, то С), то (если А, то С).

2.12 Законы ассоциативности и коммутативности

«Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью «и», «или» и др.». [3]

Логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция), как операции сложения и умножения чисел в математике, обладают ассоциативностью. Символически соответствующие законы представляются так:

(A v B) v C ↔ A v (B v C),

(A & B) & C ↔ A & (B & C).

В силу законов ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или их дизъюнкцию, можно опускать скобки.

Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные «и», «или», «если и только если» и др.

Символически законы коммуникативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:

(A & B) ↔ (B & A),

А и В тогда и только тогда, когда В и А;

(A v B) ↔ (B v A),

А или В, если и только если В или А.

Например: «Волга – самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»; «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег и завтра будет дождь».

Существуют важные различия между употреблением слов «и» и «или» в повседневном языке и языке логики. Скажем, утверждение «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно высказыванию «Он попал в больницу и сломал ногу».

2.13 Закон Дунса Скотта

Закон, носящий имя средневекового логика и философа, монаха Дунса Скотта, характеризует ложное высказывание. Смысл этого закона можно приблизительно передать так: из ложного утверждения вытекает какое угодно утверждение. Это звучит парадоксально: из того, что дважды два равно пяти, вовсе не вытекает, как кажется, что Луна сделана из зеленого сыра. Не все современные описания логического следования принимают эту его характеристику.

«Известен анекдот об английском философе и логике Б. Расселе, доказавшем своему собеседнику на каком-то вечере, что из того, что два плюс два равно пяти, вытекает, что он, Рассел – римский папа. В доказательстве использовался закон Дунса Скотта.

Отнимем от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим: 1 = 2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел – два разных лица. Но поскольку 1 = 2, папа и Рассел – одно и то же лицо». [3]

Приведенные формулировки законов логики и примеров к этим законам являются довольно неуклюжими словесными конструкциями и звучат непривычно, даже если речь идет о самых простых по своей структуре законах. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках, явно не лучшее средство для данной цели.

Не случайно современная логика строит для выражения своих законов и связанных с ними понятий специальный язык. Этот формализованный язык отличается от обычного языка прежде всего тем, что следует за логической формой и воспроизводит ее даже в ущерб краткости и легкости общения.

Заключение

Как уже отмечалось, логические законы отражают в сознании человека определенные отношения, существующие между объектами, или отражают такие обычные свойства предметов, как их относительная устойчивость, определенность, несовместимость в одном и том же предмете одновременного наличия и отсутствия одних и тех же признаков. Основные логические законы сложились исторически в результате многовековой практике познания.

К числу наиболее важных логических законов относятся, прежде всего, закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания и др. средствами естественного языка эти четыре основополагающих логических закона и были подробно рассмотрены в данной работе.

Кроме этих четырех основных законов существуют много второстепенных законов логики, которые надо выполнять при оперировании понятиями, или суждениями, или умозаключениями. Законы логики, как основные, так и второстепенные, в мышлении функционируют в качестве принципов правильного рассуждения в ходе доказательства истинных суждений и теорий и опровержения ложных суждений и ложных гипотез.

Цель работы, сформулированная во Введении, выполнена, т.к. в работе были подробно разобраны основные и второстепенные законы логики, приведены примеры.

Литература

1. Азимов К. А., Корчагина А. С. Шпаргалки по логике. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 32 с.

2. Гетманова А. Д. Логика. – М.: Новая школа, 1995. – 416 с.

3. Ивин А. А. Логика: Учебник для гуманитарных факультетов. – М.: ФАИР – ПРЕСС, 2002. – 320 с.

4. Переверзев В. Н. Логистика: справочная книга по логике. – М.: Мысль, 1995. – 221 с.

5. Светлов В. А. Практическая логика. Учебное пособие. – СПб. ИД «МиМ», 1997. – 576 с.

Содержание

Введение 3

1. Основные законы логики 4

1.1 Закон тождества 4

1.2 Закон противоречия 5

1.3 Закон исключения третьего 7

1.4 Закон достаточного основания 9

2. Второстепенные законы логики 10

2.1 Закон двойного отрицания 10

2.2 Законы контрапозиции 10

2.3 Модус поненс 11

2.4 Модус толленс 12

2.5 Модус понендо толленс 13

2.6 Модус толлендо поненс 14

2.7 Законы де Моргана 15

2.8 Закон приведения к абсурду 16

2.9 Закон косвенного доказательства 16

2.10 Закон Клавия 17

2.11 Закон транзитивности 17

2.12 Закон ассоциативности и коммутативности 18

2.13 Закон Дунса Скотта 19

Заключение 20

Литература 21