РУБРИКИ

Реферат: Дифференциальные уравнения

 РЕКОМЕНДУЕМ

Главная

Правоохранительные органы

Предпринимательство

Психология

Радиоэлектроника

Режущий инструмент

Коммуникации и связь

Косметология

Криминалистика

Криминология

Криптология

Информатика

Искусство и культура

Масс-медиа и реклама

Математика

Медицина

Религия и мифология

ПОДПИСКА НА ОБНОВЛЕНИЕ

Рассылка рефератов

ПОИСК

Реферат: Дифференциальные уравнения

Реферат: Дифференциальные уравнения

Введение.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические,

экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих

как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением

которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные,

называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области

рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую

приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была

успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о

новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной

закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого

процесса.

Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) – число

покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового

товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре.

Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей

посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно

малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и

вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече

покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем

информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в

момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей

впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение

Реферат: Дифференциальные уравнения или Реферат: Дифференциальные уравнения .

Данное уравнение содержит величину x и ее производную Реферат: Дифференциальные уравнения

, т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид

зависимости величины x от t:

Реферат: Дифференциальные уравнения , где параметр A

подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при

t=0 величина x(0)=gN (g - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к

началу рассматриваемого процесса), то Реферат: Дифференциальные уравнения

. На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе

график известен как логистическая кривая.

Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе

распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.

В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения

однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C

– параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее

свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная

кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее

уравнение семейства получаем тождество Реферат: Дифференциальные уравнения

.

Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c)

по x, получаем

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

описывающее свойство присущее всем кривым семейства.

Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.

Дифференцируя данное уравнение по x, получаем Реферат: Дифференциальные уравнения .

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее

уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных

гипербол.

1. Основные понятия и определения.

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее

производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

Реферат: Дифференциальные уравнения или Реферат: Дифференциальные уравнения .

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок

наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

А) Реферат: Дифференциальные уравнения является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) Реферат: Дифференциальные уравнения является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) Реферат: Дифференциальные уравнения является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция

y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальной уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения .

Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1

, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c1sinx+c2cosx

дважды по x получаем Реферат: Дифференциальные уравнения

. Подставляя выражения для Реферат: Дифференциальные уравнения

и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем Реферат: Дифференциальные уравнения

.

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому

само решение называют еще интегралом уравнения.

Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите

вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде

или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких

параметров, вообще говоря, может быть несколько.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка

Реферат: Дифференциальные уравнения отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется

функция y=f(x, c1, c2, ., cn), зависящая от

аргумента x и n произвольных постоянных c1, c2, ., c

n, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она

представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, ., cn

)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение

дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1

, c2 , ., cn. Обычно значения этих произвольных постоянных

c1, c2 , ., cn определяются заданием начальных

условий: y(x0)=y0, Реферат: Дифференциальные уравнения

. Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

............

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

решая которые относительно c1, c2 , ., cn находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка Реферат: Дифференциальные уравнения

общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y

0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через

точку M(x0,y0).

2. Геометрическая интерпретация.

Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на

примере уравнения 1-го порядка вида Реферат: Дифференциальные уравнения

.

В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке

M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор Реферат: Дифференциальные уравнения

, отложенный от точки M.

Таким образом дифференциальное уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения

порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле

существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением

дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается

вектора поля направляющей.

Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой

точке кривой касательная к ней имеет направлениеРеферат: Дифференциальные уравнения

, где a - угол наклона касательной к оси x. Из Реферат: Дифференциальные уравнения

(условие касания кривой с вектором Реферат: Дифференциальные уравнения

) и равенства абсцисс векторов Реферат: Дифференциальные уравнения

и Реферат: Дифференциальные уравнения вытекает тождество Реферат: Дифференциальные уравнения

, выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является

решением уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения

.

И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения

, то Реферат: Дифференциальные уравнения . Последнее

соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной Реферат: Дифференциальные уравнения

совпадает с вектором Реферат: Дифференциальные уравнения

поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектораРеферат: Дифференциальные уравнения

поля направлений.

В качестве иллюстрации возьмем уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения .

Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это

линия в каждой точке которой вектор Реферат: Дифференциальные уравнения

поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=l,

и каждой точке изоклины соответствует вектор Реферат: Дифференциальные уравнения

.

Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением Реферат: Дифференциальные уравнения

или y=-lx.

Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат.

На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям Реферат: Дифференциальные уравнения

, черточками изображены направления векторов Реферат: Дифференциальные уравнения

в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают

гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение

рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает

семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных

узлов, значениям c<0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов.

3. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка.

Задано дифференциальное уравнение вида

Реферат: Дифференциальные уравнения или, иначе, Реферат: Дифференциальные уравнения .

Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x

0)=y0. Тогда из Реферат: Дифференциальные уравнения

следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) –

первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для

f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c0. Из y(x0)=y

0, y(x0)=F(x0)+c0 получаем c0

=y0-F(x0), т.е. y(x)=F(x)-F(x0)+y0.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным

интегралом Реферат: Дифференциальные уравнения . Тогда

разность F(x)-F(x0) равна значению определенного интеграла Реферат: Дифференциальные уравнения

,

И, следовательно, получаем

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Задача поиска решения дифференциального уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения

, удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, получила в

литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального

уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения было

получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения и начальные значения x0,y0.

Тогда если

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области Реферат: Дифференциальные уравнения ;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. Реферат: Дифференциальные уравнения

, где L – постоянная;

То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее

начальному условию y(x0)=y0 и являющееся непрерывно

дифференцируемым в интервале Реферат: Дифференциальные уравнения

, где Реферат: Дифференциальные уравнения .

Доказательство теоремы приводить не будем, укажем лишь, что может быть

осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941),

использующего ранее приведенное интегральное уравнение.

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится

по правилу:

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

............

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Далее можно показать, что функция Реферат: Дифференциальные уравнения

дает единственное решение дифференциального уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения

в промежутке Реферат: Дифференциальные уравнения .

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка

разрешенного относительно производной y/.

Более общим видом является случай уравнения вида Реферат: Дифференциальные уравнения

, не разрешимого относительно производной y/.

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y/,

и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений Реферат: Дифференциальные уравнения

(k=1,2,.,m).

Если при этом каждая из функций Реферат: Дифференциальные уравнения

(k=1,2,.,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то

через точку (x0,y0) будет проходить m интегральных кривых

уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения . Пусть

при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других

кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное

решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений

каждого из уравнений Реферат: Дифференциальные уравнения

(k=1,2,.,m), т.е. решения y=Yk(x,c) (k=1,2,.,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида Реферат: Дифференциальные уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения

. Разрешая его относительно y/ получаем два уравнения y/=1

и y/=-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две

интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси

Ox в 450 и 1350. Общим решением уравнения будет семейство

интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

Особым решением дифференциального уравнения

Реферат: Дифференциальные уравнения или Реферат: Дифференциальные уравнения

называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает

свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее

двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может

иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти

решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

4. Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида

F(x,y,y/)=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с

условием Реферат: Дифференциальные уравнения , не

обеспечивающим представление y/ как неявной функции переменных x и

y, задаваемой уравнением F(x,y,y/)=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

и исключая из нее переменную y/, получаем функцию y=y(x), которая

может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y/)=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

Реферат: Дифференциальные уравнения ,

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y/)=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального

уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y/

)=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая

общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой

нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

Пример 1. Дано уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения .

Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c.

Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое

дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Рассмотрим решение уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения

Его общее решение имеет вид Реферат: Дифференциальные уравнения . Выписывая систему уравнений

Реферат: Дифференциальные уравнения или Реферат: Дифференциальные уравнения , (где p=y/)

и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0 (ось

Ox). Очевидно, она является решением дифференциального уравнения, так как из

y=0=const следует y/=0. Кроме того через любую точку M(x0

;0) этой кривой проходит частное решение дифференциального уравнения, получаемое

из общего при c=-x0. Не трудно убедиться, что касательные в точке

M(x0;0) дискретной кривой и частного решения совпадают. Таким

образом, дискретная кривая y=0 является особым решением исходного

дифференциального уравнения.

Ниже на рис. 3 изображено семейство интегральных кривых этого уравнения,

являющееся семейством парабол.

Из рисунка видно, что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в

каждой точке некоторой кривой семейства.

Выше была рассмотрена ситуация, когда уравнение F(x,y,y/)=0 не

определяло y/ как неявную функцию переменных x и y, так как

выполнялось условие Реферат: Дифференциальные уравнения

.

Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального

уравнения, выполняется условие Реферат: Дифференциальные уравнения

. В этом случае уравнение F(x,y,y/)=0 определяет y/ как

неявную функцию от x и y, т.е. можно считать y/=f(x,y) или даже явно

выразить y/ через x и y в виде y/=f(x,y). Тогда особое

решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3,

теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального

уравнения.

Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и геометрическое

место точек, в которых оно нарушается, задается условием Реферат: Дифференциальные уравнения

или, считая Реферат: Дифференциальные уравнения ,

условием Реферат: Дифференциальные уравнения .

Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения

(сравните с примером 2). Здесь Реферат: Дифференциальные уравнения

. Так как Реферат: Дифференциальные уравнения , то

дискретная кривая отсутствует. Из Реферат: Дифференциальные уравнения

и условия Реферат: Дифференциальные уравнения , находим,

что в точках кривой y=0, являющейся осью Ox, нарушается условие теоремы Коши.

Следовательно, эта кривая y=0 может быть особым решением. Остается проверить,

что она удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и что в ее точках

нарушается условие единственности прохождения интегральной кривой. Общее

решение данного уравнения имеет вид Реферат: Дифференциальные уравнения

, т.е. такой же, как и в примере 2. Разбирая пример 2, выполнимость обоих

условий была проверена. Следовательно, решение y=0 действительно является

особым.

Пример 4. Дано уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения .

Для него Реферат: Дифференциальные уравнения , т.е.

дискретной кривой нет. Из Реферат: Дифференциальные уравнения

и условия Реферат: Дифференциальные уравнения , получаем

точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному

уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие

семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых

интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой

точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой

точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той

интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке

M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а

именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка,

из тождества вытекает Реферат: Дифференциальные уравнения

.

Покажем, что Реферат: Дифференциальные уравнения .

Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x0

=x(t0), y0=y(t0) при t=t0 равен

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Уравнение Ф(x,y,c0)=0, где c0=c(t0), задает

интегральную кривую семейства, проходящую через точку M0(x0

, y0). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в

точке M0(x0, y0) равен Реферат: Дифференциальные уравнения

, где Реферат: Дифференциальные уравнения уравнение

данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c0)=0, как неявное

задание уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения

интегральной кривой, значение Реферат: Дифференциальные уравнения

найдем из соотношения Реферат: Дифференциальные уравнения

, предполагая Реферат: Дифференциальные уравнения .

Из Реферат: Дифференциальные уравнения получаем Реферат: Дифференциальные уравнения и

Реферат: Дифференциальные уравнения или

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Таким образом, для произвольного значения t0 параметра t выполняется Реферат: Дифференциальные уравнения .

Следовательно, из Реферат: Дифференциальные уравнения с учетом доказанного соотношения получаем

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Но так как Реферат: Дифференциальные уравнения , ибо Реферат: Дифференциальные уравнения

, то из последнего вытекает, что в точках огибающей должно выполняться условие Реферат: Дифференциальные уравнения

.

Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей

(исключая точки, где одновременно Реферат: Дифференциальные уравнения

и Реферат: Дифференциальные уравнения ). Окончательно

убеждаясь в том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие

касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства.

Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2 Реферат: Дифференциальные уравнения

. Его общее решение имеет вид Реферат: Дифференциальные уравнения

, т.е. Реферат: Дифференциальные уравнения .

Для нахождения огибающей рассмотрим систему

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0 действительно

является огибающей, так как через каждую ее точку M(x0;0) проходит

интегральная кривая со значением параметра c=-x0.

Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения

. Его общее решение имеет вид (x-c)2+y2=1 получаем Реферат: Дифференциальные уравнения

. Подставляя Реферат: Дифференциальные уравнения и

(x-c)2+y2=1 в левую часть уравнения, получим тождество Реферат: Дифференциальные уравнения

.

Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности

единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox.

На рис. 4 изображено семейство этих окружностей.

Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и

y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих его

два особых решения.

Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c)2+y2

-1, Реферат: Дифференциальные уравнения получаем

следующую систему уравнений

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Исключая из уравнения параметр c, получаем y2=1. Данное уравнение

дает две огибающих y=1 и y=-1.

Пример 7. Дано уравнение Реферат: Дифференциальные уравнения .

Его общее решение будет Реферат: Дифференциальные уравнения

, представляющем семейство гипербол, изображенных на рис. 5.

Из Реферат: Дифференциальные уравнения для нахождения предполагаемых огибающих получаем систему уравнений

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Исключая из уравнений параметр c получаем уравнение кривой y=0, являющейся

осью Ox.

Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и, следовательно,

является его решением. Однако, она не является огибающей, так как не имеет

общих точек с интегральными кривыми семейства. Таким образом, являясь

решением уравнения, она не является его особым решением.

Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных

уравнений.

5. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися

переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

Реферат: Дифференциальные уравнения

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть

представлено в виде Реферат: Дифференциальные уравнения

или Реферат: Дифференциальные уравнения .

Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого

уравнения, оно может быть записано в виде

Реферат: Дифференциальные уравнения (отсюда происходит название данного типа уравнения).

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С

другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например,

если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y –

объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от

величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через

соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией

другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение

отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x),

уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что Реферат: Дифференциальные уравнения

.

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или

f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения,

получая

Реферат: Дифференциальные уравнения , Реферат: Дифференциальные уравнения

и затем приравнять их H(y)+c1=G(x)+c2 (имея в виду

z=H(y)+c1, z=G(x)+c2, и затем z исключается). Вместо двух

постоянных c1 и c2 обычно берется одна c=c2-c

1, и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

H(y)=G(x)+c.

Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно

функцией другой y=y(x) или x=x(y).

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение получаемое при моделировании

процесса распространения информации о новом товаре

Реферат: Дифференциальные уравнения Реферат: Дифференциальные уравнения .

Данное уравнение, очевидно, относится к уравнению с разделяющимися

переменными. Разнеся переменные x и t и их дифференциалы по разные стороны,

уравнение запишем в виде

Реферат: Дифференциальные уравнения или Реферат: Дифференциальные уравнения .

Проинтегрируем каждую из сторон этого уравнения:

Реферат: Дифференциальные уравнения

, Реферат: Дифференциальные уравнения .

Приравнивая найденные интегралы получаем

Реферат: Дифференциальные уравнения или Реферат: Дифференциальные уравнения ,

где c=N(c1-c2). Отсюда далее Реферат: Дифференциальные уравнения

, где Реферат: Дифференциальные уравнения . Так как по

смыслу задачи Реферат: Дифференциальные уравнения , то Реферат: Дифференциальные уравнения

, и тогда Реферат: Дифференциальные уравнения .

Окончательно общее решение дифференциального уравнения получает вид

Реферат: Дифференциальные уравнения , где Реферат: Дифференциальные уравнения .

Нетрудно проверить, что дискретной и огибающей кривых дифференциальное уравнение

не имеет. Однако беря крайние значения для Реферат: Дифференциальные уравнения

равные Реферат: Дифференциальные уравнения , получаем

кривые x=N и x=0, являющиеся решениями уравнения, но не особыми.

Пример 2. Возьмем дифференциальное уранение

Реферат: Дифференциальные уравнения или Реферат: Дифференциальные уравнения ,

геометрическая иллюстрация решений которого рассматривается в параграфе 2.

Данное уравнение является с разделяющимися переменными> Разнося переменные в

разные стороны, записываем уравнение в виде

Реферат: Дифференциальные уравнения .

Интегрирование левой и правой частей уравнения, дает общее решение вида Реферат: Дифференциальные уравнения

, где постоянная взята в виде lnc,c>0. Далее несложно преобразовать данное

уравнение к виду

Реферат: Дифференциальные уравнения или Реферат: Дифференциальные уравнения , где постоянная Реферат: Дифференциальные уравнения уже не имеет ограничений на знак.

Как видно получилось семейство гипербол.

Пусть из данного семейства интегральных кривых (гипербол) необходимо выделить

кривую (решение) проходящую через точку M(1,1), т.е. выделить решение,

удовлетворяющее начальному условию y(1)=1. Для этого в общее решение уравнения

Страницы: 1, 2


© 2010
Частичное или полное использование материалов
запрещено.