 |
РУБРИКИ |
Курсовая: Прикладная математика |
РЕКОМЕНДУЕМ |
||
|
Курсовая: Прикладная математикаhj - затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа j в этап j+1. Тогда затраты на производство и хранение на этапе j равны fj(xj, yj+1) = jj(xj) + h j yj+1 = axj2 + bxj + c + h j yj+1. (21) Выведенные ранее рекуррентные соотношения динамического программирования для решения задачи управления производством и запасами в нашем случае принимают вид: (22) где k = 2, 3, ... , n (23) 0 £ yk+1 £ dk+1 + dk+1 + ... + d n (24) 0 £ xk £ dk + yk+1 (25) yk = yk+1 + dk - xk (26)
Если же k=1, то
Остается заметить, что полезно обозначить выражение в фигурных скобках через Wk(xk, yk+1) = axj2 + bxj + c + hkyk+1 + Fk-1(yk) (31) и записать рекуррентное соотношение (22) в виде Fk(x=yk+1) = min Wk(xk, yk+1 ) (32) xk
где минимум берется по целочисленной переменной xk, удовлетворяющей условию (25). Пример. Рассмотрим трехэтапную систему управления запасами с дискретной продукцией и динамическим детерминированным спросом. Пусть спрос (заявки) потребителей на нашу продукцию составляют: на первый этап d 1=3 единицы, на второй – d2=2, на третий - d3=4 единицы. К началу первого этапа на складе имеется только 2 единицы продукции, т.е. начальный уровень запаса равен y1=2. Затраты на хранение единицы продукции на разных этапах различны и составляют соответственно h 1=1, h2=3, h3=2. Затраты на производство xj единиц продукции на j-м этапе определяются функцией jj(xj) = xj2 + 5xj + 2 т.е. а=1; b=5; с=2. Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а наши общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими. Исходные данные задачи можно кратко записать одной строкой: d1 d2 d3 a b c h1 h2 h3 y1 1 2 4 1 5 2 1 3 2 2 Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем F1 (x = y2), F2 (x = y3), ..., F k (x = yk+1), ... и соответственно находим 1 (x= y2), 2 (x = y3 ), ..., ` k (x = yk+1), ... Положим k = 1. Согласно (27) имеем Учтем, что согласно (28) параметр состояния x = у2 может принимать целые значения на отрезке 0 0 т.е. у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом, вообще говоря, каждому значению параметра состояния должна отвечать определенная область изменения переменной x1, характеризуемая условием (29) 0 Однако, на первом этапе объем производства х1 не может быть меньше единицы, так как спрос d1 = 3, а исходный запас у1 = 2. Более того, из балансового уравнения х1 + у1 - d1 = у2 непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состояния x= у2 соотношением x1 = y2 + d1 - y1 = y2 + 3 - 2 = y2 +1 (35) В этом и состоит особенность первого этапа. Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1 и потому F1(x = y2) = W1 (x1, y2)
Придавая у2 различные целые значения от 0 до 6 и учитывая (35), находим y2 = 0, x1 = 0+1 = 1, W1 (1;0) = 12 + 5×1 + 2 + 1×0 = 8 y2 = 1, x1 = 1+1 = 2, W1 (2;1) = 22 + 5×2 + 2 + 1×1 = 17 и т.д. Значения функции состояния F1(x ) представлены в табл. 1 Таблица 1
Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию F2(x = y3) с помощью соотношения (32) (37) Здесь минимум берется по единственной переменной х2, которая может изменяться, согласно (25), в пределах 0 £ x2 £ d2 + y3 или 0 £ x2 £ 2 + y3 (38) где верхняя граница зависит от параметра состояния x = у3, который, согласно (15), принимает значения на отрезке 0 £ y3 £ d3 , т.е. 0 £ y3 £ 4 (39) а аргумент у2 в последнем слагаемом справа в соотношении (37) связан с х2 и у3 балансовым уравнением x2 + y2 - d2 = y3 откуда следует y2 = y3 + d2 - x2 = y3 + 2 - x2 (40) Придавая параметру состояния различные значения от 0 до 4, будем последовательно вычислять W2 (x2, x), а затем определять F2(x ) и ). Положим, например x = у3 = 2. Тогда, согласно (38), 0 £ x2 £ 4, т.е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле (40): у2 = 4 - х2 Последовательно находим: если x2 = 0, то y2 = 4-0 = 4, W2 (0,2) = 02 + 5×0 + 2 + 3×2 + F1(4) = 8 + 56 = 64, x2 = 1, y2 = 4-1 = 3, W2 (1,2) = 12 + 5×1 + 2 + 3×2 + F1(3) = 14 + 41 = 55, x2 = 2, y2 = 4-2 =2, W2 (2,2) = 22 + 5×2 + 2 + 3×2 + F1(2) = 22 + 28 = 50, x2 = 3, y2 = 4-3 = 1, W2 (3,2) = 32 + 5×3 + 2 + 3×2 + F1(1) = 32 + 17 = 49*, x2 = 4, y2 = 4-4 = 0, W2 (3,2) = 42 + 5×4 + 2 + 3×2 + F1(0) = 44 + 8 = 52.
Наименьшее из полученных значений W2 есть F2 (2), т.е. F2 (x = y3 = 2) = min W2 (x2,2) = min (64, 55, 50, 49, 52) = 49, x2 причем минимум достигается при значении х2, равном ` Аналогично для значения параметра x = у3 = 3, проведя необходимые вычисления, найдем F2 (x = y3 = 3) = 63; ` Процесс табулирования функции F2 (x = y3) приведен в табл. 2, а результаты табулирования сведены в табл. 3.
Таблица 3
Переходим к следующему этапу. Полагаем k=3 и табулируем функцию F3 (x = y4): Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента x = у 4 = 0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода. Процесс вычислений приведен в табл. 4. Получаем F3 (x = y4) = min W3 (x3,0) = min (80, 71, 65, 62, 62) = 62, x3 причем минимум достигается при двух значениях переменной х3, равных ` Таким образом, мы получили не только минимальные общие затраты на производство и хранение продукции, но и последнюю компоненту оптимального решения. Она равна Рассмотрим случай, когда на последнем этапе планируем выпускать три единицы продукции Остальные компоненты оптимального решения найдем по обычным правилам метода динамического программирования. Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что х3 + у3 - d3 = y4 или 3 + у3 - 4 = 0, откуда у3 = 1. Из таблицы (3) значений Аналогично, продолжая двигаться в обратном направлении и учтя, что х2 + у2 - d2 = y3
Самопроверка результатов Таблица 5
или 2 + у2 - 2 = 1, получаем у2 = 1; из таблицы (2) значений х1(x) находим Итак, оптимальный план производства имеет вид х1 = 2 х2 = 3 х3 = 3, а минимальные общие затраты составляют 62 единицы. Полезна самопроверка полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному плану производства заполняем таблицу 5 и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются у1 + х1 ³ d1 у2 + х2 ³ d2 у3 + х3 ³ d3 2 + 2 ³ 3 1 + 2 ³ 2 1 + 3 ³ 4 и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3 2 + 2 + 2 + 3 = 3 + 2 + 4 причем это достигается при наименьших возможных затратах на производство и хранение продукции j(х1) + j(х2) + j(х3) + h1у2 + h2у3 = F3(y4=0) 16 + 16 + 26 + 1 + 4 = 62 Студенту рекомендуется найти другой вариант оптимальной производственной программы, когда на последнем этапе предполагается произвести 4 единицы продукции, и так же выполнить самопроверку. §10. Матричная модель производственной программы предприятия Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает xj единиц продукции, из которых yj единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия. Пусть ajk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа aij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется вектором X(x1, . , xn), а выпуск товарной продукции – вектором У(у1, . , уn). Очевидно, (Е - А)Х = У или Х = (Е - А)-1У. Элементы любого столбца матрицы (Е - А)-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца. При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.
Дополним структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и т.п. Очевидно, затраты получаемых со стороны материалов определяются элементами матрицы S, где В = (Е - А)-1У = S Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой продукции, можно подсчитать прибыль. §11. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения:
Математическое ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пусть есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то есть случайный проигрыш Второго и вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.
Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднегодохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: – Первый игрок и Второй. Математическое ожидание с. в.
Но что же назвать риском всей игры?Вычислим дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков. Так как Заметим, что в сумме Заметим теперь, что если Первый играет со стратегией , а Второй отвечает -й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:
Если оптимальная стратегия Первого, а , то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры , а дисперсия выигрыша Первого при этом равна , то есть равна Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегиях и дисперсию величины . Пусть понять, если среди есть разные числа, то Теперь можно сделать следующий вывод: Чуть-чуть отойдя от своей оптимальной стратегии (смотрите ниже Пример) и таким образом почти не уменьшив свой выигрыш, Первый может значительно уменьшить свой риск. При этом уменьшается и риск Второго, что отвечает и его интересам. Чисто математически можно сказать, что в описанной ситуации риск выигрыша Первого не зависит от его стратегии непрерывно. Рассмотрим подробно пример матричной игры с матрицей . Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры. Пример. Пусть матрица игры есть . Графическое решение этой игры показано на рисунке 1.
Цена игры оптимальные стратегии игроков есть , выигрыша Первого при оптимальных стратегиях , т. е. риск игры равен примерно 1. Далее вычисления дают , , достаточно точная зависимость риска Первого в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на рис. 2.
Как видно из рис. 2 при отходе Первого от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности x выбора им 1-й строки. Второй начинает отвечать 1-й чистой стратегией и риск Первого скачком увеличивается до , а при отходе Первого от своей оптимальной стратегии влево Второй переходит на свою 2-ю чистую стратегию и риск Первого скачком снижается до Аналогичное верно и в отношении Второго. Кратко повторим. Примерная, но достаточно точная зависимость риска Второго в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на рис. 3. Как видно из рис. 3 при отходе второго от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности у выбора им 1-й строки Первый начинает отвечать 2-й чистой стратегией и риск Второго скачком уменьшается до а при отходе второго от своей оптимальной стратегии влево Первый переходит на свою 1-ю чистую стратегию и риск Второго скачком увеличивается до Пусть величину и можно назвать риском всей игры. Однако играть с таким риском можно лишь при согласии обеих сторон. Для анализируемой игры и игроки для достижения такого риска должны играть так: Первый играет со своей оптимальной стратегией 3,5), а Второй должен использовать 2-ю чистую стратегию. §12. Анализ доходности и риска финансовых операций Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками. Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию). Как оценить операцию с точки зрения ее доходности и риска? Существует несколько разных способов. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода. Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина Q. Средний ожидаемый доход `Q - это математическое ожидание с.в. Q: , где pi есть вероятность получить доход qi. А среднее квадратическое отклонение (СКО) - это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать s количественной мерой риска операции и обозначить r. Напомним, что дисперсия
D[Q] = M [(Q - `Q)2] = M [Q2] - `Q2. Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q,4 . Найдем средние ожидаемые доходы `Qi и риски ri операций. Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(33)
(34)
у2 
d2 + d3
y2 
2 + 4
х1 
3 + у2
F1 (x = y2)
2(x
2 (x = y3 = 2) = 3
2 (x = y3 = 3) = 3.
(x= y3)
3 (x = y4 = 0) = 3 или `
3 (x = y4 = 0) = 4.
= 3 или 
= 4.
= 3.
находим
+ bx + c + h2y3 + F1(y2)
+ bx3 + c + h3y4 + F2(y3)
. 
.
, т.е. 
–
называется ценой игры, обозначим ее 
.
.
, а через 
сумма обозначена 
.
можно оставить лишь те слагаемые, у которых 
есть
.
или
и 
Как легко
,
. Дисперсия
; 
Примерная, но
,
. Эту
© 2010 |
|