Курсовая: Множина комплексних чисел

Курсовая: Множина комплексних чисел

|0| =0. Среди значений аргумента комплексного чи­сла z

0 существует одно и только одно значение, за­ключенное между —π, +π,

включая последнее значение. Его называют главным значением аргумен­та и

обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют

следующим соотношениям:

|z|0,

-π < argz

π, Argz = argz + 2πn (n = 0,

1, 2, .).

Главное значение аргумента положительного действительного числа равно 0, главное

значение аргумента действительного отрицательного числа равно π, главное

значение аргумента мнимого числа bi (b > 0) равно π/2, главное

значение аргумента мнимого числа –bi (b > 0) равно –π/2.

Выразим действительную и мнимую части комп­лексного числа z = x + iy

через его модуль и аргу­мент. Пусть точка z изображает число z = x + iy

(рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем

x = r cosφ, y = r sinφ,

(19)

где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:

cosφ = , sinφ = , tgφ = .

Например: 1) найдём аргумент числа z = 1 – i. Так как Re z = 1,

Im z = -1, то точка z = 1 – i лежит в IV четверти. Поэтому достаточно

найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV

четверти. Рассмотрим уравнение cosφ =

. Находим

cos φ = , φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, .);

2) найдём аргумент числа -1- i. Точка -1-i лежит в III четверти.

Найдём такое решение уравнения tg φ =

, которое является углом в III четверти. Находим

tg φ = 1, φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, .).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число

z = x + iy. (20)

Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа

(см. форму­лы (19)), получаем z = r cosφ + ir sinφ, или

z = r (cosφ + isinφ) (r0). (21)

Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической

формой этого числа.

Замечание. Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические

функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа

ί в виде

i = cos + isin, или i = (-1)(cos + isin)

не является тригонометрической формой числа i: в первом случае у

косинуса и синуса разные аргу­менты, во втором - имеется отрицательный

множи­тель. Поскольку аргументами комплексного числа i являются числа

π/2 + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...) и только они, и |i| = 1, то

тригонометрическая форма числа i имеет вид

i = cos ( + 2kπ) + isin ( + 2kπ) (k – любое целое число).

Очевидно, что

r (cosφ + isinφ) = r (cos(φ +2kπ) + isin(φ +2kπ)).

Два комплексных числа, заданных в тригоно­метрической форме, равны тогда

и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину,

кратную 2π. Следовательно, если

r1 (cosφ1 + isinφ1) = r2

(cosφ2 + isinφ2),

(22)

то

r1 = r2, φ2 = φ1 +

2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...). (23)

Если комплексное число z = x + iy задано в три­гонометрической форме

(21), то комплексное число

= x – iy записывается в форме

= r (cos(-φ) + isin(-φ)),

поэтому

|z| = ||, argz = -arg,

т. е. при переходе от числа z к комплексно сопряженному числу

модуль не меняется,

а аргу­мент изменяет лишь знак (см. рис. 2).

Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в

тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа

z1 = r (cosφ + isinφ) , z2 = ρ

(cosψ + isinψ), (24)

где r = |z1|, φ = Argz1, ρ = |z2|, ψ = Argz2.

Пользуясь правилами действий над комплексны­ми числами в алгебраической

форме, находим

z1z2 = r (cosφ + isinφ) ρ(cosψ

+ isinψ) = rρ(cosφcosψ + i

cosφsinψ + isinφcosψ + i2

sinφsinψ ) = rρ(cosφcosψ – sinφsinψ) + i

(cosφsinψ + sinφcosψ)),

или

z1z2 = rρ (cos(φ + ψ) + isin(φ

+ ψ) ). (25)

Из полученной тригонометрической формы произ­ведения двух комплексных чисел

следует, что

|z1z2| = rρ или |z1z2| = |z1| |z2|, (φ + ψ) = Arg(z1z2),

т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма

аргументов множителей является аргументом произведения.

Предположив, что z2

0, т. е. ρ0,

найдем частное двух комплексных чисел z1 и z2 , заданных

формулами (24):

или

. (26)

Из формулы (26) следует, что

, или ; (27)

φ – ψ = Arg. (28)

Формула (27) означает, что модуль частного равен модулю делимого, деленному

на модуль де­лителя. Формула (28) показывает, что разность аргументов

делимого и делителя является аргу­ментом частного двух комплексных чисел.

Формула (26) позволяет найти модуль и аргумент комплексного числа, обратного

данному числу. Полагая в этой формуле z1 = l = l (cos0 + i

sin0), z2 = z = r (cosφ + isinφ), получаем

z-1 = = (cos(0-φ) + isin(0-φ)),

z-1 = r-1 (cos(-φ) + isin(-φ)), (29)

откуда |z-1| = r-1, argz-1 = -φ, т. е.

|z-1| = |z|-1, argz-1 = -argz.

Таким образом, модуль комплексного числа z-1, обратного числу z,

равен обратной величине модуля числа z, а его главное значение аргумента

отлича­ется от главного значения аргумента z лишь знаком.

Рассмотрим вопрос о возведении в степень комплексного числа z = r(cos φ +

isin φ), заданного в три­гонометрической форме. Если n — целое

положитель­ное число, то с помощью формулы (25) получаем следующую формулу

zn = (r (cosφ + isinφ))n = rn

(cosnφ + isinnφ), (30)

откуда |zn| = rn, Arg zn = nφ.

Итак, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль

возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (30) справедлива и для целых отрица­тельных показателей. В самом деле,

так как z-n = (z-1)n , то

достаточно применить формулу (30) к числу z-1, тригонометрическая

форма которого определяется формулой (29).

Формулу (30) называют формулой Муавра. В частном случае, при r = 1, из этой

формулы получаем

(cos φ + isin φ)n = cos nφ + isin nφ.

ю;

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Извлечь корень n-й степени из комплек­сного числа z – это значит найти такое

комплексное число α, что αn = z. Представим числа z и

α в три­гонометрической форме: z = r (cosφ + isinφ),

α = ρ (cosψ + isinψ), где r = |z|, φ = Argz;

ρ = |α|, ψ = Αrgα. Обозначим корень n-й степени из

комплексного числа z через

, тогда по определению

.

.

Применяя формулу (30), получаем

.

На основании формул (22) и (23) из этого ра­венства следует, что

ρn = r, nψ = φ + 2kπ (k = 0, ± 1, ± 2, .), откуда

, (k = 0, ± 1, ± 2, .). (31)

Полученные формулы определяют модуль ρ и аргумент числа α – корня

степени n из комплексного числа z. Обратно, если дано комплексное число

, то при любом целом k,положительном или отрицательном, n-я степень

этого числа равна числу z = r(cosφ + isinφ). Итак,

, (32)

где -

арифметическое значение корня из дейст­вительного неотрицательного числа, k –

любое целое число. Так как k может принимать любые значения (положительные и

отрицательные), то может пока­заться, что корень n-й степени из комплексного

числа z имеет бесконечное множество различных значений. На самом деле различных

значений будет только n. Полагая

k = 0, 1, 2, . , n – 1, (33)

получаем следующие n значений корня:

,

,

,

(34)

.............

.

Докажем, что среди значений αi (i = 0, 1, ... , n – 1) нет

равных между собой. Пусть p и q – любые различные числа из чисел k = 0, 1, 2,

... , n – 1, тогда

.

Поскольку не

является целым числом (p < n, q < n), то число

2π не будет кратным 2π. Та­ким образом, комплексные числа

,

не равны между собой, потому что разность их аргументов не будет кратной

2π (см. (22) и (23)).

Предположим, что k – любое натуральное число, большее n – 1. Пусть k = nq + r,

где 0 ≤ r ≤ n – 1, тогда

, т. е. значение аргумента при этом значении k отли­чается от значения аргумента

при k = r на число, кратное 2π. Следовательно, при этом значении k

по­лучаем такое же значение корня, как и при k = r, т. е. при значении k=0, 1,

2, ..., n – 1.

Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного числа z всегда

возможно и дает n различных значений, определяемых формулами (34). Из этих

формул видно, что все n значений корня n-й степени из комплексного числа z

расположены на окружности радиуса

с центром в точке нуль и делят эту окружность на n равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из действитель­ного числа a также имеет

n различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или ни

одного, в зависимости от знака a и чет­ности n. Корень n-й степени из

нуля имеет только одно значение, равное нулю, т. е.

.

Рассмотрим важный частный случай извлечения корня, а именно извлечения корня n-й

степени из числа 1. Представляя это число в тригонометри­ческой форме 1=cos0+

isin0 и применяя форму­лу (34), получаем n значений корня из единицы:

, k = 0, 1, 2, . , n – 1. (35)

На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы изображаются точками,

расположенными на окружности радиуса R = 1 и делящими ее на n равных дуг.

Одной из таких точек будет точка, изображающая число 1.

Например: найдем все значения корня шестой степени из единицы. По формуле

(35), которая в данном случае принимает вид

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,

получаем шесть следующих значений:

α1

α2

α0

α3

0

x

y

α4

α5

Рис. 3

Эти значения изображаются вершинами правиль­ного шестиугольника, вписанного в

единичную окружность (рис. 3).

Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а

иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью

комплексных чисел Гаусс на­шел ответ на чисто геометрический вопрос: при

каких натуральных n циркулем и линейкой можно по­строить правильный n-

угольник? Из школьного кур­са геометрии известно, как циркулем и линейкой

по­строить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник,

квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описан­ной около

него окружности). Более сложным являет­ся построение правильных пятиугольника

и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники,

легко перейти к построению соответ­ствующих многоугольников с удвоенным

числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п. Все эти задачи на

построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные

усилия мно­гих замечательных древнегреческих геометров и дру­гих ученых,

никому не удалось построить ни правиль­ный семиугольник, ни правильный

девятиугольник. Не удалось также осуществить построение пра­вильного р-

угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч

лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих

Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые

доказал воз­можность построения правильного семнадцатиугольника с помощью

циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории

матема­тики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил

проблему построения правильных n-угольников.

Гаусс доказал, что правильный N–угольник с не­четным числом сторон (вершин)

может быть по­строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда

число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных

простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида Fn =

+ 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F5

будет состав­ным. Из этого результата следовало, что построение правильного

многоугольника невоз­можно при N = 7, 9, 11, 13.

Легко заметить, что задача о построении пра­вильного n-угольника равносильна

задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. Выше было

показано, что корень n-й степени из единицы имеет точно n значений; почти все

эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексны­ми. Точки,

изображающие корни n-й степени из еди­ницы, располагаются на окружности

радиуса R = 1 и делят ее на n равных дуг, т. е. являются вершина­ми

правильного n-угольника, вписанного в эту окруж­ность (см. рис. 3). При

доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс

поль­зовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

D

D'

0'

v

u

0

y

x

В XVIII в. возникла новая область математики – теория функций комплексной

переменной. Введем по­нятие такой функции. Рассмотрим две комплексные

переменные z = x + iy и w = u + iv, где x, y, u, v –

действительные переменные, i =

- мнимая еди­ница. Зафиксируем две комплексные плоскости Oxy (плоскость z), O'uv

(плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два

множества на этих плоскостях: D и D' соответствен­но (рис. 4).

Рис. 4

Если каждой точке zD

по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w

D', то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z). Множество D в этом

случае называют об­ластью определения функции w = f(z), значения

кото­рой принадлежат области D'. Если множество значе­ний f(z) исчерпывает все

множество D', то D' называ­ют множеством значений (областью изменения)

функции f(z). B таком случае пишут: D'= f(D). Мно­жества D и D' можно

изображать на одной комплекс­ной плоскости. Каждое из множеств D и D' может

совпадать со всей плоскостью.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну

сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные

функции находят важные применения таких науках, как гидродинамика и

аэродинами­ка, поскольку с их помощью удобно описывать дви­жение объема

жидкости (или газа).

С помощью теории функций комплексной пере­менной доказана следующая важная

теорема, которую долгое время называли основной теоремой алгебры.

Теорема: Всякий многочлен с любыми число­выми коэффициентами,

степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае

комплексный.

Рассмотрим многочлен степени n (n ≥ 1):

f(x) = a0xn + a1xn-1 + . + an-1x + an . (36)

Корнем многочлена называют такое число с (в об­щем случае комплексное: с

= a + bi), которое обра­щает данный многочлен в нуль:

a0cn + a1cn-1 + . + an-1c + an ≡ 0.

Другими словами, теорема утверждает, что алге­браическое уравнение n-й

степени (n ≥ 1)

a0xn + a1xn-1 + . + a

n-1x + an = 0

37)

имеет хотя бы один корень.

Отсюда следует, что любое алгебраическое урав­нение n-й степени имеет ровно n

корней. Действи­тельно, если многочлен f(х) = a0xn + a

1xn-1 + . + an-1x + an

, имеет корень α1, то его можно пред­ставить в виде f(х) = (х –

α1)φ1(x), где φ1(x) –

много­член степени n – 1. Этот многочлен по данной теоре­ме имеет хотя бы один

корень. Обозначим корень многочлена φ1(x) через α2

, тогда φ1(x) = (х – α2)φ2(x),

где φ2(x) – многочлен степени n – 2. Продолжая аналогичные

рассуждения, находим, что f(x) = a0(x – a1)(x – a2

)...(x – an). Отсюда видно, что f(αi) = 0 при i – 1,

2, ... , n, т. е. αi — корни многочлена (36) или уравнения

(37). Таким образом, уравне­ние (37) имеет n корней.

Отметим, что комплексные корни всякого много­члена с действительными

коэффициентами всегда сопряжены: если с = a - bi – корень уравнения, то

с = а-bi – также корень данного уравнения. Ины­ми словами, комплексные

корни такого многочлена входят парами во множество его корней. Отсюда следует,

что любое алгебраическое уравнение не­четной степени имеет хотя бы один

действительный корень.

Замечание. Не всякое уравнение имеет корни, действительные или

комплексные. Например, транс­цендентное (неалгебраическое) уравнение аx

= 0 (а > 0) не имеет никаких корней (ни действительных, ни комплексных).

x

0

Рис. 6

Рис. 5

w = z + c

c

z

y

x

0

Простейшим примером функции комплексной переменной является линейная функция w =

z + c, где с – постоянная (комплексное число). Эта функ­ция осуществляет

преобразование плоскости z на плоскость w. Каждой точке z она ставит в

соответ­ствие точку w = z + с. Очевидно, от точки z можно перейти к точке w

путем сдвига (параллельного пе­реноса) на вектор с, т. е. посредством

перемещения точки z по направлению вектора с на расстояние, равное

длине этого вектора (рис. 5). Путем подхо­дящего выбора числа с можно получить

любой сдвиг. Например, если точку z нужно сдвинуть в положи­тельном направлении

оси Ox на две единицы, то надо взять с = 2; точка w = z + 2 будет искомой (рис.

6). Если же точку z нужно сдвинуть в отрицательном направлении оси Oy на три

единицы, то берем c = -3i; точка w'= z + (-3i) = z – 3i

будет искомой (рис. 6). Итак, функция w = z + c осуществляет преобразование

(отображение) плоскости, которое называют сдвигом на вектор с.

2

1

w' = z – 3i

z

w = z + 2

y

Геометрическое преобразование, при котором ве­личины углов между любыми двумя

линиями, содер­жащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называют

конформным преобразованием или кон­формным отображением. (Под углом

между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, по­нимают угол между

касательными к этим линиям, проведенными в этой точке.) Примерами конформ­ных

отображений могут служить сдвиг (параллель­ный перенос), гомотетия и поворот.

Таким образом, можно сказать, что функция w = z + с осуществляет конформное

отображение; это одна из таких функций.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении

важных практи­ческих задач картографии, электротехники, тепло­проводности и

др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале

в точ­ках пространства, окружающего заряженный кон­денсатор, или о

температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в

потоке, дви­жущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые

препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и

т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруд­нений в случае,

когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских

пластин или круговых цилиндров). Однако расчеты необходимо уметь производить

и во многих других случаях. Например, чтобы сконструировать самолет, надо

уметь вычислять скорости частиц в потоке, обтекающем крыло самолета.

Разумеется, при полете самолета движутся и частицы воздуха, и само крыло.

Однако, опираясь на законы механики, исследование можно свести к случаю,

когда крыло неподвижно, а на него набегает и обтекает его поток воздуха.

Крыло самолета в поперечном

а

разрезе, (профиль крыла) имеет

вид, показанный на рисунке 7.

Расчет ско­ростей производится достаточно просто, когда по­перечный разрез

обтекаемого тела есть круг (т. е. само тело является круглым цилиндром). Чтобы

свести задачу о скоростях частиц потока

воздуха, обтекающего крыло самолета, к более простой задаче обтекания круглого

цилиндра, достаточно

конформно отобразить часть плоскости, заштрихованную на ри­сунке 7, а (вне

крыла), на другую фигуру, заштрихо­ванную на рисунке 7, б (вне круга). Такое

ото­бражение осуществляется с помощью некоторой фун­кции комплексной

пере­менной.

б

Знание этой фун­кции позволяет перейти от скоростей в потоке, обте­кающем

круглый

Рис. 7

цилиндр, к скоростям в потоке, об­текающем крыло самоле­та, и тем самым

полностью решить поставленную задачу.

Конформное отображение, заданное соответствующей функцией комплексной

переменной, аналогичным образом позволяет сводить решение задач о расчете

электрического потенциала и температур от случая тел произвольной формы

(любого профиля сечения) к простейшим случаям, для которых задачи решается

легко.

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял

теорию функций комплексной переменной к решению важных при­кладных задач.

Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла

самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В

одном из своих высту­плений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет

крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее

птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха

в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а

на силу своего разума». (Жуковский H.E. Собрание сочи­нений. – М. – Л.:

Гостехиздат, 1950. –T. 7. – С. 16.) С помощью теории функций комплексной

перемен­ной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания

воды через плотины.

Страницы: 1, 2