Шпора: Экономико-математическое моделирование

Шпора: Экономико-математическое моделирование

Министерство образования Украины

Черниговский государственный институт экономики и управления

Кафедра Высшей математики и экономико-математических методов.

К.т.н., доцент Сидин Э.Ф.

Экономико-математическое моделирование

Учебное пособие

для студентов всех специальностей

дневной формы обучения

Электронный вариант

Чернигов, 1999г.

Сидин Э.Ф.

Экономико-математическое моделирование.

Учебное пособие. Электронный вариант-дискета.

Учебное пособие написано на базе материала лекций, которые читаются студентам

дневной формы обучения.

Пособие содержит краткое изложение теоретических вопросов и конкретные

экономико-математические модели по каждой теме рабочей программы.

В начале пособия помещено содержание электронного курса, что облегчает поиск

необходимого материала.

В конце пособия приведен обзор пакетов прикладных программ, позволяющих

реализовать те или иные экономико-математические модели.

Учебное пособие может быть использовано студентами при написании курсовых и

дипломных работ.

Рецензент:

Маслов В.П., к.т.н., доцент

Содержание

Тема 1. Предмет и структура курса. Основные принципы

системного подхода. 4

1.1. Предмет и структура

4

1.2. Понятие сложной

4

1.3. Взаимодействие системы с внешней

средой................................................................... 4

1.4. Особенности сложных

4

1.5. Основные понятия системного подхода и

анализа........................................................ 4

1.6. Классификация систем и их

5

1.7. Особенности экономических

5

Тема 2. Метод математического моделирования в

экономике................................................. 5

2.1. Понятие «модель» и

5

2.2. Классификация

6

2.3. Этапы практического

6

2.4. Оптимальность управления и достаточность системы

ограничений........................... 6

2.5. Формальная классификация

6

Тема 3. Матричные ЭММ. Модель межотраслевого

баланса................................................... 7

3.1. Основные соотношения и понятия

модели..................................................................... 7

3.2. Коэффициенты прямых и полных материальных

затрат................................................ 8

3.3. Разновидности матричных балансовых

моделей............................................................ 9

Тема 4. Оптимизационные

9

1.1. Особенности ЭММ

9

4.2. ЭММ оптимизации производственного плана

отрасли................................................ 9

4.3. ЭММ оптимизации выпуска продукции предприятиями

отрасли............................. 10

4.4. ЭММ распределения финансовых ресурсов по

10

4.5. Распределение капитальных вложений по

проектам................................................... 11

4.6. ЭММ составления оптимальных смесей, сплавов,

11

4.7. ЭММ оптимизации раскроя

11

4.8. Экономическая интерпретация двойственных задач

линейного программирования. 12

Тема 5. Методы моделирования стохастических

12

5.1. Понятие о вероятностных системах и

процессах.......................................................... 12

5.2. Имитационное моделирование систем и

процессов.................................................... 12

5.3. Имитационная модель и ее

13

5.4. Метод Монте-Карло (метод статистических

испытаний)............................................ 13

Тема 6. Методы и модели управления

14

6.1. Основные определения и понятия теории управления

запасами............................... 14

6.2. Классификация систем снабжения и их

моделей.......................................................... 14

6.3. Стратегия управления

15

6.4. Детерминированная ЭММ управления запасами с

фиксированным спросом.......... 15

6.5. Модель управления запасами при случайном

спросе.................................................. 16

6.6. ЭММ управления запасами с ограничениями на

складские помещения.................... 16

Тема 7. ЭММ систем массового

17

7.1. Основные понятия и

17

7.2. Классификация и обозначение

17

7.3. Основные характеристики системы массового

обслуживания................................... 18

Тема 8. ЭММ и модели

19

8.1. Основные характеристики и классификация

АСУ........................................................ 19

8.2. ЭММ расчета эффективности

19

Тема 9. Эконометрические модели и их применение в

экономике........................................ 19

9.1. Основные понятия об эконометрических моделях и

корреляционном анализе........ 19

9.2. Метод наименьших квадратов

20

9.3. Использование качественных показателей в

эконометрических моделях.................. 22

Тема 10. Обзор прикладных пакетов

22

Тема 1. Предмет и структура курса. Основные принципы

системного подхода.

1.1. Предмет и

структура курса.

ЭММ – это комплекс экономических и математических дисциплин. Научной основой

являются основные положения диалектики, экономики, теории сложных систем,

законы математики.

Цель изучения курса - получение знаний об экономике, построении ЭММ и их

оптимизации на ЭВМ.

1.2. Понятие сложной системы.

Сложная система – комплекс подсистем, обладающих общими сложными свойствами.

Элемент системы при данном подходе – это тот объект, который не подлежит

расчленения, и внутренняя структура которого не исследуется. Сложные системы,

их структура и иерархия определяются целями исследования.

Подсистема – самостоятельно функционирующий объект, не подлежащий декомпозиции.

Принципы выделения системы:

- наличие управляющего центра;

- обладает общей целью;

- состоит из компонентов;

- система работает при взаимодействии с окружающей средой;

- система жизнеспособна при наличии достаточных ресурсов.

1.3. Взаимодействие системы с внешней средой

Любая техническая, биологическая система работает в окружении среды, которая

оказывает внешнее воздействие на систему с параметрами возмущения,

искажающими результаты управления.

Параметры:

X – входные параметры, факторные признаки, экзогенные параметры;

Y – выходные параметры, результативные признаки, эндогенные параметры;

Z – параметры возмущения, случайные факторы, случайные составляющие;

U – параметры управления. Системы бывают открытые (взаимодействующие с

внешней средой) и закрытые (невзаимодействующие с внешней средой).

1.4. Особенности сложных систем.

Сложная система – комплекс отдельных подсистем, функционирующих в тесном

взаимодействии, решающих общую задачу.

Основные особенности:

- наличие большого количества связанных между собой отдельных

подсистем;

- наличие иерархической структуры управления, как по горизонтали,

так и по вертикали;

- обязательной присутствие информационной сети;

- функционирование связано с воздействием случайных факторов.

Эффективность системы определяется функционалом:

W = F0 (f(x0), f(x1),.,f(xn))

1.5. Основные понятия системного подхода и анализа.

При анализе сложных экономических систем (СЭС) придерживаются системного

подхода. Это предполагает максимальный охват всех взаимосвязей и анализ

последствий принятого решения.

Основные моменты:

а) Уточнение предметной области исследования, ее структуризация на задачи;

б) выбор параметров и критериев оценки эффективности системы;

в) Подбор нужных ЭММ;

г) Уточнение деталей и целей анализа системы;

д) Синтезирование математических моделей, обеспечивающих достижение

поставленных целей.

Системы в своем структурном строении бывают одноуровневые и многоуровневые.

1.6. Классификация систем и их моделей.

В зависимости от признаков системы, сами системы и их модели классифицируются

на:

1) динамические и статические;

2) стохастические (вероятностные) и детерминированные (регулярные);

3) непрерывные и дискретные;

4) линейные и нелинейные.

По наличию обратных связей системы подразделяются на открытые, закрытые,

комбинированные.

Открытые:

Закрытые:

Комбинированные:

1.7. Особенности экономических систем.

Экономическая система является частью более сложной системы – социально-

экономической, и представляет собой вероятностную, динамическую, адаптивную

систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и

потребления материальных благ, а также предоставления различных сервисных

услуг. Как правило, входные параметры экономических систем – это материальные

вещественные потоки производственных и природных ресурсов, то есть Х. Входные

параметры – это материальные вещественные потоки, оборудование, военная

продукция, продукция накопления, возмещения и экспорта, то есть У.

Экономические системы – многоступенчатые, многоуровневые системы, и любая

неопределенность, случайность во входных параметрах в нижних уровнях приводит

к неопределенностям и случайностям в выходных параметрах подсистем более

высокого порядка и системы в целом.

Структурная схема простой экономической системы

ЭММ оптимизации обычной экономической системы

где pi – прибыль от реализации единицы продукции;

xi - объем выпуска продукции;

ai - расход сырья на единицу продукции;

B - общий запас сырья;

W - область допустимых ограничений;

Тема 2. Метод математического моделирования в

экономике.

2.1. Понятие «модель» и

«моделирование».

С понятием «моделирование экономических систем» (а также математических и

др.) связаны два класса задач:

1) задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее

свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная область

будущего моделирования.

2) Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).

Модель – изображение, представление объекта, системы, процесса в

некоторой форме, отличной от реального существования.

Различают физическое и математическое моделирование.

2.2. Классификация моделей.

Модели

2.3. Этапы практического моделирования.

1) Анализ экономической системы, ее идентификация и определение

достаточной структуры для моделирования.

2) Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и

математической спецификации.

3) Верификация модели и уточнение ее параметров

4) Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели,

их необходимая валидация (исправление, корректирование).

Этап подгонки модели многократный.

2.4. Оптимальность управления и достаточность системы ограничений.

В экономических системах (моделях) критерием оптимальности выбирают

параметры, как правило, определяющие наилучшим образом эффективность данной

системы. Такими параметрами могут быть максимальная прибыль и затраты,

минимальное время достижения цели и т.д.

Вектор оптимального управления – набор тех параметров, которые

обеспечивают оптимальную траекторию функционирования данной ЭС. В любой модели

(ЭС) имеются ограничения по ресурсам, по фондам и т.д. Поэтому система

ограничений W – запись условий в виде уравнений, неравенств, в которых

существует единственное оптимальное решение. Совместимость ограничений –

обязательное условие разрешимости любой модели. На практике – это запасы

ресурсов, сырья, трудовые ресурсы, финансовые ресурсы, др.

«Смягчить ограничение» - значит, получить показатель оптимизации оптимистичным.

«Ужесточить ограничения» - сделать более строгими, значит получить показатель

оптимизации пессимистичным.

Ограничения могут встречаться в разных комбинациях.

ЭММ линейна тогда и только тогда, когда целевая функция и система ограничений

линейны. Любая комбинация:

- целевая функция линейна - W нелинейна;

- целевая функция нелинейна - W линейна;

- целевая функция нелинейна - W нелинейна;

приводит к нелинейности модели.

2.5. Формальная классификация моделей.

Признак классификации	Модель
1. Целевое назначение	Прикладные, теоретико-аналитические
2. По типу связей	Детерминированные, стохастические
3. По фактору времени	Статические, динамические
4. По форме показателей	Линейные, нелинейные
5. По соотношению экзогенных и эндогенных переменных	Открытые, закрытые
6. По типу переменных	Дискретные, непрерывные, смешанные
7. По степени детализации	Агрегированные (макромодели), детализированные (микромодели)
8. По количеству связей	Одноэтапные, многоэтапные
9. По форме представления информации	Матричные, сетевые
10. По форме процесса	Аналитические, графические, логические
11. По типу математического аппарата	Балансовые, статистические, оптимизационные, имитационные, смешанные

Тема 3. Матричные ЭММ. Модель межотраслевого

баланса.

3.1. Основные соотношения и

понятия модели.

Матричные экономико-математические модели предназначены для анализа и

планирования производства и распределения про­дукции на различных уровнях —

от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом.

Положительными и ценными качествами данной модели являются общность расчетов,

которые опираются на знание коэффициентов прямых и полных материальных

затрат.

Основу баланса составляет совокупность всех отраслей мате­риального

производства; их число равно п. Каждая отрасль дважды фигурирует в

балансе: как производящая и как потребляющая. Отрасли как производителю

продукции соответ­ствует определенная строка, а отрасли как потребителю

про­дукции — определенный столбец.

Если номер любой производящей отрасли обозначить через i, а номер любой

потребляющей отрасли — через j, то находящиеся на пересечении отраслей (т. е.

соответственно строк и столбцов) величины хij нужно понимать

как стоимость средств производства, произведенных в i-й отрасли и

потребленных в качестве материальных затрат в j-и отрасли.

хij – технологический коэффициент.

Матричная модель межотраслевого баланса

Производящая отрасль	Потребляющая отрасль					Продукция, тыс.грн.
	1	2	3	j	N	Конечная	Валовая
1	x11	x12	x13	.	x1n	y1	X1
2	x21	x22	x23	.	x2n	y2	X2
3	x31	x32	x33	.	x3n	y3	X3
I	.	.	.	.	.	...	.
N	xn1	xn2	xn3	.	xnn	yn	Xn
Оплата труда	v1	v2	v3	.	vn	vкон	-
Чистый доход, тыс. грн.	m1	m2	m3	.	mn	mкон	-
Валовая продукция, тыс. грн.	X1	X2`	X3	.	Xn	-	X

В столбцах межотраслевого баланса отражается структура материальных затрат и

чистой продукции каждой отрасли. Допустим, 1-я отрасль—это производство

электроэнергии, 2-я — угольная промышленность. Тогда величина х11

показывает стоимость электроэнергии, израсходованной внут­ри 1-й отрасли для

собственных производственных нужд. Вели­чина x12 отражает затраты

угля в производстве электроэнергии. В целом же столбец х11, x21

, х31, ..., хn1 характеризует структуру

материальных затрат 1-й отрасли за отчетный год в разрезе

от­раслей-поставщиков.

В балансе отражены не только материальные затраты, но и чистая продукция

отраслей. Так, чистая продукция 1-й отрасли характеризуется суммой оплаты труда

v1 и чистого дохода (при­были) m1. Итог материальных

затрат и чистой продукции равен, очевидно, валовой продукции отрасли (например,

для 1-й отрас­ли—величине Х1). Таким образом, можно записать:

Х1=х11+х21+х31+.+хn1+v1+m1 = (1)

То же соотношение для любой отрасли имеет следующий вид :

X (2)

Если рассматривать модель по строкам межотраслевого баланса, то здесь

представлено распределение годового объема продукции каждой отрасли

материального производства

Х1 = х11+х12+х13+ . +х1т+y1 =

тогда для любой производящей отрасли

Хi= (3)

Если сравнить правую и левую части уравнений (2) и (3), то можно отметить, что

у них присутствует общий член хij .Тогда можно записать

выражение:

(4)

Выражение (4) показывает, что в межотраслевом балансе собдюдается важнейший

принцип – это единство материального баланса, представленного выражением, как

единства вещественного и стоимостного состава национального дохода.

Квадрант I – промежуточная продукция, показывает распределение материальных

затрат по всем производящим отраслям.

Квадрант II – конечная продукция, которая вышла из сферы производства и

попала в сферу сбыта. В развернутом виде ее можно представить как продукцию,

идущую на личное потребление, на общественные нужды, а также на восполнение

ресурсов и экспорт.

Квадрант III – характеризует национальный доход со стороны его стоимостного

состава как сумму оплаты труда и чистого дохода всех отраслей материального

производства. Данные этого квадранта необходимы для глубокого экономического

анализа.

Квадрант IV – отражение конечного распределения и использования национального

дохода. Он находится на пересечении столбцов конечной продукции и строк

национального дохода.

В целом модель отражает балансы отраслей материального производства, баланс

всего общественного продукта, балансы национального дохода, финансовый

баланс, баланс доходов и расходов населения. В балансе отражено единство

материально-вещественного и стоимостного состава национального дохода.

3.2. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

(5)

Основным элементом матричной модели является технологический коэффициент

, который отражает технологические связи и материальные потребности между

производящими и потребляющими отраслями. Коэффициент прямых материальных

затрат показывает,

сколько единиц продукции і-отрасли непосредственно затрачивается в качестве

средств производства на выпуск единицы продукции j-отрасли.

Прямыми материальными затратами называются затраты, обусловленные на

последнем этапе производства.

Zполн = Zкосв + Zпрям

Из уравнения (5) видно, что

(6)

Тогда в формулу (3) подставим xij:

Хi= (7)

Формулу (7), которая представляет систему линейных уравнений, можно

представить в матричном виде:

(8), где

а – матрица коэффициентов прямых затрат

Уравнение (8) можно раскрыть через коэффициенты полных материальных затрат.

Тогда:

единичная матрица, у которой по диагонали «1», а остальные «0»:

(9)

Выражение (9) – валовая продукция, выраженная через вектор конечной продукции У

и матрицу = А,

которая представляет матрицу полных материальных затрат. Тогда:

(10)

Выражение (10) можно представить в развернутой форме:

(11)

Выражение (11) представляет систему из n уравнений, которые выражают валовую

продукцию каждой отрасли как функцию конечной продукции всех отраслей. В

общем виде для любой отрасли i

(12)

3.3. Разновидности матричных балансовых моделей.

Данные модели могут применяться как на уровне народного хозяйства, так и на

уровне отдельного предприятия. Представляют:

1) матричную модель народного хозяйства в целом (государства, республики);

2) матричную модель межрегионального баланса (Черниговский регион);

3) балансовые модели на уровне отдельных предприятий (матричные модели

тех-пром-фин-плана).

Можно рассчитать исходя из вариантов:

1) Когда задается уровень валовой продукции, то рассчитываются все

технологические коэффициенты по производящим и потребляющим отраслям.

2) Когда задается уровень конечной продукции (вектор),

рассчитывается вектор валовой продукции и все технологические коэффициенты.

Тема 4. Оптимизационные ЭММ.

1.1. Особенности ЭММ оптимизации.

В условиях рыночных отношений, когда сырьевые ресурсы ограничены, возникает

вопрос оптимизации прибыли, себестоимости и экономии ресурсов.

Оптимизационные модели разного характера часто сводятся к задачам линейного

программирования.

ЭММ оптимизации содержит одну целевую функцию, в которой показательной

является эффективность производства, и систему ограничений, куда входят

факторы, в области которых модель не теряет своей практической ценности.

Система ограничений должна составляться корректно, при этом возможны 4

случая:

1) Ограничения модели несовместимы (модель не имеет

неотрицательных решений).

2) Неотрицательные решения имеются, но максимум (минимум) целевой

функции не ограничен (®¥). Условия ограничений выбраны неверно.

3) Оптимальное значение целевой функции представляет собой

конечное число и достигается при единственном сочетании переменных системы

ограничений.

4) Оптимальное значение целевой функции достигается при многих

вариантах значений переменных системы ограничений (система ограничений не

корректна). В линейных моделях число переменных х может иметь разные

значения.

Если число х (видов продукции) больше числа независимых ограничений и

задача имеет одно решение, то в оптимальном плане число х (видов

продукции) будет не меньше числа ограничений. Остальные переменные х

будут равны 0.

4.2. ЭММ оптимизации производственного плана отрасли.

Э М М

(13)

k – вид, номер производимой продукции;

l – число видов продукции;

s – вид выделяемых ресурсов;

m – число видов выделяемых ресурсов;

Rk – прибыль от реализации единицы продукции k вида;

Xk - объем (количество изделий) k вида;

вsk – норма потребления S вида ресурсов при производстве единицы k

вида продукции;

Bs – объем выделяемых ресурсов S вида ;

hk, qk – верхняя и нижняя граница, соответствующая по

производству k вида продукции.

4.3. ЭММ оптимизации выпуска продукции предприятиями отрасли.

Э М М

(14)

i – номер предприятия;

n – число предприятий;

k – вид, номер производимой продукции;

l – число видов продукции;

s – вид выделяемых ресурсов;

m – число видов выделяемых ресурсов;

Rki – прибыль от реализации единицы продукции k вида на i предприятии;

Xki - объем (количество изделий) k вида на i предприятии;

Ak - план выпуска k вида продукции;

вski – норма потребления S вида ресурсов при производстве единицы k

вида продукции на на i предприятии;

Bsi – объем выделяемых ресурсов S вида на i предприятии;

hki, qki – верхняя и нижняя граница, соответствующие

производству k вида продукции на i предприятии.

4.4. ЭММ распределения финансовых ресурсов по

оптимизации прироста мощностей (отрасли, предприятия, ...).

Э М М

(15)

Сi – стоимость единицы продукции i поставщика;

Ki – капитальные затраты на единицу готовой продукции при

строительстве нового предприятия;

E – нормирующий коэффициент эффективности капитальных вложений;

tij – транспортные расходы по перевозке единицы продукции i

поставщика j потребителю;

xij – объем поставок продукции i поставщика j потребителю;

Ai – мощность i поставщика;

Bj – спрос j потребителя.

4.5. Распределение капитальных вложений по проектам.

Э М М

(16)

j – вариант (индекс) проекта капитальных вложений;

s – общее число проектов;

kj – объем капитальных вложений по j варианту;

M – суммарный годовой объем капитальных вложений;

Rj – ожидаемый доход от реализации j варианта капитальных вложений;

N – общее число вариантов капитальных вложений.

4.6. ЭММ составления оптимальных смесей, сплавов,

соединений и выбор оптимального рациона питания (кормления).

Данная модель позволяет исходя из стоимости исходных компонентов и содержания

необходимых элементов в исходных компонентах получить дешевый выходной

продукт. Данная модель применяется на металлургических, химических,

нефтеперерабатывающих заводах, крупных АПК.

Э М М

(17)

i – номер (индекс) исходного материала;

n – количество исходных компонентов;

j – номер (индекс) химического элемента;

m – общее количество компонентов, входящих в готовую продукцию;

hij - %(доля) j химического элемента в i исходном материале;

Hj - %(доля) j химического элемента готовой продукции;

Pi – цена за единицу каждого i исходного материала;

Xi - % (доля) i исходных материалов.

4.7. ЭММ оптимизации раскроя материала.

Данная модель позволяет выбирая один из способов раскроя, изготовить

определенное количество заготовок с минимальным расходом материала.

Э М М

(18)

i – номер (вид) заготовки;

n – общее количество разновидностей заготовок;

j – способ раскроя;

m – общее количество способов раскроя;

bij – количество выкраиваемых заготовок;

Вi – количество штук заготовок i вида;

Xj – количество исходного материала, который необходимо раскроить j способом;

Pj - величина отходов при данном j-м способе раскроя.

4.8. Экономическая интерпретация двойственных задач линейного программирования.

При моделировании экономических систем и процессов, когда характер системы до

конца не изучен, или же система сложная, прибегают к упрощению модели и

представлению ее в виде линейной (прямой или обратной).

Исходная модель предполагает, сколько и какой продукции необходимо изготовить с

заданной стоимостью cj (j=

) и при заданных ресурсах bi (i=

) и получить максимальную прибыль в стоимостном выражении.

Двойственная (обратная) задача предполагает оценку стоимости единицы каждого из

ресурсов, чтобы при заданном количестве ресурсов bi и стоимости

единицы продукции cj минимизировать общую стоимость затрат.

целевая функция исходной задачи

целевая функция обратной задачи

åcx = åby

Тема 5. Методы моделирования стохастических

(вероятностных) систем. Имитационное моделирование.

5.1. Понятие о вероятностных системах и процессах.

Экономические системы, как правило, являются вероятностными

(стохастическими), так как выходные параметры системы случайным образом

зависят от входных параметров.

Почему экономические системы являются стохастическими:

1) так как система сложная, многокритериальная

многоуровневая иерархическая структура;

2) система подвержена влиянию внешних факторов (погодные

условия, внешняя политика);

3) преднамеренное искажение информации, сокрытие информации

и целенаправленная экономическая диверсия.

Исходя из того, что экономическая система сложная и имеет случайную

компоненту e,

поэтому оптимизация целевой функции ведется по среднему значению, то есть при

заданных параметрах a необходимо найти решение хÎC, когда

Страницы: 1, 2