Шпора: Шпоры

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f’(c)/g’(c), a < c < b

Применив к обеим функциям теорему Лагранжа и разделив полученные равенства,

получим требуемое.

23. Свойства выпуклости (вогнутости).

График ф-ии яв-ся выпуклым на некот промеж, если все его точки леж. ниже

люб касат, провед к этой кривой. Вогнутый - наоборот.

f”(x)<0 f”(x)>0

Точка перегиба – точка, отделяющ выпук часть непрер прямой от вогнутой части.

Необходимое условие - чтобы f”(x1)=0

Достаточное условие - смена знака второй производной при переходе через эту

точку.

3. Интегральное исчисление функций одной переменной.

1. Первообразная.

Ф-я F(x) называется первообразной ф-и f(x) на множестве D, если для любого х

из D:F’(x)=f(x).

Если F(x) первообрзная ф-и f(x) на мн-ве D, то любую другую первообразную

этой ф-и можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с.

Док-во. Пусть F(x) – первообразная f(x), x принадлежит D: F’(x)=f(x).

Пусть Ф(х) – другая первообразная f(x), x принадл. D: Ф’(x)=f(x).

Составим ф-ю φ(х)=Ф(х)-F(х) – дифференцируема на мн-ве D →

φ'(х)= Ф’(х)-F’(х)=f(x)-f(x)=0. По св-м ф-и, дифференцируемой на D

→ φ(х)=соnst.=c → Ф(х)-F(х)=с=const → Ф(х)=F(х)+с,

что и т.д.

2. Неопределенный интеграл и его св-ва.

Опр. Совокупность всех первообразных для ф-и f(x) на множестве наз.

Неопределенным интегралом этой функции. ∫f(x)dx=F(x)+c, f(x)-

подинтегральная ф-я ,f(x)dx – подинтегральное выражение.

Свойства.

1)[f(x)dx]’=f(x)

док-во: ∫f(x)dx=F(x)+c(по опр.), (∫f(x)dx)’= (F(x)+c)’=F’(x)=f(x)

2) d[f(x)dx] = f(x)dx

док-во: по опр. дифференциала: d[f(x)dx] = (f(x)dx)’dx=f(x)dx

3)∫dF(x)=F(x) +c

док-во: ∫dF(x)=∫F’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+c.

4)Постоянный множитель можно выносить за знак неопред. Интеграла:

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx ,x є D, k є R.

док-во: покажем, что k∫f(x)dx – совокупность первообразных для ф-и k*f(x):

По св-ву производной: (k∫f(x)dx)’=k*(∫f(x)dx)’=k*f(x).

5)∫[f(x)+(-)g(x)]dx = ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx/

Док-во: докажем, что ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx – первообразная для ф-и

[f(x)+(-)g(x)]:

По св-ву производной: [f(x)+(-)g(x)]’= [∫f(x)dx]’ +(-)[∫g(x)dx]’=

f(x)+(-)g(x), что и т.д.

3 Табличные интегралы.

Таблица интегралов

1) ∫ 0 dx = C = const 11)

∫dx/(√1-x2 )= arcsin x + C = - arccos x + C

2) ∫dx = x + C 12)

∫dx/(1+x2) = arctg x + C = - arcctg x + C

3) ∫xadx = xa+1/(a+1) + C,

13) ∫tgxdx = - ln |cosx| + C

a≠ -1 14) ∫ctgxdx = ln |sinx| + C

4) ∫dx/x = ln|x| + C 15) ∫

dx/(√a2- x2)=arcsinx/a +C=-arccos x/a + C

5) ∫exdx = ex + C

16) ∫dx/(a2+x2) =

(1/a)arctg x/a + C=-(1/a)arcctg x/a + C

6) ∫axdx = ax/lnx + C

17) ∫dx/(x2–a2) =

(1/2a) ln |(x-a)/(x+a)| + C

7) ∫cosx dx = sinx + C 18) ∫dx/(a

2-x2) = (1/2a) ln |(x+a)/(x-a)| + C

8) ∫sinxdx = - cosx + C 19)

∫dx/(√x2+A) = ln |x + (√x2+A)| + C

9) ∫dx/cos2x = tgx + C

20) ∫(√x2+A)dx = (x/2)(√x2+A) + (A/2) ln |x+(√x2+A)|+C

10) ∫dx/sin2x = - ctgx + C

21) ∫ (√a2- x2)dx = (a2/2) arcsin x/a + (x/2) (√a2- x2) + C

4. Метод замены переменной или метод подстановки

∫f(x)dx, x Î D

Пусть x = φ(t), t Î T, φ(t) – дифференцируема на T и имеет

обратную функцию

Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt, т. е.

докажем, что ∫f(x)dx – первообразная f(φ(t))•φ’(t)

(∫f(x)dx)t’(по правилу дифференцирования сложной функции) =

(∫f(x)dx)x’ • x’t = f(x)•φ’(t) =

f(φ(t))•φ’(t)

∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt – формула замены

переменной в неопределенном интеграле

5. Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемы на D

d(u•v) = du•v + u•dv Þ ∫ d(u•v) = ∫du•v + ∫u•dv

Þ u•v = ∫v•du + ∫u•dv Þ

∫u•dv = u•v - ∫v•du – формула интегрирования по частям

Применение данной формулы:

1. Pn (x)•φ(x)dx; Pn (x) – многочлен n-ой степени

а) φ(x) = sin ax u = Pn (x); dv = φ(x)dx

cos ax

eKx

b) φ(x) = обратные тригонометрические функции u = φ(x); dv =

Pn (x)dx

logax

2. ekx•sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять

ekx•cos ax dx за u

5. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов

иррациональных и трансцендентных функций.

(конкретные числовые примеры по данному вопросу см. в лекции за 21.03.00)

Рассмотрим интегал вида òR(x)dx, где R(x) – рациональная функция, т.е

функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов

R(x)=P(x)/Q(x). Если эта дробь неправильная, то можно выполнить деление с

остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной

дроби.

Теорема. Всякая правильная дробь может быть представлена как сумма

простейших дробей вида

A ; A ; Mx+N ; Mx+N .

x-a (x-a)n x2+px+q (x2+px+q)n

, где A,M,N,a,p,q – действительные числа.

Непростейшие дроби.

Лемма 1. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если х=а- корень Q(x)

кратности К,т.е. Q(x)=(x-a)K*Q1(x), где Q

1(a) не равно нулю, то F(x)= AK+

F1(x)

Q(x) (x-a)K Q1(x)*(x-a)K-1

Лемма 2. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x2+px+q)K*Q1(x) Þ

F(x) =MKx+NK + F1(x) .

Q(x) (x2+px+q)K (x2+px+q)K-1*Q1(x)

Теорема разложения правилоной дроби на простейшие. Пусть F(x)/Q(x)

– правильная дробь. Если Q(x)=(x-a)a(x-b)b*.

*(x-c)g(x2+p1x+q1)K

*.*(x2+p2x+q2)m

Þ эта дробь разлагается в сумму простейших дробей следующего вида:

F(x) = Aa+ Aa-1+.+ A1+ Bb+ Bb-1+.+ B1+ Cg+ Cg-1+.+ C1+

Q(x) (x-a)a (x-a) a-1 x-a (x-b)b

(x-b) b-1 x-b (x-c)g (x-c) g

-1 x-c

+ MKx+NK + MK-1x+NK-1+.+ M1x+N1+ Cmx+Dm + Cm-1x+Dm-1+.+ C1x+D1

(x2+p1x+q1)K (x2+p

1x+q1)K-1 x2+p1x+q

1 (x2+p2x+q2)m (x2

+p2x+q2)m-1 x2+p2x+q

2

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Трансцендентная функция – аналитическая функция, не являющаяся

алгебраической. (Например, показательная функция тригонометрической функции.)

òR(x,xm1/n1,.xmk/nk)dx, где R – рациональная

функция от х и её дробных степеней. Такой интеграл может быть решён с помощью

замены степени с дробным показателем на степень функции с целым показателем.

(подробнее см. в лекциях)

.

òR(x,ÖAx2+Bx+C )dx Под корнем выделяется полный квадрат

и решается с помощью замены переменной.

. .

òdx/Ö Ax2+Bx+C , òÖ Ax2+Bx+C dx

Теорема. Пусть функция у=f(х) непрерывна на

отрезке [а, b] и F(х) – первообразная для f(х).Тогда

(*)

Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна

на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на

этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно,

подставляя х=b, получим

а подставляя х=а, получим

поэтому

Если F(х) – другая первообразная для функции f(х), то выполняется

равенство F(х)= Ф(х)+С. Имеем

F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)

что завершает доказательство

формулы (*). Разность F(b)-F(a) часто записывают в виде

и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид:

(**)

Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b]

функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х)

, имеющей первообразную F(x)/

Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она

позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению

первообразной.

7. Несобственые интегралы с бесконечными пределами.

Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке [a;+∞], интегрируема

на любом [a;b] (b>a). Сущ-т ∫ab f(x)dx для

любого b>a. Обозначим ∫ab f(x)dx = Ф(b).

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от ф-и y=f(x) мы

назовем предел вида ∫a∞ f(x)dx=lim Ф(b) при

b→+∞. Этот инт-л наз. Сходящимся, если предел ф-и

lim Ф(b) при b→+∞ сущ-т и конечен. В противном случае он наз

расходящимся.

Аналогично определяем несобственный инт-л с бесконечным нижним пределом

. Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке (-∞;в],

интегрируема на любом [a;b] (a<b). Сущ-т ∫ab

f(x)dx для любого a<b, Обозначим ∫ab f(x)dx =

Ф(a), ∫-∞b f(x)dx = lim Ф(a) при

а→–∞. Этот инт-л наз сходящимся, если предел сущ-т и конечен, в

противном случае – расходящимся.

Несобственный инт-л с бесконечными нижним и верхним пределами.

∫-∞∞ f(x)dx

y=f(x) опред-на и непрерывна на (–∞;∞) и интегрируема для любого

[а;b]. Возьмем произвольную точку с на (–∞;∞). Имеем: ∫

-∞∞ f(x)dx = ∫-∞с

f(x)dx + + ∫с∞ f(x)dx (1)

Если сущ-т несобственные интеграл с бесконеч. Верхним пределом и несоб. Инт-л

с бесконечным нижним пределом, и они оба сходятся, то сходится и

несобственный интеграл с бесконечным верхним и нижним пределом. В этом случае

сумма (1) не зависит от выбора точки с.

Геометрич. смысл несобственного интеграла.

Пусть y=f(x) неотрицат. Непрерывная на [a;b). Для каждого b>a определенный

инт-л ∫ab f(x)dx = S aABb. Мысленно перемещая Bb

вправо, получим ∫a∞ f(x)dx=SaA∞.

A

B

a b

8. Несобственные интегралы от неограниченных ф-й.

Если сущ-т интеграл ∫ab f(x)dx, то y=f(x)

ограничена (но обратно это не обязательно).

1).Опр. Точка х=в наз. Особой точкой ф-и y=f(x), если в любой

окрестности этой точки ф-я не ограничена, но ограничена на любом отрезке

[a;в-ε], ε>0.

Опр. Пусть ф-я y=f(x) не ограничена на [а;в], но интегрируема на любом

меньшем отрезке [a;в-ε], ε>0, тогда если сущ-т конечный предел

ε→0+0, то его принимают за несобственный интеграл ∫

ab f(x)dx от неограниченной ф-и f(x). Если предел сущ-т и

конечен, то инт-л сходится, в противном случае он расходится.

2).Аналогично,

Если точка а – особая: ∫ab f(x)dx = lim ∫

a+ε b f(x)dx, при ε→0+0

3). Пусть с –единственная внутренняя особая точка на [а;в]. Если сходятся

∫aс f(x)dx и ∫сb

f(x)dx, то получим несобственный интеграл ∫ab

f(x)dx (2)

Если особых точек на отрезке [а;в] несколько, то отрезок разбивают, чтобы в

каждом получившемся отрезке было не более одной особой точки и используют

(2).

Пусть F(x) – первообразная для y=f(x), F(a+0)=lim

F(a+ε),ε→0+0, F(b-0)=lim F(b-ε),ε→0+0 (если

эти пределы сущ-т). Тогда:

∫ab f(x)dx= F(b-0)- F(a+0)

Если y=f(x) непрерывна, то ∫ab f(x)dx= F(b)- F(a)

4. Дифференциалльное исчисление функций нескольких переменных.

1

Множество в Rn: открытые, замкнутые, ограниченные, выпуклые.

Компактность. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции.

Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций

на линейно связных множествах.

Пусть р0 – точка в Rn и ε – положительное число.

Открытым шарам или просто шаром радиуса ε с центром в точке р

0 называется множество всех точек, расстояние которых от р0

меньше ε.

ρ(p0, p) < ε.

Множество X Ì Rn называется ограниченным, если оно

целиком содержится в некотором шаре.

Пусть Х – множество в пространстве Rn. Точка р Î Х называется:

внутренней точкой множества Х, если существует шар B(p,r), все точки

которого принадлежат Х;

внешней точкой по отношению к Х, если существует шар B(p,r), ни одна

точка которого не принадлежит Х;

граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней, ни внешней

точкой Х, иначе говоря, если любой шар с центром р содержит как точки,

принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х

Множество Х называется открытым, если его точки внутренние. Множество Х

называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Выпуклое множество – часть плоскости, обладающая тем свойством, что

соединяющий две любые точки отрезок содержится в ней целиком.

Пусть Х – множество в Rn. Точка р0 называется

предельной для Х, если в любой окрестности точки р0 (любом шаре

B(p0, ε)) имеются точки множества Х, отличные от р0.

Топология – раздел математики, изучающий топологические свойства фигур,

т.е. свойства не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов

и склеиваний. Примерами топологических свойств фигур являются размерность,

число кривых, ограничивающих данную плоскость и т.д. Так, окружность, эллипс,

контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т. к. эти линии

могут быть деформированы одна в другую описанным выше способом. В то же время

кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен

одним контуром, а кольцо – двумя.

Компактность – одно из основных понятий топологии. Множество называется

компактным, если любая бесконечная последовательность его точек (элементов)

имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую этому множеству. Например,

на плоскости компактными являются ограниченные, замкнутые множества и только

они.

Правило, по которому каждой точке x (x1, x2,., xn

) Î X (X Ì Rn) ставится в соответствие единственное

действительное число y Î E (E Ì R) называется функцией

n переменных.

X Ì Rn – область определения функции

E Ì R – множество значений функции.

Пусть на множестве X Ì Rn задана функция f и пусть р0

– предельная точка для Х. Число а называется пределом функции f в точке

р0, если для любой сходящейся к р0 последовательности {р

n}, где все рn ≠ pa, соответствующая числовая

последовательность {f(pn)} сходится к числу а. (lim f(p) = a)

P®Po

Функция f, определенная на множестве Х Ì Rn, называется

непрерывной в точке p0 Î X, если lim f(p) = f(p0

), а также если р0 – изолированная точка

P®Po

множества Х.

2 Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными.

Геометрический смысл частных производных и дифференциала.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих

переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращения

функции к приращению соответствующией независимой переменной, когда это

приращение стремится к нулю.

Величина Dz=f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0)

(одновременное изменение величин х и у) называется полным приращением

функции z в точке (x0,y0).Так же, как и в случае одной

переменной возникает задача о приближённой замене приращения Dz( которая, как

правило, является нелинейной функцией от Dх и Dу) на линейную функцию от Dх и

Dу. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции,

который определяется как сумма произведений частных производных функций на

приращения независимых переменных. Так, в случае функции от двух переменных

полный дифференциал определяется равенством dz=z¢xDx+z¢

yDy. Следует помнить, что в различных точках (х0, у0

) дифференциал будет различным.

Функция называется дифференцируемой в точке (х0, у0

), если её полное приращение можно представить в виде Dz=f(x,y)- f(х0

, у0)=fx¢(х0, у0)Dx+fy

¢(х0, у0)Dy+ep или, короче, Dz=dz+ep, где e=e(Dх, Dу)

– функция бесконечно малая при Dх® 0,Dу®0;

Геометрический смысл.

.

р=Ö(Dх)2+(Dу)2 - расстояние от точки (х,у) до точки (х0,у0).

Дифференцируемость функции z=f(z,y) в точке (х0,у0)

предполагает наличие производных z¢x и z¢y в

этой точке. Поэтому, если хотя бы одна из указанных производных не существует ,

то функция не является дифференцируемой в точке (х0,у0).

Запишем линейный аналог уравнения, отбросив слагаемое eр:

z-f(х0,у0)=f¢x(х0,у0

)(x-x0)+f¢y(х0,у0)(y-y0

). Это уравнение в коотдинатах x,y,z задаёт плоскость, которая называется

касательной плоскостью к графику функции f(x,y) в точке (М(х0,у

0), f(х0,у0)).

(можно доказать, что для любой последовательности точек {N1,N2

,.}, принадлежащих графику функции z=f(x,y) ( и отличных от М), угол между

прямой MN1 и касательной плоскостью стремится к нулю.

(Теорема Если функция z=f(x) дифференцируема в точке (х0

,у0), то она непрерывна в этой точке.)

3. Производная по направлению. Градиент.

Пусть l=(lx;ly) – произвольный единичный вектор, т.е. такой вектор, что

.

|l|=Ölx2+ly2=1

Производной функции f(x,y) в точке (х0,у0) по

направлению вектора l называется предел df(х0,у0)

=lim f(х0+tlx,у0+tly)- f(х0

,у0)

dl t®0+0 t

Говорят также, что df(х0,у0)/dl – это скорость изменения

функции в точке (х0,у0) в направлении вектора l.

Градиентом функции в точкеМ называется вектор, координаты которого

равны соответствующим частным производным данной функции в точке М.

Пример для функции от двух перменных. f(x,y) grad f(M)=(fx¢(M);fy¢(M)).

Градиент можно записать короче. df(M)(grad f(M),l)

dl

где (grad f(M),l) – скалярное произведение векторов.

[(grad f(M),l)=|grad f(M)|*|l|cosj, l – единичный вектор] Ни количество

аргументов функции f, ни длина вектора l не играет существенного значения при

выводе формулы.

Вывод.Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а

максимальная скорость роста равна модулю градиента.

4 Однородные функции. Формула Эйлера.

Опр. Пусть D Ì Rn – область в Rn,

содержащая вместе с каждой своей точкой (х1, х2,., х

n) и все точки вида (tх1, tх2,., tхn) при

t >0. Функция f(х1,., хn) c такой областью определения

D называется однородной степени a, если для любого t >0

выполняется равенство: f (tх1,., tхn)= t

a f (х1,., хn).

Степень однородности a может быть любым действительным числом. Например,

функция является однородной функцией степени 2π от переменных х и у.

Предположим, что дифференцируемая функция f (х, у) является одновременно

и и однородной функцией степени a. Фиксируя произвольную точку (х, у) для

любого t >0, имеем

f (tх, tу)= ta f (х, у). Продифференцируем левую и

правую части этого равенства по t (левую часть - по правилу диф-я сложной

функции, правую часть – как степенную функцию). В результате приходим к

тождеству:

f 'x (tх, tу)х+ f 'y (tх, tу)y =a ta-1 f (х, у)

Положив t=1 , получим формулу Эйлера:

f 'x (х, у)х+ f 'y (х, у)y =a f (х, у)

Аналогично записывается формула Эйлера для однородной функции от

любого числа аргументов. Например, для функции трех переменных она выглядит

следующим образом:

f 'x (х, у,z)х+ f 'y (х, у,z)y + f 'z (х, у,z)z =a f (х, у, z) или

и 'x x + и 'y y+ и 'z z=a и (*)

Предположим, что функция и= f (х, у,z) не обращается в 0 в некоторой

точке (х0, у0,z0). Разделив тогда левую и

правую части равенства (*) на значение функции в этой точке, получим формулу:

Е их + Е иу + Е иz=a

где Е их, Е иу., Е иz – коэффициенты эластичности и по

х, по у, по z в точке (х0, у0,z0

).

5. Производственные функции и функции полезности. Изокосты, изокванты и

Производственные ф-и – экономико-математическое уравнение,

связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции

(выпуска). ПФ может устанавливать зависимость объема продукции от наличия или

потребления ресурсов – ф-я выпуска, наряду с которыми исп-ся

как бы обратные к ним ф-и зависимости затрат рес-в от объемов выпуска

продукции. Частными случаями ПФ. Явл. ф-я издержек (связь объема продукции и

издержек пр-ва), ф-я капитальных затрат (завис-ть капиталовложений от

производственной мощности предприятия). Наиболее важные из мат. Форм ПФ:

Линейная ПФ: Р=а1х1+а2х2+.+аnxn, где а1, а2,.. - факторы пр-ва.

Ф-я Кобба-Дугласа: N=A*Lα*Kβ , где N-

национальный доход страны, L и K- соответственно объемы приложенного труда и

капитала.

Ф-я CES: P=A[(1-a)K-b +aL-b] -c/ b

Ф-я полезности показывает зависимость эффекта некоторого действия

от интенсивности этого дей-я. Общий вид: u=u(x1,.xn), x

1,.xn- факторы, влияющие на полезность u. ФП может

служить моделью поведения потребителей благ и услуг в обществе и

рассматриваться как целевая ф-я потребления: v=v(с1,.сm),

с1,.- количества благ. Потребители стремятся максимизировать эту

ф-ю. Мат. Св-во ф-и: она должна иметь положительную первую производную, что

означает: при увеличении объема благ увеличивается и полезность. Выбирая между

разными наборами благ потребитель предпочтет те, чья полезность больше, поэтому

ФП часто наз ф-й предпочтений.

Изокосты – геометрическое место точек (в пространстве ресурсов),

для которых издержки пр-ва постоянны. В случае двух видов затрат И.

Представляют собой параллельные прямые с наклоном, который равен отношению цен

к затратам каждого вида (взятому с отрицательным знаком), что вытекает из

формулы издержек: С=р1х1+р2х2,

р1,р2 – цены, х1,х2 – объемы затрат каждого вида.

Х2

1 2 Х1

Изокванта – геометрическое место точек, в которых разные сочетания

факторов пр-ва (ресурсов) дают одно и то же кол-во выпускаемой продукции.

Кривизна И. Характеризует эластичность замещения между затратами этих факторов.

Вид изокванты для двух видов взаимозаменяемых ресурсов:

Х2 q1

Х22 q2

Х21 q1

Осн. Св-ва:

1) Никогда не пересекаются друг с другом

2) Большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала

координат изокванта

3) Если все ресурсы абсолютно необходимы для произ-ва, то И. Не имеют

общих точек с осями координат,

4) При увеличении затрат одного ресурса объем произ-ва можно

сохранить на том же уровне при уменьшении затрат др. рес.

В случае отсутствия возможности

замены рес-в И. Приобретают вид (рис. 1) при постоянном соотношении затрат и

при изменяющемся соотношении затрат (рис.2)

Х2 Х2

Х1 Х1

Рис.1 Рис2

Кривые безразличия – геометрическое место точек ( пространства товаров),

характеризующихся состоянием безразличия с точки зрения потребителя или

производителя. Это графическая иллюстрация взаимозаменяемости товаров.

Применяется для анализа спрса и потребления, а также др. эк. Явлений.

Отложим по оси 0Х кол-во 1-го блага, ОУ-другого. Кривая безразличия соединяет

все толчки, отражающие такие комбинации, что покупателю безразлично, что

покупать.

Если построить много кривых безразличия, то получится карта безразличия.

Св-ва:

1) К.Б. имеют отрицат. Наклон, крутизна которого показывает

предельную норму замещения 1-го товара дру-гим.

2) Кривые никогда не пересекаются

3) Кривые выпуклы к началу координат (их абсолютный наклон

уменьшается при движении по ним вправо).

У c

y1

У2 А

Y3

Х1 Х2 Х3 Х

6. Неявные функции

Пусть переменная u, является функцией переменных х1, х2,.,

хn, задается посредством функционального уравнения F (х1,

х2,., хn, u) = 0. В этом случае говорят, что u как

функция аргументов х1, х2,., хn задана неявно,

а саму функцию u называют неявной функцией. Неявные функции могут задаваться и

посредством системы функциональных уравнений.

Производная функции y = y(x), заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, где

F(x, y) – диффиренцируемая функция переменных x и y, может быть вычислена по

формуле: y’ = - F’x / F’y

При условии, что F’y ≠ 0.

Аналогично частные производные неявной функции двух переменных u =

(х1, х2), заданной с помощью уравнения F(х1, х

2, u) = 0, где F(х1, х2, u) – дифференцируемая

функция переменных х1, х2, u могут быть вычислены по

формулам: ∂u / ∂x1 = - F’x1 / F’u, ∂u /

∂x2 = - F’x2 / F’u.

7. Теоремы существования решений системы функциональных уравнений.

Пусть m функций

F1(х1,., хn , u1,., um);

F2(х1,., хn , u1,., um);

.........

Fm(х1,., хn , u1,., um)

Дифференцируемы в некоторой

окрестности точки a = (х10,., хn0,

u10,., um0) евклидова пространства

Rn+m, причем частные производные этих функций

по переменным u1,., um непрерывны в точке a. Тогда если

все функции F1,.,Fm обращаются в нуль в точке a, якобиан

D(F1,.,Fm) / D(u1,.,um) отличен от

нуля в этой точке, то найдется окрестность точки (х10, х

20,., хn0), в которой существует

единственные m функции u1 = f1(х1, х2

,., хn), u2 = f2(х1, х2

,.,хn), ., um = fm(х1, х2

,., хn), являющиеся решениями системы

F1(х1,., хn , u1,., um) = 0;

F2(х1,., хn , u1,., um) = 0;

.........

Fm(х1,., хn , u1,., um) = 0,

Причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окрестности точки (х

10,., хn0). При этом

∂fk / ∂xj = - D(F1,.,Fm)

/ D(u1,.,uk-1, xj, uk

+1,., um) : D(F1,.,Fm) / D(u1,.,um

).

Выражения для частных производных второго и последующих порядков, при условии

их существования, можно получить посредством дифференцирования этих формул.

8. Теоремы существования решений функционального уравнения.

Пусть функция F(х1, х2,., хn , u) непрерывна на

области D евклидова пространства Rn+1, F(х1

0, х20,., хn 0, u0)

= 0; (∂F / ∂u) (х10, х20

,., хn 0, u0) ≠ 0 (точка (х1

0, х20,., хn 0, u0)

Î D). Тогда существует окрестность указанной точки, в которой уравнение

F(х1,., хn , u) = 0 однозначно разрешимо, причем решение

u = f(х1, х2,., хn ) непрерывно в этой

окрестности. Если, кроме условий, оговоренных выше, функция F дифференцируема в

окрестности точки (х10, х20,., х

n 0, u0) и ∂F / ∂u непрерывна в этой

точке, то решение u = f(х1, х2,., хn

) дифференцируемо в окрестности рассматриваемой точки, причем ∂f /

∂xk = - ∂F / ∂xk : ∂F /

∂u, k = 1,2,.,n.

Частные производные второго и более высоких порядков, при условии их

существования, могут быть найдены посредством дифференцирования формул для

частных производных первого порядка.

9 Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

Достаточное условие экстремума.

Точка М0 называется точкой локального максимума (минимума)

функции f(x,y), если существует такая окрестность точки М0, в которой

для любой точки М(х,у) выполняется неравенство f(M)£f(M0)

(f(M)³f(M0)).

Точки локального экстремума называются просто точками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума.Если функция f(x,y)

имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М

0(х0,у0), то f¢x(M0

)=f¢y(M0)=0.

Доказательство.Рассмотрим сначала функцию одной переменной f(x,y0

). Производная этой функции совпадает с частной производной f¢x

(x,y0), а сама функция имеет локальный экстремум в точке х0

. Следовательно, производная функция f(x,y0) в точке х0

равна нулю, т.е. f¢х(x,y0)=0. Аналогично функция от

одной переменной f(x,y0) имеет локальный экстремум в точке у=у0

. Следовательно, её производная в этой точке равна нулю, т.е. f¢у

(x,y0)=0.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но не

достаточное условие существования экстремум.

Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называют

Достаточное условие существования экстремума. Пусть функция f(x,y)

имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности

стационарной точки М0(x0,y0). Положим D=

f¢¢xx(M0)f¢¢yy(M0

) – (f¢¢xy(M0)2. тогда :

1. если D>0, то в точке М0 функция имеет локальный

экстремум, причём f¢¢xx(M0)<0 – локальный

максимум, при f¢¢xx(M0)>0 – локальный

минимум;

2. если D<0, то в точке М0 нет экстремума.

3. если D=0, то требуются дополнительные исследования.

(в лекциях 2-го семестра доказательства не приводилось, если есть большая

тяга к знаниям, то см учебник стр 182-185).

10. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом

множестве.

Схема исследования функции на экстремум.

1. z¢x, z¢y

2. Найти критические точки. z¢x=0, z¢y=0

3. Взять производные z¢¢xx,z¢¢yy,z¢¢xy,z¢¢yx.

4. C помощью условия существования экстремум сделать вывод.

Теорема Вейерштрасса.Если функция z=f(x,y) непрерывна на

замкнутом, ограниченном множестве, то на этом множестве функция принимает

наибольшее и наименьшее значение.

Правило нахождения максимума и минимума для функции от двух переменных.

1. Найти ОДЗ и обедиться, что оно замкнутое и ограниченное.

2. Исследовать на экстремум, вычислить значение функции.

3. Вычислить значения функции на границах ОДЗ.

4. Из всех значений выбрать наибольшее и наименьшее.

11. Метод наименьших квадратов.

(рассмотрим для двух величин, остальные аналогично0Пусть (Х,У) – система двух

случайных величин. Задача – исследовать связь между Х и У.

М(У/Х=х) – условные математические ожидания случайной величины У при условии,

что Х=х (х – фиксированное число) М(У/Х=х)=f(x). Уравнение y=f(x) называется

уравнением регрессии СВ У на СВ Ч. Будем приближать функцию y=f(x) к прямой

y=kx+b, т.е. попытаемся подобрать k,b так, чтобы y=kx+b как можно лучше

апроксимировать функцию y=f(x). В качестве прямой y=kx+b предлагается выбрать

ту, на которую лучше всего «ложаться» экспериментальные точки. у1=kx

1+b Þ Е21= (y1-(kx1+b))

2 характеризует степень удалённости точки (х1,у1) от

прямой y=kx+b Е22= (y2-(kx2+b))

2 и т.д. Естественный критерий, характеризующий близость всей совокупности

точек к прямой y=kx+b К=åni=1E2i

. К=к(к,b) – функция двух переменных. Найдём такие к*,b*,

которые минимизируют значение К.

К(к,b)= åni=1(yi-(kxi+b))2 Необходимое условие экстремума. DК/Dк=0; DК/Db=0

DК/Dк=åni=12(yi-(kxi+b))(-хi)=0

kåni=1 хi2+båni=1 хi =åni=1 хi yi ;

DК/Db=åni=12(yi-(kxi+b))(-1)=0

åni=1 yi -kåni=1 хi-nb=0.

íì kåni=1 хi2+båni=1 хi =åni=1 хi yi

î kåni=1 хi+nb=åni=1 yi

cистема двух линейных уравнений с двумя неизвестными к и b.

12. Выпуклые функции в Rn и их свойства.

Отрезок в Rn с концами a, b Î Rn – это множество точек

х (t)= (1-t) a + t b,

где t произвольное число из промежутка [0; 1]. Отрезок с концами a, b

обозначается [ a, b ]. Отрезок [ a, b ] совпадает с множеством точек в Rn

, представимых в виде с = aа + bb , где a,b - произвольные неотрицательные числа

такие, что a+b=1. Множество Р Ì Rn называется выпуклым

, если вместе с любыми двумя точками a, bÎР оно содержит и весь отрезок [

a, b ]. Функция n переменных f (х), определенная на выпуклом множестве

РÌRn , называется выпуклой, если для любых двух точек

a, b Î Р и любых двух чисел a,bÎ[0; 1] таких, что a+b=1,

выполняется неравенство

f (aа + bb) ≤ a f (а) + b f (b)

Для непрерывной функции, заданной на выпуклом множестве Р , следующие условия

равносильны:

1) f выпукла;

Неравенство из пункта 4 называется неравенством Йесена. выпуклая функция наз.

строго выпуклой, если неравенство f (aа + bb) ≤ a f

(а) + b f (b) строгое при всех a, b из области определения

функции и α,β ≥0 таких, что α+β=1.

Функция f наз. (строго) вогнутой, если –f (строго) выпукла, т.е.

f (aа + bb) ≥ a f (а) + b f (b)

Линейная функция f(x)=(c,x)+c0 одновременно выпукла и вогнута, но не строго.

Свойства выпуклых функций.

1. функция с выпуклой областью определения Р Ì Rn

выпукла тогда и только тогда, когда выпукло множество Нf

={(х,у):хÎР, у≥f(x)} (из Rn+1)

называемое надграфиком функции f(x).

2. Если f(x) выпукла, то функция αf(x) выпукла при

α>0 и вогнута при α<0.

3. Если f(x) выпукла на Р, то множество Uf

(α)={х:f(x) ≤α} выпукло при любом α.

(обратное утверждение неверно).

4. Сумма любого числа выпуклых функций на множестве Р Ì Rn

выпуклана Р , если при этом хотя бы одна из суммируемых функций строго выпукла,

то вся сумма строго выпукла.

5. Пусть Р Ì Rn – выпуклое множество, и для каждого

i=1,2,.k пусть li(x) – линейная функция n переменных , а

fi(t) – функция одной переменной , выпуклая на li

(Р). Тогда функция F(х)=f1 ( l1(x))+.+ fК

( lК(x)) выпукла на Р. При этом, если все функции fi

(t) строго выпуклы и любая точка однозначно определяется набором ( l

1(а)+.+ lК(а)), то F(х) строго выпукла.

6. Пусть f выпукла на Р Ì Rn , а φ(t) –

возрастающая выпуклая функция на множестве f(Р) ÌR, тогда

F(х)= φ(f(x)) выпукла на Р. Если f(x) строго выпукла, то и F(х)

строго выпукла.

7. Дифференциируемая функция f(x) выпукла на множестве Р

Ì Rn тогда и только тогда, когда (grad f(a), b-a)

≤f(b)-f(a) для любых a,bÎР

8. Пусть f(x) – функция, непрерывная на отрезке [ a, b

]ÌR и дважды дифференциируемая на (a, b). Для выпуклости функции f

(x) на [ a, b ] необходимо и достаточно выполнение неравенства f˝

(x)≥0 для всех tÎ (a, b). Для строгой выпуклости f(x)

добавляется условие f˝(x)≠0 ни на одном интервале,

содержащемся в (a, b).

9. Пусть D –

выпуклое открытое множество в пространстве Rn, f(x)=f

(x1,.,хn) – функция, имеющая в D непрерывные частные

производные второго порядка. Для каждой точки хÎ D положим

и составим матрицу

C=Cij(X). Функция f(x) строго выпукла на множестве D , если в каждой

точке хÎ D выполняются следующие неравенства

∆1=с11>0,

., ∆n=det

c>0

Экстремальные значения выпуклых и вогнутых функций.

1.Если х* - точка локального минимума (максимума) выпуклой (вогнутой) функции

f(x) на выпуклом множестве Р Ì Rn то f(x*) –

наименьшее (наибольшее) значение f(x) на Р. Если f(x) строго

выпукла (вогнута), то х* - единственная точка глобального экстремума.

2.Пусть f(x) – выпуклая (вогнутая) функция на выпуклом множестве Р

Ì Rn и пусть grad f(x*)=0. Тогда х* -точка

глобального минимума (максимума) f(x) на Р.

13. Множители Лагранжа и теорема Куна-Таккера.

рассмотрим следующую задачу, называемую задачей вогнутого программирования:

найти точку глобального максимума вогнутой функции f(x) на выпуклом

множестве Р Ì Rn , заданном системой неравенств:

ó g1(x)³0,

î ....

ì g s(x)³0

ì g s(x)³0

î x³0

где g1(х),., g s(x) – вогнутые функции. для решения

вводят функцию Лагранжа F(x,l)=f(x)+l1 g1(x)+.+l

s g s(x), где l=(l1,.,l s) –

вектор множителей Лагранжа. Предположим, что все функции дифференциируемы и

существует точка х³0, для которой все тривиальные неравенства из системы

уравнений строгие. Точка х*³0 является точкой глобального максимума f

(x) на Р в том случае, когда существует вектор l*=(l*1,.,

l*s)³0, такой, что выполняются условия:

gradxF(x*, l*)£0;

(gradxF(x*, l*);х*)=0

gradlF(x*, l*)³0

(gradlF(x*, l*);l*)=0

Эти условия означают, что точка (x*, l*) является седловой точкой

функции F(x, l), т.е. F(x, l*)£ F(x*, l*)£ F(x*, l)

5. Числове и функциональные ряды.

Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная

знаком сложения: а1+а2+.+ак +.=∑к=1∞ак.

Где а1,.,ак- члены числового ряда

Введем след. Обозначения: Sк = ∑к=1каi = а1+а2+.+ак

- n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,.к: Sк

= а1+а2+.+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ.

Последовательность.

Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т

конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S,

k→∞. В противном случае числ ряд расходится.

Св-ва сходящихся числ. Рядов.

Рассмотрим 2 числ ряда:

а1+а2+.+ак +.=∑к=1∞ак. (1)

в1+в2+.+вк +.=∑к=1∞вк ( 2)

Опр.

1).Суммой этих рядов наз ряд. Каждый член которого равен сумме

соответствующих членов рядов (1) и (2).

2) Ряд , каждый член которого равен произведению соответствующего члена ряда

(1) на одно и то же действительное число, наз произведением ряда на

действительное число λ.

Св-ва.

1)Если ряд (2) сходится, и его сумма равна S, тогда произведение этого ряда

на действительное число также сходится, и его сумма будет равна λS.

Док-во: Пусть Sk- частичная сумма ряда (2), sk - частичная сумма ряда

λ в1+ λ в2+.+λ вк +., ясно, что λ Sk = sk. Переходя к

пределу, получим:

Lim sk=lim λSk= λlimSk= λS(k→∞)

2)Если ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы соответственно равны S, S’, то ряд

из определения 1) (назовем его (3)) также сходится, а его сумма будет равна

S+S’.

Док-во: Qk=Sk+Tk, где Qk, Sk,Tk – сответственно частич суммы рядо (1), (2),

(3). Переходя к пределу при k→∞, получаем, что сущ-т LimQk и

Q=S+T

3)Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем отбрасывания или

приписывания конечного числа членов также сходится.

Док-во: Рассмотрим, когда отбрасывают первые n членов. Оставшийся ряд аn+1

+аn+2+. наз остатком исходного ряда (1). Пусть Сn- сумма первых n членов, Sk

-частичная сумма исх. Ряда,S’k - частичная сумма остатка, при k>n:

Sk = Cn+S’k

Если сущ-т предел lim Sk k→∞, то сущ-т и предел lim S’k и

наоборот. В частности, выполняется равенство: S=S’+Cn

4)Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд. Полученный из него

группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.

Необходимое усл-е сходимости.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена при к

→∞ равен 0. lim ak=0

Док-во.

1){Sk=a1+a2+.+ak

{Sk-1=a1+a2+.+ak-1, значит ак=Sk-Sk-1

2)Поскольку ряд сходится, то lim Sk = S, k→∞

3) k→∞: lim ak= lim Sk- lim Sk-1 = S- lim Sk-1= S-S=0 ((k-

1)→∞)

Следствие: если lim ak≠0 или не сущ-т, то ряд расходится.

Сформулированный признак явл. необходимым усл-м и не явл достаточным, чтобы

ряд сходился.

2 Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения,

Даламбера, интегральный)

Пусть a1 + a2 + . + an + = n=1S

¥ an = Sn – числовой ряд, каждый член которого

положителен. Такой ряд называется рядом с положительными членами или просто

Страницы: 1, 2, 3