 |
РУБРИКИ |
Реферат: Цепные дроби |
РЕКОМЕНДУЕМ |
||
|
Реферат: Цепные дробиРеферат: Цепные дробиСодержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ §1. Представление рациональных чисел цепными дробями §2. Подходящие дроби. Их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями 1.1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей . . . . . 1.3. Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью §2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя 2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями 2.3. Теорема Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения §3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Используемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ВведениеЦелью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач. Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729- 1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений. Глава I. Правильные конечные цепные дроби. §1. Представление рациональных чисел цепными дробями. Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел. Пусть рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств: где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием b> >.> соответствует остаток 0. Системе равенств (1) соответствует равносильная система из которой последовательной заменой каждой из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде: Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что – целое число, а ., числа. Имеются различные формы записи цепных дробей:
Согласно последнему обозначению имеем Числа Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части. Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа. Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным. Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было . Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что . Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при : так что представление можно удлинить: например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1). 2) Принимая условие , можно утверждать, что целая часть цепной дроби равна ее первому неполному частному . В самом деле: 1. если n=1, то 2. если n=2, то 3. если n>2, то где Поэтому и здесь Докажем то, что рациональное число однозначно представляется цепной дробью , если Пусть , , так что Повторным сравнением целых частей получаем , а следовательно и так далее. Если то в продолжении указанного процесса получим также . Если же , то получим невозможно. Теорема доказана. Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие. Замечания: 1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент , например, 2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна. Пример: 3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента. Пример: 5=(5); §2. Подходящие дроби. Их свойства. Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь При этом основную роль играют дроби вида: подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа . Заметим, что Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в первой заменить выражением Имеем , ., при этом принимается, что Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для (ее числителя знаменателя сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе от k к (k+1). Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где причем Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму . Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают. Последовательное вычисление числителей и знаменателей подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:
Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).
Подходящие дроби Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую приведем для =(2, 3, 1, 4, 2) А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей. 1. Теорема: При k=1, 2, ., n выполняется равенство Доказательство: Проведем индукцию по k: При k=1 равенство справедливо, так как Пусть это равенство верно при некотором k=n ( Докажем справедливость равенства при k=n+1. , то есть равенство верно при k=n+1. Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k( 2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима. Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем Пусть , тогда из равенства следует, что делится на остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть . 3. Теорема: При 1) 2) Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства , доказанного выше, путем деления обеих частей на . Получаем Докажем второе соотношение. Теорема доказана полностью. 4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1= Доказательство: Соотношение ) (*) показывает, что и все следующие знаменатели , положительны. При поскольку тогда из (*) получаем 5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность: Две подходящие дроби и отличается на единицу, будем называть соседними. 6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной. Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем: Если k – четное, то Если k – нечетное, то Значит, из двух соседних дробей и больше нечетной, что и требовалось доказать. 7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями Доказательство: Так как Глава II. Бесконечные цепные дроби. §1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями. 1.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь. В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь разлагается в конечную непрерывную дробь. и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби. Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу. Для иррационального числа указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу. Выражение возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через ( ), а числа элементами или неполными частными. Отметим, что разложение возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части – процесс однозначный. Рассмотрим пример разложения иррационального числа Пусть его целую часть. а дробную часть которая меньше 1, представим в виде , где Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем: Если остановиться на этом шаге, то можно записать: С другой стороны, из формулы для видно, что . Поэтому вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться. Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью. Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической. Чисто периодическая дробь записывается в виде , а смешанная периодическая в виде Итак, смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, .) или (3, (3, 6)). В общем случае разложения действительного иррационального числа поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k–го шага, будем иметь: так что Числа остаточными числами порядка k разложения . В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа . Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей. Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных совершенно не зависит от того, является ли последним элементом или за ним следует еще элемент . Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей. В частности, мы имеем: 1) 2) 3) Сравним теперь подходящую дробь и кусок разложения до остаточного числа . Имеем откуда видно, что вычисление |
|
-
>
>0, а
,
- натуральные
, 
, ., 
называются элементами цепной дроби.
; поэтому 
=
,
>1, т.к. 
.
.
с условием 
. Тогда 
.
,
, например 
, что
.
, а так как 
, то 
.
.
.
или
которые называются
=
=
. Считается, что подходящая дробь 
имеет порядок k.
, если в
.
,
,
, 
, 
, 
, 
, 
и так далее.
и
),
, имеем
(1), 
(2) 
(3) 
(
) равны соответственно 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
.
.
).
).
.
, то есть 
без
(
)
(
)
, что и требовалось доказать.
. 
.
, 
, так что 
и 
положительны.
(
, ., 
,
,
, что и требовалось доказать.
;
.
, у которых номер
. 
четная всегда
.
, то 
, что и требовалось доказать.
=(
)
(1)
(где 
, 
) (2)
– ее
.
. Выделим из 
=3,
–3,
.
;
;
.
=3+
,
.
разлагается в
.
называются
и
, причем 
;
, откуда следует несократимость подходящих дробей 
;
.
,
© 2010 |
|