Курсовая: Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Курсовая: Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

свойства таких степеней.

Для любых чисел ,

и любых целых чисел

и справедливы

равенства:

Отметим так же, что если , то при и при .

Определение: Степенью числа

с рациональным показателем

, где – целое

число, а –

натуральное ,

называется число .

Итак, по определению .

При сформулированном определении степени с рациональным показателем

сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница

заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).

§2. Показательная функция.

Определение: Функция, заданная формулой

(где ,

), называется показательной функцией с основанием

.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения – множество действительных чисел.

2. Область значений – множество всех положительных действительных чисел.

3. При функция

возрастает на всей числовой прямой; при

функция убывает на множестве

.

График функции (рис. 1)

Рис. 1

4. При любых действительных значениях

и справедливы

равенства

Эти формулы называют основными свойствами степеней.

Можно так же заметить, что функция

непрерывна на множестве действительных чисел.

§3. Логарифмическая функция.

Определение: Логарифмом числа

по основанию

называется показатель степени, в которую нужно возвести основание

. Что бы получить число

.

Формулу (где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из

свойств показательной функции:

При любом () и любых положительных и выполнены равенства:

1.

2.

3.

4.

5. для любого действительного .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений,

содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного

основания логарифма к другому:

.

Пусть – положительное число, не равное 1.

Определение: Функцию, заданную формулой

называют логарифмической функцией с основанием

.

Перечислим основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных

чисел , т.е.

.

2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных

чисел.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при

) или убывает (при

).

График функции (рис. 2)

Рис. 2

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое

основание, симметричны относительно прямой

(рис. 3).

Рис. 3

Глава 3.

Тождественные преобразования показательных и

логарифмических выражений на практике.

Задание 1.

Вычислите:

1.1) ;

1.2) ;

1.3) ;

1.4) ;

1.5) .

Решение:

1.1) ;

1.2) ;

1.3) ;

1.4)

;

1.5)

.

Ответ: ; ; ; ; .

Задание 2.

Упростите выражения:

2.1) ;

2.2) ;

2.3) .

Решение:

2.1) ;

2.2)

;

2.3)

Ответ: ; ; .

Задание 3.

Найдите значение выражения:

3.1) ;

3.2) ;

3.3) ;

3.4).

Решение:

3.1) ;

3.2) ;

3.3) ;

3.4)

.

Ответ: ; ; ; .

Задание 4.

Прологарифмируйте по основанию выражение:

4.1) при ;

4.2) при , , .

Решение:

4.1)

;

4.2)

.

Ответ: ; .

Задание 5.

Найдите , если:

5.1) ;

5.2) .

Решение:

5.1)

;

5.2)

.

Ответ: ; .

Задание 6.

Известно, что . Найти .

Решение:

.

Ответ: .

Задание 7.

Решите уравнения:

7.1) ;

7.2) ;

7.3) .

Решение:

7.1)

;

7.2)

, так как , то , получаем, что ;

7.3)

.

Ответ: , ; ; , .

Заключение

В данной курсовой работе по теме «Тождественные преобразования показательных

и логарифмических выражений» мною было рассмотрено введение данного материала

в обучение в школьном курсе алгебры и начала анализа.

Тема тождественных преобразований, в общем, является одной из часто

используемых в вычислениях и решении различных задач. Поэтому о

преобразованиях начинают говорить уже с начала средней школы при изучении

математики.

Рассмотрела методы формирования навыков у учеников при изучении данного

материала. Так же представила программу по математике изучения курса

показательной и логарифмической функции в курсе «Алгебры и начала анализа».

В работе были приведены задания, разные по сложности и по содержанию, с

использованием тождественных преобразований. Данные задания могут быть

использованы для проведения контрольных или самостоятельных работ проверки

знаний учащихся.

Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики преподавания

математики в средне образовательных учреждениях и может быть использована как

наглядное пособие для учителей школ, а так же для студентов дневного и

заочного отделений.

Список использованной литературы:

1. Алгебра и начала анализа. Под ред. Колмогорова А.Н. М.:

Просвещение, 1991г.

2. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев.

Математика 5–11 кл. М.: Дрофа, 2002г.

3. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по

математике (решение задач). Уч. пособие для 11 кл. М.: Просвещение, 1991г.

4. В.А. Оганесян и др. Методика преподавания математики в

средней школе: Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-

математического факультета педагогических институтов. -2-е издание

переработано и дополнено.М.: Просвещение ,1980г.

5. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания

математики в средней школе. М.: Просвещение, 1985г.

6. Журнал "Математика в школе".

Страницы: 1, 2