Билеты: Задачи Лоповок

Билеты: Задачи Лоповок

Р, чтобы прямые АР и СР пересекались под прямым углом.

155. Найдите угол между направлениями ва[ и В\В\, если отрезки

ВА\ и В\В\ — диагонали соответствующих граней куба.

156. По условию задачи 152 найдите угол между направле­ниями А\М и ВВ\.

Угол между прямой и плоскостью

157. Плоскость, проходящая через сторону квадрата, обра­зует с его диагональю

угол в 30°. Найдите угол между этой плоскостью и стороной квадрата, которую

она пересекает.

158. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Плоскость,

проходящая через гипотенузу, образует с катетами

углы в 30° и 45°. Найдите величину угла между этой плос­костью и АВ.

159. АВСВ — квадрат, точка М находится вне его плоско­сти. Углы

между прямыми МА, МВ, МС и плоскостью квадрата 45°, 60°, 45°. Найдите

угол между прямой МВ и плоскостью АВС.

160. Прямая I параллельна плоскости 6. Найдите на этой плоскости все

такие точки М, что прямая, проходящая через М, пересекает б и

образует равные углы с I и с плоскостью 6.

161. Прямая проходит черве вершину прямого угла и обра­зует с его сторонами

углы в 45° и 60°. Какой угол она образует с плоскостью прямого угла?

162. Через сторону АВ равностороннего треугольника АВС проходит

плоскость, образующая с прямой АС угол в 30°. Найдите углы между этой

плоскостью и высотами тре­угольника.

168. На плоскости ху дана окружность х — 4)2 -с\ на плоскость АВС— ^А^В^Сч,

стороны которого 12, 17, 25см. Найдите угол между плоско­стями АВС и 6.

183. Докажите, что при параллельном проектировании двух многоугольников,

лежащих в одной плоскости, на одну и ту же плоскость площади проекций

относятся, как площади многоугольников.

184. На плоскости 6 находятся квадрат и треугольник. Периметр квадрата 32 см,

стороны треугольника 13, 37, 40 см. Проекция квадрата на плоскость б —

прямоугольник со сто­ронами 5 и 8 см. Определите площадь проекции

треугольника на плоскость 6.

185. Проекция квадрата АВСВ на плоскость 6 — прямо­угольник АВЕР,

причем ортогональная проекция точки Р делит отрезок АВ в

отношении 1 : 3, считая от А. Найдите угол между плоскостями квадрата и

прямоугольника.

186. Ортогональная проекция квадрата на плоскость — четырехугольник со

сторонами 2 и 4 см и диагональю 5 см. Определите площадь квадрата и угол

между плоскостью квад­рата и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости

187. Напишите уравнение плоскости, которая проходит че­рез точку М(1; 3; 8) и

отсекает на координатных осях равные отрезки.

188. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает оси Ох, Оу, Ог в

таких точках А, В, С, что АВ = 10, АС ==. 17, ВС

== 3 У29.

189. Напишите уравнение плоскости, которая проходит че­рез точки (0; 2; 5),

(1; 0; 3), (1; 4; 0).

| 190. Напишите уравнение плоскости, которая пересекает две координатные

плоскости по прямым Зх — 2г — 6 == О и Зу + 5г -^- 15 == 0.

191. Напишите уравнение плоскости, которая параллельна оси Ог и проходит

через точки А(1; 5; 3) и 5(4; 2; 1).

192. Найдите угол между плоскостями ху и —+ ^—+

_1_ г _ 1 + 12-- 1- ^

ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС

Многогранник

1. На сколько частей делят пространство плоскости всех граней: а) треугольной

призмы; б) куба; в) треугольной пира­миды?

2. Изобразите многогранник с общим числом ребер: а) 11;

б) 13.

3. Докажите, что никакой многогранник не имеет ровно 7 ребер.

4. Изобразите многогранник, отличный от пирамиды, у ко­торого вершин столько

же, сколько граней.

5. Даны 5 точек, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости. Определяют

ли данные точки единственный много­гранник с вершинами в этих точках?

6. Может ли существовать многогранник с нечетным числом граней, причем все

его грани — четырехугольники?

Призма

7. Иногда призму определяют как многогранник, у которого две грани —

многоугольники, лежащие в параллельных пло­скостях, а все остальные грани —

параллелограммы. Приведите примеры, свидетельствующие о неточности такого

определения.

8. Изобразите призму, у которой вершин столько же, сколь­ко диагоналей.

9. Может ли неправильная призма иметь 4 плоскости сим­метрии? Если да,

изобразите призму, отвечающую этому ус­ловию.

10. Ребро куба 2 см. Паук находится в центра грани куба. Какой наименьший

путь по поверхности куба придется проделать пауку, чтобы попасть х вершину

параллельной грани? __

11. АВСРЕРА\В\С1Р\ЕлР\ — призма. Докажите, что АВ\ + + ВС) + СД

== А?1 + РЁ1 + ЯА.

12. Диагональ боковой грани правильной й®стиугольной призмы образует с

плоскостью основания угол, который на 15° больше угла между малой диагональю

призмы и пло­скостью основания. Найдите эти углы.

18. А и В — середины двух несмежных боковых ребер правильной

шестиугольной призмы. Найдите на плоскости нижнего основания призмы вое такие

точки, что прямые МА и МВ образуют равные углы с плоскостью

нижнего основания приемы.

14. Верно ли, что площадь боковой грани треуголь­ной призмы меньше суммы

площадей остальных боковых граней?

15. Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпен­дикулярны. Докажите,

что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей

боковой грани.

16. Три диагонали четырехугольной приемы имеют общую точку О. Докажите, что и

четвертая диагональ приемы про­ходит через точку О.

17. Стороны основания прямой треугольной призмы от­носятся, как 5 : 9 : 10.

Диагонали двух меньших боковых гра­ней 26 и 30 см. Найдите площадь третьей

боковой грани.

18. Пьедестал имеет форму правильной призмы. Проходя мимо него, можно видеть

то 3, то 4 боковые грани. Определите число боковых граней пьедестала.

19. Основание призмы — прямоугольный треугольник АВС, две боковые грани

(АВВ\А\ и АСС\А\) — квадраты. Найдите ^ В^АСх.

20. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов рас­стояний от всех вершин

данной правильной треугольной призмы.

Площадь поверхности призмы

21. Докажите, что площадь боковой грани любой призмы менее половины площади

боковой поверхности призмы.

22. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большой

диагонали основания. Найдите отноше­ние площадей боковой и полной поверхности

призмы.

23. Расстояния боковых ребер треугольной призмы от па­раллельных боковых

граней равны 12, 15, 20см; меньшая боковая грань имеет форму квадрата и

перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь поверхности призмы.

24. Площадь основания и площади боковых граней прямой треугольной призмы

соответственно равны 480, 312, 200, 128 см2. Найдите высоту призмы.

25. Основаш1е прямой призмы — ромб. Зная, что ее высота и диагонали 40, 41,

50 ем, найдите площадь боковой поверхно­сти призмы.

26. Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр

которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания, взятые через

одну, имеют длины по 5 см, остальные стороны до 3 см. Найдите площадь

поверхности призмы.

27. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Диагонали двух соседних

боковых граней, проведенные иа одной вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите

площадь боковой поверх­ности призмы.

28. Какую наибольшую площадь боковой поверхности может иметь правильная п-

угольная призма, у которой диаго­наль боковой грани и?

29. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса

25 см. Площади боковых граней относятся, как 7 : 15 : 20 : 24, длина

диагонали наибольшей боковой грани 52 см. Вычислите площадь поверхности

призмы.

Сечение призмы плоскостью

30. Докажите, что сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью,

проходящей через концы трех ребер, исходящих из одной вершины, является

остроугольным тре­угольником.

31. Через боковое ребро треугольной призмы проведены два сечения: одно

перпендикулярно противолежащей боковой грани, другое — через ее центр. Зная,

что плоскости сечений делят угол между двумя боковыми гранями на три равные

части, найдите величины двугранных углов между боковыми гранями призмы.

32. Постройте сечение куба плоскостью, не параллельной ни одной грани куба,

чтобы оно имело форму квадрата.

33. Ребро куба о. Построено сечение, имеющее форму пра­вильного /г-угольника.

Для каких п и как именно можно по­строить такие сечения? Вычислите его

площадь для каждого

ВОЗМОЖНОГО 71.

34. Дан куб АВСТ>А\В\С\1)\. Постройте сечение куба плоскостью,

проходящей через середины ребер АВ и ВС парал­лельно диагонали

В^\.

35. Стороны основания треугольной призмы 25, 39, 56 см. Сечение, проходящее

через центр наибольшей боковой грани и боковое ребро, имеет форму квадрата.

Найдите площадь по­верхности призмы.

36. В правильной четырехугольной призме сторона осно­вания 2 см, высота 4 см.

Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух смежных сторон

основания и центр призмы (рис. 58).

37. Длина каждого ребра правильной шестиугольной приз­мы

АВС^ЕРА\В\С\^\Е\1:^'\ 4см. Найдите площадь сечения, ко­торое проходит через

вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕ^.

38. В правильной четырехугольной призме АВСВА^В\С\В\ боковая грань и

сечение АВ\С равновелики. Найдите угол между плоскостью названного

сечения и боковым ребром призмы.

39. Плоскость пересекает боковые ребра прямой треуголь­ной призмы АВСА\В\С\

так, что сечением оказался равно­сторонний треугольник КЬМ периметра 36

см. Известно, что АК = 16 см, ВЬ= 11 см, СМ = 5 см.

Найдите угол между медианой КВ сечения и плоскостью основания (рис.

59).

40. В правильной четырехугольной призме построены два параллельных сечения:

одно через середины двух смежных сторон основания и центр призмы, другое —

через диагональ основания (рис. 60). Найдите отношение площадей сечений.

Параллелепипед

41. Сечение призмы плоскостью, пересекающей все боковые ребра —

параллелограмм. Докажите, что эта призма — парал­лелепипед.

42. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда I, диагональ его вдвое

меньше периметра основания. Определите площадь основания параллелепипеда.

84

43. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квад­рат площади сечения с

вершинами в концах ребер, исходящих из одной вершины, в 8 раз меньше суммы

квадратов площадей всех граней параллелепипеда.

44. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных

граней куба втрое меньше диаго­нали куба.

45. Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле­лепипеда равна сумме

квадратов его ребер.

46. Расстояния от центра параллелепипеда до его вершин 18, 15, 11, 10 см.

Зная, что длины трех ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными

целыми числами, определите периметры граней параллелепипеда.

47. Боковое ребро параллелепипеда 10 см, периметр осно­вания 56 см.

Расстояния от вершин одного основания до центра другого основания 18, 17, 10,

9 см. Найдите стороны основания.

48. Диагонали параллелепипеда АВСОА \В \С \В\ пересекают­ся в точке

О. Периметры треугольников ОАА\, ОАВ и ОАО рав­ны 36, 37, 29

см, АЛ, == 17 см, АВ = 11 см, АО = 6 см. Найдите диагонали

параллелепипеда.

49. Боковое ребро параллелепипеда 3 см, стороны основа­ния 10 и 11 см. Зная,

что длины диагоналей (в сантиметрах) выражены последовательными четными

числами, найдите пло­щади диагональных сечений.

50. Длины ребер параллелепипеда 9, 13, 14 см, длины его диагоналей (в

сантиметрах) выражаются последовательными четными числами. Найдите расстояния

от центра параллелепи­педа до вершин.

51. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда 192 см2. Если

бы каждое измерение его было на 1 см больше, площадь поверхности равнялась бы

274 см2. Определите длину диагонали параллелепипеда.

52. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным

пятиугольником.

53. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный

параллелепипед, у которого длина диаго­нали и?

54. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь параллелепипед, у

которого сумма длин всех ребер 48 см?

Пирамиды

55. Могут ли середины всех высот треугольной пирамиды находиться в одной

плоскости?

56. Сумма плоских углов при всех вершинах пятиугольной призмы равна сумме

плоских углов при всех вершинах пира­миды. Определите число ребер этой

пирамиды.

57. Плоские углы при каждой вершине пирамиды равны между собой. Определите

форму основания пирамиды.

58. Какова бы ни была треугольная пирамида, можно по­строить треугольник,

стороны которого равны суммам скре­щивающихся ребер этой пирамиды. Докажите.

59. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скре­щивающихся ребер

треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.

60. Докажите, что сумма квадратов отрезков, которые сое­диняют середины

скрещивающихся ребер треугольной пира­миды, в 4 раза меньше суммы квадратов

ребер этой пирамиды.

61. Могут ли все грани пирамиды оказаться прямоуголь­ными треугольниками?

62. Плоские углы при вершине пирамиды — прямые. Дока­жите, что сумма

квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания пирамиды.

63. Основание пирамиды — параллелограмм, стороны кото­рого 16 и 22 см.

Расстояние от вершины пирамиды до центра основания 4 см. Зная, что длины

боковых ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными числами,

найдите длины боковых ребер пирамиды.

64. Два боковых ребра пирамиды 13 и 14 см, угол между ними 60°, а между их

проекциями 120°. Найдите высоту пирамида.

65. Основание пирамиды — параллелограмм, периметр ко­торого 48 см. Центр

основания удален от вершины пирамиды на 7,5 см, боковые ребра пирамиды 9, 11,

12, 13 см. Найдите стороны основания.

66. Может ли развертка полной поверхности пирамиды ока­заться: а)

равносторонним треугольником; б) квадратом;

в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиуголь­ником; д) трапецией?

6Т. Докажите, что центры всех граней правильной призмы являются вершинами

двух равных правильных пирамид с общим основанием.

6в. Докажите, что только при п == 3 развертка полной по­верхности

п-угольной пирамиды может оказаться выпуклым многоугольником.

©9. Если плоские углы при вершине пирамиды — прямые, то высота пирамиды

проходит через точку пересечения высот основания. Докажите.

Т®. Основание пирамиды — квадрат. Двугранные углы при основании пирамиды

относятся, как 1:2:5:2. Найдите вели­чины этих углов.

71. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды МАВС имеет длину I

и образует со стороной основания, которую пересекает, угол в 75°. Паук начал

ползти из вершины А и, по­бывав на всех боковых гранях пирамиды,

вернулся в ту же точ­ку (рис. 61). Определите наименьшую возможную длину пути

паука.

72. Сторона основания правильной шестиугольной пира­миды МАВСВЕР равна

а, угол между боковым ребром и стороной основания, которую оно пересекает,

80°. Паук начал ползти по поверхности пирамиды из точки А и, побывав на

всех боковых гранях, вернулся в точку А. Определите наименьшую

возможную длину пути паука.

73. Из каждой вершины основания правильной четырех­угольной пирамиды, площадь

основания которой равна О, опущены перпендикуляры на плоскости граней,

не содержащих этих вершин. Точки пересечения этих перпендикуляров — К, Ь,

М, N (рис. 62). Докажите, что эти точки лежат в одной плоско­сти, и найдите

площадь четырехугольника К^МN.

74. Если боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны и

имеют длины а, Ъ, с, то высота пирамиды Н связана с ними

соотношением: Н 2 + с~2. Докажите.

75. Если суммы квадратов скрещивающихся ребер треуголь­ной пирамиды равны, то

высоты пирамиды пересекаются в од­ной точке Г Докажите

.

Площадь поверхности пирамидах

76. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпен­дикулярны, их длины 2,

4, 16 см. Найдите площадь поверх­ности пирамиды.

77. Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см2. Боковые

ребра взаимно перпендикулярны, их длины состав­ляют арифметическую прогрессию с

разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

78. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная пирамида, у

которой 5 ребер имеют длину а?

79. Двугранный угол между смежными боковыми гра­нями правильной

четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания О. Определите площадь

боковой поверхности пи­рамиды.

80. В правильной шестиугольной пирамиде площадь каж­дого диагонального

сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности

пирамиды.

81. Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и высоту.

Может ли площадь боковой поверх­ности призмы быть меньше площади боковой

поверхности пира­миды? Если да,' то при каком условии?

82. Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме площадей

остальных боковых граней? Мо­жет ли она превысить названную сумму площадей?

Подкрепите свои соображения примерами.

83. Площадь боковой поверхности правильной четырех­угольной пирамиды равна

сумме площадей основания и диаго­нальных сечений. Найдите величину плоского

угла при вер­шине пирамиды.

84. Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь

поверхности которой О, проведены парал­лельно боковым ребрам пирамиды

прямые ОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\ (рис. 63). Найдите площадь поверхности

пирамиды ОА1В\С\В\.

Сечение пирамиды

85. Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить

сечение пирамиды плоскостью, прохо­дящей через вершину пирамиды, чтобы оно

было равносторон­ним треугольником?

86. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30

см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь.

87. Площадь малого осевого сечения правильной четырех­угольной пирамиды О.

Найдите площадь сечения, которое пер­пендикулярно стороне основания и делит

эту сторону в отно­шении 1:5.

88. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основа­ния 10 см, а боковое

ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр основания

параллельно боковой грани.

89. Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды МАВСО равна

а, боковое ребро I. Постройте сечение через середины сторон основания

АВ и ВС параллельно ребру МВ и определите площадь сечения.

90. Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды 12 см, а боковое

ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону основания

перпендикулярно про­тиволежащей боковой грани.

91. Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое ребро

14 см. Найдите площадь сечения, кото­рое проходит через середину медианы

основания перпенди­кулярно этой медиане.

92. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю

линию параллельной боковой грани про-

о ведено сечение. Докажите, что его площадь больше — площади

основания.

93. Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю линию

параллельной боковой грани про-

ведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше —

площади основания.

94. Основание пирамиды МАВСВ — ромб с диагоналями АС = 24 см,

ВО == 21см. Боковое ребро МА == 18 см перпен­дикулярно плоскости

основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и

середину ребра МС па­раллельно диагонали ВО основания (рис.

64)..

Параллельные сечения пирамиды

95. Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпен­дикулярными боковому

ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их расстояний от

вершины пирамиды?

96. Площадь основания пирамиды 128 см2. Площади двух сечений,

параллельных основанию, 18 и 50 см2, расстояние между плоскостями

сечений 12 см. Найдите высоту пирамиды.

97. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28 см. В

пирамиду вписан куб так, что его 4 вер­шины лежат на основании пирамиды, а 4

— на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба.

98. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Высота

пирамиды Н == 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб

так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых гранях,

причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис. 65). Найдите

ребро куба.

Усеченная пирамида

99. Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды

пересекаются в одной точке.

100. Площади оснований усеченной пирамиды 75 и 147 см2. Найдите

площадь сечения, проходящего через середины всех боковых ребер.

101. Диагональ правильной четырехугольной усеченной пи­рамиды имеет длину 15

см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5 см.

Найдите площади осно­ваний усечённой пирамиды.

102. Отрезок 00\ = 27 см, соединяющий центры оснований правильной

четырехугольной усеченной пирамиды, разделил ее диагональ на части в 20 и 25

см. Найдите площади оснований.

103. Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего основания

правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют арифметическую

прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7 см. Найдите площади

оснований.

104. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отре­зок, соединяющий

середину малой диагонали большего осно­вания с центром другого основания,

параллелен одному из боко­вых ребер. Как относятся площади оснований

усеченной пирамиды?

105. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторо­ны оснований 2 и 5 дм,

высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону меньшего

основания параллельно боковому ребру.

106. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся,

как 1 : 3. Периметр боковой грани равен

периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью

основания.

107. Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды соединен

с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину линии, которая соединяет

попарно точки пересечения построенных отрезков, если периметры осно­ваний

усеченной пирамиды равны Р и Р\.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

108. Стороны основания правильней шестиугольной усечен­ной пирамиды 5 и 11

см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в одной

грани, 19 см. Най­дите площадь поверхности усеченной пирамиды.

109. Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной

пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых

относятся, как 3 : 11. Определите двугранный угол при основании пирамиды.

110. Периметры оснований правильной треугольной усечен­ной пирамиды 18 и 36

см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны

другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной

пи­рамиды.

111. Периметры оснований правильной шестиугольной усе­ченной пирамиды

АВСВЕРА\В1С\В\Ё\Р\ 28 и 124 см. Рас­стояние от вершины А \ меньшего

основания до прямой СЕ равно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности

усеченной пира­миды.

112. Основания усеченной пирамиды — ромбы с отно­шением сторон 3 : 4 и

длинами сторон 15 и 25 см. Одно из боко­вых ребер перпендикулярно плоскости

основания и равно мень­шей диагонали меньшего основания. Найдите площадь

по­верхности усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

113. Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней правильного

тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей этих тетраэдров?

114. В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного тетраэдра?

115. Для каких п можно построить сечение октаэдра плос­костью,

являющееся правильным ге-угольииком?

116. Докажите, что градусные меры двугранного угла пра­вильного тетраэдра и

угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°.

117. Точка О — середина высоты МО правильного тетраэдра МАВС.

Докажите, что лучи ОА, 0В, ОС попарно взаимно пер­пендикулярны.

Движения

118. Сколько центров симметрии имеют две параллель­ные плоскости? Какую

фигуру образуют все эти центры?

119. Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде относительно

центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани.

120. Постройте фигуру, симметричную дайной правильной га-угольной пирамиде (п

== 4; 6; 3) относительно середины: высо­ты пирамиды.

121. АВСВА\В\С\В\ — параллелепипед, точка М 6 ал.

Постройте отрезок МN, у которого середина находится на плос­кости

СС\А, а точка N лежит на ребре СВ.

122. Постройте отрезок с концами на ребрах АВ и МС и сере­диной

на высоте МО правильной пирамиды МАВС.

123. Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью

так, чтобы сечение имело центр симметрия.

124. Напишите уравнение плоскости, которая симметрична плоскости х + у -\- г

— 3=0 относительно точки М (2; 2; 2).

125. Дан квадрат АВСВ с вершинами А (4; 0; 0) и В (8; 3;

0), плоскость которого параллельна осж Ог. Найдите координаты вершин

квадрата, который симметричен данному относительно точки (2; 2; 2).

126. МАВСВ — правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную

относительно плоскости основания: а) средней линии боковой грани (два случая);

б) отрезку, соединяющему центры масс граней МАВ и МВС; в) грани

МАО.

127. АВСА\В\С\ — правильная приема. Постройте фигуру, симметричную

относительно плоскости АВВ\: а) отрезку В^', б) данному отрезку

с концами на ЕС и А\С\.

13В. Все ребра пирамиды МАВСВ равны. Найдите на плос­кости ее основания

точку, равноудаленную от точек Р и У, лежа­щих на МА и МС.

129. Точки В и Е находятся на боковых гранях правиль­ной

пирамиды МАВС. Найдите на плоскости АВС точку с наи­меньшей

возможной суммой расстояний от В и Е.

130. Точки В и Е находятся на высоте треугольной пи­рамиды

МАВС. Постройте на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от точек

В и Е.

131. Точки В та Е находятся на стороне основания правиль­ной пирамиды

МАВС. Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от В

и Е.

132. На гранях АВВ\А\ и ВСС\В{ правильной треугольной приемы

АВСА\В\С\ даны точки В и Е. Постройте равнобедрен­ный

треугольник, у которого вершина находится на ВВг, концы основания — на

АВ и ВС, а боковые стороны проходят че­рез В и Е.

133. Точки В и Е находятся на гранях МАВ и МВС

пра­вильной пирамиды МЛ.ВС. Постройте равнобедренный треуголь­ник с вершиной на

МВ, концами основания на АВ и ВС, чтобы боковые стороны

содержали В у. Е.

134. Точки Е и Р находятся на гранях МАВ и МСО

правиль­ной четырехугольной пирамиды МАВСО. Постройте равнобокую

трапецию, у которой одно основание лежит на основании пирамиды, концы другого —

на ребрах МВ и МС, а боковые стороны содержат точки Е и

Р.

135. АВСВЕРА\В\С\В\Е\Р\ — правильная призма. Построй­те на ее

поверхности все точки, принадлежащие плоскости сим­метрии плоскостей:

а)АА\В та СС\Р', б) АА\В и АА\Е; в) АА\В и АА\В;

г) АА^В и ВВ\С; д) АА^С и ВВ^Р; е) АА^В и

ВВ\Е;

ж) АА ,С и ВВ\Р.

Равенство пространственных фигур

136. Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и боковое

ребро одной равны трем сторонам осно­вания и боковому ребру другой? Если нет,

то какое нужно до­полнительное условие, чтобы утверждать, что призмы равны?

137. Две пирамиды имеют равные высоты, их общее осно­вание — квадрат АВСО.

Докажите, что эти пирамиды равны, если их вершины ортогонально проектируются: а)

в точки А и С; б) середины двух сторон квадрата.

138. авсва\в[с\в\ — куб. Докажите, что пирамиды АВСВ\ и 1)В\С\В\ равны.

139. Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных призм. Обоснуйте

эти признаки.

140. Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных пирамид.

Обоснуйте эти признаки.

141. Докажите, что две треугольные призмы равны, если их боковые грани

соответственно равны.

142. Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их боковых

граней соответственно равны?

143. МАВСВЕР — правильная пирамида. Докажите равен­ство пирамид: а)

МАВС и МВЕР; б) МВСЕ и МАРВ.

144. АВС^ЕРА^В^С^^^Е^Р^ — правильная призма. Рав­ны ли пирамиды: а)

С^ВСВ и ЕЕ\В\Р^, б) А^АВР и С\СВЕ;

в) ВАА^В и А^СС^ВЧ

Цилиндр

145. Какую фигуру образуют все точки, удаленные от дан­ной прямой I на. а и

равноудаленные от данных точек А и В?

146. Постройте изображение вписанных в окружность пра­вильного

восьмиугольника и правильного двенадцатиуголь­ника.

147. Изобразите вписанный в окружность прямоугольный треугольник с отношением

катетов 2 : 3.

148. Изобразите две равные хорды окружности, пересекаю­щиеся в данной точке

М под прямым углом.

149. Изобразите две равные хорды окружности, пересекаю­щиеся в данной точке

М под углом в 60°.

150. Постройте касательную к данному эллипсу в данной точке этого эллипса.

151. Постройте изображения описанных около окружности ромба с углом 45° и

равнобокой трапеции с углом 45° при боль­шем основании.

152. Вершины прямоугольника лежат на окружностях осно­ваний цилиндра, у

которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Зная, что стороны прямоугольника

относятся, как 1 : 4, найдите его площадь.

153. Диагональ осевого сечения цилиндра равна сумме его радиуса и высоты.

Найдите отношение сторон осевого сечения цилиндра.

154. Диаметр барабана лебедки 530 мм, его длина 727 мм. За время работы на

барабан наматывается 225 м троса диамет­ра 17 мм. Во сколько слоев

наматывается трос?

155. Около данного цилиндра опишите правильную четырех­угольную пирамиду,

высота которой вдвое больше высоты цилиндра.

156. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 и 6 см. Цилиндр

касается всех сторон треугольника, его обра­зующие наклонены к плоскости

треугольника под углами по 30°. Найдите радиус цилиндра.

157. Найдите радиус равностороннего цилиндра, у которого ось лежит на диагонали

куба с ребром а, а каждая из окруж­ностей оснований касается трех

граней куба, имеющих об­щую вершину.

Конус

158. В равносторонний конус, образующая которого I, впи­сана правильная

шестиугольная призма, боковая грань кото­рой — квадрат. Найдите площади

диагональных сечений призмы.

159. Диагональ октаэдра с ребром а является высотой конуса, на

поверхности которого находятся 4 ребра октаэдра (рис. 67). Найдите площадь

осевого сечения конуса.

160. Радиус основания конуса 9 см, высота 7 см. Какую наибольшую площадь

может иметь сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?

161. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плос­костью, проходящей

через вершину конуса, вдвое больше пло­щади осевого сечения. Найдите угол

между образующей и плос­костью основания конуса.

162. В конус вписана правильная треугольная призма, все ребра которой равны

а. Четыре вершины призмы лежат на

окружности основания, а две на боковой поверхности конуса (рис. 68). Найдите

высоту конуса.

163. Ребро куба АВСВА\В\С\В\ равно а. Диагональ АС\

со­держит высоту равностороннего конуса с вершиной А. Окруж­ность

основания конуса касается трех граней куба с общей точ­кой С1. Найдите

образующую конуса.

164. Основание конуса находится на грани АВСВ куба АВСВА\В\С\В\, у

которого ребро а. Вершина конуса находится в центре грани А\В\С\В\.

Найдите радиус основания конуса, зная, что боковая поверхность касается прямой,

которая про­ходит через: а) В\ и середину ВС; б) В и середину

ВС\; в) сере­дины ВС и ВЁ1 (рис. 69).

Усеченный конус

165. Какую фигуру образуют середины диагоналей всех осевых сечений усеченного

конуса?

166. Какую фигуру образуют середины всех отрезков, у каж­дого из которых

концы находятся на окружностях оснований усеченного конуса?

167. Радиусы оснований усеченного конуса 25 и 16 см. В осе­вое сечение этого

усеченного конуса можно вписать окружность. Определите ее радиус.

168. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится

осью усеченного конуса на части в 13 — и 26 — см. Зная,

что образующая усеченного конуса 26 см, найдите радиусы оснований.

169. Два конуса, у которых радиусы оснований 10 и 15 см, имеют общую высоту,

их плоскости оснований не совпадают. Найдите длину окружности, по которой

пересекаются поверх­ности этих конусов.

Сфера и шар

170. Какую фигуру образуют основания перпендикуляров, опущенных из данной точки

А на все плоскости, проходящие через данную точку В?

171. Из точки М к данному шару можно провести три взаим­но

перпендикулярные касательные. Какую фигуру образуют все такие точки М?

172. Какую фигуру образуют вое точки, удаленные на о от данной сферы радиуса Ь?

173. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса В, касающихся: а)

данной плоскости 6^ б) двух данных плоскостей?

174. Даны плоскость б и точка М вне ее. Какую фигуру обра­зуют центры

сфер радиуса В, которые проходят через точку М и касаются плоскости б?

175. Докажите, что касательные, проведенные из данной точки к данной сфере,

имеют равные длины.

176. Плоскость 6 касается шара в точке А. На продолжении диаметра АВ

= а взята такая точка С, что ВС == Ь, в ней поме­щен

точечный источник света. Найдите площадь тени шара на плоскость 6.

177. Диаметры АВ, СВ, ЕР сферы взаимно перпендикуляр­ны. Каждый из них

разделен на п равных частей, через точки деления проходят плоскости,

перпендикулярные к этому диаметру. На сколько частей эти плоскости разделили

сферу, если: а) п == 4; б) п == 6; в) п --=- 5; г)

п == 8?

178. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпен­дикулярных сечения,

радиусы которых откосятся, как 2 : 3. Зная, что общая хорда этих сечений 2

см, найдите площади сечений.

179. В шаре построены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых 185л

и 320я см2. Определите радиус шара, если общая хорда этих сечений

имеет длину 16 см.

180. Изобразите вписанную в сферу треугольную пирамиду, боковые ребра которой

взаимно перпендикулярны.

181. В сферу радиуса Н вписана правильная шестиугольная призма. Радиус

сферы, проведенный в вершину призмы, обра­зует с плоскостью боковой грани угол

30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

182. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды — прямой, сторона

основания а. Найдите радиус описанной сферы.

183. Докажите, что радиус сферы, описанной около пирами-

ды, у которой высота Н, а каждое боковое ребро I, равен —. т

Установите, при каком соотношении между I и Н центр описан­ной

сферы находится внутри пирамиды.

184. У треугольной пирамиды МАВС: МА == ВС ===16 см, МВ ==

АС =з 19 см, МС == АВ == 21 см. Определите радиус опи­санной

сферы.

185. Радиусы окружностей, описанных около основания и около боковой грани

правильной треугольной пирамиды, 8 и 7 см. Найдите радиус описанной сферы.

186. В прямую четырехугольную призму можно вписать шар. Верно ли, что суммы

площадей ее противолежащих боко­вых граней равны?

187. Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Докажите, что центры

описанной и вписанной сфер совпадают.

188. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Найди­те радиус сферы,

которая касается всех ребер пирамиды.

189. Каждое ребро тетраэдра имеет длину а. Найдите ра­диус сферы,

которая касается всех ребер тетраэдра.

190. В конус, у которого радиус основания 9 см, а образую­щая 15 см, вписан

шар. Найдите длину линии, по которой касаются их поверхности.

95

Сфера и ее уравнение

191. Радиусы двух шаров 17 и 25 см. Длина линии, по ко­торой пересекаются

поверхности шаров 30л см. Определите рас­стояние между центрами шаров.

192. Имеется обломок шара. На основании каких построе­ний и измерений вы

могли бы определить его радиус?

193. Установите взаимное расположение сфер х2 + у2

+ + г2 = 4 и х2 + у2 + г2

- 24ж - 12у + 16г - 168 = 0.

194. Установите взаимное расположение сферы х2 + у2

+ 4- 22 == 16 и плоскости 2х — 2у + 2 — 12 == 0.

195. Напишите уравнение сферы, которая проходит через точки (2; 3; 4) и (3; —1;

5) и касается плоскости ху.

Объем прямоугольного параллелепипеда

196. Как, разрезав на две части, сложить куб из прямо­угольного

параллелепипеда, измерения которого: а) 4, 6, 9 см;

б) 9, 12, 16 см; в) 16, 20, 25 см?

197. На какое наименьшее число частей можно разрезать куб, чтобы из этих

частей можно было сложить призму, осно­вание которой: а) прямоугольная

трапеция; б) равнобокая тра­пеция?

198. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у ко­торого расстояния от

центра до ребер равны 13, 20, 21 см.

199. На ребрах АА\ и ВВ\ прямоугольного параллелепипеда

АВСВА\В\С\В\ даны точки М и N. Постройте плоскость, которая

проходит через эти точки и делит параллелепипед на равные части.

200. Решите задачу 199 для случая, когда точки даны на смежных боковых гранях.

201. Длины ребер четырех кубов (в сантиметрах) выражены последовательными

целыми числами. Объем одного куба равен сумме объемов остальных. Определите

длины ребер этих кубов.

202. Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипе­дов с данной длиной

диагонали наибольший объем имеет куб, используя теорему: «Произведение трех

положительных чисел, сумма которых постоянна, имеет наибольшую величину,

когда эти числа равны».

203. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого периметры трех

граней 36, 40, 48 см.

204. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у ко­торого длина

диагонали 81 см, а измерения относятся, как 7 : 14 : 22.

Объем прямого параллелепипеда

205. В прямом параллелепипеде АВС^А\В\С^^\ диагонали АС\ и

В^\ взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 дм. Зная, что ВС == 3 дм,

найдите объем параллелепипеда.

96206. Двугранный угол между боковыми гранями прямого параллелепипеда 60°,

площади диагональных сечений 56 и 72 см2, длина бокового ребра 4 см.

Найдите объем паралле­лепипеда.

207. Расстояния от центра прямого, параллелепипеда до основания и боковых

граней 9, 8, 6 см. Периметр основания Р = == 70 см. Определите объем

параллелепипеда.

208. Площадь поверхности прямого параллелепипеда 176 см2. Расстояния

от центра параллелепипеда до его граней 1, 2, 3 см. Найдите объем

параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда

209. Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторо­нами о и Ь.

Боковое ребро равно I и образует со сторонами осно­вания углы в 45° и

60°. Найдите объем параллелепипеда.

210. Каждая грань параллелепипеда — ромб с диагоналями 6 и 8 дм. Плоские углы

при одной вершине — острые. Найдите объем параллелепипеда.

Объем призмы

211. Площадь основания правильной четырехугольной призмы О. Длины диагоналей

двух граней относятся, как 1 : 3.

Найдите объем призмы.

212. Железобетонная силосная башня из стандартных плит имеет форму правильной

призмы, у которой расстояние от прямой, проходящей через центры оснований, до

стен 3,65 м. Зная, что объем стен составляет 6,45 % полезного объема,

определите толщину стен.

213. Даны две одноименные правильные призмы. У одной сторона основания а,

боковое ребро Ь, у другой сторона основа­ния Ь, боковое ребро

а (а > Ь). У какой из призм объем больше?

214. Две одноименные правильные га-угольные призмы равновелики. У какой из

них больше площадь боковой поверхности

215. Поперечное сечение канала — трапеция (без верхнего основания), дно и

стенки канала длиной по о. При какой ве­личине угла между дном и стенками

канала его пропускная способность будет наибольшей?

216. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы 'О. Плоскость

проходит через боковое ребро и делит призму на части, объемы которых

относятся, как 1 : 3. Найдите площадь сечения.

217. Высота правильной шестиугольной призмы Н. Угол между двумя равными

диагоналями призмы, проведенными из одной вершины, 30°. Найдите объем призмы.

218. Основание прямой призмы — трапеция, периметр которой 58 см. Площади

параллельных боковых граней 96 и 264 см2, а площади двух других

боковых граней 156 и 180 см2. Найдите объем призмы.

219. Основанием прямой призмы является трапеция, площадь которой 306 см2

. Площади параллельных боковых граней 40 и 300 см2, а площади других

боковых граней 75 и 205 см2. Найдите объем призмы.

220. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность

радиуса 65 см. Площади боковых граней относятся, как 63 : 52 ; 39 : 16.

Диагональ наименьшей боковой грани 40 см. Найдите объем призмы.

221. В цилиндр высоты 12 см вписана шестиугольная призма, у которой три

стороны, взятые черве одну, имеют длины по 3 см, остальные стороны основания

— по 5 см. Найди­те объем призмы,

222. В цилиндр высоты 8 см вписана восьмиугольная призма, у которой длины

четырех сторон основания, взятых через одну, по 2 см, а остальных сторон

основания — по 3 см. Найдите объем призмы.

223. В сферу радиуса Л вписана правильная треугольная призма. Радиус сферы,

проведенный в вершину призмы, накло­нен к плоскости боковой грани под углом

к. Найдите объем призмы.

Объем пирамиды

234. Стороны основания треугольной пирамиды 15, 16, 17 см. Каждое боковое

ребро наклонено к плоскости основания под углом в 45°, Найдите объем

пирамиды.

226, Длина каждого бокового ребра пирамиды 65 см. Ее ос­нование — трапеция с

длинами сторон 14, 30, 50, 30 см. Найди­те объем пирамиды.

236. Длин» каждого бокового ребра пирамиды 35 см, сторо­ны основания 20, 34,

60, 66 см. Найдите объезд пирамиды.

227. Высота правильной вдестиурол&ной пирамиды Я, Рас­стояние от середины

высоты де бокового ребра у 4 раза меньше стороны основания. Найдите

объем пирамиды.

228. Длина пятке ребер треугольной пирамиды не более 2 см. Докажите, что объем

пирамиды не более 1 см3.

229. Докажите, что объем треугольной пирамиды меньше

— квадратного корня из произведения длин всех ребер пира­миды.

230. Стороны основания усеченной ' треугольной призмы 28, 45, 53 см, а

боковые ребра перпендикулярны основанию и равны 13, 14, 15 см. Найдите объем

усеченной призмы (рис. 70).

Если плоскость, не параллельная плоскости основания призмы, пересе­кает все

боковые ребра призмы, то полученные части приемы будем называть усеченными

призмами.

231. Докажите, что объем усеченной треугольной призмы равен произведению

площади перпендикулярного сечения на среднее арифметическое длин боковых

ребер.

232. Стороны основания прямого параллелепипеда 6 и 8 см, угол между ними 30°.

Плоскость отсекает на трех боко­вых ребрах отрезки в 8, 10, 11 см. Найдите

объем той части призмы, которая заключена между основанием и плоскостью

сечения.

233. Основание прямой призмы — трапеция, у' которой стороны АВ

== СО == 13 см, ВС = 18 см, АТ> == 28 см. Плос­кость

проходит через точку С и отсекает на ребрах ВВ\ и ВВ\ от­резки

по 9 см. Найдите объем части призмы между основанием и проведенным сечением.

234. В параллелепипеде АВСВА\В\С\0\ точка К — середина ребра

АА\, точка М — середина ребра СС\, ВВ\ = а, КВ\ == Ъ,

МВ\ == с, причем ВВ\, КВ\ и МВ1 попарно взаимно перпенди­кулярны.

Найдите объем параллелепипеда.

235. Развертка поверхности пирамиды — квадрат со сторо­ной а. Найдите

объем пирамиды.

236. Длины сторон основания треугольной пирамиды 32, 34, 34 см. Периметры

двух равных боковых граней по 150 см, третьей — 162 см. Найдите объем

пирамиды.

237. Даны тетраэдры МАВС и М\А \В\С\, у которых трехгран­ные

углы с вершинами М и М1 равны. Докажите, что объемы этих тетраэдров относятся,

как произведения длин ребер равных трехгранных углов.

238. Через сторону основания и среднюю линию противоле­жащей боковой грани

правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение

объемов частей, на которые плоскость разделила пирамиду.

239. Через сторону основания и середину высоты правиль­ной четырехугольной

пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые

при этом разделилась пирамида.

240. Развертка пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 18 см и

высотой, проведенной к основанию, 12 см. Найдите объем пирамиды.

241. Докажите» что объем правильной пирамиды меньше

та

-у куба длины ее бокового ребра.

242. Каждое боковое ребро пирамиды МАВСВ равно I. Известно, что

^ АМВ = /-. ВМС == ^. АМС == 90°, ^ АМО == = ^ СМВ.

Найдите объем пирамиды.

243. Основание пирамиды — трапеция (или треугольник) со средней линией АВ,

вершина пирамиды М, О — середина сто­роны, параллельной средней линии.

Докажите, что объем

пирамиды равен — произведения площади сечения МАВ на з

расстояние от точки О до плоскости МАВ (рис. 71).

244. Основания многогранника лежат в параллельных плоскостях, все остальные

грани — треугольники или трапе­ции, все вершины которых лежат на основаниях.

Докажите,

что объем многогранника V = — ((?1 + Ог + 4<?о), где Я —

рас­стояние между плоскостями оснований, 61 и Оч — площади оснований, а

<?о — площадь сечения, проходящего через сере­дины всех ребер, не

принадлежащих основаниям (рис. 72).

245. Найдите объем чердачного помещения, у которого основание — прямоугольник

6 X 12 м, высота 1,5 м, длина гребня 9 м.

Объемы подобных тел

246. У двух правильных треугольных пирамид двугранные углы при основаниях

равны по 60°. Высота одной пирамиды равна стороне основания другой. Как

относятся объемы этих пирамид?

247. При каком построении плоскость рассекает прямоуголь­ный параллелепипед с

измерениями 2, 4, 9 см на два подоб­ных параллелепипеда? Найдите объемы этих

параллеле­пипедов.

248. Через центр масс основания треугольной пирамиды проходит плоскость,

параллельная боковой грани. Найдите отношение объемов частей, на которые эта

плоскость делит пирамиду.

249. Объем правильной четырехугольной пирамиды МАВСО равен V. В

результате параллельного переноса вершина А пе­реместилась в центр

основания. Найдите объем общей части обоих положений пирамиды.

250. Найдите отношение объемов частей, на которые пра­вильная треугольная

пирамида делится плоскостью, проходя­щей через середину высоты пирамиды

параллельно боковой грани.

251. Решите задачу 249 для правильной четырехугольной пирамиды.

252. Площади оснований усеченной пирамиды относятся, как 1 : 49. Площадь

сечения, параллельного плоскостям осно­ваний, равна полу сумме площадей

оснований. Как относятся объемы частей, на которые это сечение разделило

усеченную пирамиду?

Объем цилиндра

253. Бездымный порох изготовляется в виде цилиндра, в котором 7

цилиндрических каналов с осями, параллельными оси цилиндра, и радиусами, в 11

раз меньшими радиуса ци­линдра (рис. 73). Какая часть пороха сгорит после

того, как горение перестанет быть прогрессивным? 100

254. Корыто полуцилиндрической формы наполнено водой. Какая часть воды

выльется, если корыто наклонить на 30° так, чтобы образующие цилиндра

оставались горизонтальными?

255. Какой из вписанных в данную сферу цилиндров имеет наибольший объем?

Объем конуса

256. А.В == 10 см и СВ •= 14 см— хорды основания конуса, вершина

которого М. Плоскости МАВ и МАС наклонены к плос­кости

основания конуса под углами 30° и 45°. Определите объем конуса.

257. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса соответственно равны

5,10,13 см. Построены два конуса, у кото­рых вершины — центры оснований

усеченного конуса, а осно­вания совпадают с основаниями усеченного конуса.

Найдите объем общей части этих конусов.

258. Около треугольной пирамиды, у которой периметры боковых граней 180, 194,

196 см, описан конус. Зная, что высота конуса лежит на одной из боковых

граней пирамиды, опреде­лите объем конуса.

259. Образующая конуса I. Какую наибольшую величину может иметь его объем?

Объем тела вращения

260. Равносторонний треугольник периметра Р вращается вокруг прямой, которая

находится в плоскости треугольника, проходит через его вершину вне

треугольника под углом 15° к его стороне. Определите объем тела вращения.

261. Найдите объем тела, образованного вращением квад­рата со стороной а

вокруг прямой, которая находится в плос­кости квадрата, проходит через его

вершину вне квадрата под углом ст к стороне квадрата.

262. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 и 89 см, а диагонали

относятся, как 41 : 50, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем тела

вращения.

263. Найдите объем тела, образованного вращением ромба со стороной 15 см и

отношением диагоналей 3 : 4 вокруг прямой, которая проходит в плоскости ромба

через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба.

264. Равнобедренный треугольник с основанием 30 см и высотой 20 см вращается

вокруг боковой стороны. Найдите объем тела вращения.

Объем шара и его сегмента

265. Расстояние между центрами трех шаров, которые по­парно касаются,— 6, 8,

10 см. Определите объемы этих шаров.

266. Четыре шара радиуса Л расположены так, что каждый касается остальных.

Найдите объем шара, который касается всех этих шаров.

267. Найдите объем шара, вписанного в тело, образованное вращением

прямоугольного треугольника с катетами 21 и 28 см вокруг гипотенузы.

268. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если отношение

объема конуса к объему вписанного шара:

а) 9 : 4; б) 8 : 8.

269. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Объемы конуса и шара вместе

составляют 40 % объема цилиндра. Найдите величину угла при вершине осевого

сечения ко­нуса.

270. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее — шар. Зная,

что объем шара в 24 раза меньше объема цилиндра, найдите плоский угол при

вершине пира­миды.

271. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, грани которой лежат на

координатных плоскостях и ва плоскости 12з; + Зу + 42 — 24 == 0.

272. В шар вписаны равносторонний цилиндр и равносто­ронний конус. Докажите, что

У^,== -\/Ущ • Уу .

273. Около шара описаны равносторонний цилиндр и равно­сторонний конус.

Докажите, что Уц == "УКи • у» •

274. Докажите, что объем шарового сегмента равен яй2 (л — -з- )>

где и — радиус шара, а Н — высота сегмента.

275. В конус, у которого радиус основания 6 см, а образую­щая 10 см, вписан

шар. Через линию касания этих тел прове­дена плоскость. Найдите отношение

объемов частей, на которые эта плоскость делит шар.

276. Шар радиуса 9 см плавает в воде, высота выступаю­щей из воды части 6 см.

Найдите плотность материала, из кото­рого сделан шар.

277. Сосуд в форме полушара наполнен водой. Какая часть воды выльется, если

сосуд наклонить на: а) 30°; б) 45°?

278. Высота равностороннего конуса равна Н и является диаметром шара.

Найдите объем той части шара, которая лежит вне конуса.

Площадь поверхности цилиндра

279. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые ребра

являются осями цилиндрических поверхностей

радиуса -^-. Вычислите площадь поверхности тела, ограничен­ного названными

цилиндрическими поверхностями и основа­ниями призмы.

102

280. В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры боковых

граней 30, 45, 56, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений призмы

содержит ось цилиндра, най­дите площадь полной поверхности цилиндра.

281. Длина ребра куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали

куба. Каждая окружность основания цилиндра касается трех граней куба. Найдите

объем и площадь поверхности цилиндра.

Площадь поверхности конуса

282. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Площади их полных

поверхностей относятся, как 7 : 4. Найдите угол между образующей и плоскостью

основания конуса.

283. В конус вписана четырехугольная пирамида, у которой периметры боковых

граней 78, 94, 104, 112 см. Одно из диаго­нальных сечений пирамиды содержит

высоту конуса. Найдите площадь поверхности конуса.

284. Квадрат АВСВ площадью 120 см2, согнув, поместили на

поверхности конуса. При этом диагональ АС совпала с об­разующей, а

диагональ ВО оказалась на боковой поверхности конуса и концы ее совпали

(рис. 74). Определите объем и пло­щадь поверхности конуса.

285. Радиус полушара Н. На основании полушара построен конус, каждая

образующая которого делится поверхностью полушара в отношении 1 : 2, считая от

вершины. Найдите пло­щадь поверхности этого конуса.

286. В сферу радиуса Л вписан конус наибольшего воз­можного объема.

Определите площадь поверхности этого конуса.

287. Радиус основания конуса Л. Сфера касается основания конуса и делит

каждую образующую конуса на три равные части. Найдите площадь поверхности

конуса.

Площадь поверхности шара

288. Ребро куба а. Найдите площадь сферы, которая про­ходит через все

вершины одной грани и касается параллель­ной грани куба.

289. В куб, длина ребра которого а, вписана сфера. Найди­те площадь

сферы, которая касается вписанной сферы и трех граней куба.

290. Развертка боковой поверхности треугольной пирами­ды — квадрат со

стороной а. Найдите площадь сферы, вписан­ной в эту пирамиду.

291. Докажите, что площадь сферической поверхности шаро­вого сегмента 8

== 2этЛН, где Л — радиус шара, а Н — высота сегмента.

292. Высота правильного тетраэдра Н = 12 см. Точка, равно­удаленная от

всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Определите площадь

той части сферы, которая находится внутри тетраэдра.

293. Радиусы двух шаров а и 2а. Центр меньшего шара находится на

поверхности большего. Найдите объем и площадь поверхности общей части этих

шаров.

294. Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое ребро

призмы проведена плоскость, раз­делившая призму на части с отношением объемов

1 : 5. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость разделила

сферу?

295. Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое ребро

призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с отношением объемов

1 : 2. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость делит сферу?

Страницы: 1, 2, 3, 4