Шпора: Шпоры

положительным числовым рядом.

S1 = a1 > 0, S2 = a1 + a2> 0, {Sn}- возрастающая числовая последовательность

Признаки сходимости положительных числовых рядов.

Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы

последовательность его частных сумм была ограничена.

Признаки сравнения

Пусть заданы два положительных числовых ряда:

u1 + u2 + . + un + = n=1S¥ un , un > 0 для " n

v1 + v2 + . + vn + = n=1S¥ vn , vn > 0 для " n

1) Если "n Î N: un £ vn и ряд n=1S¥ vn – сходится, то и ряд n=1S¥ un – сходится.

Если "n Î N: un £ vn и ряд n=1

S¥ un – расходится, то и ряд n=1S

¥ vn – расходится.

2) Если $ lim un/vn = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо

n ® ¥ k = const

одновременно расходятся.

Признак сходимости Даламбера.

Если n=1S¥ un – положительный ряд, для которого lim un+1/un = L, то

n ® ¥

1) при L < 1 ряд сходится

2) при L > 1 ряд расходится

3) при L = 1 необходимы дополнительные исследования.

Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть n=1S¥un - положительный

ряд, для которого 1) un= f(n); 2) y = f(x) определена для " x ³

1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный

интеграл 1∫+¥f(x)dx, причем если он

сходится , то

n=1S¥ un = 1∫+¥f(x)dx

3 Знакопеременные ряды, ряды с комплексными числами.

Знакочередующиеся ряды – ряды, члены которых имеют чередующие знаки.

Теорема Лейбница Если члены знакочередующегося ряда убывают по

абсолютной величине и стремяться к нулю, когда n®µ,то 1) ряд сходится; 2) любой

остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и

имеет одинаковый с ним знак.

Доказательство.

Пусть дан ряд а1-а2+а3-а4+.+(-1)

n-1аn+. и известно, что аn>an+1 для

всех n и an®0 при n®µ.Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным

числом членов S2n= а1-а2+а3-а4

+.+a2n-1-a2n= (а1-а2)+(а3

-а4)+.+(a2n-1-a2n). В силу первого условия все

разности в скобках положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S

2n} является возрастающей. Докажем, что она является ограниченной. Для

этого представим S2n в виде

S2n= а1-[(а2-а3)+(а4-а

5)+.+(а2т-1-a2n-1)+a2n]. Вы ражение в

квадратных скобках положительно, поэтому S2n<a1 для

любого n, т.е. последовательность {Sn} ограничена.

Итак, последовательность {Sn} возрастающая и ограниченная,

следовательно, она имеет предел lim S2n=S. Так как S2n+1

=S2n+a2n+1, и по

n®µ

условию lim a2n+1=0, то lim S2n+1=limS2n=S.

n®µ n®µ n®µ

Мы доказали, что ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравентвам 0<S<a

1. Докажем теперь второе утверждение. Рассмотрим остаток ряда а1

-а2+а3-а4+.+(-1)n-1аn+. с

чётным номером 2k: R2k=a2k+1- a2k+2+. Этот ряд

является знакочередующимся и он удовлетворяет всем условиям теоремы, поэтому

выполняются оценки 0<R2k<a2k+1. Что касается

остатков ряда с нечётными номерами, то любой из них можно записать в виде

R2k+1= -a2k+2+a2k+3-.=-(a2k+2-a

2k+3+.). Ряд в скобках снова удовлетворяет условиям теоремы, поэтому

0<-R2k+1<a2k+2 или -a2k+2< R

2k+1<0. Сходимость ряда вместе с неравенствами 0<S<a1,

0<R2k<a2k+1 и -a2k+2< R2k+1

<0 полностью доказывает теорему.

4. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.

Пусть дан знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных

величин его членов |a1|+|a2|+.+|an|+.

Очевидно, что это ряд с положительными членами.

Ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд составленный из

его членов.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Сумма такого

ряда равна разности между суммой его плюс-ряда и суммой минус-ряда.

Доказательство.

Пусть ряд а1+а2+.+аn+. сходится абсолютно, т.е.

сходится ряд |a1|+|a2|+.+|an|+. Обозначим

частичные суммы ряда из модулей его членов через Tn. Имеем Tn

= Tn++ Tn- (где Tn+

- некоторая частичная сумма плюс-ряда, Tn- - частичная

сумма минус-ряда.) Ввиду сходимоти ряда |a1|+|a2|+.+|a

n|+.его частичные суммы Tnограничены некоторым числом С. Тогда

следует, Tn1+£С и Tn2-

£С, т.е. частичные суммы минус- и плюс-ряда также ограничены сверху числом

С. Согласно критерию сходимости рядов с положительными членами отсюда вытекает

сходимость плюс- и минус-рядов, т.е. существуют пределы T+=lim T

+k и T-=lim T-l. Если теперь

k®µ l®µ

из равенства перейти к пределу при n®µ, то получим limTn=T+-T-, ч.т.д.

l®µ

5. Условно сходящиеся ряды.

Ряд а1+а2+.+аn+. называется условно

сходящимся , если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов,

расходится.

(теорема Римана.Если ряд сходится условно, то в результате перестаноски

его членов можно получить ряд, имеющий любую сумму, а также расходящийся ряд.)

6. Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)

Комплексное число представляется в виде a+b*i, где а – действительная

часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат

которой равен «-1»).

Если суммы действительных(Sаn) и мнимых (Sbni) частей

комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел.

(аналогичны и остальные определения.)

сход).

Функция S(x) ,хÎW является суммой ряда, если S(x) =lim

n→∞ S(x) , где S(x)=f1(x)+f2

(x)+.+fn(x)

Если S(x) , хÎL (LÍΩ) является суммой ряда f

1(x)+f2(x)+.+fn(x)+.=n=1∑

∞ fn(x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на

множестве L функции S(x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции

S(x) , если для любого числа e>0 существует номер N такой, что при n³N

cразу для всех хÎL выполняется неравенство ½S(x) -Sn

(x)½<e

Если функциональный ряд сходится на множестве L , то на этом множестве

сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве

множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда f1(x)+f2

(x)+.+fn(x)+. удовлетворяют на множестве L неравенством ½ fn

(x)½≤Сn (n=1,2.) , где Сn – члены сходящегося числовогоряда

С1+С2+.+ Сn+. то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

Свойства:

Если функции fn(x) непрерывны на [a,b], составленный из них ряд f

1(x)+f2(x)+.+fn(x)+., то

1.Функция f(x) на [a,b] непрерывна

2. a∫ bf(x)dx=. a∫ b f1(x)dx+.+. a∫ b fn(x) dx+.

Если fn(x) имеют непрерывную производную на [a,b] и на этом отрезке

а)ряд f1(x)+f2(x)+.+fn(x)+. сходится к f(x)

б)ряд f1'(x)+f2'(x)+.+fn'

(x)+. сходится равномерно, то f(x) имеет на этом отрезке непрерывную

производную f ' (x)= f1'(x)+f2

'(x)+.+fn'(x)+.

8. Степенные ряды.

Опр. Выражение вида а0+а1х+а2х2+.+акхк+. , (*)

где а0, а1,а2,. - некоторая числовая последовательность наз степенным рядом.

а0,а1,а2,.- коэффициенты степенного ряда.

Если х придавать числовые значения, то будем получать числ. Ряды, которые

могут сходиться и расходиться. Множество Х, при которых ряд (*) сходится,

называется областью сходимости.

9. Теорема Абеля.

1)Если ряд (*) сходится в некоторой точке х0≠0, то этот ряд будет сходится

и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|<|х0|.

2)Если ряд (*) расходится в т. х1≠0, то этот ряд расходится при всех x:

|х|>|х1|.

Док-во.1). По усл степенной ряд а0+а1х0+а2х02

+.+акх0к+.(**) сходится, поэтому ак

х0к →0, при к→∞. Значит, сходящаяся

последовательность {акх0к}

ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |акх0к|<M для всех к=0,1,2.

Рассмотрим |а0|+|а1х0|+|а2х02|+.+|акх0к|+..(***)

Пусть |х|<|х0|, тогда |акхк|=|акх0к

||х/х0|<М|х/х0|к, причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не

превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

М+М|х/х0|+М|х/х0|2+.+М|х/х0|к+.- суммы бесконечно

убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (***) сходится, а ряд (**)

сходится абсолютно.

2)Предположим, что ряд(**) расходится при х=х1, но для некоторого х:| х |>х1

По первой части теоремы ряд (**) сходится абсолютно при х=х1, следовательно

получили противоречие.

10. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.

Для степенного ряда (*) возможны только следующие случаи:

1)ряд сходится только в т.х=0

2)ряд сходится при всех х

3)существует такое R>0, что ряд сходится в интервале (-R;R) и расходится вне

отрезка [-R;R]. R- радиус сходимости степенного ряда

Теорема. Если существует предел D=lim|an+1/an|

при n→∞, отличный от 0, то R степенного ряда а0+а1х+а2х2

+.+аnхn+.равен:

R=1/D= lim|an/an-1| при n→∞.

Опр. Пусть ф-я f(x)=Σn=1∞a

nx, то говорят, что ф-я разлагается в степенной ряд с обл.

сходимости(-R;R)

11. Теоремы о св-вах степенных рядов.

1. Пусть ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд а0+а1х+а2х

2+.+аnхn+.(1) . Рассмотрим степенной ряд

а1+а2х+.+аnхn-1+.(2), полученный почленным

дифференцированием ряда (1). Тогда: ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R,

Что и (1). На вем интервале (-R;R) ф-я f(x) имеет производную f(x)’, которая

разлагается в степенной ряд (2).

2. Если ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд, то она

интегрируема в этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов

от членов ряда.

12 Разложение ф-й в степенные ряды. Ряд Маклорена.

Предположим, что ф-я f(x) разлагается на отрезке [-r;r] в степенной ряд

f(x)=а0+а1х+а2х2+.+аnхn +.(1)

Найдем а0,а1,а2,.

f’(x)=а1+2а2х+3a3х2.+.

f’’(x)=2а2+6а3х+4*3a4х2.+.

.

f(n)(x)=n(n-1)(n-2)*.*1*an+. Полагая, что х=0, получим:

f(0)=a0, f’(0)=a1 f’’(0)=2a2,., f(

n)(0)=n!a n

Имеем: a n= f(n)(0)/n!

Опр. Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой

точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(0)+ (f’(0)/1!)x+ (f’’(0)/2!)x

2+.+(f(n)(0)/n!)xn наз

рядом Маклорена для ф-и f(x).

Примеры разложений ф-й:

ех=1+х+х2/2!+х3/3!+.+хn/n!+. для всех х.

Sinx=x- х3/3!+х5/5!+.+(-1)nх2n+1/(2n+1)!+.

Cosx=1- х2/2!+х4/4!+.+(-1)nх2n/(2n)!+.

Ln(1+x)= x- х2/2+х3/3-.+(-1)nхn+1/(n+1)+.

Arctgx= x- х3/3+х5/5+.+(-1)nх2n+1/(2n+1)+.

(1+x)a=1+(a/1)x+(a(a-1)/1*2)x2+.+(a(a-1)*.*(a-n+1)/n!)xn+.

Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х3/3+х5/5+.)

1/1-х=1+х+х2+х3+.

1/1+х=1-х+х2-х3+.

Для натуральных а=м получим бином Ньютона:

(1+x)м=1+(м/1)*x+(м(м-1)/1*2)x2+.

13. Ряд Тейлора.

Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке

произволдные всех порядков. Степенной ряд f(х0)+ (f’(х0)/1!)*(x-х0)+

(f’’(х0)/2!)*(x-х0)2+.+(f(n)

(х0)/n!)*(x-х0)n+. называется рядом Тейлора с центром х0

джлдя ф-и f(x).

Теорема. Если ф-я разлагается в некоторой окрестности т. х0 по степеням х-х0,

то он явл рядом Тейлора с центром х0.

14. Приложения степенных рядов.

1. Вычисление значений показательной ф-и: пусть х=Е(х)+q,

где Е(х)-целая часть числа х, q- дробная его часть, тогда ех= е

Е(х)* еq, где находят с помомощью умножения, а – с помощью

разложения ех=1+х+х2/2!+х3/3!+.+хn

/n!+.. При 0≤х<1, этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда

Rn(x) оценивается след образом:

0≤ Rn(x) < хn+1/n!n

2. Вычисление значений логарифмической ф-и: Ln(1+x)= x- х2

/2+х3/3-.+(-1)nхn+1/(n+1)+.

Заменим х на –х: Ln(1-x)= -x- х2/2-х3/3-.+-хn

+1/(n+1)-. вычитая из первого равенства второе получим:

Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х3/3+х5/5+.), где |х|<1.

3. Вычисление значений синуса и косинуса:

Sinx=x- х3/3!+х5/5!+.+(-1)nх2n+1/(2n+1)!+.

Cosx=1- х2/2!+х4/4!+.+(-1)nх2n/(2n)!+.

Ряды при больших х сходятся медленно. Но, учитывая периодичность ф-й синуса и

косинуса и формулы приведения тригонометрич. Ф-й, достаточно уметь вычислять

sinx, cosx для промежутка 0≤х ≤ π/4.

4. Разложение ф-й в степенные ряды исп-ся для приближенного

нахождения интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений.

15 Матричные степенные ряды и условия их сходимости.

Пусть дана квадратная матрица А размера k и степенной ряд

a0 + a1x + a2x2 +.+ anx

n +. Степенным матричным рядом называется ряд, полученный заменой

в степенном ряде переменной х на А:

a0 + a1А + a2А2 +.+ anАn +. = n=0S¥ anАn.

l - собственное значение матрицы А, если найдется ненулевой собственный

вектор х, для которого выполняется равенство Ах = lх

Матричный степенной ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится

степенной ряд a0 + a1l + a2l2 +.+ a

nln +. = n=0S¥ an

ln (*) для каждого собственного значения l матрицы А.

Доказательство: Пусть матричный ряд сходится и l - собственное значение матрицы

А с собственным вектором х. Пусть В = n=0S¥

anln, Вх – вектор. Т. к. для любого натурального n

выполняется равенство Аnx = lnx, то справедливо равенство

Вх = n=0S¥ anlnх

Þ сходимость ряда (*).

Для доказательства достаточности можно рассмотреть случай, когда собственные

векторы матрицы А образуют базис пространства Rk. Для проверки

сходимости ряда a0 + a1А + a2А2 +.+

anАn +. = n=0S¥ a

nАn достаточно проверить, что для любого вектора х пространства

Rk сходится ряд из векторов a0х + a1Ах + a

2А2х +.+ anАnх +.

Если х – собственный вектор матрицы А, то ряд

a0х + a1Ах + a2А2х +.+ an

Аnх +. (**) сходится по условию. В общем случае вектор х

представляется в виде линейной комбинации собственных векторов. Поэтому ряд

(**) также представляется в виде линейной комбинации рядов такого же типа для

собственных векторов, каждый из которых сходится. Следовательно, сходится и ряд

(**) Þ теорема доказана.

6. Дифференциальные уравнения.

1 Модель естественного роста (рост при постоянном темпе).

Пусть у(t) – интенсивность выпуска продукции некоторого предприятия, отрасли. Мы

будем предполагать, что имеет место аксиома о ненасышенности потребителя, т.е.

что весь выпущенный предприятием товар будет продан, а также то, что объём

продаж не является столь высоким чтобы существенно повлиять на цену товара р ,

которую ввиду этого мы будем считать фиксированной. Чтобы увеличить

интенсивность выпуска у(t), необходимо чтобы чистые инвестиции I(t) (т.е.

разность между общим объёмом инвестиций и амортизационными затратами) были

больше нуля. Вслучае I(t)= 0 общие инвестиции только лишь показывают затраты

на амортизацию, и уровень выпуска продукции остаётся неизменным. Случай I<0

приводит к уменьшению основных фондов и уровня выпуска продукции. Таким образом

мы видми, что скорость увеличения интенсивности выпуска продукции является

возрастающей функцией от I.

Пусть эта зависимоть выражается прямой пропорциональностью, т.е. имеет место

так называемый принцип акселерации.

y¢=mI (m=const), где 1/m – норма акселерации. Пусть a - норма чистых

инвестиций, т.е. часть дохода ру, которая тратится на чистые

инвестиции, тогда I=a py.

Отсюда подставляя выражение для I , получаем y¢=a m ру или

y¢=ку, где к=ma р=const. Разделяя переменные в уравнении имеем

Dy/y=kdt. После интегрирования обеих частей находим ln|y|=kt+lnC, или y=Cekt.

Если y(t0)=y0,то C=y0e-kto, т.е. y=y

0ek(t-to) – это уравнение называется уравнением

естественного роста. Этим уравнением описывается также динамика роста цен

при постоянном темпе инфляции, процессы радиоактивного распада и размножения

бактерий.

2. Логический рост.

Пусть р=р(у) – убывающая функция (dp/dy <0), т.е. с увеличением выпуска будет

происходить насыщение рынка и цена будет падать. Проведя аналогичные

рассуждения получим уравнение:

y¢=kp(y)y,( здесь k=la.) уравнение представляет собой автономное

дифференциальное уравнение. Так как k>0, p>0, y>0, то у(t) –

возрастающая функция (y¢>0). Исследуем у(t) на выпуклость.

Дифференцируя уравнение по t, получим

y¢¢=ky¢(dp y +p) или y¢¢=ky¢p(dp *y +1), т.е. y¢¢=ky¢p(1-1 ) ,

dy dy p

|ey|

где ey(p)= dy * p - эластичность спроса.

dp y

Из этого вытекает, что если спрос эластичен, т.е. |ey|>1, то

y¢¢>0, т.е. функция спроса – выпуклая функция. Если спрос

неэластичен, т.е. |ey|<1, то y¢¢<0 и функция спроса

– вогнутая функция.

Пусть, например, р(у)=b-ay (a, b>0), тогда уравнение принимает вид:

y¢=k(b-ay)y. Из чего легко получить, что y¢=0, если у=0 или у= b/a, а

также, что у¢¢<0 при у= b/2a, и у¢¢>0 при у> b/2a.

В данном случае легко получить и явное выражение для y(t). Разделяя переменные

в уравнении, находим

dy = kdt, или dy(1+ a )= kdt.

y(b-ay) b у b-ay

Проинтегрировав это соотношение, имеем

Ln|y|-ln|b-ay|= kbt+lnC, т.е. y/(b-ay)=Cekbt. Отсюда получим y= Cekbt .

1+Caekbt

График этой функции называется логистической кривой. Она также описывает

некоторые модели распространения информации, динамику эпидемий, процессы

размножения бактерий в ограниченной среде обитания и т.п.

Из графика логистической кривой видно, что при малых t логистический рост схож с

естественным ростом, однако при больших t характер роста меряется, темпы роста

замедляются и кривая асимптоматически приближается к прямой у=b/a. Эта прямая

является трационарным решением уравнения y¢=k(b-ay)y и соответственно

случаю р(у)=0. Для этого уравнения также существуют решения при у> b/a,

имеющие графики. Но так как в этом случае р(у)<0, то эти графики не имеют

экономической интерпретации.

Более реалистичной является модель, в которой скорость роста зависит не от

дохода, а от прибыли. Пусть С(у)= aу+b - издержки (b,a - константы) тогда

у¢=k(p(y)y-aу-b). Если p(y)=b-aу,то правая часть уравнения представляет

собой квадратный многочлен относительно у с отрицательным коэффициентом перед у

2. В этом случае возможны три варианта.

1) D<0. Следовательно, у¢<0. Издержки настолько велики, что

это приводит к постоянному падению производства и в конце концов к банкротству.

2) D=0.В этом случае у¢<0 и меется одна стационарная

кривая у=у*<b/a. При этом интегральные кривые,

удовлетворяющие начальному условию у(t0)=y0>y*

, будут ассимптотически приближаться к у* на +µ, а интегральные

кривые, удовлетворяющие условию у(t0)< у* будут

ассимптотически приближаться к у* на -µ.

3) D>0. В этом случае существует два стационарных решения у=у1

, у=у2. (0<y1<y2). При этом у¢>0

при y1<у<y2 и у¢<0 при у<y1

или у>у2.

3. Неоклассическая модель роста.

Пусть Y=F(K,L) – национальный доход, где К – обьём капиталовложений (фондов),

L – величина затрат труда, F(K,L) – линейно-однородная производственная

функция (F(tK,tL)=tF(K,L)). Пусть f(k) – производительность труда:

F(k)= F(K,L)/L=F(K/L,1)=F(k,1), где k=K/L – фондовооружённость. Как известно,

f¢(k)>0, f¢¢(k)<0.

Предполагаем, что:

1. происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.е. L¢=aL(a=const);

2. Инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на

амортизацию, т.е. L¢=K¢+bK (b - норма амортизации).

Пусть l – норма инвестиций (т.е. I=lY), тогда lY=K¢+bK ÞK¢=lY-bK.

Из определения фондовооружённости вытекает ln k=lnK-lnL.

Дифференцируем эти соотношения по t, получим k¢/k=K¢/K-L¢L.

Подставляя значения для L¢ и K¢ , находим k¢=

lY-bK - a, т.е. k¢=lYk – (b+a)k = lYK

-(b+a)k

k K K kL

Учитывая, что f=Y/L, получим K¢=lf(k)- (b+a)k. – уравнение

неоклассического роста.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется выражение, связывающее

независимую переменную х, функцию у и ее производные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок

производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка вида у(n) =f(x, у, у',.у(n-1)) (*)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется всякая функция

у=φ(x), определенная для значений х на конечном или бесконечном

интервале , имеющая производные до n-го порядка включительно, и такая, что

подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение

обращает последнее в тождество по х.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием

этого дифференциального уравнения.

во многих случаях требуется находить решение дифференциального уравнения,

удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, например, задача Коши

состоит в отыскании решения диф. уравнения (*), определенного в некоторой

окрестности точки х0 и такого, что

у(х0)= у0 , у'( х0)=у1,..., у

(n-1)(х0)= уn-1, где у0, у1,.,

уn-1 – заданные числа.

3. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные.

Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных.

Линейное дифференциальное ур-е n-го порядка: y(n)

уравнение наз в том случае, если b(x)=0.

Если у1=φ1(х), у2=φ2(х),.

уk=φk(х) – решения однородного ур-я y(

n) + a1(x) y(n-1)

+.+an(x) y =0(*), то любая их линейная комбинация С1у

1 + С2у2+.+ Сkуk, где С1

, С2 – постоянные, также решение этого однородного ур-я.

Система ф-й наз линейно независимой на интервале (a,b), если ни одна из

этих ф-й не может быть выражена в виде линейных комбинации остальных ф-й.

Фундаментальный набор решений –это набор линейно независимых решений ур-я

(*), содержащий количество ф-й, равное порядку дифференциального ур-я.

Теорема. Для того, чтобы решения у1=φ1(х), у

2=φ2(х),. уk=φk(х) линейного

однородного диф-го ур-я с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами были

Л.Н.З. на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы определитель

Вронского

| φ1(х) φ2(х). φn(х) |

W(x)=| . |

| φ1(n-1)(х) φ2(n-1)(х). φn(n-1)(х)|

был отличен от нуля при любом х из [a,b].

Любое решение однородного ур-я можно представить в виде линейной комбинации

фундаментального набора решений : ў=∑i=1n

Ciyi , где Ci (i=1,2,.) – произвольные постоянные.

(общее решение однородного диф. Ур-я(*)).

4. Связь между общим и решением однородной и неоднородной систем.

Пусть ў – общее решение однородного уравнения(*), ỳ- некоторое

решение неоднородного уравнения y(n) + a1

(x) y(n-1) +.+an(x) y = b(x) (**).

Тогда у= ў+ ỳ - общее решение неоднородного ур-я (**). Зная общее

решение неоднородного ур-я, легко найти любое его частное решение.

5. Метод Лагранжа вариации постоянной.

Сначала решается однородное линейное дифференциальное уравнение (*),

соответствующее неоднородному (**): находят общее решение (*). Затем

постоянную величину С, входящую в полученное общее решение, полагают новой

неизвестной функцией от х: С=С(х), т.е. варьируют произвольную постоянную.

Найденную ф-ю подставляют в полученное на первом этапе общее решение

однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения.

6 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

y” + py’ + qy = f(x)

Алгоритм решения

I) Необходимо найти общее решение однородного линейного

уравнения

y” + py’ + qy = 0, соответствующего заданному неоднородному уравнению.

Для этого необходимо сначала решить характеристическое уравнение

l2 + pl + q = 0.

В зависимости от решения характеристического уравнения необходимо записать

общее решение однородного линейного уравнения.

Возможны следующие случаи:

1) D = p2 – 4q > 0, l1,2 – два действительных

различных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C1el1x + C2el2x; C1, C2 = const.

2) D = p2 – 4q = 0, l =-p/2 – единственный корень

характеристического уравнения , тогда общее решение имеет вид:

Y = C1elx + C2elx; C1, C2 = const.

3) D = p2 – 4q < 0, l1,2 = a + ib – два

комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения, тогда общее решение

имеет вид:

Y = C1eax sinbx + C2eaxcosbx, C1, C2 = const.

II) Необходимо найти частное решение неоднородного

линейного уравнения по следующей таблице.

Поиск частных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с

постоянными коэффициентами y” + py’ + qy = f(x)

F(x)	Дополнитель-ные условия	Частное решение φ(x)
pn(x)- многочлен n- ой степени	q ≠ 0	φ(x) = Pn(x)
	q = 0	φ(x) = x Pn(x)
	p = q = 0	φ(x) = x2 Pn(x)
aebx; где a,b = const	b ≠ l1,2	Φ(x) = Aebx, где A = const
	b = l1	Φ(x) = Axebx, где A = const
	b = -p/2 = l	φ(x) = Ax2 ebx, где A = const
asin kx + + bcos kx	k ≠ 0, p ≠ 0	φ(x) = Asin kx + Bcos kx
	p = 0, q = k2	φ(x) = x (Asin kx + Bcos kx)
pn(x) + debx + asin kx+ bcos kx		Cумма частных решений для каждого слагаемого
(pn(x) sin kx + qm(x) cos kx) ebx		φ(x) = (Pn(x) sin kx + Qm(x) cos kx) ebx

III. Общее решение неоднородного линейного уравнения находится как сумма

общего решения однородного линейного уравнения и частного решения

неоднородного линейного уравнения y = φ(x) + Y

7 Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной

системы.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть F(x,y,y¢)=0.

Если это уравнение можно разрешить относительно у¢, т.е. записать в виде

у¢=f(x,y), то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в

форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения. Возьмём

некоторую точку (x0,y0) из области определения D функции

f(x,y). Пусть у=j(х) – интегральная кривая, проходящая через эту точку. Из

уравнения вытекает, что j¢(х0)=(х0,у0).

Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой,

проходящей через точку (х0,у0) равен (прих=х0)

числу f(х0,у0).

Построим теперь для каждой точки (х0,у0) из области

определения прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент,

равный f(х0,у0). В этом случае принято говорить, что эта

прямая определяет направление в точке (х0,у0), а

на множестве D задано поле направлений.

Если каждое уравнение, входящее в систему, является дифференциальным, т.е. имеет

вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят

о системе дифференциальных уравнений. Так система дифференциальных

уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями записывается обычно в

виде

ì

í j(t,x1,x2, dx1/dt,dx2/dt)=0

î y( t,x1,x2, dx1/dt,dx2/dt)=0.

На системы дифференциальных уравнений естественным образом обощается постановка

задачи Коши для одного уравнения. Например, в случае данной системы задача Коши

состоит в нахождении решения х1(t),x2(t), удовлетворяющих

начальным условиям х1(t0)= х10, x

2(t0)= x20, где t0, х1

0, x20 – заданные числа. Для случая системы может

быть доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши,

аналогичная теореме для одного уравнения.

8. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в некоторой окрестности точки (х0,у0) функция f(х,у)

определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢y

, то существует такая окрестность точки (х0,у0), в которой

задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без

доказательства)

Задача о нахождении решений дифференциального уравнения у¢=f(x,y),

удовлетворяющих начальному условию у(х0)=у0 , называется

задачей Коши.

К системам дифференциальных уравнений первого порядка в известном смысле

сводятся уравнения (и системы уравнений) любого порядка. Пример.

Пусть дано уравнение у¢¢¢=f(x,y,y¢,y¢¢). Если

обозначить функцию y¢и y¢¢ соответственно через m и n, то

уравнение можно заменить системой

ìy¢=m

состоящей из трёх уравнений первого порядка с тремя неизвестными функциями.

Векторная запись нормальной системы. (со слов Гончаренко)

îxn= f(x1,x2,.,xn). .

Представим набор решений как вектор х= (x1,x2,.,xn) в проистранстве Rn.

. . . .

Функцию также можно записать в векторном виде f=(f(x),f(x),.,f(x)).

Векторная запись всей системы будет выглядеть следующия образом:

. . .

x = f ( x ).

7. Теория вероятностей.

1 Случайные события и предмет теории вероятностей.

а)Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту,

если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить

(напр, выпадение герба при бросании монеты).

Согласно данному определению событие считается случайным, если его

наступление в результате опыта (опыт – совокупность условий, которые можно

воспроизводить бесконечное число раз) представляет собой лишь одну из

возможностей.

Под это определение формально подходят такие события, которые обязательно

наступают в результате данного опыта – достоверные события.

аналогичное замечание относится и к невозможным событиям ,т.е. таким,

которые никогда не наступают при совершении данного опыта.

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, присущих массовым

случайным событиям.

б)Сравнивая между собой случайные события, мы говорим, что одно из них более

вероятно. Чтобы придать подобным сравнениям количественный смысл, необходимо

с каждым событием связать число, выражающее степень возможности данного

события:

Пусть А – случ. событие в некотором опыте. Опыт произведен N раз и А наступило в

NA случаях. Составим отношение: μ= NA/N .Оно

называется частотой наступления А в серии опытов. Для многих случайных

событий частота обладает свойством устойчивости, т.е. с увеличением числа

опытов стабилизируется и приближается к некоторой постоянной р(А).

Вероятность случайного события – это связанное с данным

события в длинных сериях опытов. (статистическое определение: опирается на

понятия "опыт", "наступление события")

2. Комбинация событий.

1)Сумма событий А и В есть событие С, которое заключается в том, что либо А

произошло, либо В, либо А и В произошли вместе. С=А+В

2)Произведение событий А и В есть событие Д, которое заключается в том, что А

и В произошли вместе. Д=АВ

3)Противоположное событие. А – исходное событие, Ā –

противоположное событие заключается в том, что А не произошло (напр, А –

попадание при выстреле, Ā – промах).

4)Равенство между событиями. События А и В считаются равными, если всякий

раз, когда наступает одно из них, наступает и другое.

Каждое событие можно истолковать как некоторое множество, а операции А+В, АВ,

и Ā над событиями – как операции объединения, пересечения и дополнения

для множеств.

5)А и В несовместны, если они не могут произойти вместе в одном опыте.

АВ=Æ

3. Формула сложения вероятностей.

Если А и В несовместны р(А+В)=р(А)+р(В)

р(А)+р(Ā)=1.

Каждому событию А ставится в соответствие некоторое подмножество множества W.

Все возможные исходы (элементы множества) – множество элементарных событий.

W={ωi} Все возможные события – система подмножеств s.

s={A1,A2...}

1.Любое подмножество можно представить в виде суммы ωi .

2.Если А1, А2,.Îs (алгебра событий), то А1ÈА2È.Îs,

А1ÇА2Ç.Îs (если А1, А2,. - события, то их объединение

тоже событие)

3.Если А – событие, то Ā есть тоже событие.(АÎs, то ĀÎs)

Аксиомы вероятностей.

1.Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число р(А),

называемое вероятностью события А.

2.Если события А1, А2,.попарно несовместны, то р(А1,А2,.)= р(А1)+р(А2)+.

4. Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания.

Одни события явл. комбинациями других. И это необходимо учитывать при

нахождении вероятностей.

Комбинаторное произведение событий. Пусть А и В – два события.

Произведение событий А*В есть событие Д, заключающееся в том, что А и В

произошли вместе: А*В=Д. Аналогично определяется произведение любого множества

событий.

Размещения. Перестановки, сочетания.

Всевозможные группировки из данных n элементов по м в каждой, отличающиеся друг

от друга либо самими элементами. Либо порядком расположения эл-в, называют

размещениями из к элементов по m.

Например, размещения из 3-х эл-в а,б,с: аб,ас,ба,бс,са.сб. Число всех размещений

из n эл-в вычисляют: Anm=n!/(n-m)!

Перестановками из n эл-в наз их группировки, отличающиеся друг от

друга только порядком входящих в них эл-в. Например, перестановки из а,в,с:

авс,сва,вас,вса, асв,сав. Число всех различных перестановок: Рn= n!

Всевозможные группировки из данных n эл-в по m в каждой, отличающиеся друг от

друга хотя бы одним элементом, наз сочетаниями из n эл-в по m.

Пример: сочетания из а,в,с,д по 2:ав, ас, ад, вс, вд, сд.

Число всех сочетаний из n эл-в по m:

Cnm = n!/(m!*(n-m)!).

5. Классический способ подсчета вероятностей.

Опыт (Е) ® множество элементарных исходов: А1, А2.:

1) все Аi равновозможные

2) любые два исхода несовместны

3) А1 È А2 È. = W

Р {А} = m/n, где n – общее число элементарных исходов, связанных с Е, m –

число элементарных исходов, приводящих к А

6. Геометрические вероятности

Геометрические вероятности – вероятность попадения точки в область (отрезок,

часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу ставится

точка (поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L),

вероятность попадения точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка

и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Вероятность

попадения точки на отрезок l определяется равенством

P =Длина l / Длина L.

Пусть плоскость фигуры g составляет часть плоскости фигуры G. На фигуру G

наудачу брошена точка, т. е. брошенная точка может оказаться в любой точке

фигуры G. Вероятность попадения брошенной точки на фигуру g пропорциональна

площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от

формы g. Вероятность попадения точки в фигуру g определяется равенством P =

Площадь g / Площадь G.

7. Правило сложения вероятностей.

Если событие А и В несовместны, то Р{А + В} = Р{А} + Р{В}

Доказательство:

Е, Nраз , NА раз наблюдалось событие А, NВ раз

наблюдалось событие В, NА+В раз наблюдалось событие А+В.

Так как А и В несовместны, то NА+В = NА + NВ, NА+В / N = NА / N+ NВ / N.

Если устремить N ® ¥, то получается Р{А + В} = Р{А} + Р{В}

Обобщение: Если А1, А2, . , Аn – попарно несовместны, то

Р{А1 + А2 + . + Аn } = Р{А1} + Р {А2}+ . + Р {Аn}

8. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей

Пусть A и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту s, причём

р(В) не равно нулю. Число р(АВ)/р(В) называется вероятностью события А

при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью

события А. Таким образом рв(А) = р(АВ)/р(В). Пусть N – общее число

экспериментов, NB - число экспериментов, в которых имело место

событие В. NАВ – Число экспериментов, в которых имели место события

А и В одновременно. Отношение NАВ/NB – частота события А

при условии, что наступило событие В.

р(АВ)=рВ(А)р(В) – Вероятность произведения двух событий равна

вероятности одного из этих событий при условии другого, умноженной на

вероятность самого условия. Аналогичная формула справедлива для трёх событий.

р(А1А2А3)=р(А1)рА1(А

2)рА1А2(А3)

А не зависит от В, если выполняется равенство рВ(А)=р(А).

Наступление В не оказывает влияния на наступление события А.

Правило умножения вероятностей - Если событие А не зависит от В, то

справедливо равенство р(АВ)=р(А)р(В). (веростность произведения равна

произведению вероятностей)

9. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если события Н1, Н2,.,Нn попарно несовместны и

образуют полную группу, то для вероятности любого события А справедлива формула

р(А)=рН1(А1)р(Н1)+рН2(А)р(Н2

)+.+рHn(А)р(Нn). Вероятность события А равна сумме

произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на

вероятность самих гипотез.

Формула Байеса. (условие – событие А может наступить только с одной из

гипотез). Эта формула определяет вероятность, что имела место именно эта

гипотеза.

Вывод формулы.

p(AHi)=pHi(A)p(Hi)

p(HiA)=pA(Hi)p(A) приравниваем правые части, получим

pHi(A)p(Hi)=pA(Hi)p(A) воспользуемся формулой полной вероятности.

pA(Hi)= рHi(A)p(Hi) .

рН1(А1)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+.+рHn(А)р(Нn)

10. Дискретная СВ и ее закон распределения.

Величина, принимающая в результате испытания (опыта) определенное значение,

называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если

существует конечное и счетное множество S={х1, х2,.}

такое, что Р(ХÎS)=1. Числа х1, х2,.называются

возможными значениями СВ Х.

Пусть рi=Р(Х=хi

) – вероятность возможного i-го значения. При хi ≠ хj

события Х=хi и Х= хj несовместны. Применяя правило

сложения вероятностей для несовместных событий получим:

Таблица

Х	х1	х2	.
Р	р1	р2	.

называется законом распределения дискретной СВ Х. Для любой СВ функция

распределения – F(x)=P(X<x) . В случае дискретной СВ функция распределения

имеет вид

F(x) – ступенчатая функция со скачками в х1, х2,., причем величины скачков

равны р1, р2,.

11. Числовые хар-ки СДВ.

Математическим ожиданием дискретной СВ Х, множество

возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее

возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2

р2+.+хnpn

Свойства. 1.Матем. ожидание константы равно константе: М(С)=С

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=СМ(Х)

3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мат. ожиданий слагаемых:

М(Х1+Х2+.+Хn)=M(X1)+M(X2)+.+M(Xn)

4.Математическое ожидание произведений независимых СВ равно произведению

математических ожиданий сомножителей. (дискр.СВ наз. независимыми, если Р(Х

1=а1,.Хn=an)=P(X1=a1)*.Р(Xn=a

n).

Для любой СВ Х разность Х-М(Х) называется отклонением Х. Математическое ожидание

квадрата отклонения СВ Х называется дисперсией Х. По определению

D(X)=M(X-M(X))2.

Стандартное отклонение СВ Х определяется как корень квадратный из дисперсии и

обозначается s(х). Из свойств математического ожидания: D(X)=M(X2

)-M(X)2

Свойства. 1.Прибавление (вычитание) константы к СВ не меняет ее дисперсии

D(X+C)=D(X)

2.Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате D(СX)=С2D(X)

3.Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых

D(X1+.+Xn)=D(X1)+.+ D(Xn)

Важно помнить, что дисперсия константы равна 0: D(C)=0

Начальным моментом порядка К СВ Х называют математическое ожидание

величины Хк : nк=М(Хк)

Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое

ожидание величины (Х-М(Х)) к

mк=М[(X-M(X)) к]

Cоотношение, связывающее начальные и центральные моменты: m2=n2-n12

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость

количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные

характеристики – асимметрию и эксцесс (для нормального распределения эти

характеристики равны 0). Асимметрией теоретического

распределения (теоретическим называют распределение вероятностей) называют

отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического

отклонения: Аs=m3\s3

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая

определяется следующим равенством: Ек=(m4\s4)-3

12 Биномиальное, Пуассоновское, геометрическое и гиппергеометрическое

Биномиальным распределением С параметрами n и р наз

распределение числа успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха в

каждом испытании р. Биномиальное распред-е имеет вид:

Х	0	1	2	.	n
Р	Cn0p0qn	Cn1p1qn-1	Cn2p2qn-2	.	Cnnpnq0

Где q = 1-р. Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону

с параметрами n и р, M(X)=np, D(X)=npq.

Пуассоновское распределение с параметром λ>0

задается следующей бесконечной таблицей

Х	0	1	.	k	.
Р	e-λ	λ e-λ /1!	.	λke-λ /k!	.

M(x)=D(X)=λ

Геометрическим распределением с параметром р наз

распределение числа испытаний до первого успеха в серии независимых испытаний с

вероятностью успеха в каждом испытании. Оно имеет вид бесконечной таблицы:

Х	1	2	.	k	.
Р	р	qр	.	qk-1p	.

Для дискретной случайной величины. Распределенной по геометрическому закону,

M(X)=1/p, D(X)=q/p2.

Гипергеометрическое распределение . Рассмотрим пример.

Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных. Из нее случайно отбирают n

изделий, причем отобранное изделие не возвращается в партию. Пусть Х- С.В.-

число m изделий среди n отобранных. Найдем Р(Х=m):

(1) - Общее число элементарных исходов = СnN. (2) - Число

исходов, благоприятствующих событию Х=m,(среди взятых n изд-й ровно m

стандартных)= СmM Сn-mN-M

(m стандартных изделий можно извлечь из М СmM способами,

при этом остальные n-m изделий д.б. нестандартными, последние мы извлкаем из

N-M нестандартных изделий Сn-mN-M способами).

Искомая вероятность равна отношению (1) к (2):

Р(Х=m)= СmM Сn-mN-M / СnN

Причем, если n Значительно меньше N, то гипергеометрич. Распределение дает

вероятности, близкие к вероятностям, полученным по биномиальному закону.

13 Функция распределения случайной величины.

Определение. Функцией распределения случайной величины x называется

функция F(x) = P{x < x}

Свойства F(x):

1) Зная F(x), можно найти P{x1 £ x < x2}

{x < x2} = {x < x2} È {x1 £ x < x2} Þ P{x < x2} = P{x < x2} È P{x1 £ x < x2}Þ

Þ P{x1 £ x < x2} = F(x2) - F(x1)

2) Функция F(x) неубывающая, причем 0 £ F(x) £ 1

Если x2 > x1, то F(x2) ³ F(x1) ( P{x < x2} ³ P{x < x1} )

3) Справедливы равенства:

а) lim F(x) = lim P{x Î (-¥; x)} = 1; b) lim F(x) = 0

x ® +¥ x

® +¥

x ® - ¥

4) Функция F(x) = lim F(x - a) º F(x – 0)

a ® 0, a > 0

5) P{x = x} = F(x+0) – F(x-0); где F(x+0) º lim F (x + a)

a ® 0, a > 0

14. Непрерывные случайные величины

Случайная величина x называется непрерывной, если непрерывной является ее

F(x) (в любой точке x)

Случайная величина x называется абсолютно непрерывной, если ее F(x)

дифференцируема в любой точке x1 за исключением, быть может,

конечного числа точек.

Свойства непрерывной случайной величины: P{x = x} = F(x+0) – F(x-0) = 0

При этом F(x) непрерывна.

15. Свойства функции плотности.

Плотность вероятности абсолютно непрерывной случайной величины есть по

определению функция f(x) = F’(x)

Свойства f(x): 1) f(x) ³ 0

2) a∫bf(x)dx = F (b) – F(a) Þ a∫bf(x)dx =P{a £ x < b}

3) -¥∫¥f(x)dx = P{-¥ £ x < ¥} = 1; -¥∫¥f(x)dx = 1 - условие нормировки

4) (вероятностный смысл f(x))

Xo∫Xo+ΔX f(x)dx = P{x0 £ x < x0 + Δx}

При Δx ® 0; Xo∫Xo+ΔX f(x)dx » f(x0

)Δx » P{x0 £ x < x0 + Δx}

16. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

x - непрерывная случайная величина, x Î (-¥; +¥)

x x x x x

X-2 X-1 Xo X1

Введем дискретную случайную величину xЕ Î {., x-2, x-1, x0, x1, x2,.}

Закон распределения дискретной случайной величины xЕ

Pi = P{xi £ x < xi+1} = Xi∫Xi+1f(x)dx x x1 x2 .

p p1 p2 .

Математическое ожидание МxЕ = i = -¥S¥xipi = i = -¥S¥xip{xi £ x < xi+1}

По определению полагаем:

Mx = lim МxЕ = lim i = -¥S¥xi f(xi )Δxi = -¥∫¥xf(x)dx

E®0 E®0

E

Итак, если x Î (a,b), то Мx = a∫bxf(x)dx; a∫bf(x)dx = 1

Дисперсия Dx = M{(x - Mx)2} = a∫b (x - Mx)2 f(x)dx

Стандартное отклонение случайной величины X определяется как корень

квадратный из диспрерсии и обозначается σx.

Для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины Х

сохраняются свойства числовых характеристик дискретной случайной величины.

17. Непрерывные распределения специального вида (равномерное, показательное,

распределение Лапласа)

Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция

F(x), значения которой для каждого значения аргумента х даёт вероятность того,

что случайная величина Х принимает значение, меньшее х, т.е. F(x)=P(X<x).

Если функция распределения F(x) всюду дифференцируема, за исключением, быть

может, нескольких точек, то случайная величина Х называется абсолютно

непрерывной. Тогда функцией плотности f(x) называется её производная.

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале,

которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность

распределения сохраняет постоянное значение.

для хÎ[a,b] f(x)=const для хÏ[a,b] f(x)=0. const=1/(b-a).

M(x)=(b+a)/2; D(x)=(b-a)2/12.s(x)=(b-a)/2Ö3

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей

непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

f(x)= ì 0 , x<0,

íî le-lx ,x³0. График выглядит следующим образом

М(х)=1/l. D(x)=1/l2.s(x)=1/l.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной

величины, которая описывается плотностью.( гауссовское распределения)

f(x)= 1* e-(x-a)^2/2s^2

sÖ2pØ нормальное распределение

определяется параметрами а и s.

Функция Лапласса. Ф(х)= 1òх е-t^2/2

Ö2p 0

вершина достигается в точке (а; 1/(Ö2pØs))

D(x)=s2; M(x)=a; s(x)= s. Среднее квадратичное отклонение нормального

распределения равно параметру s.

18. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и

Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Неравенство Маркова . Пусть У ³0 - дискретная СВ. e>0 - некоторое число,

тогда Р(У³e) ≤М(У)\ e

Неравенство Чебышева. Пусть имеется СВ x с математическим ожиданием m и

дисперсией D. Каково бы ни было положительное число e, вероятность того, что

величина x отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на e,

ограничена сверху числом D\e2

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в

каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик

большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

Теорема Чебышева. Пусть имеется бесконечная последовательность x1,x2,..

независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и

дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

M[x1]=M[x2]=.=m

D[x1]<c, D[x2]<c,.

Тогда каково бы ни было положительное число e, вероятность события

|((x1+.+xn)\n)-m|<e, стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности.

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из

которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А. Рассмотрим СВ n

- число наступлений события А в n опытах. Каково бы ни было положительное

число e, вероятность события

|n\n-p|<e стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности.

Центральная предельная теорема Ляпунова.

Если последовательность

x1,x2,..независимых СВ удовлетворяет условию Ляпунова (отдельные отклонения xi

от ее математического ожидания должны быть равномерно малы по сравнению с

суммарным отклонением случайных величин. Если при n стремящемся к бесконечности

предел

то будем говорить, что последовательность

x1,x2,..удовлетворяет условию Ляпунова)

то справедливо предельное соотношение

что означает, что закон распределения СВ v' с ростом приближается к

нормальному с мат. ожиданием 1 и дисперсией 0.

8. Математическая статистика.

выборка. Вариационный ряд. Гистограмма,

Опр.1. Выборкой наз совокупность случайно отобранных объектов.

Опр.2 Генеральной совокупностью наз совокупность объектов, из которых

производится выборка. Объемом сов-ти наз число объектов этой совокупности.

Опр.3. Ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности

на группы по к.-л. признаку. Вариационным рядом (в.р.) наз группировка

сов-ти по количественному признаку, т.е. это ряд распределения, сгруппированный

по колич. Признаку.

В.Р. будет дискретным, если он остроен подискретному признаку и непрерыным,

если – по непрерывному.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму. На оси

Ох строятся интервалы, над которыми строятся прямоугольники с высотой, равной

частоте (относительной частоте) соответствующего интервала.

Площадь гистограммы равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.( в случае

относительных частот = 1).

2. Эмпирическая ф-я распределения.(э.ф.р.)

Опр. Э.Ф.Р. (ф-й распределения выборки) наз ф-ю F*(х), определяющую для

каждого значения х относительную частоту события Х<х: F*(х)=nx/n,

nx –число вариант, меньших х, n- объем выборки.

3. Выборочная средняя

Опр. Выборочной средней Хв(над Х необходимо рисовать черточку) наз среднее

арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения х

1,х2,.,хn различны, то

Хв=(х1+х2+.+ хn)/n.

Если значения признака х1,х2,.,хk имеют

соответственно частоты n1,n2,.,nk, причем n

1+n2+.+nk =n, то

Хв=(∑i=1knixi)/n,

т.е. выборочная средняя есть средняя взвешанная значений признака с весами,

равными соответствующим частотам.

4. Выборочная дисперсия.

Выборочной дисперсией Dв наз среднее арифметическое квадратов отклонений

наблюдаемых значений признака от их среднего значения Хв (с чертой).

Если все значения х1,х2,.,хn различны, то

Dв=(∑i=1n(xi – xв )2)/n

Если значения признака х1,х2,.,хk имеют

соответственно частоты n1,n2,.,nk, причем n

1+n2+.+nk =n, то Dв=(∑i=1

kni(xi – xв )2)/n, т.е.

выборочная дисперсия есть средняя взвешанная квадратов отклонений с весами,

равными соответствующим частотам.

5. Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные

Рассматривая x1, x2, . , xn как независимые случайные величины

X1, X2, . , Xn, можно сказать, что найти

статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это

значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает

приближенное значение оцениваемого параметра.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения

называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Пусть Θ* - статистическая оценка неизвестного параметра Θ

теоретического распределения.

Несмещенной называют статистическую оценку Θ*, математическое

ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки,

т. е.

М(Θ*) = Θ.

Возможные значения Θ* могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего

значения, т. е. дисперсия D (Θ*) может быть значительной Þ

существует возможность допустить большую ошибку. По этой причине к

статистической оценке предъявляется требование эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме

выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n ® ¥

стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия

несмещенной оценки при n ® ¥ стремится к нулю, то такая оценка оказывается

и состоятельной.

6. Точность и надежность оценки

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ* служит

оценкой неизвестного параметра Θ. Если Δ > 0 и | Θ – Θ*|

< Δ, то чем меньше Δ, тем оценка точнее. Таким образом,

положительное число Δ характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ по Θ*

называют вероятность g, с которой осуществляется неравенство | Θ –

Θ*| < Δ. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в

качестве g берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность,

равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Доверительным называют интервал (Θ* - Δ, Θ* + Δ),

который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью g.

Для определения необходимой численности выборки нужно задать уровень точности

выборочной совокупности (Δ) с определенной вероятностью

(g). Ф

((Δ√n ) / σ) = g / 2 Þ можно найти значение t =

(Δ√n ) / σ Þ n = (t2σ2)/Δ

2

7. Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и

средних. Проверка гипотезы о виде распределения.

Статичтической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о

параметрах известных распределений. Нулевой (основной) называют

выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной)

называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой. Правило, по

которому принимают решение о том, принять или отклонить гипотезу Н0,

называют критерием. Обычно критерием служит некая случайная величина,

вычисляемая по выборке. (Критерием согласия называют критерий проверки

гипотезы о предполагаемом законе не известного распределения.)

В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято

неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов: 1)ошибка

первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; 2)

ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через a. Её

называют уровнем значимости.

Статичтическим критерием называют величину К, которая служит для проверки

нулевой гипотезы.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых

нулевую гипотезу отвергают. Облать принятия гипотезы – совокупность

значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип

проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия

принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение

критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

облать значений К разбивается на две подоблати: подоблать принятия нулевой

гипотезы (К кр.лев; К кр.прав); подобласть отклонения гипотезы Н0.

Из определения уровня значимости следует, что a=ò К кр.лев f(k)dk+ò+¥f(k)dk

-¥ К кр.прав.

Если плотность распределения К симметрична относительно оси ординат,то

ò+¥f(k)dk=a/2. Если f(k) и a известны, то можно найти К кр.прав.

К кр.прав.

Проверка гипотезы по равенству математических ожиданий нормально

распределённых совокупностей при известных дисперсиях.

Пусть Х – нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=ах

и известной D(x)=G2x ; Y - нормально распределённая

случайная величина с неизвестным М(х)=ау и известной D(x)=G2

y

В результате проведённого эксперимента вычисляется хсредняя и усредняя.

Выдвигаем гипотезу Н0: ах=ау и конкурирующую гипотезу Н1: ах не равно ау.

Требуется оценить нулевую гипотезу с уровнем значимости a.

Решение.

Хcр. распределена по нормальному закону Þ М(х)=ах и

D(x)=G2x/n. Уср. распределена по нормальному

закону Þ М(у)=ау и D(у)=G2y/m

Хср.-Уср. распределена по нормальному закону Þ

М(х-у)=0 и D(x-у)=G2x/n+G2y/m.

Введём случайную величину К= Хср .- У ср.

Ö G2x/n+G2y/m ÞК имеет

нормальное распределение с М(к)=0 и D(k)=1. Þ нормальное распределение

симетрично Þò+¥f(k)dk=a/2=0,5-Ф(К

кр.прав.)

К кр.прав.

Далее находим по таблицам фукнции Лапласса К кр.прав. Далее находим Кнабл.

Затем: 1) Если Кнабл.Î[Ккр.лев; К кр.прав.], то гипотеза Н0

принимается. 2) если КнаблÎ{критическая область}, то гипотеза Н0

отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве математическом ожидании нормально

распределённой случайной величины при равных неизвестных диспрерсиях.

Пусть Х – нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=ах

и D(x)=G2 ; Y - нормально распределённая случайная величина с

неизвестным М(х)=ау и D(x)=G2

В результате проведённого эксперимента вычисляется хсредняя и усредняя.

Выдвигаем гипотезу Н0: ах=ау и конкурирующую гипотезу Н1: ах не равно ау.

Требуется оценить нулевую гипотезу с уровнем значимости a.

Решение.

Построим К.

n . n .

S2x=(å(xi-x)2)/(n-1), S2y=(å(yi-y)2)/(n-1).

i=1 i=1

Х – случайная величина, распределённая по нормальному закону с числовыми

характеристиками (ах, G/Ön). Y – случайная величина,

распределённая по нормальному закону с числовыми характеристиками (аy

, G/Öm)

Оказывается случайная величина S2x и S2y

имеют распределение c2(«хи-квадрат») со степенями свободы (n-1) и

(m-1).

Введём случайную величину U=((n-1)S2x)/G2

+((m-1)S2y)/G2 имеет распределение c2

с числом степеней свободы n+m-2.

Случайная величина Х-У имеет нормальный закон распределения с характеристиками

(ах-ау, ÖG2/n+G2/m

Ø)

Поэтому нормализированная случайная величина

U = (х-у)-(ах-ау)

ÖG2/n+G2/mØ

Имеет нормальное распределение N(0,1), а отношение

V = (

x- y) –(ax-ay) .

ÖU/(m+n-2)Ø sÖ1/m+1/nØÖ[(m-1)S2x/s2+(n-1)S2y/s2]*1/(m+n-2)

имеет распределение Стьюдента с (m+n-2) степенями свободы. Таким образом

можно найти Кнабл.

Кнабл. =(х-у)/Ö(1/m+1/n)*[(m-1)S2x+(n-1)S2y]/(m+n-2)Ø

Имеет распределение Стьдента с (m+n-2) степенями своды. Далеее вывод делается

как в предыдудей задаче.

8. распределение l2

Распределение l2 – закон распределения непрерывной случайной

величины, плотность которой определяется формулой.

f l2 (x)= ì 1* e-x/2x(k/2)-1, x>0

í2k/2Г(k/2)

î0, x£0

¥

чило к=n-1 - число степеней свободы. Г(х) – гамма-функция Г(х)=ò tx-1e-tdt

0

C увеличением степеней свободы распределение медленно приближается к

нормальному. Причём для f l2 (x) М{ }=n, D{ }=n2

Для дальнейшего «въезжания» необходимо иметь хотя бы отдаленное представление

о следующих понятиях

9. Распределение Стьюдента ( или t-распределение) .

Пусть Z – нормальная случайная величина, причём M(Z)=0, s(Z)=1, а V –

независимая от Z величина, которая распределена по закону c2 с к

степенями свободы. Тогда величина Т= Z

ÖV/kØ

(отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой

случайной величины, которая распределена по закону c2 с к степенями

свободы, делённой на к, распределено по закону Стьюдента с к степенями

свободы.)

10. Распределение F Фишера – Снедекора.

Если U и V- независимые случайные величины, распределённые по закону c2

со степенями свободы к1 и к2, то величина F=U/k1

V/k2

имеет распределение, которое называется распределением F Фишера-Снедекора со

степенями свободы к1 и к2 (иногда его обозначают через V

2)

Плотность распределения. f(x) =Г((m+n)/2)*mm/2*nn/2 * xn/2-1

Г(m/2)*Г(n/2) (m+nx)(m+n)/2, x>0

При больших m и n переходит в нормальное распределение. Число степеней свободы k

1=n-1,k2=m-1.

(cправка закончена)

11. Проверка аналитических гипотез

1. Сравнение двух средних норм генеральных совокупностей, дисперсии

коттрых известны.

2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии,

которых неизвестны и одинаковы.

Дано Х и У – случайные величины с нормальными распределениями.

Найдены Хср. и Уср. Известно – G2x=G2y=G2

MX=MY при конкурирующей гипотезе. Н1: МХ не равно МУ с уровнем значимости a.

Схема решений.

1. Находим S2x и S2y - исправленные выборочные.

2. Вычисляем набд=людаемое значение критерия

Т= ( x- y) * mn(m+n-2)

(n-1)S2x+(m-1)S2Y Ö m+n

Оказывается критерий Т –случайная величина распределения Стьюдента.

3. По заданному уровню значений a и числу степеней свободы k=m+n-2 по таблице

критических точек распределения Стьюдента находим критическое значение

параметра Ткр. (a, к)

4. Сравниваетм Ткр. И Тнабл., делаем вывод:

а) если |Тнабл.|< Ткр.(a, к), то нет оснований отвергнуть Н0.

б) если |Тнабл.|>Ткр.(a, к), то гипотезу отвергаем.

3 . Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

Х и У – нормальные генеральные совокупности. По выборкам найдены S2

x и S2y Требуется проверить гипотезу Н0:

DX=DY при конкурирующей гипотезе Н1 а) DX>DY б)DX не равно DY.

Схема решение в случае а).

1. Вычисляется наблюдаемое значение критерия. Fнабл.= S2больша е

/ S2меньшая =S2x/ S2

y. Оказывается, что F – случайная величина, распределённая по закону

Фишера-Снедекора.

2.По заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k1=n-1,k

2=m-1 находим критическую точку Fкр. (a,k1,k2) k

1 – число степеней свободы большей дисперсии,k2 - число

степеней свободы меньшей дисперсии.

3.Сравнивая Fкр. и Fнабл. ,делаем вывод: Если Fкр. < Fнабл., то гипотезу Н

0 принимаем, если Fкр. > Fнабл., то гипотезу отвергаем.

Схема решения в случае б) аналогична,только в №2 F(a/2,k1,k2

), в №3 k1=n-1,k2=m-1 или k2=n-1,k1

=m-1 , так как k1 – число степеней свободы большей дисперсии,k2

- число степеней свободы меньшей дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о виде закона распределения (Критерий Пирсона).

Х – случайная величина. Требуется но уровню значимости a проверить гипотезу о

нормальном распределении Х.

Схема решения.

1. Весь интервал выборочных значений разделить на S частных интервалов

одинаковой длины. Находим середины частичных интервалов, переходим к новому

выборочному распрелению. ni –число фактических зачений попавших в

i интервал.

2. Для получения последовательности равностоящих вариантов находим

X* ср =(åSi=1nixi)/n, G*=Öåni*(xi-x*)2/nØ.

попадания х в i интервал. Если х – нормально распределённая случайная величина,

то Z распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и

единичной дисперсией и pi=Ф(Zi+1) – Ф(Zi

), а Zi=(xi-x*)/G*

3. Нормируем случайную величину х, рассматриваетм величину Z=(x-x*)/G*

4. вычисляем теоретические (вычисленные в предположении нормального

распределения) частоты n¢i =n*pi ,pi

- веростность

5. В качестве проверки нулевой гипотезы применим критерий Пирсона.

c2=ås(ni-ni¢)2

i=1 ni¢

6. По таблиые критических точек распределения c2 по заданному уровню

значимости a и числу степеней свободы k=s-3 находим критическую точку c2

кр.(a,к).

7. Сравнивая c2кр. и c2набл., делаем

вывод: - если c2набл.< c2кр. ,

то гипотезу о нормальном распределении Х принимаем (с уровнем значимости a)

- если c2набл.> c2кр. , то гипотезу о нормальном распределении Х отвергаем.

(Аналогично проверяется,что гипотеза принадлежит любому другому распределению,

только в № 4 рi будет считаться в соответствии с этим

распределением.)

Страницы: 1, 2, 3