Лекция: Полный курс лекций по математике

Лекция: Полный курс лекций по математике

МАТЕМАТИКА

Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления

Тема 7. Матрицы. Алгебра матриц.

Тема 8. Понятие множества. Пересечение множеств, объединение множеств,

пределами интегрирования. Несобственные интегралы от разрывных функций.

Тесты.

Базовая учебная литература к курсу:

1.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука,

1975г.

2.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике – М.:Наука, 1975г

Тема 1. Роль математики в современном мире. Основные этапы становления

математики.

Целью изучения математики является – повышение общего кругозора, культуры

мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах

действительного мира.

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики:

зарождение математики, элементарная математика, математика переменных

величин, современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры.

Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал. Понимание

математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с

достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для

удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается

арифметика – наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая

постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление.

Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением

геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии –

геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге «Начала» (300 лет до

н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов,

позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин,

преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в

аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления

начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII

века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие «бесконечно малой

величины», создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным

предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям

математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта – метода

координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать

геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод

координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и

аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи

изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с

достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают

новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов

естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики.

Замечательным примером такой теории является «воображаемая геометрия» Н. И.

Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к

периоду современной математики. Развитие самой математики,

«математизация» различных областей науки, проникновение математических методов

во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники

привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование

операций, теория игр, математическая экономика и другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В

основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые

аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические

следствия аксиом.

Основными методами в математических исследованиях являются математические

доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не

сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для

оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же

математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных

явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы

роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не

природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе

частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок

следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и

гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные

отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для

изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более

расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной

математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы

невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и

универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Тема 2. Аксиоматический метод построения научной теории. «Начала» Евклида –

неевклидовой геометрии.

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является

одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы

многих поколений ученых.

Основные черты дедуктивного метода.

Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого

построения, позволяющая описать его в немногих словах.

Дедуктивная система изложения сводится:

1) к перечислению основных понятий,

2) к изложению определений,

3) к изложению аксиом,

4) к изложению теорем,

5) к доказательству этих теорем.

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.

Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом.

Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть

рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически

из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) О смысле

основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы

вообще неразрешимы.

История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического

построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне

развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет

отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между

объектами, изучаемыми данной наукой.

Образцом аксиоматического построения математической науки является

элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом

(около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде –

«Начала». Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Основные понятия: точка, прямая, плоскость – основные образы; лежать

между, принадлежать, движение – основные отношения.

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В

пятой группе одна аксиома – аксиома о параллельных (V постулат Евклида).

Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую

данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность

доказательства. Попытки доказать пятый постулат занимали математиков более 2-

х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века, т.е. до того момента, когда

Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудах полную безнадежность этих

попыток. В настоящее время недоказуемость пятого постулата является строго

доказанным математическим фактом.

Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в данной

плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно

провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые.

Из новой системы аксиом Н.И. Лобачевский с безупречной логической строгостью

вывел стройную систему теорем, составляющих содержание неевклидовой

геометрии. Обе геометрии Евклида и Лобачевского, как логические системы

равноправны.

Три великих математика в 19 веке почти одновременно, независимо друг от друга

пришли к одним результатам – недоказуемости пятого постулата и к созданию

неевклидовой геометрии.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Янош Бойяй (1802-1860)

Судьба открытия Лобачевского.

В 2004 г. Казанский Государственный Университет будет отмечать 200 летие

своего существования. Имя Николая Ивановича Лобачевского тесно связано с

Казанским Университетом и составляет его гордость.

Н. И. Лобачевский родился 1 декабря 1792г. в Нижнем Новгороде, в 1807 году

поступил в Императорский Казанский Университет, в 1811 году окончил его. 19

февраля 1826 года представил доклад о своем открытии физико-математическому

факультету. В течении всей своей жизни он развивал свои идеи, которые излагал

в трудах «Начала геометрии», «Воображаемая геометрия» и других. За год до

смерти он опубликовал свою работу «Пангеометрия» (1855г.).

Николай Иванович помимо научных трудов, вел громадную работу, как профессор,

главный библиотекарь, декан, а позднее – ректор Университета, при нем

развернулось строительство Университетского прекрасного архитектурного

ансамбля. Умер он 12 февраля 1856г., так и не дождавшись признания своих

идей. Эти идеи были враждебно встречены даже известными математиками того

времени. Идеи Н.И. Лобачевского далеко опередили свое время, но все развитие

науки подготовило их неизбежное торжество. Через пятнадцать лет после его

смерти его открытие стало общеизвестным и определило на столетие вперед

развитие геометрической науки, оказало сильнейшее влияние на другие разделы

математики, явилось одной из предпосылок глубокого преобразования физических

представлений о пространстве и времени.

Тема 3. История развития науки о числе.

Сложность цивилизации, как в зеркале отражается в сложности используемых ею

чисел. Две с половиной тысячи лет назад вавилоняне довольствовались

натуральными числами, подсчитывая принадлежащие им несколько овец, сегодня

экономисты пользуются метрической алгеброй для описания взаимосвязей сотен

предприятий.

Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены на пять

главных ступеней: 1) множество целых положительных чисел – натуральное

множество N 2) относительные числа, включающие положительные числа,

отрицательные числа и нуль; 3) рациональные числа, в которые входят целые числа

и дроби; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа,

которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, такие

как π , ,

и т.д. 5) комплексные числа, вводящие в рассмотрение «мнимое число»

.

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по

школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида z = x+iy для

решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i =, i² = –1, х и у – вещественные числа

Само число z = x + i y называется комплексным, а i =

, мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным ни отрицательным.

«Мнимые числа – поразительный полет духа божьего» – писал Лейбниц в 1702

году. Сегодня комплексные числа прочно вошли в математический аппарат. Языком

комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.

Пример. Найти корни уравнения х²+x+1=0.

1) Находим дискриминант Д= 1 – 4 = –3 < 0; 2) Находим корни уравнения х

= (-1+)/2 = (-1+i

)/2;

х = (-1-)/2 = (-1-i)/2;

Это уравнение имеет комплексные корни, где i =.

Итак, число z = x + i y называется комплексным числом. x = Rez - называется

вещественной частной числа, y = Im z - называется мнимой частного числа, х и

у - вещественные числа.

Например, 1) z = 2 + 3i, Rez = 2 - вещественная часть числа, Im z = 3 мнимая

часть числа.

2) z = -15 + i, Rez = -15 - ввещественная часть числа, Im z =1 - мнимая часть

числа.

Свойства комплексных чисел

1. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его

вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 <=> Rez = х=0, Im z =у=0.

(<=> - знак эквивалентности, или можно заменить слова «тогда и только

тогда», необходимо и достаточно).

2. Если мнимая часть числа Im z =у=0, то z = х есть вещественное число,

т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, . z = 5+i0 = 5. Мнимая часть числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда

соответственно равны их вещественные и мнимые части. Пусть. z

= х+iy

, z = х

+iy, z

= z если х

= х и y

= y.

4. Множество комплексных чисел неупорядоченное множество, т.е.

из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя

комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства >или<.

Например, z = 10+15i, z = 2-100i. Нельзя сказать которое из двух чисел больше.

Определение. Числа z = x + i y и = x - i y называются комплексно сопряженными.

Например, z = -2 + 3i, = -2 - 3i

z = 1 – i, = 1 + i

Действия над комплексными числами.

Если два комплексных числа складывать, перемножать или делить друг на друга,

то мы получим новое комплексное число.

Пример 1. Дано z = -1

+ 2i, z = 3 - 5i.

Найти z + z

. Решение z + z

= -1 + 2 i + 3 - 5i = 2 - 3i, т.е. складываются вещественные части и мнимые

части.

Пример 2 Дано z = 2 +

3i, z = -1 + i.

Найти z - z

. Решение z - z

= 2 + 3 i –(-1 + i) = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i. т.е. складываются вещественные

части и мнимые части.

Пример 3 Дано z = -1 +

2i, z = 3 - 5i.

Найти z* z

. Решение, z* z

= (-1 + 2 i )*( 3 - 5i ) = -3 + 6i +5i – 10 i² = - 3 +10 +11 i = 7+ 11 i,

надо помнить, что i² = - 1.

Пример 4 Дано z = 2 - i, , = 2 + i. Найти z * .

Решение z * = (2 –

i ) *(2+ i ) = 2² - i² = 4+1 = 5, где i² = -1. Произведение

комплексно сопряженных чисел есть вещественное число равное сумме квадратов

вещественной и мнимой частей.

Например, 1) z = 1 + i, = 1 – i, z * =1² + 1²=2

2) z = 3 + 5i, = 3 - 5i, , z * =9 + 25=34

Пример 5 Дано z = -1 +

i, z = 2 - 3i. Найти

z = (1 + i)/(2 - 3i). Решение z = (1 + i)/(2 - 3i) = (1+ i)(2 +3i) / (2 –

3i)(2+3i) = (2 +2i +3i +3i²)/ (4+9) = (2 – 3 + 5i)/13 =

= -1/3 + (5/13)i. Чтобы выделить вещественную и мнимую часть числа z надо

числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю.

Рассмотрим еще один подобный пример.

Произвести действие, выделить вещественную и мнимую части числа

(2 + i)/(1 + 2i).

Решение. (2 + i)/(1 + 2i) = (2+ i)(1 -2i) / (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 +i - 4i -

2i²)/ (1 +4) = (2 + 2 - 3i)/5 = (4 - 3i)/5= 4/5 - (3/5)i.

Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy.

у

Выберем декартову прямоугольную

систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси

ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с

координатами ( х,у )

							Рис.1
							х

х

0

Рис.1

Ось ох называется вещественной осью

Ось оу называется мнимой осью.

Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.

y

Пример. Построить числа z

=1+ i; z =2 i, z

= -2+3 i; z = -1/2 i,

z =1 - i, z

=-1-2 i Рис2.

Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на плоскости.

Аналитическая геометрия - область математики, занимающаяся изучением

геометрических задач методом координат. Основная идея аналитической геометрии

проста: положение точки на плоскости можно описать двумя числами и, таким

образом, перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах.

Основоположниками метода координат принято считать Рене Декарта (1596-1650) и

Пьера Ферма (1601-1665).

Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается так:

выбираются две взаимоперпендикулярные прямые с выбранным положительным

направлением на каждой прямой - оси координат, точка пересечения прямых –

начало координат. Выбирается на осях координат единица масштаба.

Рис 1

Ось ох – ось абцисс.

Ось оу – ось ординат

О – точка пересечения осей, начало координат.

Положение всякой точки плоскости определяется ее расстоянием от осей

координат. Эти расстояния называются координатами точки. Например, точка М

имеет координаты х и у – М(х,у). Рис 1.

х – абцисса точки М, у – ордината точки М.

Координатам приписывают знаки, зависящие от расположения точки в различных

частях координатной системы.

Пример. Построить точки: А(3,2); В(-1,4); С(-2,0); Д(-1,-1/2); Е(1,-1).

Рис 2.

0

Расстояние между двумя точками на плоскости М1(х1,у1

) и М2(х2,у2) определяется по формуле М1

М2 = (х

2-х1)2+(у2-у1)2.

Например, найти АВ, если А (1,2); В (-2,-2). Используя формулу, получим

АВ=корень =

==

=5.

Соотношение, характеризующее зависимость между координатами х и у точек кривой

называется уравнением этой кривой. Например: у+2х-1=0 – уравнение прямой, х

2+у2=4 – уравнение окружности.

Координаты любой точки, лежащей на кривой, удовлетворяют уравнению кривой, а

координаты точек, на кривой не лежащей, уравнению не удовлетворяют. Например,

проверим лежит ли точка А (1,2) и В (0,1) на прямой у+2х-1=0. Для этого

подставим координаты каждой точки в уравнение прямой.

1) А(1,2)-2+2-10, вывод: точка А не принадлежит прямой.

2) В(0,1)-1-1=0, вывод: точка В лежит на прямой.

Любое уравнение первой степени относительно переменных х и у, называется

линейным, оно есть уравнение прямой линии.

Ах+Ву+С=0, где А, В, С – вещественные числа, есть общее уравнение прямой.

Например, х+у-1=0, у=2х, х=3, у= -1. Эти уравнения – есть уравнения прямых.

Построим эти прямые на плоскости Рис 3. Положение любой прямой определяется

двумя точками. Найдем точки пересечения прямой х+у-1=0 с осями координат.

Х	0	1
У	1	0

А(0,1); В(1,0). Через эти точки проводим прямую.

У=2х – прямая проходит через начало координат, т.к. координаты начала О(0,0)

удовлетворяют уравнению прямой, подберем точку С(1,2) – лежащую на прямой,

проведем прямую через точки О и С. Рис 4.

0

Прямая х=3 параллельна оси оу, прямая у=-1 параллельна оси ох. Рис 5.

					Рис.5

х

0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

у=Кх+в, К=tg φ – коэффициент, φ – угол, который прямая составляет с

осью абцисс, в - отрезок, который прямая отсекает от оси ординат. Рис 6.

Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Например, у=2х+3,

у=2х - 5 эти две прямые параллельны, т.к. К1=2; К2=2; К

1=К2.

Если две прямые перпендикулярны, то К2= -1/К1. Например,

у=2х+3, у= -(1/2)х - 1. Эти прямые перпендикулярны, т.к. К1=2, К

2=-1/2; К2= -1/К1.

Пример. Указать какие из следующих пар прямых параллельны, а какие

перпендикулярны.

1)3х - у+7=0 6х - 2у-1=0

2) 3х - у+5=0 х+3у - 1=0

3)3х - 4у+1=0 4х + 3у+7=0

Решение. 1) Найдем условные коэффициенты обеих прямых, для этого каждое

уравнение разрешим относительно у.

у=3х+7, у=3х - 1/2. Эти прямые параллельны, т.к. К1=К2=3

2) Разрешим каждое уравнение относительно у

У=3х+5, у= -1/3х+1/3, К1=3, К2= -1/3, т.к. К2

=-1/К1, то мы можем сказать, что эти две прямые перпендикулярны.

3) Разрешим каждое уравнение относительно у

у = 3/4х+1/4, у = - 4/3х +х/3; К1 = 3/4, К2 = 4/3

Эти прямые не являются параллельными, т.к. К1≠К2,

эти прямые являются перпендикулярными, т.к. К2= -1/К1

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

у - у0=К (х - х0) – уравнение прямой, проходящей через

данную точку М0 (х0,у0), в данном направлении,

т.е. К известен.

Задача. Через точку М0(1,-2) провести прямую ℓ параллельную

прямой у = 2х - 1

Решение. Уравнение прямой ℓ запишем в виде у-у0=К(х-х0

). Х0 и у0 – нам даны, это х0=1, у0

=-2, К – угловой коэффициент найдем из условия параллельности двух прямых К=2.

у+2=2(х - 1) – искомое уравнение или 2х – у - 4=0

Тема 5. Кривые второго порядка.

К кривым второго порядка относят кривые, записанные уравнением Ах2 +

Вху + Су2 + Ех + Ду + F = 0. В зависимости от значений коэффициентов

(вещественные числа) это могут быть окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Эти кривые были известны с глубокой древности. Все эти кривые суть сечения

прямого кругового конуса плоскостями (конические сечения).

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний

которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть

величина постоянная 2а, большая F1F2. Каноническое

уравнение (простейшее) уравнение эллипса: х2/а2 + у

2/в2 =1

Эллипс, заданный таким уравнением симметричен относительно осей координат

(рис 1)

М (х,у) – произвольная точка эллипса, (х,у) – текущие координаты этой точки. Все

точки эллипса удовлетворяют условию: F1M + F2M=2a.

а,в называются полуосями эллипса, а – большая полуось, в – малая полуось. F

1 и F2 – фокусы эллипса находятся на оси ох на расстоянии С=

2 – в2) от центра О. Отношение с/а = Е называется

эксцентриситетом эллипса.

Пример 1. 1)Написать уравнение эллипса, если а=4, в=3; 2)Найти координаты

фокусов; 3)Найти Е.

Ответ: 1) х2/16 + у2/9=1; 2) С= = , F1 (- , 0); F2 ( , 0); 3)Е = с/а = /4 < 1.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность

расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2

(фокусов) есть постоянная величина 2а (0<2a<F1, F2).

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.

Х2 /а2 – у2/в2 = 1

Гипербола, заданная уравнением симметрична относительно осей координат (Рис 2).

Она пересекает ось ох в точках А1( -а, 0) и А2(+а, 0) –

вершинах гиперболы и не пересекает ось оу. Параметр а называется вещественной

полуосью, в – мнимой полуосью, С=

(а2 +в2) - расстояние от фокуса до центра симметрии О.

Отношение с/а=Е называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые у= ±в/а х

называются асимптотами гиперболы.

Рис.2

F1

F2

0

М(х,у) – произвольные точки гиперболы, (х,у) – текущие координаты

произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию

│F1M-F2M│=2a.

Пример 2. Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое

уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты

гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.

Ответ: 1)х²/16 - у²/4 = 1; 2) а=

= 4; в= = 2. 3) у =

±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с=

(а² + в²) =

= = 2

,

Е=с/а=(2)/4 = ()/2 ;

Е=()/2 >1.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково

удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) у²= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)

2) х²= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)

РИС.3

0

у

РИС.4

Страницы: 1, 2, 3