Реферат: Цепные дроби

Реферат: Цепные дроби

– действительный иррациональный корень квадратного уравнения

(1) с целыми коэффициентами a, b, c.

При разложении в непрерывную дробь получаем (2), где – остаток порядка k+1.

Подставляя выражение из (2) в (1), получаем

(3), где

(4)

Отсюда, во-первых, видно, что

(5), во-вторых, можно непосредственным вычислением установить, что

(6).

Таким образом, дискриминант уравнения (3) такой же, как и дискриминант уравнения

(1), откуда следует, что он от k не зависит.

Идея доказательства в дальнейшем заключается в том, чтобы показать, что при

данном

коэффициенты ,

, ограничены по

модулю.

Если этот факт на самом деле имел бы место, то это означало бы, что

коэффициенты, будучи целыми числами, могут принимать только конечное число

различных значений. Вместе с тем и число возможных уравнений (3) было бы

конечным, хотя k пробегает бесконечное множество значений. Но в таком

случае и остатки

(которые определяются из (3)), число которых бесконечно, могли бы принять только

конечное число различных значений. Поэтому должны были бы существовать остатки

с одинаковыми значениями, а это уже означает, что непрерывная дробь –

периодическая.

Итак, докажем, что ,

и ограничены по

абсолютной величине. Достаточно сделать это для

, так как в силу соотношения (5), из ограниченности

уже как следствие вытекает ограниченность

, а в силу (6) – ограниченность

.

Как известно из свойств подходящих дробей, или , где , откуда .

Поэтому из первого равенства (4) имеем

Так как , то

,

то есть и , а это и доказывает ограниченность .

Этим и завершается доказательство теоремы Лагранжа.

Отметим без доказательства следующие свойства разложений квадратических

иррациональностей:

1) при разложении квадратного корня и целого положительного числа, не

являющегося полным квадратом, период начинается со второго звена;

2) чисто периодическая цепная дробь получается тогда и только тогда,

когда квадратическая иррациональность больше 1, а сопряженная

иррациональность лежит в интервале (-1; 0) (это свойство было доказано Э.

Галуа в 1828 году. Он доказал также, что в случае чисто периодического

разложения сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы,

но расположенные в обратном порядке).

Примеры:

1. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую

цепную дробь x и найти соответствующую иррациональность x=((2,

6, 1)).

Решение: x=(2, 6, 1, x).

Составляем схему вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей.

	2	6	1	x
1	2	13	15	15x+13
0	1	6	7	7x+6

Итак, , откуда получаем: .

Положительное решение этого уравнения дает искомую периодическую дробь.

((2, 6, 1))= -

квадратическая иррациональность. Заметим, что

>1, а –

иррациональность, сопряженная с x – лежит в интервале (-1; 0).

2. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую

цепную дробь x=(3, (2, 1)) и найти соответствующую иррациональность.

Решение x=(3, y), где y=(2, 1, y). Составляем

схему для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей y:

	2	1	y
1	2	3	3y+2
0	1	1	y+1

Следовательно, ,

. Так как y>0, то мы должны взять положительный корень этого

уравнения . Поэтому

для x имеем

. Таким образом, искомая дробь (3, (2, 1))=

. Для соответствующего квадратного уравнения имеем

, откуда получаем:

.

§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида.

Рассмотренные до сих пор правильные бесконечные и конечные цепные дроби являются

частным случаем бесокнечных и конечных цепных дробей общего вида:

(1),

когда в них принимается, что все , , а остальные .

В общем случае элементы цепной дроби

и , k>1

могут принимать произвольные, отличные от 0 рациональные значения, а

может также быть равно нулю.

При помощи цепных дробей общего вида одно и то же рациональное число можно

представить различными способами. Например,

.

В цепной дроби (1), которую записывают также иначе, например,

() или

() числа

и (k=2, 3,

.) называют звеньями,

и – членами k

–го звена, из них –

частным числителем, а

– частным знаменателем.

Чтобы получить разложение рационального числа

в конечную цепную дробь (1), можно все

и , за исключением

одного, выбрать произвольно.

Можно, например, найти разложение

; для этого следует положить

. Можно цепную дробь преобразовать так, чтобы все

были равны 1, то есть, чтобы (1) приняло вид

(2).

Так, например, .

Дроби вида (2) называют обыкновенными цепными дробями, а

, , .,

– их неполными частными. Правильные цепные дроби можно поэтому определить как

обыкновенные цепные дроби с целыми положительными неполными частными, начиная с

, причем может быть

любым целым числом.

Правильные цепные дроби являются наиболее простыми и наиболее изученными

среди цепных дробей общего вида, однако и другие цепные дроби играют большую

роль и имеют важные применения, например, в приближенном анализе, где при их

помощи без сложных выкладок получают дробно-рациональные приближения функций.

Рассмотрим обзорно некоторые свойства цепных дробей общего вида.

Происхождение таких цепных дробей связано с обобщенным алгоритмом Евклида.

Если мы имеем систему равенств

, ,

, . с произвольными рациональными числами, то при b, c, d

0, из них следуют равенства

, ,

, ., так что, подставляя по цепочке, получаем

.

k-я подходящая дробь определяется для по формуле при условии, что , , , .

Пользуясь ею, найдем, например, подходящие дроби для разложения

. Имеем =

, ,

, ,

, . Заметим, что

получаемые в процессе рекуррентного вычисления подходящие дроби могут быть

сократимыми, но сокращать их можно лишь при определенных условиях.

Свойства подходящих дробей цепных дробей общего вида с положительными

элементами и правильных цепных дробей вполне аналогичны.

Бесконечная цепная дробь (1) называется сходящейся, если существует

конечный предел ; в

таком случае

принимается за значение этой дроби. Не всегда общие бесконечные цепные дроби

являются сходящимися, даже тогда, когда они имеют лишь положительные элементы.

Существует ряд признаков сходимости цепных дробей:

Пусть дана непрерывная дробь вида

, где ,

1) Пусть , все

члены последовательностей

, действительные

числа и для всех

, начиная с некоторого. Если для таких k выполняется неравенство

, то цепная дробь сходится.

2) Пусть и все

члены последовательности

, начиная с k=2 положительны. Тогда цепная дробь сходится тогда и только

тогда, когда ряд

расходится (теорема Зейделя).

Интересной особенностью цепных дробей общего вида является то, что даже

рациональные числа могут ими разлагаться в бесконечные цепные дроби.

Например, имеется разложение

=, , , , , .

0,3; 0,42; 0,45; 0,467; .

Примечательно то, что квадратические иррациональности разлагаются и в

непериодические цепные дроби общего вида.

Например, имеется разложение

=, , , , , , , .

1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; .

Но самое интересное и важное это то, что в то время как до настоящего времени

неизвестно разложение в правильную цепную дробь ни одной алгебраической

иррациональности степени выше второй (другими словами, неизвестны общие

свойства неполных частных таких разложений, разложения сами по себе со сколь

угодной точностью можно практически найти), при помощи общих цепных дробей

такие разложения находятся довольно легко. Отметим, например, некоторые

разложения и соответствующие подходящие дроби для

:

=, , , , , , .

1,33; 1,22; 1,284.

=, , , , , , .

1,17; 1,25; 1,258; 1,2596; .

Приведем еще несколько примеров разложений других иррациональностей в цепные

дроби общего вида:

=, , , , , , .

Эта цепная дробь для

была найдена еще более 300 лет назад английским математиком Брункером.

=, , , , , , ,

В 1776 году И. Ламберт нашел разложение tg x в цепную дробь: tg x=

А. Лежандр в предположении, что эта цепная дробь сходится, показал, что ее

значение для рациональных значений x иррационально. Принято считать,

что тем самым была доказана иррациональность числа

.

Л. Эйлер нашел, что:

=(1; 6, 10, 14, .). Также Эйлер нашел разложение в цепную дробь числа e.

e=(2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, .), то есть элементы

разложения e в цепную дробь имеют вид:

, ,

Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) нашел разложение числа

в виде цепной дроби.

Первые 25 неполные частные разложения числа

в правильную цепную дробь есть числа:

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1.

Решение задач

1. Записать в виде конечной цепной дроби

a) ; b) ; c) 2,98976; d)

Решение:

a) =(0, 2, 15);

b) =(3, 7, 15, 1, 292);

c) 2,98976==(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10);

d) =–(2, 1, 30, 2)=(-2, 1, 30, 2)

2. Разложить простую дробь в цепную дробь и найти ее подходящие дроби.

a) ; b) ; c) ; d)

Решение:

a) =(3, 2, 1, 24);

Находим подходящие дроби:

		3	2	1	24
	1	3	7	10	247
	0	1	2	3	74

=; =; =

b) =(3, 3, 33);

		3	3	33
	1	3	10	333
	0	1	3	100

=; =

c) ==(3, 7, 15, 1, 292);

		3	7	15	1	292
	1	3	22	333	355	103993
	0	1	7	106	113	33102

=; =; =; =;

d) =(0, 2, 2, 3);

		0	2	2	3
	1	0	1	2	7
	0	1	2	5	17

=; =; =.

3. Сократить дробь

a); b); c)

Решение: a);

Разложим ее в конечную цепную дробь и найдем последнюю подходящую дробь для нее.

=(4, 1, 1, 6)

=; =; =; =

Дробь несократима и =.

b)=(0, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2)

; =; =; =; =; =; =; =

Дробь несократима =.

c)=(1, 1, 2, 2, 32)

; =; =; =; = - несократима =.

4. Найдите первые четыре подходящие дроби разложения в цепную дробь числа

=3,14159265.

; =; =; =

Ответ: ; ; ; .

5. Преобразуйте в обыкновенную дробь следующие цепные дроби: a) (2, 1, 1, 2,

1, 6, 2, 5); b) (2, 3, 1, 6, 4); c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5);

d) (0, 3, 1, 2, 7).

Решение: a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5)=

Составим таблицу подходящих дробей:

	2	1	1	2	1	6	2	5
	2	3	5	13	18	121	260	1421
	1	1	2	5	7	47	101	552

Ответ: =

b) (2, 3, 1, 6, 4)=

	2	3	1	6	4
	2	7	9	61	253
	1	3	4	27	112

Ответ: =

c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5)

	1	3	2	4	3	1	1	1	5
	1	4	9	40	129	169	298	467	2633
	1	3	7	31	100	131	231	362	2041

Ответ: =

d) (0, 3, 1, 2, 7)=

	0	3	1	2	7
	0	1	1	3	22
	1	3	4	11	81

Ответ: =

6. Разложить в цепную дробь и заменить подходящей дробью с точностью до 0,001

следующие числа:

a) ; b) ; c) ; d) .

Решение: a) =

. Выделим из его

целую часть: , а

дробную часть -2,

которая <1, представим в виде

, где . Повторяя

эту операцию выделения целой части и переворачивания дробной, получаем:

;

;

.

Мы получили, что ,

следовательно, неполные частные, начиная с

будут повторяться и

=(2, (4)).

Составим таблицу подходящих дробей:

	2	4	4	4	.
	2	9	38
	1	4	17	72

Нам необходимо найти такую подходящую дробь

, чтобы . Очевидно,

что это , так как

17·72>1000.

Ответ: .

b) =; =5

;

;

;

;

;

.

Мы получили

неполные частные, начиная с

будут повторяться и

=(5, (1, 1, 1, 10)).

	5	1	1	1	10	1	.
	5	6	11	17	181	198
	1	1	2	3	32	35

, так как 32·35>1000. Ответ: .

c) =(3, 2, 5, 2, 7, 2);

	3	2	5	2	7	2
	3	7	38	83	619	1321
	1	2	11	24	179	382

, так как 24·179>1000.

Ответ: .

d) =; =1

;

;

;

=((1, 2))

	1	2	1	2	1	2	1	2	1
	1	3	4	11	15	41	56	153
	1	2	3	8	11	30	41	102

, так как 30·41>1000.

Ответ: .

7. Найти действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби:

a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))

Решение:

a) (4, (3, 2, 1)) - смешанная периодическая дробь.

, то есть , где

x=((3, 2, 1)) - чисто периодическая цепная дробь. Так как выражение,

начинающееся с четвертого неполного частного 3, имеет тот же вид:

, то мы можем

записать x=(3, 2, 1, x)=

=, после чего

приходим к квадратному уравнению относительно x:

D=64+12·7=148 .

Положительное решение и есть x. . Найдем .

=4+=

Ответ: .

b) ((2, 1))=

=(2, 1, )

Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить

задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей:

	2	1
	2	3	3+2
	1	1	+1

=

D=4+4·2=12

Положительное решение и есть искомое .

Ответ: .

8. Решить в целых числах уравнения:

a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53.

Решение:

a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение.

(143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида)

уравнение решений не имеет.

Ответ: .

b) 2x+5y=7

(2, 5)=1 уравнение имеет решение в целых числах.

Разложим в цепную дробь. =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. ; ;

На основании свойства подходящих дробей получим

2·2-1·5 =(-1)3 или 2·2+5(-1)=-1

2·(-14)+5·7=7, то есть – частное решение.

Все решения могут быть найдены по формулам

или

c) 23x+49y=53

(23, 49)=1 существуют целые решения.

=(0, 2, 7, 1, 2)

, , , ,

17·23-8·49=(-1)5

23·17+49·(-8)=-1

23·(-901)+49·424=53

или

9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно

11, а второе – 17.

Решение: Пусть 11x – первое число 11x>0 x>0;17y - второе число 17y>0 y>0.

Тогда 11x+17y=150

(11, 17)=1существуют решения.

(11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5)

	0	1	1	1	5
	0	1	1	2	11
	1	1	2	3	17

11·3-2·17=(-1)5=–1

11·3+17·(-2)=-1

11·(-450)+17·300=150

x=-450+27·17=999 - первое число

y=300-11·27=351 - второе число.

Ответ: 99; 51.

10. Решить уравнения Пелля:

a) b)

Решение:

a)

Представим в виде цепной дроби:

=(5, (10)).

Количество чисел в периоде нечетное (одна) =(5; 10)=.

- наименьшее положительное решение.

Ответ: x=51, y=10.

b)

=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))

Количество чисел в периоде четное (шесть)

	4	2	1	3	1	2
	4	9	13	48	61	170
	1	2	3	11	14	39

Ответ: x=170, y=39.

Заключение

Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике.

Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c.

Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти

какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно

указать алгоритм для разыскания такого частного решения.

Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных

уравнений, например, так называемого уравнения Пелля:

().

Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и

трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных

функций.

В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в

вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для

решения ряда задач на ЭВМ.

Литература:

1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.

2. А.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.

3. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М,

«Просвещение», 84.

4. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М, «Наука», 72.

5. А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М,

«Просвещение», 84.

6. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и

теории чисел. М, «Просвещение», 93.

7. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.

8. Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 85.

9. Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.

Страницы: 1, 2, 3, 4