Шпора: Экономико-математическое моделирование

значение целевой функции по возможности будет максимальным.

Сложные системы описываются Марковским аппаратом, то есть когда поведение

системы в момент t0 характеризуется вероятностью первого порядка p(х

0, t0) и поведение системы в будущем зависит от значения

системы х0 и не зависит от того, когда и как система пришла в это

состояние.

Марковские случайные процессы описываются двумя параметрами:

1) вероятностью первого порядка p(х0, t0);

2) условной вероятностью pij (х2 t2 /х1 t1);

pij характеризует значение системы х2 в момент t2

, при условии, что в момент t1 система имела значение х1.

Имея в своем распоряжении матрицу условных переходов

можно заранее сформулировать поведение системы в будущем.

Марковские случайные процессы называют Марковскими цепями с вероятностью

перехода в pij, когда процесс изучается в дискретные моменты

времени.

5.2. Имитационное моделирование систем и процессов.

Применяется в случаях, когда нельзя заформализовать модель (описать

аналитическим выражением) и в случае, когда система представляет собой

многопараметрическую вероятностную экономическую систему. Кроме того,

моделирование с помощью имитационных подходов применяется для систем больших

размерностей и с большими внутренними связями.

Основные этапы моделирования:

1) анализ моделируемой систем, сбор необходимой

информации, выделение проблемной области исследования и постановка задач на

исследование;

2) синтезирование (формирование, получение) необходимой

математической модели области допустимых упрощений (ограничений), выбор

критериев оценки эффективности и точности моделирования;

3) разработка имитационной модели, алгоритма ее

реализации, внутреннее и внешнее математическое обеспечение;

4) оценка адекватности имитационной модели и контроль

результатов экстремумов с последующей валидацией модели;

5) анализ результатов моделирования с целью достижения

заданной точности моделирования.

5.3. Имитационная модель и ее структура..

При создании модели необходимо максимально использовать те параметры системы,

которые поддаются формализации, то есть записи с помощью аналитических

выражений.

5.4. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний).

Данный метод родился в 1949 году благодаря усилиям американских ученых Дж.

Неймана и Стива Улана в городе Монте-Карло (княжество Монако).

Метод Монте-Карло – численный метод решения математических задач при помощи

моделирования случайных чисел.

Суть метода состоит в том, что посредствам специальной программы на ЭВМ

вырабатывается последовательность псевдослучайных чисел с равномерным законом

распределения от 0 до1. Затем данные числа с помощью специальных программ

преобразуются в числа, распределенные по закону Эрланга, Пуассона, Релея и

т.д.

Полученные таким образом

случайные числа используются в качестве входных параметров экономических систем

:

Q (x1, x2, x3,.,xn) Þ Qpt (min или max)

W: Bs (x1, x2, x3,.,xn) £ Rs

При многократном моделировании случайных чисел, которые мы используем в

качестве входных параметров системы (модели), определяем математическое

ожидание функции M(Q) и, при достижении средним значением функции Q

уравнения не ниже заданного, прекращаем моделирование.

Статистические испытания (метод Монте-Карло) характеризуются основными

параметрами:

D - заданная точность моделирования;

P – вероятность достижения заданной точности;

N – количество необходимых испытаний для получения заданной точности с

заданной вероятностью.

Определим необходимое число реализаций N, тогда

(1 - D) будет вероятность того, что при одном испытании результат не

достигает заданной точности D;

(1 - D) N – вероятность того, что при N испытаниях мы не получим заданной

точности D.

Тогда вероятность получения заданной точности при N испытаниях можно найти по

формуле

(19)

Формула (19) позволяет определить заданное число испытаний для достижения

заданной точности D с заданной вероятностью Р.

D	Значение Р
	0,80	0,20	0,95	0,99
0,10 0,05 0,025 0,0125 0,006	16 32 64 161 322	22 45 91 230 460	29 59 116 299 598	44 90 182 459 919

êQi – Qконеч êÞ D

Случайные числа получаются в ЭВМ с помощью специальных математических

программ или спомощью физических датчиков. Одним из принципов получения

случайных чисел является алгоритм Неймана, когда из одного случайного числа

последовательно выбирается середина квадрата

g0 = 0,9876

g0

2 = 0,97531376

g1 = 0,5313

g1

2 = 0,28654609

g2 = 0,6546

g2

2 = 0,42850116 и т.д.

Кроме того данные числа проверяются на случайность и полученные числа

заносятся в базу данных.

Физические датчики разрабатываются на электронных схемах и представляют собой

генераторы белого (нормального) шума, то есть когда в спектральном составе шума

имеются гармоничные составляющие с частотой F ®¥. Из данного белого шума

методом преобразования получаются случайные числа.

Тема 6. Методы и модели управления запасами.

6.1. Основные определения и понятия теории управления запасами.

Любая СЭС, как и техническая система, может ритмично работать при наличии

достаточного запаса ресурсов.

В качестве ресурсов для обеспечения ритмичного производства используются:

- материальные ресурсы (сырье, полуфабрикаты, энергоносители);

- технологические, трудовые ресурсы;

- финансовые и другие ресурсы.

Ритмичность поставок вынуждают следующие обстоятельства:

1) несовпадение ритмов производства с ритмами потребления;

2) случайные колебания спроса за период между поставками;

3) случайные колебания интервала между поставками;

4) срыв объема поставок.

То есть появляется случайная составляющая в целевой функции оптимизации

эффективности производства.

Предпосылки, которые заставляют оптимизировать запасы сырья, ресурсов:

1) возрастают убытки за счет хранения сверхнормативных запасов;

2) связывание оборотных средств;

3) потеря в качестве материальных ресурсов, моральное и физическое

старение ресурсов.

В качестве целевой функции в задачах управления запасами выступают суммарные

затраты на:

1) приобретение продукции с учетом максимальных скидок на размер партии;

2) затраты на хранение и складские операции;

3) от материального и морального старения при хранении;

4) потери от дефицита и штрафных санкций.

Целевая функция, представляющая сумму данных компонентов, должна быть min.

Поэтому управление запасами производится в начале путем выбора стратегии в

пространствестратегий управления, а затем путем выбора параметров в

прострастве параметров управления.

Запасы делятся на:

1) текущие (обеспечивают ритм производства на определенном интервале

времени);

2) страховые (на случай срыва ритма поставок).

Из параметров управления запасами принято выделять:

1) управляемые параметры

- объем и номенклатура необходимого сырья (ресурсов);

- момент (время) выдачи заказа на пополнение ресурса;

2) неуправляемые параметры

- затраты на организацию снабжения;

- ограничение на запасы поставщика;

- выбор системы снабжения (централизованная, децентрализованная)

Качественно систему снабжения можно представить графически:

Р – затраты на функционирование системы снабжения;

1 – затраты на размещение заказов;

2 – затраты на хранение данных ресурсов;

3- суммарные затраты на функционирование системы снабжения;

q* - оптимальный размер (объем) заказа сырья.

6.2. Классификация систем снабжения и их моделей.

	Признак	Тип модели
I	По типу системы снабжения	1. эшелонированные (многоэтапные) 2. децентрализованные
II	По числу хранимого сырья	1. многокомпонентные 2. однокомпонентные
III	По спросу	1. детерминированная: · дискретная · непрерывная 2. случайная (вероятностная): · дискретная · непрерывная
IV	По способу поставки сырья	1. мгновенная 2. с фиксированным временем задержки 3. со случайным временем задержки
V	По видам затрат и способам их отражения в модели	1. линейная 2. нелинейная
VI	По ограничениям системы снабжения	1. по объему 2. по весу 3. по площади 4. по себестоимости 5. по числу поставщиков
VII	По принятой стратегии управления	1. периодические (с периодом контроля Т) 2. по критическим уровням и объему. Н – верхний уровень; n – нижний уровень запасов; q – объем партии (поставок).

6.3. Стратегия управления запасами.

Оптимальное управление запасами – выбор таких объемов и моментов поставок,

когда суммарные издержки на функционирование системы снабжения будут

минимальными.

Простейшие стратегии:

1) периодические (со временем контроля Т);

2) по критическим уровням (H, h, yi – текущий уровень запаса q).

1. Стратегия постоянного уровня.

В данном случае через каждый интервал контроля Т запас пополняется до

верхнего уровня.

q1 ¹ q2 ¹ q3 ¹ const

q* опт = H – yтек

y1,2 – текущие уровни

2. Стратегия фиксированного объема поставок.

Q* = const

q1 = q2 = q3 = const

3. Стратегия с контролем за текущим уровнем.

a) если y < h, то: - y < h Þ q* = const

- y ³ h Þ q* = 0 (не заказываем сырье)

b) если y < h, то: - y < h Þ q* = H – yтек

- y ³ h Þ q* = 0

6.4. Детерминированная ЭММ управления запасами с фиксированным спросом.

Данная модель называется моделью экономики выгодных размеров поставок.

Начальные условия (ограничения):

1. Известны моменты поступления заявок.

2. Интенсивность расходования ресурсов (скорость).

3. Поставки мгновенны.

4. Отсутствие дефицита.

Введем обозначения:

b - интенсивность спроса;

k – затраты на оформление;

h – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени;

q – объем поставок (размер партии сырья).

- период времени, в течение которого полностью расходуется сырье.

F(q) – суммарные затраты на функционирование системы снабжения

q/2 – оптимизация ведется по среднему уровню;

q* - оптимальный размер заказа.

Для нахождения F* нужно взять частную производную целевой функции F(q) по

оптимизационному параметру q.

Из данной формулы находим q*:

формула Уилсона (оптимального заказа).

Данный заказ необходимо разместить для выполнения через время

Оптимальные затраты можно определить по формуле

- это затраты на единицу продукции.

6.5. Модель управления запасами при случайном спросе.

В данном случае интенсивность расходования ресурсов b - величина случайная со

своим законом распределения, то есть известно P(b), F(b) , тогда в данной

ситуации возможны случаи:

1) q - b > 0

2)

3) h – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени;

4) k – затраты на размещение (оформление) ресурсов, сырья.

Так как b - величина случайная, то ( q - b ) и (b - q) будут величины

случайные, поэтому оптимизация и функция цели будут находится как для

случайных величин.

Функция цели будет представлять собой математическое ожидание от суммы

слагаемых. Одно из них представляет собой математическое ожидание затрат на

размещение заказа; другое математическое ожидание затрат на хранение

ресурсов.

Известно, что оптимальное размещение запасов можно найти из системы неравенств:

Методом линейной интерполяции определяется q*.

6.6. ЭММ управления запасами с ограничениями на складские помещения.

Данная модель многопродуктовая с n-видами сырья.

Введем обозначения для данной модели:

qi – размер объема заказа на сырье i – вида ();

А – максимальный размер складских помещений для сохранения n-видов продукции;

аi – размер площади, необходимой для хранения продукции i – вида;

bi – интенсивность спроса на сырье i – вида;

ki – затраты на размещение заказа на поставку сырья, продукции i – вида;

hi – затраты на сохранение единицы сырья (продукции) i – вида.

Данная модель от вышеизложенной отличается наличием ограничений на складские

помещения и выглядит так:

qi / 2 – оптимизация по среднему уровню запасов

Данная ЭММ решается с помощью метода множителей Лагранжа. Полученная функция

путем добавления в целевую функцию слагаемого, состоящего из системы

ограничений и множителя l, называется Лагранжианом.

(*)

Для того, чтобы найти qi* и оптимальное значение l*, необходимо взять

частные производные по qi и l Лагранжиана (*).

(1)

(2)

из формулы (1) определяем - оптимальный размер заказа.

Оптимальный размер заказа при ограничении ai определяется путем

последовательного расчета для разных значений qi и l. Методом

линейной интерполяции по значениям, представленным в промежуточной таблице,

находится коэффициент l и оптимальное значение qi*.

Тема 7. ЭММ систем массового обслуживания.

7.1. Основные понятия и определения.

Система массового обслуживания (СМО) – это совокупность приборов, каналов,

станков, линий обслуживания, на которые в случайные или детерминированные

моменты времени поступают заявки на обслуживание. Например, коммутаторы

телефонных станций, супермаркет, парикмахерские.

Оптимизация и оценка эффективности СМО состоит в нахождении средних суммарных

затрат на обслуживание каждой заявки и нахождение средних суммарных потерь от

заявок не обслуженных.

СМО состоит из определенного числа обслуживающих каналов и предназначена для

выполнения заявок с разным характером распределения момента времени на

обслуживание.

Моделирование СМО предполагает:

1) построение ЭММ, связывающих параметры СМО (число

каналов, их производительность и т.п.) с показателями эффективности;

2) оптимизацию данных показателей с целью получения

максимальной эффективности.

7.2. Классификация и обозначение СМО.

По ряду признаков СМО делятся на:

1. СМО: - с очередями;

- с отказами заявок (очереди);

2. СМО с очередью: - в порядке очереди;

- в случайном порядке;

- обслуживание с приоритетом (абсолютным или относительным);

3. СМО с многофазным обслуживанием;

4. СМО: - закрытые (замкнутые) – поток

заявок генерируется самой системой;

- открытые – характер потока заявок не зависит от состояния СМО;

5. СМО: - одноканальные;

- многоканальные.

Обозначения СМО.

Для сокращения записи и характеристик СМО принята общемировая система записи

по формату Кендола.

( a ç b ç c ç) : ( d çe çf )

a –характеризует закон распределения заявок входного потока;

b - характеризует закон распределения интервалов выполнения заявок на

обслуживание;

c - характеризует количество каналов обслуживания;

d - характеризует дисциплину очереди;

e - характеризует максимальное количество требований (заявок) на обслуживание

(е в очереди + е в обслуживании);

f – максимальный объем источника (генератора) заявок.

Пример.

GI çG ç N

GI - данная позиция характеризует, что момент заявок, поступающих на

обслуживание, распределен по случайному закону с функцией распределения F(x) с

математическим ожиданием

.

F(x) – любой закон распределения;

G - данная позиция характеризует моменты распределения (временные интервалы)

обслуживания заявок с любой функцией распределения H(x) и со средним временем

обслуживания .

( M1 ç M2 ç N ) : - характеризует, что поток

заявок, поступающих на обслуживание как входящий поток, подчиняется закону

Пуассона с функцией распределения

,

l - интенсивность потока заявок;

M1 – простейший поток заявок;

N – количество мест по обслуживанию заявок;

M2 – характеризует поток обслуживания и распределения времени

обслуживания также по простейшему Пуассоновскому закону с функцией

распределения ,

m - характеризует интенсивность потока обслуживания.

Простейший поток обладает тремя свойствами:

1) стационарностью;

2) безпоследействия;

3) ординарностью.

Стационарность – это когда вероятность попадания того или иного числа заявок

на интервал времени длиной t зависит от длины этого интервала и не зависит от

того, где этот интервал расположен на оси времени.

Поток безпоследействия – когда для любых не перекрывающихся участков времени

число заявок, попадающих на один из участков, не зависит от числа заявок,

попадающих на другой участок.

Ординарность – это когда вероятность попадания на участок t двух или более

заявок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной заявки.

Поток, обладающий вышеназванными тремя свойствами, называется простейшим

(стационарным, Пуассоновским ) потоком.

Эрланговский поток – «просеянный» простейший поток с коэффициентом k =

(2;3;4...), то есть когда обслуживается каждая 2,3,...,k заявка.

El êEm êNM – эрланговский входной

поток заявок El и эрланговский закон обслуживания Em.

7.3. Основные характеристики системы массового обслуживания.

Характеристиками, принятыми для СМО, являются:

1) вероятность потери заявок

Ротказа = Рпотерь

2) вероятность занятости k каналов

Рк

3) среднее число занятых каналов

4) коэффициент простоя каналов

N0 – незанятых каналов,

n – всего каналов.

5) средняя длина очереди

6) среднее число требований, находящихся на обслуживании

Эффективность СМО можно определить, используя следующую методику:

(*) ЕСМО =

qожид –потери в результате ожидания 1 заявки в единицу времени;

qnk – стоимость простоя одного канала в единицу времени;

qk - стоимость эксплуатации одного канала в единицу времени;

(*) – показывает один из возможных подходов к оценке эффективности СМО. Как

правило для высокоточных оценок эффективности используются имитационные

модели.

Тема 8. ЭММ и модели АСУ.

8.1. Основные характеристики и классификация АСУ.

Управление – целенаправленное воздействие на параметры системы и координация

деятельности всей системы с целью получения максимальной эффективности.

АСУ – автоматизированная система управления, в которой применяются

современные автоматические средства обработки информации, математические

методы и экспертные системы для решения задач управления.

АСУ подразделяются на два класса:

1) АС организационного управления (административного);

2) АСУ технологическими процессами.

АСУ обеспечивает высокую эффективность за счет:

- высокого уровня использования входной информации и ускорения ее

обработки на ЭВМ;

- за счет проведения расчетов оптимизации и имитационного

моделирования с применением ЭВМ;

- принятие оптимальных решений с помощью экспертных систем (систем

поддержки и принятия решения).

8.2. ЭММ расчета эффективности АСУ.

Основным показателем применения АСУ является коэффициент экономической

эффективности. Расчеты данного коэффициента ведутся на этапах:

1) при планировании и создании АСУ;

2) на стадии технического и рабочего проектов АСУ;

3) после внедрения АСУ.

Как правило, эффективность АСУ определяется коэффициентом годовой прибыли

(его приростом), который определяется исходя из методики

ПАСУ = ((А2 – А1)/А1)*П1 + ((С1 – С2)/100)*А2, где

А1, А2 – годовые объемы производства продукции до

внедрения и после внедрения соответственно;

С1 ,С2 - затраты на 1 грн. произведенной продукции до и после внедрения АСУ;

П1 – прибыль до внедрения АСУна единицу продукии.

Кроме предложенного коэффициента годовой прибыли оценка эффективности АСУ

возможна за счет подхода по срокам окупаемости внедренной АСУ.

Тема 9. Эконометрические модели и их применение в

экономике.

9.1. Основные понятия об

эконометрических моделях и корреляционном анализе.

Эконометрические модели являются составляющими более широкого класса ЭММ.

Данная модель выступает в качестве средств анализа и прогнозирования

конкретных экономических процессов, как на макро, так и на микро уровнях на

основе реальной статистики.

Эконометрическая модель, учитывая корреляционные связи, позволяет путем

подбора аналитической зависимости построить модель на базисном периоде и при

достаточной адекватности модели использовать ее для краткосрочного прогноза.

При синтезе эконометрических моделей при имеющихся факторных признаках xi

и результативных параметрах yi необходимо определить a0, a

1, a2, a3, .,an.

yi = f(xi) + ei, где

f(xi) – величина детерминированная;

ei, yi – величины случайные.

Эконометрическая модель опирается на понятие корреляционных связей и так

называемое уравнение регрессии.

Корреляционная связь – когда при одном и том же значении факторного признака

х встречаются разные значения у. Корреляционные связи описываются

так называемыми уравнениями регрессии.

Уравнение регрессии – уравнение прямой (как и любой кривой), описывающее

корреляционную связь, а сама прямая (кривая) называется линией регрессии.

Корреляционные связи оцениваются

по среднему значению всей совокупности результативного признака, такт как для

одного и того же значения факторного признака возможны различные значения

результативного признака.

Корреляционные связи (уравнения регрессии), а также эконометрические модели,

построенные на базе уравнения регрессии, могут описываться:

1) уравнением прямой: yi = a0 + a1x

2) уравнением 2-го порядка: yi = a0 + a1x + a2x2

3) уравнением показательной функции: yi = a0a1x

4) уравнением степенной функции: yi = a0xa1

5) уравнением гиперболы: yi = a0 + a11/x

При построении эконометрических моделей нам известны фактические значения х

и у, а нам необходимо определить параметры a0 , a1

, a2 для соответствующей модели. Данные параметры определяются по

методу наименьших квадратов.

9.2. Метод наименьших квадратов (МНК).

Суть данного метода заключается в том, что квадрат суммы разностей между

фактическим значением результативного признака и его теоретическим значением

сводится к минимуму.

*

F = å (уфакт – утеор )2 Þ min

* - уфакт (эмпирическое)

Чтобы найти параметры a0 , a1, a2 , необходимо

в формулу (1) подставить утеор, то есть ту аналитическую

зависимость, которой будем сглаживать (аппроксимировать) статистический

материал. Как известно из математики для нахождения минимума функции нужно

взять частные производные по анализируемым параметрам, то есть ... и приравнять

данное выражение к нулю. Получим систему нормальных уравнений, из которых

найдем заданные коэффициенты.

F = å (уфакт – a0 – a1xфакт )2 Þ min

урасч = a0 + a1xфакт

(*)

преобразовав уравнение (*), получим систему нормальных уравнений:

(**)

решением системы (**) будут:

Рассчитав коэффициенты a0 , a1, можно синтезировать модель:

(оценки коэффициентов a0 , a1)

Аналогичным образом используя МНК, можно получить коэффициенты для остальных

функций, используемых при аппроксимации.

Если в качестве факторного признака х используется время t, то такой ряд

называется динамическим (временным) рядом. При применении специального подхода

при обозначении факторного признака t, когда сумма времени t будет равна 0,

выражения для коэффициентов a0 , a1 , a2 –

будут проще.

ti, åt = 0

93	94	95	96	97
-2	-1	0	1	2

При таком подходе формулы коэффициентов a0 , a1 значительно упрощаются:

, (для линейной функции)

Аналогично определяем коэффициенты для других функций:

yt =a0 +a1t +a2t2 (парабола)

y =a0 a1t (показательная функция)

Для того, чтобы убедится, что полученные коэффициенты являются типичными,

используют метод оценки с помощью распределения Стьюдента (критерий

Стьюдента). Находят:

s - среднее квадратичное отклонение;

s2 – дисперсия

- остаточная дисперсия

Отделив ta0, ta1 и сравнив с t

табличное, можно сделать вывод, что если ta0 > t

табличное и

ta1 > tтабличное (ta0

>tтабличное< ta1), то параметры а0

и а1 – стандартно типичны (обладают оценкой несмещенной,

эффективной).

Получив синтезированные модели по функциям 1-5 срвнивают остаточную диперсию

и по минимальности остаточной диперсии выбирают функцию для аппроксимации

(сглаживания).

Для оценки прогноза используют обычно не дискретные (точечные) значения

результативного признака, а рассчитанный интервал.

Yпрогнозное = yтеор ± ta sx*

a - коэффициент доверия, обычно выбирается 0,05 и вероятность Р=0,95.

ta - находится по таблице Стьюдента (ta = 4,3).

sx* - скорректированное среднее квадратичное отклонение с учетом

степеней свободы n - m, где

m - число параметров нашей синтезируемой модели;

n - объем выборки.

Для y =a0 +a1x, m = 2

9.3. Использование качественных показателей в эконометрических моделях.

В экономических явлениях наряду с количественными факторами применяются также

качественные факторы: пол, племенные, сортовые свойства. Эти качественные

параметры оцениваются показателем d, носящим бинарное свойство.

ì «1» - свойство есть (студент-отличник, овощ сортовой, скот породистый)

d - í

î «0» - свойства нет

В литературе d – «DUMMY - фактор»

Тогда, с учетом d:

yi = a0 + a1d1i + b1i x1i + ei (*)

С учетом d1i = (1,0), уравнение распадается:

E (yi / d1i = 0)= a0 + b1i x1i + ei

E (yi / d1i = 1)= a0 + a1 + b1i x1i + ei

X – вступительный бал на экзамене;

Y – рейтинг студента в семестре.

Тема 10. Обзор прикладных пакетов программ.

1. FORECAST EXPERT –система прогнозирования. Позволяет по имеющимся

данным построить временной ряд с помощью модели Бокса-Дженкинса (или, так

называемая, модель АРИСС – авторегрессия интегрированная скользящая средняя).

yt = j1 Yt-1 +.+jp Yt-p +at - q1 at-1 - qq at-q

p – номер авторегрессии;

- параметры авторегрессии;

q - параметры скользящего среднего;

at – дискретный белый шум.

2. Пакет QSB EXE. Данный пакет позволяет решать задачи экономико-

математического направления путем применения:

- линейного программирования;

- целочисленного программирования;

- сетевой оптимизации;

- динамического программирования;

- управления запасами;

- системы массового обслуживания;

- оценки вероятности данного события;

- марковских процессов;

- прогнозирования временных рядов.

3. Пакет PROJECT EXPERT. Предназначен для планирования и анализа

эффективности инвестиций на предприятиях малого и среднего бизнеса. Пакет

автоматизирован от ввода до получения данных.

4. STAT GRAFIX. Интегрированная система статистических и графических

процедур. Содержит более 250 функций и 22 раздела.Удобный интерфейс. Пакет

позволяет строить графики всех функций, проводить регрессионно-дисперсионный

анализ, прогнозировать, проводить анализ временных рядов, моделировать и

приниматьь экспертные решения. Большой объем справочного материала.

Литература

1. Острейковский В.А. Теория систем. М. Высшая школа 1997г.

2. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М. Наука 1978г.

3. Сытник В.Ф. Каратодава Е.А. Математические модели в

планировании и управлении предприятиями. К. Выща школа 1985г.

4. Замков О.О., Толстонятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические

методы в экономике. М. ДНСС. 1997г.

5. Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е. Ю. Моделирование рисковых

ситуаций в экономике и бизнесе. М. Финансы и статистика 1999г.

6. Вітлінський В.В. Наконечний С.І. Ризик у менеджменті. Київ,

Борисфен, 1996г.

7. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М. Из-во УРАО

1998г.

8. Терехов Л.Л. Экономико- математические методы. М. Статистика 1988г.

9. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы и

модели в планировании. М. Экономика. 1987г.

10. Андрийчук В.Г. Наконечный С.Н. математическое моделирование

экономических процессов сельскохозяйственного произв. К. КНИХ 1982г.

11. Скурихин Н.П. Математическое моделирование. М. Высшая школа 1989г.

12. Хазанова Л. Математическое моделирование в экономике. М.1998г.

13. Жданов С. Экономические модели и методы управления. М.Эльта 1998г.

14. Советов Б. Моделирование систем. М. Высшая школа 1999г.

15. Алдохин Н.П., Кулиш С.А. Экономическая кибернетика. Харьков. Вища

школа. 1983г.

Страницы: 1, 2