Билеты: Задачи Лоповок

Билеты: Задачи Лоповок

серединами двух противоположных сторон.

120. Постройте четырехугольник по трем сторонам и углам при четвертой стороне.

121. Постройте равносторонний треугольник периметра Р, имеющий две вершины на

двух данных параллельных прямых, а третью — на данной окружности.

122. Постройте квадрат со стороной а, у которого концы одной стороны

находятся на двух данных параллельных пря­мых, а центр — на данной окружности.

123. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных

параллельных прямых, а четвертая — на данной окружности.

124. Даны две окружности и прямая I. Постройте прямую, параллельную

I, на которой данные окружности отсекают рав­ные отрезки.

125. АВ — диаметр полуокружности, СО — хорда, не па­раллельная

АВ. Найдите на полуокружности такую точку М, чтобы прямые М.А

и МВ пересекали СО в точках, расстояние между которыми равно а.

Сложение векторов

126. Векторы ОМ и МТ равной длины взаимно перпенди­кулярны.

Зная, что Т (7; 17), найдите координаты векторов.

127. Длины векторов АВ и АС равны. Докажите, что вектор АВ

+ АС лежит на биссектрисе угла ВАС или параллелен ей.

128. МА, МВ, МС — радиусы окружности. Известно, что МА + МВ

+ МС = 0. Найдите углы между радиусами.

129. Четырехугольник АВСВ вписан в окружность с цент­ром М.

Зная, что МА + МВ + МС + МВ == 0, определите вид

четырехугольника.

130. Докажите, что вектор а (8; 8) коллинеарен Ь -\- с,

если Ъ (5; 12), с (12; 5).

131. В окружность радиуса 6 см вписан прямоугольник АВСВ, М — точка этой

окружности. Найдите длину вектора

МА + МВ + МС + МВ.

132. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.

Зная, что. ОМ == 18 см, найдите длину век­тора МА + МВ + МС.

133. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны медианам

треугольника АВС.

134. На плоскости даны точки А, В, С, В, Е, никакие три из которых не

лежат на одной прямой. Докажите, что можно по­строить пятиугольник, стороны

которого равны АС, ВО, СЕ, АВ, ВЕ.

135. АВСВ — параллелограмм. Точка М не принадлежит ни одной

прямой, содержащей сторону параллелограмма. Дока­жите, что можно построить

четырехугольник, длины сторон которого МА, МВ, МС, МВ.

Умножение вектора на число

136. Шесть точек соединены последовательно отрезками АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР, РА.

Середины этих отрезков — Ао, Во, Со, Во, Ео, ро. Докажите, что

для любой точки Г: ТАо + ТСо + +ТЕо=~ТВо+~ТВо+ТР~о.

137. АВСВ — четырехугольник, у которого сумма рас­стояний между

серединами противолежащих сторон равна ^по­ловине периметра четырехугольника.

Докажите, что АВСВ — параллелограмм.

138. Докажите, что, если М — точка пересечения медиан

треугольника АВС, то СМ == ^-(са + СВ}.

139. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для

любой точки Т: ТМ = -^-(ТА + ТВ + ГС").

о

140. Точка С лежит между А и В, причем АС'.СВ = пг:п.

Докажите, что для любой точки Т:

ТС = —"-— ТА + —"——ТВ.

т + п т + п

141. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС соответ­ственно

взяты такие точки С\, А\, В\, что АС\ '. С\В = = ВА\ '. А\С

== СВ\ '. В\А. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника

АВС и точка пересечения медиан треуголь­ника Д^С! совпадают.

142. АВСВ и А\В\С\В\ — параллелограммы. Верно ли, что середины

отрезков АА\, ВВ\., СС\, ВВ\ являются вершинами параллелограмма?

Косинус угла

143. Докажите, что если а ф Ъ и аЪ ~> О, то существует ост-

2аЬ рыи угол, косинус которого равен —з . ^ •

144. Докажите, что при любом действительном п =И= 1 суще­ствует острый

угол, косинус которого равен "

2я2 — 2п + 3

Теорема Пифагора

+ 145. Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба

его гипотенузы. ^ 146. Докажите, что если Ь2 + с2

== 2о2, то существует прямо-

„ & Ч- с Ь — с угольный

треугольник, длины сторон которого а, —-—, —„—

&» ^

147. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с кате-

, „ л 1 _- а2 , б2 „ 2

тами а, Ь и гипотенузой с: а) —^ —а——г + -тт-—г ^ т-!

А (I -{- С О -\- С О

2 ^ о2 , Ь2 ^, ,. _<, в3 | Ь3 , 5

Й\ " ^- " 1 и ,-- 1 . ^. " 1 " ^- "

б) Т ^ Т^ТТ- -г- ^ч~7 < - ' В; ^Т^ + ^Т^ < I»

148. Докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.

149. Сумма углов при стороне АВ выпуклого четырехуголь­ника АВСВ

равна 90°. Докажите, что ВС2 + АВ2 == АС2

+ ВВ2. ^ 150. Докажите, что сумма квадратов медиан

прямоуголь­ного треугольника в полтора раза больше квадрата его гипо­тенузы.

151. Докажите, что квадрат наименьшей медианы прямо-

угольного треугольника в 5 раз меньше суммы квадратов двух

других медиан.

152.- Если суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны, то

его диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите.

153. Периметр квадрата Р. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин

квадрата до прямой, проходящей через его центр.

154. Катет АВ == а лежит против угла в 15°. Найдите

длину, второго катета.

155. Катет АВ == а лежит против угла в 22° 30'. Найдите длину второго катета.

- 156. Длины трех сторон прямоугольной трапеции 25, 25, 32 см. Найдите длину

четвертой стороны.

- 157. Отрезок АВ == 12 см служит диаметром окружности с центром О.

На отрезках АО и ВО, как на диаметрах построены окружности.

Найдите радиус окружности, которая касается трех названных окружностей.

158. Из точки М стороны ВС прямоугольника АВСD отрезки

АВ и АD видны под равными углами. Зная, что АВ === 80 см,

АD == 89 см, определите, на какие части точка М делит сто­рону

ВС.

159. Меньшее основание трапеции 4 см. Высота делит ее на треугольник и

квадрат. Если в них вписать окружности, то диаметр одной равен радиусу

другой. Найдите периметр тра­пеции.

160. Сторона квадрата 7. Внутри него отмечены 50 точек. Докажите, что среди

них найдутся две, расстояние между которыми меньше У2.

161. Катеты прямоугольного треугольника 20 и 50 см. Опре­делите радиус

окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух

других сторон треугольника.

162. Наблюдатель видел стену АВ из двух пунктов под углами по 30°.

Расстояние между пунктами 300 м, один нахо­дится строго к югу от В,

другой — строго на восток от А. Опре­делите длину стены.

163. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин

данного прямоугольника наименьшая возможная.

Расстояние между двумя точками

164. Докажите, что каждая точка графика у = ж2 + 0»25

равноудалена от оси абсцисс и от точки (0; 0,5).

165. Внутри квадрата АВСD есть такая точка М, что МА ==

7, МВ = 13, МС == 17. Определите длину стороны и диа­гонали

квадрата.

166. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до всех вершин

данного равностороннего треугольника,— наи­меньшая возможная.

167. Точка В находится между точками А и С. По одну сто­рону

прямой АС построены равносторонние треугольники АВВ и ВСК,

по другую — равносторонний треугольник АСМ. Дока­жите, что центры

окружностей, описанных около этих тре­угольников, являются вершинами

равностороннего треуголь­ника.

Уравнение прямой

168. Три стороны ромба лежат на прямых х == О, у == х, у ==

== х + 3. На какой прямой лежит четвертая сторона ромба?

169. Найдите периметр треугольника, стороны которого

лежат на оси абсцисс и на прямых у == — ж и у == — —:с+ 15.

170. Равные отрезки АВ и С^ лежат на двух взаимно пер­пендикулярных

прямых 1\ и 1ч. Докажите, что прямая, прохо­дящая через

середины отрезков ВВ и АВ, равно наклонена к прямым 1\

и 1ч.

171. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая, имеющая

уравнение Зх — 4у + 24 == О?

172. Напишите уравнения прямых, на которых лежат сто­роны треугольника с

вершинами А (—3; 5), В (1; —3), С (7; 9).

173. Напишите уравнение прямой, которая параллельна оси ординат и проходит через

точку пересечения прямых 5.т — 9у — — 1 == 0 и Зх -{^у — 10 =

0.

174. Докажите, что прямые ах + 2у — 6 == 0 и Ьх — у +

+5=0 пересекаются, если а + 2& ф 0.

175. Вершины треугольника находятся в точках А (0; 13), В (2;

—1), С (10; 3). Докажите, что его медианы ВВ и СЕ взаимно

перпендикулярны.

Пересечение прямой с окружностью

176. Даны окружности х2 + у2 = 25 и {х

— 2)2 + (г/ — б)2 = == 40. Найдите точки пересечения

этих окружностей с прямой, проходящей через их центры.

177. Центр окружности радиуса 5 находится в точке пере­сечения прямых Зж — 4г/ —

1 == 0 и 4.х + Зг/ — 18 == 0. В каких точках эта окружность пересекает

названные прямые?

178. Окружность с центром (3; 5) касается оси абсцисс. В ка­ких точках она

пересекает ось ординат?

179. Три вершины прямоугольника находятся в точках (0; 5), (8; 5), (8; —2). В

каких точках окружность (х — 5)2 + + (у — 2)2

= 25 пересекает стороны прямоугольника?

180. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на 2 от окружности ж2

+ у2 = 49? В каких точках эта фигура пересе­кает оси

координат?

Соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

181. Найдите зависимость между о и Ь, если а == 2 вш х +

+ 3 соз х, Ь == 3 зш х — 2 соз ж.

182. Известно, что ат х

с

183. Зная, что 1-е х == -I

вш3 х + 4 вщ х соа2 х

сое х = —. Найдите Ъ§ х.

-, вычислите: а)

2 вш х + 7 сое х

6 эш ж + соз .г '^

3 вш х соа х + 2 сов3 х

184. Постройте график функции: у = -\/8Ш4 х + 4 соа2 х + + -\/ соа4 х + 4 зт2 х.

185. Найдите зависимость между р у. ^, если р == вт х + соз

х, ^ == 8№3 х + сов3 х.

186. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов на 1 и 8 см.

Найдите тригонометрические функции наи­меньшего угла этого треугольника.

187. Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов на 6 см, но

больше их разности на 10 см. Найдите тригонометрические функции большего из

острых углов этого треугольника.

Тригонометрические функции некоторых острых углов

188. При каких целых а, Ь, с справедливы следующие равенства:

а) а • 8Ш 60° + Ь2 • соз2 45° + с • -Ье 30° = 5 уз — 1;

б о • вш3 30° + Ь соз2 60° + с • 1;ё 45° = -^;

в) а • 8т3 45° + Ъ соз 30° + с • 1ё 60° = 2 -^2?

189. При каких целых а, Ь, с выполняются следующие равенства:

а зш ^°--+сое ^ ^Г^

^ » _1_ ь 4- ——с—— = 4? б) МП 30°" ' соэ 30° ' ^ 60°

. 18(Г , 120° , . 90° о -л- ^"а————4- \,&———=2;

Изменение тригонометрических функций острого угла

190. Докажите, что для любого острого угла х при увели­чении

натурального числа п величина у == соз" х уменьшается.

191. Сравните по величине: зш 58° соз 48° ^@ 38° и зш42° соа 32° 1@ 22°.

192. Запишите в порядке возрастания: вш760, соа 58°, гё48°,8т380.

193. Запишите в порядке убывания: соз2 10°, сое 30°, ^45°, 1§48°, 1ё50°.

Решение прямоугольных треугольников

194. Докажите, что катеты и высота, проведенная к гипотенузе, связаны

соотношением: —г == —г + -тт. и о о

195. Проверьте качество измерения учащимися размеров четырехугольного участка

вычислением координат (рис. 33).

196. Проверьте качество измерения учащимися размеров пятиугольного участка

вычислением координат (рис. 34).

197. Результаты измерения школьниками сторон и углов земельного участка

изображены на рисунке 35. Проверьте каче­ство работы вычислением координат.

Неравенство треугольника

(198. Докажите, что если точка М находится внутри тре­угольника АВС, то

каждый из отрезков МА, МВ, МС меньше хоть' одной из сторон

треугольника.

199. Докажите, что если две хорды окружности пере­секаются под прямым углом,

то сумма этих хорд больше диа­метра.

200. Существует ли треугольник, у которого разность любых двух сторон не

меньше шестой части периметра?

201.| Докажите, что в тупоугольном треугольнике сторона, лежавшая против

тупого угла, наибольшая.

202.) Докажите, что сумма расстояний внутренней точки от всех вершин

параллелограмма меньше его периметра.

203 Три угла четырехугольника тупые. Докажите, что диагональ, исходящая из

вершины четвертого угла, больше другой диагонали.

204.Докажите, что сумма всех медиан треугольника больше

его периметра.

205. Длины сторон треугольника а, Ь, с, длины его медиан Ото, ть,

те. Докажите, что можно построить треугольник со сто­ронами 'длиной а

+ тпа, Ь -{- ть, с + т.е.

206. )р окружность вписан равносторонний треугольник АВС..—Диаметр

АВ пересекает ВС в точке Е, а хорда АК — в точке М.

Докажите, что ЕВ > КМ.

207.Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены.

Найдите величины углов треугольника.

Скалярное произведение векторов

208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов

боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

209. Точка М находится внутри прямоугольника АВСО. Докажите, что

МА • МС == МВ • МО. Выполняется ли это соот­ношение, если точка М

находится вне прямоугольника?

210. АВСВ — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет

место равенство: ТА2 + ТС2 = ТВ2

+ ТО2.

211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС2

++ ВС2 = 4- АВ2, то АС + ВС = 0.

Докажите. л

212. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, докажите, что для

любой точки Т: ТА2 + ТВ2 + ГС2

== == МА2 + МВ2 + МС2 + 3

ТМ2.

213. Докажите, что высоты треугольника или их продол­жения пересекаются в

одной точке.

214. Окружность диаметра А^ пересекает сторону ВС прямоугольника

АВСР в точках К и М. Докажите, что ВК • КО == СМ • МА.

215. АВС^ — ромб, ВК и СЕ — его высоты, проведенные к

АО; точка М — середина КО, точка Р — середина СЕ.

Найдите угол между ВМ и АР.

216. Найдите величину угла при вершине В равнобедрен­ного треугольника

АВС, у которого медианы -АО и СЕ взаимно перпендикулярны.

Центральная симметрия

217. Постройте квадрат с данным центром О, зная, что две параллельные стороны

квадрата (или их продолжения) прохо­дят через данные точки М ц N.

218. Постройте параллелограмм АВС^ по положению вершин А. и С и

расстояниям а и Ь от вершин В и О до данной точки М.

219. Постройте треугольник по середине основания и сере­динам высот,

проведенных к боковым сторонам. •

220. Точка М находится внутри треугольника АВС. Точки М), Мг,

Мз симметричны М относительно середин сторон ВС, АС, АВ. Докажите,

что прямые АМ\, ВМг, СМз пересекаются в одной точке.

221. Диагональ АС четырехугольника АВСВ является диа­метром

описанной окружности, АМ и СН — перпендикуляры, опущенные на

диагональ ВВ. Докажите, что ВМ == ТЖ. О 222. Прямая, проходящая через

середины Е и К диагоналей четырехугольника АВСВ,

пересекает его стороны в точках М и N. Зная, что ЕМ = КН,

докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм или трапеция.

Осевая симметрия

223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диа­гонали лежат на осях

координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3).

224. Точки С и О симметричны относительно прямой АВ. С помощью

односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на АВ,

перпендикуляр к АВ.

225. Дана окружность и ее центр О. Точки А и В лежат вне

окружности. Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения данной

окружности с прямой АВ.

226. Ось симметрии диагонали прямоугольника отсекает на большей стороне

отрезок, равный меньшей стороне. Найдите угол между диагоналями

прямоугольника.

227. Центр вписанной в треугольник окружности и центр описанной около него

окружности симметричны относительно стороны треугольника. Определите величины

углов треуголь­ника.

228. Центр описанной около треугольника АВС окружности и центр

окружности, которая касается стороны ВС и продолже­ний двух других

сторон, симметричны относительно ВС. Опре­делите величины углов треугольника

АВС.

229. Постройте треугольник АВС по положению вершины ^ и прямым,

на которых лежат биссектрисы углов В и С.

230. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов при третьей

стороне.

231. Постройте треугольник АВС по прямой ВС и середин­ным

перпендикулярам сторон АВ и АС. }

232. Постройте параллелограмм АВСО по вершине В и серединным

перпендикулярам 1\ и 1ч сторон АВ и ВС.

233. Точки А и В находятся в одной полуплоскости с границей СО. Найдите на

СВ такую точку М, чтобы /. АМС — I -- /_ ВМВ == 90°.

234. Внутри угла ВАС, величина которого 45°, даны точки 1 М и

N. Постройте равнобедренный треугольник, у которого

основание лежит на луче АС, вершина — на луче АВ, а боковые

стороны проходят через М и N.

235. Постройте параллелограмм АВСВ по лучам ВА и ВС и центру

окружности, проходящей через точки А, С, ^.

0236. Точки О), Оч, Оз симметричны центру окружности, опи­санной около

треугольника АВС, относительно его сторон. Дока­жите, что А -АВС == Д

0\0ч0г.

237. По условию задачи 236 постройте по точкам 0\, Оч, Оз треугольник АВС.

Поворот около точки

238. Постройте квадрат АВСВ по положению вершины В и расстояниям от

данной точки М до вершин А у. С.

239. Постройте квадрат по расстояниям трех его вершин от данной точки М.

240. Точка В находится между точками А и С. По одну сто­рону от АС

построены равносторонние треугольники АВВ, ВСР, по другую сторону —

равносторонний треугольник АСЕ. Дока­жите, что центры этих

треугольников являются вершинами равностороннего треугольника.

241. Точка М находится внутри равностороннего треуголь­ника АВС.

Докажите, что можно построить треугольник, сто­роны которого соответственно

равны отрезкам МА, МВ, МС.

242. На сторонах АВ и АС треугольника АВС вне

треуголь­ника построены квадраты АВВК и АСЕМ. Докажите, что

отре­зок КМ вдвое больше медианы треугольника, причем КМ 1- АО.

243. Постройте равносторонний треугольник, у которого середина основания —

данная точка О, а боковые стороны (или их продолжения) проходят через данные

точки М ц N.

244. Постройте равносторонний треугольник, у которого вершины лежат на трех

данных концентрических окружностях, а центр — на данной прямой, пересекающей

эти окружности.

245. Постройте квадрат, у которого три вершины лежат на трех данных

концентрических окружностях, а четвертая — на данной прямой.

246. Внутри квадрата АВСВ имеется точка М, причем /- АМВ

== 90°, МА — МВ == а. Найдите расстояние от точки М до

центра квадрата.

247. Внутри равностороннего треугольника АВС имеется такая точка М,

что /- АМВ = 120°, МА — МВ = а. Найдите расстояние от

точки М до центра описанной около треуголь­ника окружности.

248. Отрезки АВ и СВ равны. Докажите, что можно выпол­нить такой

поворот около точки О, что АВ и СВ совместятся. Как

определить центр и угол поворота?

249. Каждый угол треугольника менее 120°. Найдите точ­ку с наименьшей

возможной суммой расстояний от вершин

треугольника.

250. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна I, На его

гипотенузе вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра

квадрата до вершины прямого угла тре­угольника.

Параллельный перенос

251. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой СВ.

Найдите на СВ такие точки Е и Р, чтобы АЕ = ВР и

длина отрезка ЕР равнялась а.

252. Постройте четырехугольник по длинам двух противолежащих сторон, длинам

диагоналей и углу между диагона­лями.

253. Даны лучи МА, МВ, МС. Постройте прямую, которая пересекает их в

таких точках А\, В\, С\, что А\В\ == В\С\ = а.

254. Постройте трапецию по боковым сторонам и расстоя­ниям между

противоположными сторонами.

255. Постройте четырехугольник по длинам всех его сторон и разности углов при

одной из сторон.

256. Постройте отрезок данной длины о, параллельно данной прямой, с концами

на двух данных окружностях.

257. Постройте отрезок длины а, параллельный прямой II, концы

которого лежат на прямой 1ч и на данной окружности.

258. Даны точки А, В, С, В, Е. Проведите через А такую прямую,

чтобы остальные точки были от нее по одну сторона а сумма расстояний от нее до

В и С была на а меньше суммы расстояний от В и Е.

259. Постройте прямую, на которой две данные окружности отсекают отрезки длиной

а и I.

Равенство фигур

260. Две пересекающиеся высоты и угол между ними одног параллелограмма равны

двум высотам и углу между ними дру­гого параллелограмма. Равны ли эти

параллелограммы?

261. Равны ли две трапеции, если стороны одной соответ­ственно равны сторонам

другой?

262. Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной

трапеции соответственно равны основаниям и диагоналям другой.

263. Докажите, что две трапеции равны, если основания и углы при большем

основании одной трапеции равны основа­ниям и углам при большем основании

другой.

264. Через центр квадрата проходят две взаимно перпен­дикулярные прямые.

Докажите, что отрезки их, заключенные между сторонами квадрата, равны.

265. В окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС.

Через О проходят две прямые, образующие угол в 60°. Докажите, что отрезки

прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны.

266. Докажите, что параллельный перенос можно заменить двумя осевыми

симметриями с параллельными осями.

267. Два треугольника равны. Сколько потребуется осевых симметрий, чтобы эти

треугольники совместились?

268. Середины противоположных сторон четырехугольника АВСВ соединили

отрезками, которые пересеклись в точке О. За­тем построили параллелограмм

ОКТМ так, что ОК = 20Н, ОМ = 20Е, и провели ВР \\ ВС

и ВР \\ АВ (рис. 36). Докажите, что четырехугольник АВСВ и

параллелограмм составлены из соответственно равных четырехугольников ах

при положи

-

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

Гомотетия

1. Докажите, что фигуры у = х2 и у тельном а ^= 1 гомотетичны.

2. Гомотетичны ли фигуры у = ж3 и у = 4х3?

Если да, ука­жите центр и коэффициент гомотетии.

3. Гомотетичны ли относительно начала координат прямые:

а) ах + Ьу — с = О и ах + Ьу + с = 0; б) 2-е — Зг/ — 5 == О и Зх — 2у — 5 = О?

4. Гомотетичны ли треугольник АВС и треугольник, образованный его

средними линиями? Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.

5. Впишите в треугольник АВС треугольник, стороны которого

соответственно перпендикулярны: а) сторонам треугольника АВС; б)

биссектрисам углов треугольника АВС.

6. Докажите, что середины всех отрезков, которые парал­лельны стороне АВ

треугольника АВС и имеют концы на двух других сторонах, лежат на медиане

7. Вершины треугольника недоступны (то есть лежат за пре­делами данной

части плоскости). Используя результат задачи 6, определите построением длины

всех сторон треугольника (рис. 37).

8. Вершины треугольника недоступны. Постройте: а) центр описанной окружности;

б) точку пересечения высот треугольника (или их продолжений).

9. Постройте прямую, параллельную стороне ВС треугольника АВС и

пересекающую АВ и АС в таких точках В и Е, что

АВ = ЕС.

10. Постройте равносторонний треугольник, у которого медианы пересекаются в

данной точке М, а концы одной из высот лежат на двух данных окружностях.

11. Постройте окружность, которая касается данной окружности и в данной точке

касается данной прямой.

12. Постройте квадрат АВСВ, зная положение вершины А. и двух

прямых, одна из которых проходит через точку В, а вто­рая через центр

квадрата.

13. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и в точках

A и B касаются: а)сторон данного угла; б) двух данных окружностей.

14. На обломке круга сохранился центр круга О и части хорды АВ

без ее концов. Найдите построением величину угла АОВ.

15. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания

АС треугольника АВС. Кроме того, одна окружность касается боковой

стороны АВ треугольника АВС, а другая — боковой стороны ВС.

16. Постройте две равные окружности, которые касаются одна другой и основания

АВ треугольника АВС. Кроме того, одна из них касается продолжения

стороны АВ, а другая — \ продолжения стороны ВС.

17. Даны прямые о и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым. Постройте

две окружности, которые пересекаются в точке М, касаются прямой а и

имеют центры на прямой Ь.

18. АВ и АС — хорды данной окружности. Постройте окружность,

которая касается данной окружности и сторон угла ВАС.

19. Даны две пересекающиеся прямые и окружность. Постройте окружность,

которая касается этих прямых и данной окружности.

20. Постройте прямоугольный треугольник АВС по острому углу А и

сумме катета ВС с проведенной к нему медианой.

21. Постройте трапецию по ее высоте и отношению длкт всех сторон АВ : ВС :

СО : АВ (основания трапеции Ж и АВ}.

Подобие треугольников

22. Через внутреннюю точку М треугольника АВС постройте прямую,

которая отсекает треугольник, подобный треугольнику АВС. Сколько

решений имеет задача?

23. В угол вписаны три окружности, одна из которых касается двух других.

Докажите, что их радиусы связаны соотношением: г| == Г) • Гз.

24. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Подобны ли эти

треугольники?

25. МАВ и МСВ — секущие к окружности. Докажите, что треугольники

МАС и МВВ подобны.

26. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника АВСВ проведена

прямая, пересекающая две его стороны в точках М и N. Из этих

точек опущены перпендикуляры на диагонали четырехугольника (рис. 38). Верно ли,

что основания перпендикуляров являются вершинами трапеции или параллелограмма?

27. Два треугольника подобны. Разность их больших сторон 12 см, разность их

меньших сторон 6 см, длины двух средних стопин 30 и 20 см. Определите

периметры треугольников.

28. Периметры двух подобных прямоугольных треугольников относятся, как 1 : 8.

У одного треугольника гипотенуза больше большего катета на 16 см, у другого —

сумма гипотенузы с меньшим катетом имеет ту же величину. Найдите длины сторон

этих треугольников.

29. Два треугольника не равны. Могут ли 5 основных элементов одного

треугольника равняться пяти основным элементам другого?

30. Треугольники со сторонами а, Ъ, с и Ь, с, и подобны. Может

ли коэффициент подобия равняться 2; 1,6; 0,б?

31. Длины катетов и гипотенузы двух подобных треуголь­ников а, Ь, с и

а\, Ь\, с\. Докажите, что аа\ + ЬЬ\ == сс\.|

32. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н.

Докажите, что АН вдвое больше расстояния от центра | описанной

окружности до стороны ВС.

33. О — центр окружности, описанной около остроугольного \ треугольника

АВС, ОА + 0В + ОС == ОМ. Докажите, что

Точка М находится внутри треугольника АВС.

34. АА\ и ВВ\ — высоты треугольника АВС, у которого ^

С = 60°. Докажите, что точки А\, В\ и середина стороны АВ —

вершины равностороннего треугольника.

35. Докажите, что треугольник можно разрезать на любое натуральное число п

> 5 подобных ему треугольников.

36. Даны две непараллельные прямые 1\ и 1ч и точки А и

В вне этих прямых. Постройте через А и В две параллельные прямые,

которые отсекают на 1\ и 1ч отрезки с отношением Длин 2 : 3.

_37. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отметьте такие

точки D и Е, чтобы АВ == DЕ == ЕС.

38. Из вершины ромба проведены две высоты, расстояние между основаниями

которых вдвое меньше диагонали ромба. Найдите величины углов ромба.

39. АВ — диаметр полуокружности. Хорды АС и ВD (или их

продолжения) пересекаются в точке М. Докажите, что АС • АМ + ВD •

ВМ = АВ2.

40. Диагональ ВВ ромба АВСВ равна его стороне. Точка М

находится на луче ВА вне ромба. МС пересекает АВ в точке

О. Под каким углом пересекаются прямые МВ и ВО (рис. 39)?

41. Точка М находится внутри треугольника АВС, причем АМ = ВМ.

На сторонах АС и ВС вне треугольника АВС по строены

треугольники АСР и ВСК, подобные треугольнику АВМ,

причем их равные стороны лежат вне треугольника АВС. Докажите, что

четырехугольник МРСК — параллелограмм

42. АВСВ — четырехугольник, M1, M2, M3, M4 — центры масс

треугольников АВС, ВСВ, СВА, ВАВ. Докажите, что четырехугольники

АВСВ и M1M2M3M4 подобны.

43. Длины оснований трапеции 6 и 12 см. Середину каждого основания соединили с

концами другого основания, построенные отрезки пересеклись в точках М и N.

Найдите расстояние между М и N.

44. Основания трапеции 12 и 36 см. Середину меньшего основания соединили с

концами второго основания. Эти отрезки пересекли диагонали трапеции в точках

М и N. Найдите расстояние между М и N.

45. В окружность вписан выпуклый четырехугольник АВСD. Докажите, что

АС • ВD = АВ • СВ + ВС • АВ.

46. Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения

отрезков этих хорд равны.

47. Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов отрезков

этих хорд равна квадрату диаметр окружности.

48. Окружность проходит через вершину А параллелограмма АВСВ и

пересекает прямые АВ, АС, АВ в точках Е С|, г>1. Докажите,

что АВ • АВ\ + АВ • АВ^ == АС • АС (Рис. 40).

Ломаная

49. Ломаная состоит из 7 звеньев, угол между каждыми двумя смежными звеньями

150°. Докажите, что эта ломан;

имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.

50. Даны п > 2 точек, не все из которых лежат на одной при мой.

Докажите, что можно построить простую замкнутую ломаную, на звеньях которой

размещаются все данные точки.

51. Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см.

Докажите, что эта ломаная имеет не менее четы­рех звеньев.

52. На сторонах треугольника АВС вне его построены квад­раты с центрами

0\, Оч, Оз. Точки Ао, Во, Со — середины сто­рон треугольника

АВС, СцАоОдВ — параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные 0\ВСоОз

и О^ВцСоВ равны.

53. Используя результат задачи 52, докажите, что отрез­ки 0\0у. и

О^В равны и взаимно перпендикулярны. Выве­дите отсюда один из путей

построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне

тре­угольника.

54. Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев и не имеет самопересечений.

Докажите, что прямая, не проходящая ни через одну вершину ломаной, не

пересекает всех звеньев этой ломаной.

55. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели одинаковую длину, и

записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°, 90°, 105°,

влево 120°, вправо 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым?

Многоугольник

56. У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек.

Среди этих 3000 точек (вершин и данных) никакие три не лежат на одной прямой.

Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются только точки

из числа названных. При этом треугольники не перекрываются и каждая из 3000

точек является вершиной хоть одного тре­угольника. Определите общее число

треугольников.

57. Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая

больше, по крайней мере, двух его сторон.

58. Какое наибольшее число прямых углов может быть среди внутренних углов

выпуклого многоугольника?

59. Каждая сторона п-угольника является диаметром круга. Зная, что эти круги

содержат все внутренние точки много­угольника, определите возможные значения

п.

60. Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиуголь­ника можно разрезать

на три трапеции.

61. Докажите, что выпуклый га-угольник (п ~> 4) можно раз­делить на

п — 2 трапеции.

62. Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромб АВВЕ и равносторонний

треугольник ВСВ. Найдите угол АСЕ.

63. Докажите, что можно построить пятиугольник, стороны которого равны

диагоналям некоторого пятиугольника.

64. Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.

65. Постройте пятиугольник по положению середин всех его диагоналей.

66. АВСВЕР — шестиугольник, середины сторон которого К, Ь, М, К, О,

Р. Докажите, что центры масс треугольников КМО и ШР

совпадают.

67. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у кото­рого градусные меры

трех углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника есть

две равные.

68. Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответ­ственно

параллельные сторонам треугольника, попарно пере­секаются вне треугольника.

Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что образуется равносторонний

шестиуголь­ник. Найдите его периметр.

69. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин его

параллельных сторон одинаковы.

Площадь прямоугольника

70. Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапеции а. Другая боковая

сторона равна сумме оснований. Найдите пло­щадь прямоугольника, стороны

которого равны основаниям названной трапеции.

71. Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окруж­ность касается его сторон

в точках А, В, С, В. Найдите площадь четырехугольника АВСВ.

72. Длины сторон прямоугольника а и Ь. Как разрезать его на две

части, из которых можно сложить квадрат, если:

а) о = 8 см» Ъ = 18 см; б) о == 9 см, Ь === 16 см?

73. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах,

причем периметр (в сантиметрах) и пло­щадь (в квадратных сантиметрах)

выражены одинаковыми числами. Найдите площадь прямоугольника.

74. Расстояния внутренней точки М от трех вершин квадра­та АВСВ такие:

МА == 7 см, МВ = 17 см, МС == 23 см. Найдите площадь

квадрата.

75. Даны три параллельные прямые, средняя из которых удалена от двух других

на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся на этих

прямых.

76. В окружность радиуса Д вписан прямоугольник пери­метра Р. Найдите площадь

прямоугольника.

Площадь параллелограмма

77. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам — Н\ и Н<г.

78. Отрезок ВМ лежит вне треугольника АВС, но его продол­жение

пересекает сторону АС. Построены параллелограммы АВМВ и

СВМЕ. Докажите, что сумма площадей этих параллело­граммов равна площади

четырехугольника АВЕС.

79. На двух параллельных прямых отложены равные отрез­ки АВ и СВ,

затем построены 4 параллелограмма (рис. 42).

Докажите, что сумма площадей двух первых параллелограммов равна сумме

площадей двух других.

80. На рисунке 43 построены 6 параллелограммов аналогич­но задаче 79. Докажите,

что 8\ + 82 + 8з = 6ч + 85 + 8е.

81. Найдите площадь параллелограмма, у которого острый угол та, а расстояния от

центра параллелограмма до сторон равны т и ге.

82. Найдите площадь параллелограмма, у которого пери­метр Р = 65 см, а точка

пересечения диагоналей удалена от сто­рон на 4 и 6 см.

83. Площадь ромба вдвое меньше площади квадрата, имею­щего такой же периметр,

как ромб. Найдите углы ромба.

84. Площадь равностороннего треугольника АВС равна 8. Из точки М на

ВС проведены прямые, параллельные АВ и АС. Какую наибольшую

площадь может иметь площадь получен­ного параллелограмма?

Площадь треугольника

85. Докажите, что в каждом треугольнике аЪ + ас + &с > 6 8.

86. Найдите углы треугольника, у которого 8 (о2 + Ь2).

87. Докажите, что в каждом треугольнике

— аЬ + Ь2).

88. Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотами На, Ъ.ь,

Нс: (а + Ь + с)

•+ь+

89. Длины двух сторон треугольника а и Ь, биссектрисы углов при третьей

стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.

90. Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что площадь их

общей части больше половины пло­щади каждого прямоугольника.

91. Докажите, что площадь четырехугольника не больше произведения полу сумм

длин противоположных сторон.

92. Около квадрата АВСВ описана окружность. Найдите на ней такую точку

М, чтобы произведение МА • МВ • МС • МВ имело наибольшую возможную

величину.

93. Площадь параллелограмма АВСВ равна О. Вершина М

параллелограмма АМКВ делит ВС так, что ВМ : МС ===3:5.

Найдите площадь общей части параллелограммов.

94. Площадь четырехугольника <?, длины его сторон а, Ь, с, <1,

внешние углы ос., (3, у, 6 (рис. 44). Найдите (аЬ зш та

+ + Ьс аш р + сд. вш -у + а<1 зш 6) : О.

95. У выпуклого четырехугольника АВСВ стороны АВ и СВ

равны и лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых. Докажите, что его площадь

в 4 раза меньше раз­ности квадратов сторон АТ) и ВС.

96. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямо­угольного треугольника

в 8 раз больше площади треугольника. Найдите градусные меры острых углов

треугольника.

97. АВСВ — параллелограмм, М — середина АВ, К —

сере­дина ВС; АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите отношение

площадей треугольника АОВ и параллелограмма АВСВ.

98. Две высоты треугольника делят его на две пары равно­великих частей.

Найдите величины углов треугольника.

99. Разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к

этим сторонам. Докажите, что эти сторо­ны лежат против острых углов.

100. Площадь остроугольного треугольника равна О. Из середины каждой стороны

опущены перпендикуляры на другие стороны. Найдите площадь шестиугольника,

ограниченного этими перпендикулярами (рис. 45).

101. Существует ли равнобокая трапеция, которая делится своей диагональю на

части с отношением периметров 1 : 2 и отношением площадей 1 : З?

102. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у ко­торого наибольшая медиана

имеет длину т и образует с боль­шим катетом угол в 15°.

103. Из точки М, находящейся внутри равностороннего треугольника, опущены

перпендикуляры на его стороны. Зная, что длины перпендикуляров 1, 4 и 7 см,

найдите площади полученных четырехугольников.

104. Высота АВ и медиана АЕ == т треугольника АВС

об­разуют со стороной АВ углы по <х. Найдите площадь треугольни­ка

АВС (рис. 46).

105. Длины сторон треугольника 30, 30, 36 см. Найдите расстояние между

центрами вписанной и описанной окруж­ностей.

106. Докажите, что в прямоугольном треугольнике про­изведение радиуса

вписанной окружности на радиус описанной

окружности больше -д- площади треугольника.

107. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на

части а и Ъ. Докажите, что площадь тре­угольника 8 ==

аЬ.

108. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражены последовательными

целыми числами. Найдите длины его сторон, зная, что радиус вписанной

окружности 4 см.

109. Длины сторон треугольника в сантиметрах выражают­ся последовательными

натуральными числами. Найдите эти стороны, зная, что площадь треугольника равна

1170см2.

110. Три прямые параллельны. Средняя из них удалена от двух других на 4 и 7

см. Найдите площадь равностороннего треугольника, вершины которого лежат на

этих трех прямых.

Площадь трапеции

111. Треугольник разделен на три трапеции, общей верши­ной которых является

центр масс треугольника. Сравните площади названных трапеций.

112. Площадь квадрата, построенного на диагонали равнобокой трапеции, в 4

раза больше площади трапеции. Найдите угол между диагоналями трапеции.

113. Сумма площадей квадратов, построенных на диагона­лях трапеции, в 4 раза

больше площади трапеции. Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно

перпендикулярны.

114. Основания трапеции ВС и АВ, диагонали пересекаются в точке

О. Площади треугольников АВО и ВСО равны 50 и 20 см2

. Найдите площадь трапеции.

115. Угол между диагоналями равнобокой трапеции равен 60° (два случая). Как

разрезать эту трапецию на возможно меньшее число частей, из которых можно

сложить равносторон­ний треугольник?

116. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендику­лярны. Продолжения боковых

сторон АВ и СВ пересекаются в точке М под углом в 30°.

Зная, что площадь треугольника ВМС равна О, найдите площадь

трапеции.

117. В полукруг радиуса 2 см вписана трапеция, периметр которой равен 10 см.

Найдите площадь трапеции.

Площади подобных фигур

118. Площадь треугольника равна 8. Каждую его сторону продлили на своей

длины в обе стороны. Найдите площадь шестиугольника, который получился, когда

соединили концы указанных отрезков.

119. В равносторонний треугольник АВС вписали треуголь­ник ВЕР,

стороны которого соответственно перпендикулярны сторонам треугольника АВС.

Найдите отношение площадей треугольников ВЕР и АВС.

120. Площадь треугольника АВС равна 120 см2. Каждую его

сторону разделили в отношении 1:2:1. Через точки деле­ния провели три прямые,

которые отсекли от треугольника три треугольника (рис. 47). Определите площадь

оставшегося шестиугольника.

121. На высотах ВК и ВМ ромба АВСВ построили ромб. Зная,

что его площадь вдвое меньше площади ромба АВСВ, найдите величины углов

ромба.

122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24 см. Прямая, параллельная

наименьшей медиане, разделила тре­угольник на части, площади которых

относятся, как 1 : 7. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного

сторонами треугольника.

123. В прямоугольный треугольник, две большие стороны которого 8 и 10 см,

вписана окружность. Построив касательные к ней, соответственно параллельные

Страницы: 1, 2, 3, 4