 |
РУБРИКИ |
Лекция: Полный курс лекций по математике |
РЕКОМЕНДУЕМ |
||
|
Лекция: Полный курс лекций по математике/p>М (х,у) – произвольная точка парабола, (х,у) – текущие координаты произвольной точки, х = -р/2 – уравнение директрисы. FM = d, где d – расстояние от точки М до директрисы. В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале координат 0. Парабола у² = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = - р/2 Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = - р/2 Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями: 1) у² = 4х; 2) у² = -4х; 3) х² =4у; 4) х² =-4у; а так же их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.
Ответ:
y² = 4x, p=2, F(1,0) х = -1 – уравнение директрисы
3)
Х2 = 4у, р = 2, F (0, 1) У = -1 – уравнение директрисы.
Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А ( -1, 2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности? Ответ: 1) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 4, если раскроем скобки, то уравнение примет вид: х2 + у2 + 2х – 4у + 1 = 0
-1 2) О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0. Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера. Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством = а11а22-а12а21. Например, Вычислить определитель Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца. Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством = а11*а22*а33 + а12*а23*а 31 + а13*а32*а21 – (а13*а 22*а31+а32*а23 *а11+а33 *а12*а21). Например, 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10 Перечислим свойства определителей: 1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами. 2. Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов. 3. Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы. 4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки Метод Ван-дер-Поля возник в 1920-1923гг. в связи с быстрым развитием умноженные на произвольное число. Например, Алгебраическое дополнение. Минор. Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Минор М ij есть определитель порядка на единицу ниже исходного. Например, в определителе, Алгебраическое дополнение Аij есть минор Мij , умноженный на (-1)i+j, т.е. Аij = (-1)i+j Mij В приведенном примере А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4 * В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали. Продолжим изложение свойств определителей. 6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов. Например, 11*А11 +а12*А12+а13*А13 ; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки. 7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю. Например, а11 А21+а12А22+а13А23=0. Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка. Пример. Вычислить определитель первый способ. = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2. Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца. = -3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2 + 5(-1)2+2 +(-1)3+2 = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера. Система линейных алгебраических уравнений имеет вид: а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2 а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3 Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х 3. Вещественные числа аij (i = , j = коэффициентами системы. в1, в2, в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид: а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0 а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0 и называется однородной. По формуле Крамера решаются только неоднородные системы. Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы: Δ = Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам: Х1 = Δх1/ Δ; х2== Δх2/ Δ; х3== Δх3/ Δ; где Δх1= Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля, то система несовместна. Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2 =∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система). Пример. Решить систему уравнений: -3х + у = 2z = 0 х + 4у + 3z = 2 1) Вычислим определитель системы ∆ = = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30. Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0. 2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z. ∆х = 3) По формулам Крамера находим решение системы: Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30; Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30). По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными. Пример Решить систему уравнений. х + у – z=2 5х + у – z=7 1) Составим и вычислим определитель системы ∆= 2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z. ∆х = Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения. Тема 7. Алгебра матриц. составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n, а11 а12 а13.а1п а21 а22 а23.а2п ...... = Ам*п= //аij// ам1 ам2 ам3.амп , где m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. Разновидности матриц. 1. Матрица называется прямоугольной, если m≠n. 2. Матрица называется квадратной, если m=n. 3. Матрица называется матрицей - строкой, если m=1. 4. Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1. 2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три) 2) 1 2 - квадратная матрица. 3 4 3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка. 4) 12 матрица столбец. 5 3 5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю. 2 6 0 или 0 4 2 -1 –2 8 0 0 -1 6) называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю. Например, 1 0 0 0 –2 0 0 0 5 7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице. Е = 0 1 0 0 0 1 . Алгебра матриц. 1. Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц. Ам*п = Вм*п ó аij = bij (i = ó этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда», обозначение (i = применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m. 2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij// называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n = Am*n + Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности. 3 1 –6 , 1 –6 4 , то
А+В = 1 –2 4 -3 2 5 1-3 -2+2 4+5 -2 0 9 3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6 6+4 4 –5 –2 3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
αА = //α aij//.
Например, вычеслить 4 А, если А =
4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу В е*п называется матрица См*п (Ам*е*Ве*п=С м*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»: сij =aijbij + ai2b2j +.+ aiebej (i= ) , т.е. для вычисления сij следует элементы i – строки левой матрицы Ам*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой матрицы Ве*п и полученные произведения сложить. Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
Пример. Вычислить АВ, если А = В = Решение: АВ=С
С= * = =
Ответ: А*В=С=
В = 2 1 3 4 1 3
1) С=АВ= 1 2 2 1 4 7 3 4 1 3 10 15 С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;
2) Д=ВА= 2 1 1 2 5 8 1 3 3 4 10 14 d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8 d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14 Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА. Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица. Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число. 5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А. 6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А. Основные свойства операций над матрицами: А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат. Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме. предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3 1 3 4 , Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену? 1 3 4 Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб. Второе – на 55 тыс. руб. Третье – на 90 тыс. руб. Тема 8. Понятие множества. Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества. Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п. прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0 есть пустое множество. Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается В С А. Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов- первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ. Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к} Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В. Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø. Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В. Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}. Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В. Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} А∩В = {6, 8} А \ В = {1, 3} Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным. Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Очевидно, что N С Z C Q C R Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.
Рис.1 Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число. Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а<x<в - открытым интервалом (а, в); неравенствам а ≤ х < в или а< х ≤ в, называется полусегментами соответственно [а, в) и (а, в]. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно: /х/= По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5. Свойства абсолютных величин: 1. │х+у│ ≤ │х│+│у│, 2. │х-у│ ≥ │х│ - │у│, 3. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│ Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│< ε, можно написать: -ε< -│х│≤ х ≤│х│<ε, или -ε<х<ε, т.е. значения х лежат на открытом интервале (-ε, ε). Рассмотрим неравенства │х-а│<ε (где ε>0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а - ε<х<а+ε. Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а. а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│<ε (где ε>0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон, буква греческого алфавита). Рис.2
а – ε а а+ε Тема 9. Функция. Классификация функций. Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество У). Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У. х – независимая переменная (аргумент). у – зависимая переменная, ƒ – закон соответствия, знак функции. Пусть Х и У множества вещественных чисел. Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1 Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞). Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6). Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль. х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞). Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1). Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1)
0 0
Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а,в) и радиусом R; (рис.6)
2)
= 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26
=
= 
Минором к элементу 4 является М13= 
= = 10+2=12.
= 10+2=12.
= а
двумя способами.
а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1
) называются
а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0
; Δх2= 
; Δх3= 
.
Х + 2у – z = 1
= 5; ∆у = 
= 13; ∆z = 
= 1.
х - у+z=1
= 0.
= 0, ∆у = 
= -2
Определение. Таблица,
Например, 1) 1 2 3 = А
0 –1 5
7
Например, 1 0 0 5 1 –3
Квадратная матрица
1 0 0
, j = 
)
)
Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5
4А = 4 *
; j= 
Замечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ≠ВА.
Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,
Сравним эти произведения.
С21 = 3*2+4*1=10; С22 = 3*1+4*3=15
Пример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В=
Решение: АВ=(4 0 -2 1)*
=4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)
Пример. Каждое из трех
Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)
Множество обозначаются
Абсолютной величиной (или
Интервал (а – ε,
© 2010 |
|