Реферат: Дифференциальные уравнения

Реферат: Дифференциальные уравнения

подставим значения x=1, y=1, и найдем, отвечающее искомой кривой, значение

постоянной .

Очевидно, это значение равно

. Следовательно, искомое частное решение определяется уравнением

Yx=1 или .

Пример 3. Рассмотрим уравнение

, приведенное в параграфе 3. Разрешая его относительно y/, получаем

два уравнения y/=1 и y/=-1 или

и .

Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к виду dy=dx и dx=-dx.

Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их общие

решения y=x+c и y=-x+c.

Пример 4. Следующим уравнением возьмем уарвнение из примера в параграфе 4.

Разрешая его относительно y/ получаем

или .

Разделяя переменные имеем

.

Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения:

.

.

Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем следующий вид

общего решения уравнения

.

Возводя в квадрат обе части данного уравнения, получаем окончательный вид

общего решения

(x-c)2+y2=1.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение ,

Найти его частное решение при условии .

Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является

уравнением с разделяющимися переменными

.

Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем

.

Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее решение

исходного дифференциального уравнения

или .

Используя начальное условие

, определяем значение константы c для искомого частного решения

. Искомое частное решение дается уравнением

.

6. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Функция f(x,y) называется однородной степени m, если .

Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если .

Например, функция является однородной второй степени. Действительно,

. Функция однородная нулевой степени, так как .

Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции

от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная

функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве

, имеем , где

может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е.

.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0,

называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/

=f(x,y) или ., где

f(x,y) – однородная функция нулевой степени.

Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения

с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x.

Подставляя в исходное уравнение

и , получаем

уравнение вида или

, являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является

его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением

исходного уравнения.

Пример 1. Рассматривается уравнение

(x2-y2)dx+2xydy=0.

Перепишем его в виде

. Справа стоит функция однородная нулевой степени. Действительно,

. Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным

уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем

или , т.е. .

Разделяя переменные приходим к уравнению

.

Интегрируем левую и правую части этого уравнения:

.

Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного

дифференциального уравнения относительно переменных x и u

или , где c>0.

Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид

, где c – произвольная постоянная.

Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения

или y2+x2=cx,

Последнее выражение приводится к виду

.

Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является

семейство окружностей с центрами в точках

, лежащих на оси x, и радиусами

. Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. На рис.

6 изображено семейство этих окружностей.

Пример 2. Требуется найти частное решение уравнения ,

Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0.

Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой

степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным.

Выполняя замену y=ux, приводим его к виду

или .

Разделяем переменные, получаем

.

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного

дифференциального уравнения

или .

Подставим в него и

получим .

Логарифмируя обе части этого уравнения получаем

и далее .

Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0.

Подставим их в общее решение

, отсюда и

.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид .

7. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

уравнение вида y/+g(x)y=h(x).

Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y/

его можно рассматривать как линейное.

Если , то уравнение

принимает простой вид y/=h(x), и сводится к нахождению

неопределенного интеграла

. Его общее решение тогда имеет вид

.

Если , то уравнение

называется однородным линейным. Оно приобретает вид

, и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися

переменными

и далее .

Его общее решение имеет вид , где - некоторая первообразная для функции g(x).

Предположим теперь, что

, функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее

решение линейного дифференциального уравнения.

Представим исходное уравнение в виде

,

и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках,

, т.е. как бы полагая в общем решении

. Тогда вышеприведенное уравнение примет вид

,

являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята

для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения

с исходным).

Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть

представлено в виде

,

где A – произвольная постоянная. Очевидно,

является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при

некотором значении

, т.е.

.

Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной

, то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид

.

В нем второй множитель функция

является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного

уравнения . Первый

множитель функция

представляет общее решение дифференциального уравнения u/v(x)=h(x).

Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x,c), получаем тождество

.

Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения

Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного

уравнения ,

решаемое при c=1, u(x,c) – общее решение уравнения u/v(x)=h(x).

Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с

разделяющимися переменными.

Заметим, что хотя при решении однородного уравнения

бралось частное решение V(x) однородного уравнения v/+g(x)v=0,

Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.

На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u/

v(x)=h(x),

Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений

общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде

Y=u(x,c)v(x).

Пример 1. Решить уравнение

Y/+2y=sinx.

Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0.

Из него получаем

или .

Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида

.

Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное

частное решение .

Далее решаем уравнение вида

или .

Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее

решение этого уравнения

.

Вычислим интеграл:

.

Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим

его вид

.

Следовательно, .

Тогда общее решение исходного уравнения будет

.

Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через

точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для

этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее

значение постоянной c:

, отсюда .

Искомым частным решением является

.

Пример 2. Решить уравнение

,

являющееся линейным дифференциальным уравнением.

На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения

, или .

Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем

.

Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение

.

На втором этапе решаем уравнение вида

.

Делая замену ,

сокращая обе части уравнения на

и разделяя переменные, имеем du=x2dx.

Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение

.

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

.

8. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в

виде

M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,

Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть

уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,

то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде

dU(x,y)=0,

а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.

Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы

подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и

т.д.).

Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое

уравнение уравнением в полных дифференциалах.

Путьс

dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для

U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x

и y, т.е.

.

Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные

частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений

,

из тождества

получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие

.

Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того,

чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Было уравнением в полных дифференциалах.

Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два

этапа.

На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x,

переменная y получает как бы фиксированное значение

. Тогда соотношению

ставится в соответствие дифференциальное уравнение

.

Пусть его общее решение представляется в виде

.

Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c

является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего

дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения,

имеет вид

U(x,y)=g(x,y)+h(y).

На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению

,

в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.

Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное

уравнение, связывающее переменные h и y:

или .

Интегрируя это уравнение, находим его общее решение

.

Из , получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно

или

.

В последнем двойном интеграле вместо

можно взять функцию

(т.к. ). Тогда

функция U(x,y) получает вид

.

Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в

виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий

вид общего решения уравнения

или

.

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение

(6x2y2+6xy-1)dx+(4x3y+3x2y+2y)dy=0.

В нем M(x,y)=6x2y2+6xy-1, N(x,y)=4x3y+3x2y+2y. Из и тождества ,

Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Проведем его решение в два этапа.

На первом решаем уравнение

или dU=(6x2y2+6xy-1)dx,

в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение,

получаем

U(x,y)=2x3y2+3x2y-x+h(y).

На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение

и дифференциальное уравнение для h и y

4x3y+3x2+h/(y)=4x3y+3x2+2y или .

Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного

уравнения тогда можно записать в виде

2x3y2+3x2y-x+y2=c.

Пример 2. Найти решение уравнения

2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0.

Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из

M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y2+x2cosy

Находим

.

Так как, очевидно, выполняется условие

,

то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Сначала решаем уравнение

или dU=2xsinydx,

считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает

U(x,y)=x2siny+h(y).

Затем находим функцию h(y), используя соотношения

, с одной стороны, и

, с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению

или .

Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c.

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде

X2siny+y3+c=0.

Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что

уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы

сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению

U(x,y)=c.

Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

Где .

Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в виде

.

Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных

дифференциалах вида

M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0.

Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y),

то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого

оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных

дифференциалах, также для него возможно будет

.

В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится

уравнением в полных дифференциалах.

Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем

дифференциального уравнения

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных

дифференциалах.

Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом

интегрирующего множителя.

Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y).

Из предложения, что уравнение

M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0

Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия

.

Разверернув левую и правую части этого тождества

,

заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения

.

В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два

случая, когда его решение становится проще.

Случай первый. Пусть

.

Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x.

Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду

; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального

уравнения

или ,

интегрируя которое, находим

, т.е. .

Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда

.

Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е. g=g(y).

Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением

уравнения

и представляется в виде

.

Пример 3. Дано уравнение

(y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0.

Из M(x,y)=y2-3xy-2x2, N(x,y)=xy-x2,

, следует

, т.е. уравнение не является в полных дифференциалах.

Однако из соотношения

вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после

умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных

дифференциалах.

Указанный множитель находим из уравнения

,

интегрируя которое получаем

, или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то

положим c=1 и, тогда, g=x.

Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем

(xy2-3x2y-2x3)dx+(x2y-x3)dy=0,

являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим

,

,

затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x,y)=x2y-x3

получаем x2y-x3+h/=x2y-x3, т.е. и,

следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид

.

Пример 4. Требуется решить уравнение

(2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0.

Из M(x,y)=2xy2-y, N(x,y)=y2+x+y, следует

.

Однако из соотношения

,

вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует

интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится

уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель находится из уравнения

.

Интегрируя его, получаем .

Умножая исходное уравнение на множитель , приходим к уравнению

.

Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его

,

,

затем из и ,

получаем

или .

Интегрируя последнее уравнение, имеем .

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

.

9. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий

вид

F(x,y,y/,y//)=0 или .

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет

ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с

постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y//+py/+qy=h(x),

где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравнении

, то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго

порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

.

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида ,

Называемое характеристическим. Его корни, как известно, определяются формулами

.

Возможны следующие три случая для вида корней

этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни –

действительные и равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для

каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид

общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p2

-4q>0. Тогда оба корня

действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения

имеет вид

,

где c1, c2 – произвольные постоянные.

Действительно, если

, то ,

. Подставляя выражения для y,y/ и y// в уравнение получим

.

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е

p2-4q=0.

Тогда оба корня действительные и равные, т.е. .

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен,

т.е. p2-4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что

оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая

, общее решение однородного уравнения дается в виде

.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y//+py/+g(y)\h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y/=z, y

//=z/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения

первого порядка z/+pz=h(x).

Страницы: 1, 2